2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（山西卷）（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試(山西卷)

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑)

1.-2的相反數(shù)是()

O

11

A.8B.-8C.——D.-

88

【答案】D

【解析】解：的相反數(shù)是

OO

故選：D.

2.觀察下列圖案，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()

【答案】B

【解析】解：第一個(gè)圖案是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此圖案不符合題意;

第二個(gè)圖案是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此圖案符合題意；

第三個(gè)圖案是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此圖案不符合題意；

第四個(gè)圖案不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此圖案不符合題意.

故選：B.

3.下列運(yùn)算正確的是()

A.a3?a2=a6B.(af)2~a2b6

C.(a-b)2=°2-b2D.(a+b)(-a-b)=a~-b2

【答案】B

【解析】解：a3-a2=a5,故選項(xiàng)N錯(cuò)誤，不符合題意；

(aa)2=a2b6,故選項(xiàng)8正確，符合題意；

(a-Z>)2=a2-lab+b1,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意;

(a+6)(-a-Z>)=-a2-lab-b1,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵，注意完全平方公式的應(yīng)用.

4.“白日不到處，青春恰自來(lái).苔花如米小，也學(xué)牡丹開.”這是清朝袁枚所寫五言絕句《苔》，這首詠物詩(shī)啟

示我們身處逆境也要努力綻放自己，要和苔花一樣盡自己所能實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值.苔花也被稱為“堅(jiān)韌之

花”.袁枚所寫的“苔花”很可能是苔類抱子體的苞蔭，某抱子體的苞蔭直徑約為0。000()84相，將數(shù)據(jù)0.0

000084用科學(xué)記數(shù)法表示為8.4x10。則”的值是()

A.6B.-7C.-5D.-6

【答案】D

【解析】解:0.0000084=8.4x106,

則〃=-6,故選：D.

5.如圖，是一個(gè)底部呈球形的蒸儲(chǔ)瓶，球的半徑為6c%,瓶?jī)?nèi)液體的最大深度CD=3c%,則截面圓中弦/

C-6^3cirD.8cm

【答案】C

【解析】解：由題意得：0CJ_48,

:.AC=BC=LB,ZOCA=90°,

2

OA=OD=6cm,CD=3cm,

：.OC=OD-CD=6-3=3(cm),

在Rt^CMC中，由勾股定理得：^C=7OA2-OC2=V62-32=3^3(CW),

：.AB^2AC=643(cm).

...截面圓中弦N2的長(zhǎng)為6y/3cm,

故選：C.

6.如圖，將質(zhì)量為10飯的鐵球放在不計(jì)重力的木板。8上的/處，木板左端。處可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，在8處用

力尸豎直向上抬著木板，使其保持水平，己知。/的長(zhǎng)為加，03的長(zhǎng)為g取10N/kg,則尸關(guān)于

x的函數(shù)解析式為()

AAB

A.B.C.F=^D.

XXXX

【答案】A

【解析】解：取10M修，鐵球質(zhì)量為10館，

；.G=%g=lOxio=ioo(N),

OA=Im,OB=xm,

.?.由杠桿平衡原理可得：FxOB=GxOA,即尸-x=100x1,

：.F關(guān)于x的函數(shù)解析式為

X

故選：A.

7.某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖

②是其示意圖，其中CD都與地面/平行,ZBCD=60°,ZBAC=54°.當(dāng)/M4c為()

4W■與C3平行.

E

長(zhǎng)。)

駝「

F

圖①圖②

A.16B.60C.66D.114

【答案】C

【解析】解：：/bCD都與地面/平行，

：.AB//CD,

，ZBAC+ZACD=1SO0,

ZBAC+ZACB+ZBCD=lSO°f

VZBCD=60°,/BAC=54。,

：.ZACB=66°,

???當(dāng)NM4C=N4C5=66。時(shí)，AM//CB,

故選：C.

8.已知反比例函數(shù)y=-L,下列結(jié)論不正確的是（）

X

A.圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,1）

B.圖象在第二、四象限

C.當(dāng)x<0時(shí)，y隨著x的增大而增大

D.當(dāng)x>l時(shí)，-1

【答案】D

【解析】解：/、（-1,1）代入y=」，得：左邊=右邊，故本選項(xiàng)正確；

X

8、圖象在第二、四象限內(nèi)，故本選項(xiàng)正確；

C、在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)正確；

。、當(dāng)x>l時(shí)，-l<y<0,故本選項(xiàng)不正確；

不正確的只有選項(xiàng)。.

故選：D.

