解密12 空間向量在空間幾何體的應用（講義）-【高頻考點解密】2022年高考數(shù)學二輪復習講義+分層訓練（新高考專用）

解密12空間向量在空間幾何體的應用高考考點命題分析三年高考探源考查頻率利用空間向量求線面角從近三年高考情況來看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點．高考主要考查空間向量的坐標運算，以及平面的法向量等，難度屬于中等偏上，主要為解答題，解題時應熟練掌握空間向量的坐標表示和坐標運算，把空間立體幾何問題轉化為空間向量問題.2021新課標全國Ⅱ102020新課標全國Ⅱ202018新課標全國Ⅰ182018新課標全國Ⅱ20★★★★★利用空間向量求二面角2021新課標全國Ⅱ192021新課標全國Ⅰ202021年全國甲卷192021年全國乙卷182020新課標全國Ⅲ192020新課標全國Ⅰ182019新課標全國Ⅰ182019新課標全國Ⅱ17★★★★★考點一利用空間向量證明平行與垂直☆技巧點撥☆直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量判定方法設直線l的方向向量為a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分別為μ=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，則（1）線面平行：l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2＋b1b2＋c1c2=0；（2）線面垂直：l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2；（3）面面平行：α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3；（4）面面垂直：α⊥β?μ⊥v?μ·v=0?a2a3＋b2b3＋c2c3=0.注意：用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線a∥b，只需證明向量a=λb（λ∈R）即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調直線在平面外.例題1如圖，在正方體中，是的中點，是線段上一點，且.（1）求證：；（2）若平面平面，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）不妨設正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系，則，于是，因為，所以，故.（2）由（1）可知的一個法向量為，由，則，設平面CDE的法向量為，由，得可取，因為，所以.考點二求空間角題組一求異面直線所成的角☆技巧點撥☆利用向量求異面直線所成的角一是幾何法：作—證—算；二是向量法：把角的求解轉化為向量運算，應注意體會兩種方法的特點，“轉化”是求異面直線所成角的關鍵，一般地，異面直線AC，BD的夾角β的余弦值為cosβ=.注意：兩條異面直線所成的角α不一定是兩直線的方向向量的夾角β，即cosα=|cosβ|.例題2．如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，．，，，，，，所以，即異面直線與所成角是．故選：B．例題2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成角的正弦值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設棱長為1，則，，，∴，設平面A1ED的法向量為，則有令得：，∴.∵平面ABCD的法向量為，∴，則，故平面A1ED與平面ABCD所成角的正弦值為.故選：B例題3．如圖，菱形邊長為2，，為邊的中點，將沿折起，使A到，且平面平面，連接，則下列結論中正確的個數(shù)是（）①②點到平面的距離為③異面直線與所成角的余弦值為A．個 B．個C．個 D．個【答案】C【解析】對于①：反證法：假設，因為ABCD為菱形，且為邊的中點，所以，又因為平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，所以，因為ABCD為菱形，所以，且，所以與矛盾，故假設不成立，所以錯誤，即①錯誤；對于②：因為兩兩垂直，以E為原點分別為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：所以，所以，設平面的法向量，則，令，則法向量可取，所以點到平面的距離，故②正確；對于③：，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故③正確.故選：C例題4．已知正方體的棱長為2，點E，F(xiàn)在平面內，若，，則下列選項中錯誤的是（）A．點E的軌跡是圓的一部分 B．點F的軌跡是一條線段C．的最小值為 D．與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】D【解析】【分析】對于A，，即，所以，即點E在平面內，以為圓心，1為半徑的圓上，其軌跡為圓的一部分，故A正確.對于B，正方體中，，又，且，所以平面，所以點F在上，即F的軌跡為線段，故B正確.對于C，在平面內，到直線的距離，如圖1，當點E，F(xiàn)落在上時，，故C正確.對于D，建立如圖2所示的空間直角坐標系，則.因為點E為在平面內，以為圓心，1為半徑的圓上，可設，所以.設平面的法向量，則不妨令，則.設與平面所成角為，則，當且僅當時，有最大值，故D錯誤.故選：D題組二求線面角☆技巧點撥☆利用向量求直線與平面所成的角①分別求出斜線和它所在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．注意：直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，即注意函數(shù)名稱的變化．直線與平面的夾角計算設直線l的方向向量為a=(a1，b1，c1)，平面α的法向量為μ=(a3，b3，c3)，直線l與平面α的夾角為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2)))，則sinθ=eq\f(|a·μ|,|a||μ|)=|cos〈a，μ〉|.例題1．在棱長為1的正方體中，，分別為棱，的中點，則下列說法正確的是（）A．，，，點共面B．正方體的外接球的表面積為C．點到平面的距離為D．直線與平面所成的角的正弦值為【答案】ACD【分析】正方體中，，而，分別為棱，的中點，則，所以，所以，，，四點共面.故A正確；設正方體的外接球的半徑為，則，所以正方體的外接球的表面積.故B錯誤；以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系.則，，，，，所以，，，.設平面的一個法向量為，則令，得，，所以平面的一個法向量為.所以點到平面的距離.故C正確；設直線與平面所成的角為，則，D正確.故選：ACD.例題2．箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形是一個箏形，，，，沿對角線將折起到點，形成四棱錐．

（1）點為線段中點，求證：平面；（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）證明：延長交于點，，，，則,所以，所以點是線段中點，又因為點為線段中點，所以，因為，，所以平面．（2）作于，連，因為，所以，所以，如圖建立空間直角坐標系，，，,，,，，，設平面的法向量是，則有，即，，，，直線與平面所成角的正弦值為．例題3．在三棱柱中中，為中點，平面平面.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】證明：因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）解：在平面內過點作，如圖建立空間直角坐標系，由，，所以，所以，因為，所以，所以，，，，，由，所以，所以，顯然平面的一個法向量可以為，設與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；例題4．