288727252022屆高考數(shù)學(xué)滬教版一輪復(fù)習(xí)-講義專題20排列組合復(fù)習(xí)與檢測

專題20排列組合復(fù)習(xí)與檢測專題20排列組合復(fù)習(xí)與檢測

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握加法原理

2.掌握乘法原理

3.排列數(shù)公式

4.組合數(shù)公式

知識梳理

1．分類計數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有幾類辦法，在第一類中有m1種有不同的方法，在第2類中有m2種不同的方法……在第n類型有m3種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。

2．分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……，做第n步有mn種不同的方法；那么完成這件事共有種不同的方法。特別提醒：分類計數(shù)原理與“分類”有關(guān)，要注意“類”與“類”之間所具有的獨立性和并列性；分步計數(shù)原理與“分步”有關(guān)，要注意“步”與“步”之間具有的相依性和連續(xù)性，應(yīng)用這兩個原理進行正確地分類、分步，做到不重復(fù)、不遺漏。

3．排列：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

4．排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號表示.

5．排列數(shù)公式：特別提醒：

（1）規(guī)定0!=1

（2）含有可重元素的排列問題.

對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,則S的排列個數(shù)等于.

例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個數(shù)？其排列個數(shù).

6．組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

7．組合數(shù)公式：

8．兩個公式：①

②

例題分析

例1．新冠防疫期間，某街道需要大量志愿者協(xié)助開展防疫工作.某學(xué)校有3名男教師、3名女教師申請成為志愿者，若安排這6名志愿者到3個社區(qū)協(xié)助防疫工作，每個社區(qū)男女教師各1名，則不同的安排方式種數(shù)是（）A．18 B．36C．48 D．72【答案】B【詳解】先安排男教師、再安排女教師，各有中安排方式，故不同的安排方式共有種.故選：B．例2．第三方檢測機構(gòu)又稱公正檢驗，指兩個相互聯(lián)系的主體之外的某個客體，我們把它叫做第三方.某縣為創(chuàng)建文明城市，省里委托第三方檢測機構(gòu)對該縣進行檢測，現(xiàn)從名檢測人員中選派人到該縣甲、乙、丙三個單位檢查，要求每個單位至少派人，甲單位人，則不同的選派方法總數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分以下兩種情況討論：①乙單位人，此時，不同的選派方法數(shù)為種；②乙單位人，此時，不同的選派方法數(shù)為種.綜上所述，不同的選派方法數(shù)為種.故選：B.

跟蹤練習(xí)1．計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（）A． B． C． D．2．五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（）A．120種 B．96種 C．78種 D．72種3．有紅色、黃色小球各兩個，藍色小球一個，所有小球彼此不同，現(xiàn)將五球排成一行，顏色相同者不相鄰，不同的排法共有（）種A．48 B．72 C．78 D．844．某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）種．A．5040 B．1260 C．210 D．6305．從正方體的8個頂點中選取4個作為頂點，可得到四面體的個數(shù)為（）A． B． C． D．6．從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，則這5個不同的數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（）A． B． C． D．7．我們稱元有序?qū)崝?shù)組為n維向量，為該向量的范數(shù)，已知n維向量，其中，，記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個數(shù)為，這個向量的范數(shù)之和為.（1）求和的值；（2）求的值；（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，證明：.8．從5個男生和3個女生中選5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，分別求符合下列條件的選法種數(shù)．（1）女生人數(shù)少于男生人數(shù)；（2）某女生一定選中且擔(dān)任語文課代表，某男生也必須選中且不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．9．小平、老金、大魏、小劉、小張和小徐共6人要排成一排拍照．（1）若小張和小徐必須相鄰．則共有多少種排隊種數(shù)？（2）若大魏和小劉不能相鄰，則共有多少種排隊種數(shù)？（3）若小張和小徐必須相鄰，大魏和小劉不能相鄰，小平和老金不能相鄰，則共有多少種排隊種數(shù)？10．7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？

參考答案1．D【詳解】先把三種不同的畫捆在一起，各看成整體，但水彩畫不放在兩端，則油畫與國畫放在兩端有種不同的排法然后對4幅油畫的排放有種不同的排法對5幅國畫的排放有種不同的排法，所以不同的陳列方式有種不同的排法.故選：D.2．C【詳解】由題意可先安排甲，并按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有=24種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則乙不在排尾，也不在甲的位置，有3種，其余三人有種，所以共有=54種排法，由分類計數(shù)原理，排法共有24+54=78種，故選：C．3．A【詳解】五個小球全排列共有：種排法當(dāng)兩個紅色小球與兩個黃色小球都相鄰時，共有：種排法當(dāng)兩個紅色小球相鄰，兩個黃色小球不相鄰時，共有：種排法當(dāng)兩個紅色小球不相鄰，兩個黃色小球相鄰時，共有：種排法顏色相同的小球不相鄰的排法共有：種排法故選4．D【詳解】把7天分成一組2天，一組2天，一組3天，3個人各選1組值班，共有種．故選：D.5．A【詳解】從正方體的8個頂點中選取4個頂點有種，正方體表面四點共面不能構(gòu)成四面體有種，正方體的六個對角面四點共面不能構(gòu)成四面體有種，所以可得到的四面體的個數(shù)為種，故選：A6．C【詳解】根據(jù)題意：從10個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，則基本事件為，則這5個不同的數(shù)的中位數(shù)為4的有：，故概率.故選：C7．（1），；（2）；（3）證明見解析.【詳解】（1）范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有：，，，，它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，，.（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，在向量的n個坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個數(shù)一定是奇數(shù)，可按照含0個數(shù)為進行討論：的n個坐標(biāo)中含1個0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有個，每個的范數(shù)為；的n個坐標(biāo)中含3個0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有個，每個的范數(shù)為；的n個坐標(biāo)中含個0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有個，每個的范數(shù)為1；，①②得：，.（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，在向量的n個坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個數(shù)一定是偶數(shù)，可按照含0個數(shù)為進行討論：的n個坐標(biāo)中含0個0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有個，每個的范數(shù)為n；的n個坐標(biāo)中含2個0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有個，每個的范數(shù)為；的n個坐標(biāo)中含個0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有個，每個的范數(shù)為1；，，，兩式相加除以2得：，而，，.8．（1）5520；（2）360．【詳解】（1）從5個男生和3個女生中選5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，共有種情況，若女生人數(shù)多于男生人數(shù)，則有3個女生和2個男生擔(dān)任課代表，共有種情況，則女生人數(shù)少于男生人數(shù)的選法有：種；（2）先從剩余的6人種選三人，共有種情況，因為某女生一定選中且擔(dān)任語文課代表，某男生也必須選中且不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，所以該男生有種選擇，因此共有種選法.9．（1）240；（2）480；（3）96．【詳解】（1）若小張和小徐必須相鄰．則共有種；（2）先將除大魏和小劉外的四人全排，則有種情況，可產(chǎn)生個空，再將大魏和