浙江省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章函數(shù)及其圖象第14講反比例函數(shù)及其圖象講解篇

第14講反比例函數(shù)及其圖象1．反比例函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)考試內(nèi)容考試要求反比例函數(shù)的概念一般地，形如y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，k≠____________________)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)．自變量的取值范圍是____________________．b確定反比例函數(shù)的解析式常用方法：待定系數(shù)法．cy＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象所在象限性質(zhì)k>0一、三象限(x、y同號(hào))在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而____.k<0二、四象限(x、y異號(hào))在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而____.反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象是，且關(guān)于對(duì)稱．注意點(diǎn)在應(yīng)用反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要注意“在每個(gè)象限內(nèi)”這幾個(gè)字的含義，切忌說k＞0時(shí)，y就隨x的增大而減?。?．反比例函數(shù)中k的幾何意義考試內(nèi)容考試要求k的幾何意義反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)(x，y)具有兩數(shù)之積(xy＝k)為這一特點(diǎn)，則過雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為常數(shù)．c結(jié)論的推導(dǎo)如圖，過雙曲線上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，所得的矩形PMON的面積S＝PM·PN＝____________________·____________________＝____________________．∵y＝eq\f(k,x)，∴xy＝____________________，∴S＝____________________．拓展在上圖中，易知S△POM＝S△PON＝．所以過雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，則以該點(diǎn)、一個(gè)垂足和原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為常數(shù)．3.反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考試內(nèi)容考試要求步驟①根據(jù)實(shí)際情況建立反比例函數(shù)模型；②利用待定系數(shù)法或其他學(xué)科的公式等確定函數(shù)解析式；③根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題．c注意點(diǎn)在實(shí)際問題中，求出的解析式要注意自變量和函數(shù)的取值范圍．考試內(nèi)容考試要求基本思想1.反比例函數(shù)值的大小比較時(shí)，應(yīng)分x＞0與x＜0兩種情況討論，而不能籠統(tǒng)地說成“k＜0時(shí)，y隨x的增大而增大”．c2.在一次函數(shù)與反比例函數(shù)的函數(shù)值的大小比較中，要把x的取值以兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)、原點(diǎn)為分界點(diǎn)分成四部分進(jìn)行分析．1．(2017·臺(tái)州)已知電流I(安培)、電壓U(伏特)、電阻R(歐姆)之間的關(guān)系為I＝eq\f(U,R)，當(dāng)電壓為定值時(shí)，I關(guān)于R的函數(shù)圖象是()如圖，函數(shù)y1＝eq\f(k1,x)與y2＝k2x的圖象相交于點(diǎn)A(1，2)和點(diǎn)B，當(dāng)y1<y2時(shí)，自變量x的取值范圍是()A．x＞1B．－1＜x＜0C．－1＜x＜0或x＞1D．x＜－1或0＜x＜1(2017·紹興)如圖，Rt△ABC的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)A，B在函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象上，AC∥x軸，AC＝2，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為____________________．4．(2016·湖州)湖州市菱湖鎮(zhèn)某養(yǎng)魚專業(yè)戶準(zhǔn)備挖一個(gè)面積為2000平方米的長方形魚塘．(1)求魚塘的長y(米)關(guān)于寬x(米)的函數(shù)表達(dá)式；(2)由于受場地的限制，魚塘的寬最多只能挖20米，當(dāng)魚塘的寬是20米，魚塘的長為多少米？【問題】如圖是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象．(1)請(qǐng)你根據(jù)圖象寫出相關(guān)的信息．(2)若直線y＝k′x與反比例函數(shù)圖象交于P(3，4)、Q兩點(diǎn)，你又能得出哪些相關(guān)信息．【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理反比例函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)．類型一反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)eq\a\vs4\al(例1)已知反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)，(1)若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，－2)，則k＝________.