9.如圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計(jì)），/為入口，F(xiàn),G為出口，其中直行道為AB,CG,

EF,且AB=CG=ER彎道為以點(diǎn)。為圓心的一段弧，且所對(duì)的圓心角均為90。，甲、乙兩車由/口同

時(shí)駛?cè)肓⒔粯?，均?2加/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點(diǎn)O的距離y（m）與時(shí)間x（s）

的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示，結(jié)合題目信息，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A

圖1圖2

A.甲車從G口出，乙車從歹口出

B.立交橋總長(zhǎng)為252加

C.從廠口出比從G口出多行駛72加

D.乙車在立交橋上共行駛16s

【答案】D

【解析】解：根據(jù)兩車運(yùn)行時(shí)間，可知甲車從G口出，乙車從尸口出，故/正確；

由圖象可知，兩車通過(guò)前、而、危弧時(shí)每段所用時(shí)間均為3s,

通過(guò)直行道/B,CG,￡尸時(shí)，每段用時(shí)為4s.

所以立交橋總長(zhǎng)為（3x3+4x3）xl2=252m,故3正確；

根據(jù)兩車運(yùn)行路線，從月口駛出比從G口多走而，贏弧長(zhǎng)之和，

用時(shí)為6s,則多走72%,故C正確；

根據(jù)題意乙車行駛時(shí)間為：4x2+3x3=17秒，故。錯(cuò)誤；

故選：D.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形。48cDE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)"個(gè)45。，得到正六

【答案】B

【解析】解：由題意可知：正六邊形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，旋轉(zhuǎn)了8個(gè)45。,

,當(dāng)〃=2030時(shí)，2030+8=253……6,...02030的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同,

如圖所示：過(guò)點(diǎn)。WLOE于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作Lc軸于點(diǎn)尸,

FE^HO/

VZDEO=120°fDE=EO=\,

：.ZEDO=NDOE=30。,

,：NO/0=90。，

???NFDE=30。,

???在Rt△。在中，3Q0二器，

C0SDE

,V3

?*,DF=DEcos30°一^-，

...在RMOD尸中，sin60°=->

詆，

006=00=73,NEOD6=60。,

又：/D6Ho=90°,在RtzXO/TO6中,

cos60°=-,，sin60°=而

A/Q2

,#0H=0Dgcos600HD6=ODgXsin600方，

又???點(diǎn)。6在第三象限，

...點(diǎn)。6的坐標(biāo)為（二巨，-3），

22

故選：B.

第II卷

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）

11.計(jì)算：(73W2)(V3-V2)2=---------

【解析】解：原式=（V3+V2）x（V3-V2）X（V3-&）

=（3-2）X（73-近）

=加一匹

故答案為：Vs-V2-

12.化學(xué)中直鏈烷妙的名稱用“碳原子數(shù)+烷”來(lái)表示，當(dāng)碳原子數(shù)為1?10時(shí)，依次用天干——甲、乙、丙、

丁、戊、己、庚、辛、壬、癸一表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子結(jié)構(gòu)式如圖所示，則庚烷分子結(jié)

構(gòu)式中的個(gè)數(shù)是.

HHHHH

H

—

II—I

CcI

CH-Cc

—

—

I—I—C—H

I

HHHHH

①②③H

【解析】解：由圖可得，

甲烷分子結(jié)構(gòu)式中的個(gè)數(shù)是2+2x1=4；

乙烷分子結(jié)構(gòu)式中“廳'的個(gè)數(shù)是2+2X2=6；

丙烷分子結(jié)構(gòu)式中“b’的個(gè)數(shù)是2+2x3=8；

第7個(gè)庚烷分子結(jié)構(gòu)式中的個(gè)數(shù)是：2+2x7=16；

故答案為：16.

13.如圖，在△A8C中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)/為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交48,NC于點(diǎn)

N；②分別以點(diǎn)N為圓心，大于/MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸；③作射線4P交2C于點(diǎn)。，

若N8：AC=2：3,A4BD的面積為2,則△48。的面積為.

【解析】解：過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,作于點(diǎn)尸,

A

由作圖可知，射線4尸為NA4C的平分線，

:?DE=DF,

■:小4c=2：3,SAABD-|AB-DE-SAACD-|AC-DF-

?'?SAABD：SAACD—2：3,

；AABD的面積為2,

.?.△NCD的面積為3,

,△ABC的面積為SZUBO+%4CD=2+3=5.

故答案為：5.

14.有甲、乙兩把不同的鎖和/、B,C三把不同的鑰匙.其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，第三把鑰匙

不能打開這兩把鎖.隨機(jī)取出一把鑰匙開甲鎖，恰好能打開的概率是.