如圖所示，在直三棱柱中，側面為長方形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點T，使得點T到直線的距離是，若存在求的長，不存在說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】（1）由于，所以，根據(jù)直三棱柱的性質可知，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）設N是的中點，連接，則，MA，MB，MN，兩兩相互垂直.以M為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，令，可得，設直線和平面所成角為，則；（3）設，則，過T作，則，∵，∴，∴，∴或（舍）∴.題組三求二面角☆技巧點撥☆利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．注意：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補角．運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟（1）建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）求出相關點的坐標；（3）寫出向量坐標；（4）結合公式進行論證、計算；（5）轉化為幾何結論．平面與平面的夾角計算公式設平面α，β的法向量分別為μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夾角為θ(0≤θ≤π)，則|cosθ|=eq\f(|μ·v|,|μ||v|)=|cos〈μ，v〉|.例題1．如圖，是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板組成的三角形，，．現(xiàn)將沿斜邊翻折成（不在平面ABC內）．若M，N分別為BC和的中點，則在翻折過程中，下列結論正確的是（）A．平面B．與BC不可能垂直C．二面角正切值的最大值為D．直線與DM所成角的取值范圍為【答案】AD【解析】對A，如圖，連接，∵分別為的中點，∴，而面，∴平面，A正確；設，的中點為，連接，過作的垂線，垂足為，過作，垂足為，連接，因為、均為等腰直角三角形，故，故，因為，故平面，因為平面，所以，而，故平面，而平面，故.而，則平面，而平面，故，故為二面角的平面角.設，則，，故，，所以，而，，故，因為，故無最大值，故C錯誤.在直角三角形中，，故，取，此時滿足前者范圍要求且，故，但，，故平面，而平面，故，故B錯誤.在三角形中，化簡可得，，化簡可得，故，，故，設所成的角為，則，故，故D正確.故選：AD.例題2．如圖甲，平面圖形中，，沿將折起，使點C到F的位置，如圖乙，使.(1)求證：平面平面；(2)點M是線段上的動點，當多長時，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為?【答案】(1)證明見解析；(2)當時，平面MAB與平面AEG所成銳二面角的余弦值為.【解析】【分析】因為，則，且，又，平面，因此，平面，即有平面，平面，則，而，則四邊形為等腰梯形，又，則有，于是有，則，即，，平面，因此，平面，而平面，所以平面平面.(2)由(1)知，EA，EB，EG兩兩垂直，以點E為原點，射線EA，EB，EG分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，因，四邊形是矩形，則，即，，，令，則，，，設平面的一個法向量為，則，令，得，平面AEG的一個法向量，則有，，設平面與平面所成銳二面角為，則，，依題意，，解得，即，所以當時，平面MAB與平面AEG所成銳二面角的余弦值為.例題3．如圖，在正三棱柱中，點D為棱BC的中點，，．(1)證明：；(2)若點E為棱AB上一點，且滿足______，求二面角的正弦值．從①；②這兩個條件中任選一個填入上面的橫線上，并解答問題．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)證明見解析(2)條件選擇見解析，【解析】【分析】連接AD，由題易知，△為正三角形，由于點D為BC的中點，故．∵平面ABC，平面ABC，∴．又∵，，平面，∴平面．在正三棱柱中，，故平面．又∵平面，∴．(2)選擇①：，∵平面ABC，平面ABC，∴．又∵，，平面，∴平面．又∵平面，∴．∵△為正三角形，∴為線段上靠近點的四等分點，則．如圖，設的中點為，以D為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，則，．由題知平面的一個法向量為．設平面的法向量為，則即令，則，，故．設二面角的平面角為，則,則二面角的正弦值為．選擇②：，則，而，故．如圖，設的中點為，以D為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，則，．由題知平面的一個法向量為．設平面的法向量為，則即令，則，，故．設二面角的平面角為，則．則二面角的正弦值為．例題4．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，Q為的中點．(1)求證：；(2)若平面底面，點E在棱上，，且二面角的大小為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)證明：連接，因為，Q為的中點，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，即，因為，Q為的中點，所以所以平面，因為平面，所以．(2)解：因為，Q為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，過點E作交于點H，過點H作交于點G，連接，則為二面角的平面角，由已知得，∴在直角中，，由于，故．設，則，所以，故四棱錐的體積為．法2：因為，Q為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面．所以以Q為原點，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，令，如圖：，所以，又，設平面的法向量為，則所以所以平面的法向量為，由題意知平面的法向量為，因為二面角為，所以，解得，即，所以四棱錐的體積為．題組四綜合性問題☆技巧點撥☆用向量解決探索性問題的方法1．確定點在線段上的位置時，通常利用向量共線來求．2．確定點在平面內的位置時，充分利用平面向量基本定理表示出有關向量的坐標而不是直接設出點的坐標．3．解題時，把要成立的結論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法解題．一、多選題例題1．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體(semi-regularsolid)，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體．已知，則關于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過三點的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關系式【答案】ACD【分析】該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的.對于A，因為由正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：，故正確；對于B，過三點的截面為正六邊形，所以，故錯誤；對于C，根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為,側棱長為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積，故正確；對于D，幾何體頂點數(shù)為12，有14個面，24條棱，滿足，故正確.故選：ACD例題2．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點，距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足．若點在平面內運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為________；若點在長方體內部運動，為棱的中點，為的中點，則三棱錐的體積的最小值為___________．【答案】【分析】（1）以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標系，則設，由得，所以，所以若點在平面內運動，則點所形成的阿氏圓的半徑