(2)若k＞0，點(diǎn)A(－1，y1)，B(1，y2)和C(2，y3)都在該函數(shù)的圖象上．則________＜________＜________(填y1，y2，y3)．(3)若該函數(shù)的圖象與y＝eq\f(6,x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，則該函數(shù)的解析式為________．(4)若該函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝－4x的圖象交于A(x，4)、B兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．(5)若該函數(shù)的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，且k＝1－m，則m的取值范圍是________．【解后感悟】解答問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖象特點(diǎn)解決，如增減性、對(duì)稱性．1．(1)(2017·天津模擬)已知反比例函數(shù)y＝－eq\f(8,x)，則有：①它的圖象在一、三象限；②點(diǎn)(－2，4)在它的圖象上；③當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y的取值范圍是－8＜y＜－4；④若該函數(shù)的圖象上有兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2.以上敘述正確的是____________________．(2)(2017·麗水模擬)函數(shù)y1＝x(x≥0)，y2＝eq\f(9,x)(x＞0)的圖象如圖所示，則結(jié)論：①兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，3)；②當(dāng)x＞3時(shí)，y2＞y1；③當(dāng)x＝1時(shí)，BC＝8；④當(dāng)x逐漸增大時(shí)，y1隨著x的增大而增大，y2隨著x的增大而減?。渲姓_結(jié)論的序號(hào)是____________________．(3)(2017·武漢模擬)在反比例函數(shù)y＝eq\f(1－3m,x)圖象上有兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1＜0＜x2，y1＜y2，則m的取值范圍是____________________．類型二反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的解析式及其k的幾何意義eq\a\vs4\al(例2)反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)，(1)如圖，點(diǎn)A是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在x軸上，△ABP面積為2，則該函數(shù)的解析式為________．第(1)題圖第(2)題圖(2)如圖，該函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x圖象相交于A、C(－1，y)兩點(diǎn)．AB⊥x軸于B，CD⊥x軸于D(如圖)，則四邊形ABCD的面積為________．(3)如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝eq\f(1,x)上，點(diǎn)B在雙曲線y＝eq\f(3,x)上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為________．【解后感悟】反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)中k的幾何意義：如圖，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，作PB⊥y軸于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則PA＝|y|，PB＝|x|.S矩形PAOB＝|x||y|＝|xy|，∵y＝eq\f(k,x)，∴xy＝k，∴S矩形PAOB＝|k|.即過雙曲線上任意一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線段，兩條垂線段以及兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)思想的運(yùn)用．(1)(2017·綿陽模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上，AB∥y軸，AD∥x軸，若ABCD的面積為8，則k＝____________________.(2017·張家界模擬)如圖，直線x＝2與反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)和y＝－eq\f(1,x)的圖象分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是y軸上任意一點(diǎn)，則△PAB的面積是____________________．(3)(2015·嘉興)如圖，直線y＝2x與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0，x>0)的圖象交于點(diǎn)A(1，a)，點(diǎn)B是此反比例函數(shù)圖形上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，BC⊥x軸于點(diǎn)C.①求k的值；②求△OBC的面積．類型三反比例函數(shù)與其他函數(shù)、方程和不等式的問題eq\a\vs4\al(例3)反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)，(1)如圖，該函數(shù)的圖象(x＞0)與直線y＝ax交于點(diǎn)A(1，2)，則不等式ax＞eq\f(k,x)的解集是________．(2)設(shè)k＝3，該函數(shù)的圖象與y＝－2x－6的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的值是________．