【解析】解：因?yàn)槿谚€匙中只有1把能打開甲鎖，

所以隨機(jī)取出一把鑰匙開甲鎖，恰好能打開的概率是工.

3

故答案為：1.

3

15.如圖，在正方形/BCD中，AB=3版,M為對(duì)角線AD上任意一點(diǎn)（不與2、。重合），連接CM,過(guò)

點(diǎn)M作ACV_LCA/,交線段于點(diǎn)N.連接NC交8。于點(diǎn)G.若BG：MB=3：8,貝1JNG?CG=

【解析】解：如圖，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△8HC,連接GH,

：.MC=HC,DM=BH,ZCDM=ZCBH=45°,ZDCM=ABCH,

；?/MBH=90。,/MCH=90。,

ZCMN=ZCBN=90°,

：.M,N、B、。四點(diǎn)共圓，

???ZMCN=45°,

：./NCH=45。,

在AVCG和△HCG中，

'MC二HC

<ZMCN=ZNCH，

CG=CG

AMCG^AHCG(SAS),

：.MG=HG,

,:BG：MB=3：8,

：.BG：MG=3：5,

設(shè)6G=3a,則MG=GH=5a,

在RtZkBGH中，BH=4a,則“。=4a,

???正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3加，

:,BD=6,

：.DM+MG+BG=12〃=6,

,_1

??a——,

2

:.BG=3,MG=^-,

22

,/ZMGC=ZNGB,ZMNG=/GBC=45°,

：.AMGN^/\CGB,

?.?GC--M-G,

GBNG

/.CG-NG=BG，MG=".

4

故答案為：生.

4

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

16.(10分)⑴計(jì)算：卜1|一(萬(wàn)-2022)°+&]-2tan45°

(2)下面是小明同學(xué)進(jìn)行因式分解的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

因式分解：(30+6/-(a+36f

解：原式=(9/+6a6+62)-(a2+6a6+96，第——步

=8/一8/第二步

=8(/_〃)第三步

任務(wù)一：填空：①以上解題過(guò)程中，第一步進(jìn)行整式乘法用到的是公式；

②第三步進(jìn)行因式分解用到的方法是法.

任務(wù)二：同桌互查時(shí)，小明的同桌指出小明因式分解的結(jié)果是錯(cuò)誤的，具體錯(cuò)誤是.

任務(wù)三：小組交流的過(guò)程中，大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)題可以先用公式法進(jìn)行因式分解，再繼續(xù)完成，請(qǐng)你寫出正確

的解答過(guò)程.

【解析】(1)解:原式=1一1+2-2x1=0.

(2)任務(wù)一：①以上解題過(guò)程中，第一步進(jìn)行整式乘法用到的是完全平方公式；

②第三步進(jìn)行因式分解用到的方法是提公因式法；

任務(wù)二：小明因式分解的結(jié)果不徹底，還可以進(jìn)行因式分解；

任務(wù)三：原式=[(3a+6)+(a+3劃[(3a+b)-(a+3b)]

=(4a+46)(2〃-2b)

=8(a+bXa-6)

故答案為：任務(wù)一：①完全平方；②提公因式；任務(wù)二：因式分解不徹底(或還可以進(jìn)行因式分解);

任務(wù)三：8(a+6)(a-b).

17.(7分)解分式方程：士3.

x-44-x

【解析】解：1」一

x-44-x

去分母得：x-4-3=3-%,

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=5是分式方程的解.

18.（9分）某校在課后服務(wù)中，成立了以下社團(tuán)：A.計(jì)算機(jī)，B.圍棋，C.籃球，D.書法每人只能加入

一個(gè)社團(tuán)，為了解學(xué)生參加社團(tuán)的情況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查

結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，其中圖1中。所占扇形的圓心角為150°.

請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題：

（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有360人:

（2）請(qǐng)你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）若該校共有1800學(xué)生加入了社團(tuán)，請(qǐng)你估計(jì)這1800名學(xué)生中有多少人參加了籃球社團(tuán)；

（4）在書法社團(tuán)活動(dòng)中，由于甲、乙、丙、丁四人平時(shí)的表現(xiàn)優(yōu)秀，恰好四位同學(xué)中有兩名是男同學(xué),

兩名是女同學(xué).現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加全市書法大賽，用畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率.

【解析】解：（1）丫。所占扇形的圓心角為150。，

,這次被調(diào)查的學(xué)生共有：150+典=360（人）；

360

故答案為：360.

（2）C組人數(shù)為：360-120-30-150=60（人）,

故補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖如下圖：

人數(shù)/人

120

00

80

60

40n為

20B

一

目

項(xiàng)

圖2

（3）1800x^-=300（人），

360

答：這1800名學(xué)生中有300人參加了籃球社團(tuán)，

（4）設(shè)甲乙為男同學(xué)，丙丁為女同學(xué)，畫樹狀圖如下：

開始

甲乙

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

?.?一共有12種可能的情況，恰好選擇一男一女有8種，

?口一8_2

-P（一里一女）一12~3-

19.（8分）為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的目標(biāo)，某校計(jì)劃為學(xué)校足球隊(duì)購(gòu)買一批足球，已知購(gòu)買2個(gè)N品牌的

足球和3個(gè)B品牌的足球共需380元；購(gòu)買4個(gè)/品牌的足球和2個(gè)2品牌的足球共需360元.

（1）求/,8兩種品牌的足球的單價(jià).

（2）2023年學(xué)校購(gòu)買足球的預(yù)算為6400元，總共購(gòu)買100個(gè)球且購(gòu)買N品牌足球的數(shù)量不多于3品牌

足球數(shù)量的2倍，有幾種購(gòu)買方案.

【解析】解：（1）設(shè)/品牌的足球的單價(jià)為x元/個(gè)，5品牌的足球的單價(jià)為y元/個(gè)，

根據(jù)題意得：（2x+3y=38°,

14x+2y=360

解得：卜=40.

ly=100

答：A品牌的足球的單價(jià)為40元/個(gè)，B品牌的足球的單價(jià)為100元/個(gè).

（2）設(shè)購(gòu)買/品牌足球。個(gè)，則購(gòu)買8品牌足球（100”）個(gè).則fa<2（100-a）,

l40a+100（100-a）<6400

.??604a4粵，

可取60,61,62,63,64,65,66共7種購(gòu)買方案.

答：有7種購(gòu)買方案.

20.（8分）學(xué)科綜合

我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過(guò)：光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）,我們把“=色哈稱為折射率

sinP

（其中a代表入射角，0代表折射角）.

觀察實(shí)驗(yàn)

為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，即通過(guò)細(xì)管可以看見水底的物塊。，但不在細(xì)

管兒W所在直線上，圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形N8FE為矩形，點(diǎn)/,C,8在同一直線上，測(cè)得3尸

=12cm,DF=16cm.

<1）求入射角a的度數(shù).

（2）若BC=】cm,求光線從空氣射入水中的折射率〃.（參考數(shù)據(jù)：sin53°^―>cos53"?旦，

55

tan53°?爭(zhēng)

由題意得：四邊形。G8F是矩形，

.\DG=BF=12cm,BG=DF=16cm,

在RtADGB中，tanNBDG=毀=也=性

DG123

ZBDG=53。,

：./PDH=/BDG=53°,

，入射角a的度數(shù)為53°；

(2)'：BG=16cm,BC=7cm,

:.CG=BG-BC=9(cm),

在RtACDG中，DG=12cm,

DC=VCG2+DG2=V92+122=15(加,

...sin|3=sinNGDC=%=且=2,

CD155

由(1)得：ZPDH=53°,

sinZPDH=sina?—,

5

/.折射率n_sinCL__5__4

sinB33

5

...光線從空氣射入水中的折射率〃約為里.

3

21.（8分）閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：

由一道習(xí)題引發(fā)的思考一“十字架模型”的拓展研究

在我們教材上，有這樣一道習(xí)題：如圖1,四邊形N8CD是一個(gè)正方形花園，E,尸是它的兩個(gè)門，要修

建兩條路BE和NR且使得凡那么這兩條路等長(zhǎng)嗎？為什么？

對(duì)于上面問(wèn)題，我是這樣思考的：

:四邊形/BCD是正方形，：.AB=AD,ZBAE=ZADF=90°.

又\'BE±AF,：.NBEA+/DAF=ZDAF+ZAFD=90°

：.ZBEA=ZAFD,（依據(jù)*）

2RtACMF,:.BE=AF.

有趣的是對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)分別在正方形/BCD一組對(duì)邊上的線段，若這樣的兩條線段互相垂直，是否這兩

條線段仍然相等呢？對(duì)此我們可以做進(jìn)一步探究：

如圖2,在正方形48。中，若點(diǎn)M、N、尸、。分別是48、CD、BC、/￡＞上的任意四點(diǎn)，MMNLPQ,

垂足為。，則〃N仍然與尸。相等.理由如下：

過(guò)點(diǎn)M作〃E_LCD,垂足為￡,過(guò)點(diǎn)尸作P7U4D,垂足為尸.則容易證明四邊形/"ED和48PF均為

矩形，

：.ME=AD,PF=AB.,：AB=AD,：.ME=PF

在四邊形。0A?中，VZNOQ=ZD=90°,

任務(wù)：根據(jù)上面小論文的分析過(guò)程，解答下列問(wèn)題：

(1)畫橫線部分的“依據(jù)*”是在等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，等式仍成立

(2)在小論文的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有：AC.(從下面選項(xiàng)中填出兩項(xiàng)).