(3)如圖，設(shè)k＝3，該函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時(shí)，－1＜x＜0或x＞3，則一次函數(shù)的解析式為________．【解后感悟】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，以及正確地識(shí)別圖象是解題的關(guān)鍵；注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．(1)(2017·揚(yáng)州市邗江區(qū)模擬)點(diǎn)A(a，b)是一次函數(shù)y＝x－1與反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的交點(diǎn)，則a2b－ab2＝____________________.(2)(2015·衢州)如圖，已知點(diǎn)A(a，3)是一次函數(shù)y1＝x＋b圖象與反比例函數(shù)y2＝eq\f(6,x)圖象的一個(gè)交點(diǎn)．①求一次函數(shù)的解析式；②在y軸的右側(cè)，當(dāng)y1＞y2時(shí)，直接寫出x的取值范圍．類型四反比例函數(shù)圖象與幾何圖形的相關(guān)問題eq\a\vs4\al(例4)(2017·煙臺(tái))如圖，直線y＝x＋2與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象在第一象限交于點(diǎn)P，若OP＝eq\r(10)，則k的值為________．(2)(2017·麗水模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(1，1)，B(2，2)，雙曲線y＝eq\f(k,x)與線段AB有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是________．(3)(2017·寧波)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－1，1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，將△ABC向右平移m(m＞0)個(gè)單位后，△ABC某一邊的中點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)y＝eq\f(3,x)的圖象上，則m的值為________．(4)(2017·紹興模擬)如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝eq\f(3,x)上，點(diǎn)B在雙曲線y＝eq\f(k,x)(k≠0)上，AB∥x軸，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，連結(jié)OB，與AD相交于點(diǎn)C，若AC＝2CD，則k的值為________．【解后感悟】解題的關(guān)鍵是靈活轉(zhuǎn)換點(diǎn)的坐標(biāo)與長度之間的關(guān)系，充分利用k的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)方程思想．4．(1)(2017·成都模擬)如圖，若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)y＝eq\f(1,x)(x＞0)的圖象上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，)).(2017·蘭州模擬)如圖，一次函數(shù)y＝－x＋4的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，且k≠0)的圖象交于A(1，a)、B兩點(diǎn)．①求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；②在x軸上找一點(diǎn)P，使PA＋PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積．類型五反比例函數(shù)的應(yīng)用eq\a\vs4\al(例5)(2015·衡陽)某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，首次用于臨床人體實(shí)驗(yàn)．測得成人服藥后血液中藥物濃度y(微克/毫升)與服藥時(shí)間x小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示(當(dāng)4≤x≤10時(shí)，y與x成反比)．(1)根據(jù)圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)問血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時(shí)間為多少小時(shí)？【解后感悟】這是一道關(guān)于反比例函數(shù)的簡單的圖象信息題，解這類問題既要能根據(jù)圖象信息理解其實(shí)際意義，又要能根據(jù)實(shí)際問題想象出其圖象的特點(diǎn)．另外，還要關(guān)注一些特殊點(diǎn)的位置和坐標(biāo)運(yùn)用等．5．(2016·鹽城)我市某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長溫度為15～20℃的新品種，如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚里溫度y(℃)隨時(shí)間x(h)變化的函數(shù)圖象，其中AB段是恒溫階段，BC段是雙曲線y＝eq\f(k,x)的一部分，請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)求k的值；(2)恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里溫度在15℃及15℃以上的時(shí)間有多少小時(shí)？【探索研究題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x軸，且AB＝2，AD＝4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，6)．