A.轉(zhuǎn)化思想

B.方程思想

C.由特殊到一般的思想

D.函數(shù)思想

(3)請(qǐng)根據(jù)小論文提供的思路，補(bǔ)全圖2剩余的證明過(guò)程.

【解析】解：(1)在等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，等式仍成立；

(2)由正方形中的頂點(diǎn)/和頂點(diǎn)8轉(zhuǎn)變成為點(diǎn)/和點(diǎn)N,所以是由特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想,

所以/C正確.

故選為：AC.

(3)證明：過(guò)點(diǎn)“作ME_LCD,垂足為E,過(guò)點(diǎn)P作尸/_L/D,垂足為尸.

則容易證明四邊形AMED和ABPF均為矩形，

；.ME=AD,PF=AB,

'：AB=AD,

：.ME=PF

在四邊形QOND中，

??ZNOQ=ZD=90°,ANOQ+AD+AOQD+ZOND=360°,

ZOQD+ZOND=180°,

ZFQP+ZOQD=180°,

NFQP=ZOND=ZMNE,

VZFQP+ZQPF=90°,/MNE+NNME=90。,

：.ZQPF=ZNME,

,：ZQPF=ZNME,ME=PF,ZPFQ=ZMEN=90°,

：./\MNE^/\PQF(SAS),

:.MN=PQ.

22.(12分)綜合與實(shí)踐：

數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)

知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1,在A48C和A4E尸中，AB=AC,AE=AF,/BAC=/EAF=30。,連接BE,C

F,延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)、D.則BE與C/的數(shù)量關(guān)系：BE=CF,ZBDC=30°：

(2)類比探究：如圖2,在△NBC和中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=]20°,連接BE,

CF,延長(zhǎng)BE,尸C交于點(diǎn)。.請(qǐng)猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及。的度數(shù)，并說(shuō)明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,A42c和△/斯均為等腰直角三角形，NBAC=/EAF=9Q。,連接BE,CF,

且點(diǎn)8,E,尸在一條直線上，過(guò)點(diǎn)/作凡垂足為點(diǎn)貝ijB尸，CF,之間的數(shù)量關(guān)系：B

F=CF+2AM:

(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形4BCD中，AB=2,若平面內(nèi)存在點(diǎn)P滿足/APD=90。，PD=1,貝”AXBP=_

7+V7瑞7-V7

廠?4-,

理由如下：如圖1所示:

?/AABC和都是等腰三角形,

：.AB=AC,AE=AF,

又?/NBAC=ZEAF=30°,

:.AABE冬dACF(SAS),

：.BE=CF,

???/ABE=/ACD,

「ZAOE=NABE+NBAC,

ZAOE=ZACD+ZBDC,

：.ZBDC=ZBAC=30°；

圖1

(2)BE=CF,/BDC=60。,

理由如下：如圖2所示：

證明：VZBAC=ZEAF=nO°f

：.ABAC-NEAC=ZEAF-ZEAC,

即/BAE=NCAF,

又???AABC和A4E尸都是等腰三角形，

；?AB=AC,AE=AFf

：.ABAE^/XCAF(SAS)

:,BE=CF,

：.NAEB=/AFC,

VZEAF=nO°fAE=AF,

：.NAEF=N4FE=30。,

???ZBDC=NBEF-ZEFD=ZAEB+300-(ZAFC-30°)=60°；

理由如下：如圖3所示:

,/AABC和都是等腰三角形，

；.NCAB=NEAF=90。,4B=AC,AE=AF,

：.ACAB-ZCAE=NE4E-ZCAE,

即：NBAE=NCAF,

.,.△BAE沿MAE(S/S),

：.BE=CF,

"CAMLBF,AE=AF,/E4F=90°,

：.EF=2AM,

'：BF=BE+EF,

(4))如圖4所示：

連接AD,以為直徑作圓，

由題意，取滿足條件的點(diǎn)尸，P,則PZ)=PZ)=1./BPD=NBPD90°,

:.BD=2近,

5P=VBD2-PD2=V(2V2)2-12=V7，

連接R4，作/凡LP2于點(diǎn)尸，在2P上截取2E=PZ),

VZPDA=ABE,AD=AB,

：./XADP^AABE(S/S),

：.AP=AE,ZBAE=ZDAP,

：.ZPAE=90°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

出也=互工，

22

/.S^PAB=—PB-AF=