(1)直接寫出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若將矩形向下平移，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖象上，猜想這是哪兩個(gè)點(diǎn)，并求矩形的平移距離和反比例函數(shù)的解析式．【方法與對(duì)策】把線段的長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，在求k的值的時(shí)候，由于k的值等于點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之積，所以直接可得方程2(6－a)＝6(4－a)，求出平移距離a后再由坐標(biāo)求k，實(shí)際上也可把A′，C′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝eq\f(k,x)中，得到關(guān)于a、k的方程組從而直接求得k的值．該題型是圖形變換，是中考的常見題型．【忽視反比例函數(shù)圖象所在象限，求k時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)解現(xiàn)象】如圖，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象上有一點(diǎn)A，AB平行于x軸交y軸于點(diǎn)B，△ABO的面積是1，則k的值為________．參考答案第14講反比例函數(shù)及其圖象【考點(diǎn)概要】1．0x≠0減小增大雙曲線原點(diǎn)2.常數(shù)|k||y||x||xy|k|k|eq\f(1,2)|k|eq\f(1,2)|k|【考題體驗(yàn)】1．C2.C3.(4，1)4.(1)由長方形面積為2000平方米，得到xy＝2000，即y＝eq\f(2000,x)；(2)當(dāng)x＝20(米)時(shí)，y＝eq\f(2000,20)＝100(米)，所以當(dāng)魚塘的寬是20米時(shí)，魚塘的長為100米．【知識(shí)引擎】【解析】(1)不唯一，如k＞0，圖象在一、三象限等．(2)不唯一，如k＝12，直線y＝eq\f(4,3)x，OP＝OQ等．【例題精析】例1(1)－2(2)y1，y3，y2(3)y＝－eq\f(6,x)(4)(1，－4)(5)m＜1例2(1)y＝eq\f(4,x)；(2)2；(3)2.例3(1)x＞1；(2)－2；(3)y＝x－2.例4(1)3；(2)1≤k≤4；(3)AB邊的中點(diǎn)(－1，2)，BC邊的中點(diǎn)(－2，0)，AC邊的中點(diǎn)(－2，－1)，向右平移m(m＞0)個(gè)單位后，∴AB邊的中點(diǎn)(－1＋m，2)，AC邊的中點(diǎn)(－2＋m，－1)．∴2(－1＋m)＝3或－1×(－2＋m)＝3.∴m＝2.5或m＝－1(舍去)．故答案為2.5.(4)過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，延長線段BA，交y軸于F，四邊形AFOD是矩形，四邊形OEBF是矩形，而DE＝2OD，∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝9，∴k＝9，故答案為9.例5(1)由圖象可知，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y與x成正比例關(guān)系，設(shè)y＝kx.由圖象可知，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝8，∴4k＝8，解得：k＝2；∴y＝2x(0≤x≤4)．又由題意可知：當(dāng)4≤x≤10時(shí)，y與x成反比，設(shè)y＝eq\f(m,x).由圖象可知，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝8，∴m ＝4×8＝32；∴y＝eq\f(32,x)(4≤x≤10)．即：血液中藥物濃度上升時(shí)y＝2x(0≤x≤4)；血液中藥物濃度下降下時(shí)y＝eq\f(32,x)(4≤x≤10)．(2)血液中藥物濃度不低于4微克/毫升即：y≥4，∴2x≥4且eq\f(32,x)≥4，解得x≥2且x≤8；∴2≤x≤8，即持續(xù)時(shí)間為6小時(shí)．【變式拓展】(1)②③(2)①③④(3)m＜eq\f(1,3)(1)－2(2)eq\f(3,2)(3)①∵直線y＝2x與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0，x>0)的圖象交于點(diǎn)A(1，a)，先將A(1，a)代入直線y＝2x，得：a＝2，∴A(1，2)，將A(1，2)代入反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)中得：k＝2；②∵B是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)圖象上的點(diǎn)，且BC⊥x軸于點(diǎn)C，∴△BOC的面積＝eq\f(1,2)|k|＝eq\f(1,2)×2＝1.(1)4(2)①將A(a，3)代入y2＝eq\f(6,x)得a＝2，∴A(2，3)，將A(2，3)代入y1＝x＋b得b＝1，∴y1＝x＋1；②∵A(2，3)，∴根據(jù)圖象得在y軸的右側(cè)，當(dāng)y1>y2時(shí)，x>2.4.(1)eq\f(\r(5)＋1,2)eq\f(\r(5)－1,2)(2)①由已知可得，a＝3，k＝3，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝eq\f(3,x)，B(3，1)；②如圖，點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，得到B′(3，－1)，PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′，當(dāng)P點(diǎn)和P′點(diǎn)重合時(shí)取到等號(hào)．易得直線AB′：y＝－2x＋5，∴P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，即滿足條件的P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，設(shè)y＝－x＋4交x軸于點(diǎn)C，則C(4，0)，∴S△PAB＝S△APC－S△BPC＝eq\f