330345616.2.1向量的加法運(yùn)算-2021-2022學(xué)年高一新教材配套學(xué)案（人教A版必修2 ）

6.2.1向量的加法運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運(yùn)算律．直觀想象2.掌握向量加法運(yùn)算法則，能熟練地進(jìn)行加法運(yùn)算．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算2.能夠利用向量的交換律和結(jié)合律進(jìn)行向量運(yùn)算.數(shù)學(xué)運(yùn)算導(dǎo)學(xué)·課前自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理考點(diǎn)1向量加法的定義及求和法則1.定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．對(duì)于零向量與任一向量a，規(guī)定0+eq\a\vs4\al(a)＝a＋0＝a.2.向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量a，b，作＝a，＝b，以，為鄰邊作?ABCD，則對(duì)角線上的向量＝a＋b.【名師點(diǎn)睛】三角形法則與平行四邊形法則的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別:(1)三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”。（2）三角形法則適用于所有的非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和。聯(lián)系：平行四邊形法則與三角形法在本質(zhì)上是一致的。這兩種求向量和的方法，通過向量平移能相互轉(zhuǎn)化，解決具體問題時(shí)視情況而定?？键c(diǎn)2向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【名師點(diǎn)睛】向量加法運(yùn)算律的用途由于向量的加法滿足交換律與結(jié)合律，因此多個(gè)向量的加法運(yùn)算就可按照任意的次序與任意的組合來進(jìn)行了.如（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）自主測(cè)評(píng)1.判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.()(2)＋＝0.()(3)求任意兩個(gè)非零向量的和都可以用平行四邊形法則．()【解析】(1)正確．(2)正確．(3)錯(cuò)誤．平行四邊形法則只適用于求兩個(gè)不共線的向量的和．【答案】(1)√(2)√(3)×2．化簡(jiǎn)＋＋等于()A.B.C.D.【解析】＋＋=【答案】C3．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，＋＝________.【解析】由平行四邊形法則可知＋=.【答案】探究·課堂互動(dòng)研討考點(diǎn)1向量加法運(yùn)算法則的應(yīng)用【特別提示】1.向量求和的注意點(diǎn)：(1)三角形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)也適用．(2)兩個(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量．(3)平行四邊形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)不適用．2．利用三角形法則時(shí)，要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點(diǎn)指向終點(diǎn)”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點(diǎn)”，其和向量為共起點(diǎn)的“對(duì)角線”向量．【例1】(1)如圖所示，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個(gè)向量)：①＋＝_____；②＋＝________；③＋＋＝________.(2)①如圖甲所示，求作向量和a＋b.②如圖乙所示，求作向量和a＋b＋c.甲乙【思路點(diǎn)撥】(1)先由平行四邊形的性質(zhì)得到有關(guān)的相等向量，并進(jìn)行代換，然后用三角形法則化簡(jiǎn)．(2)用三角形法則或平行四邊形法則畫圖．【解析】(1)如題圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運(yùn)算法則可知：①＋＝＋＝.②＋＝＋＝.③＋＋＝＋＋＝.【答案】①②③(2)①首先作向量＝a，然后作向量＝b，則向量＝a＋b.如圖所示．②法一(三角形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量＝a，再作向量＝b，則得向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．法二(平行四邊形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量＝a，＝b，＝c，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則＝＋＝a＋b.再以O(shè)D，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則＝＋＝a＋b＋c即為所求．【互動(dòng)探究】在例1(1)條件下，求＋.【解】因?yàn)锽C∥DF，BD∥CF，所以四邊形BCFD是平行四邊形，所以＋＝.考點(diǎn)2向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用【規(guī)律方法】向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則：1意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.,實(shí)際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.2應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.【例2】如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：（1）＋＋；（2）＋＋＋.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接，再運(yùn)用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順序后相加．【解】（1）＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；（2）＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.【變式訓(xùn)練1】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，則|＋＋＋|＝________.【解析】|＋＋＋|＝＝|＋|＝2||＝2eq\r(2).【答案】2考點(diǎn)3向量加法的實(shí)際應(yīng)用【方法總結(jié)】利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟【例3】如圖所示，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計(jì))【思路點(diǎn)撥】eq\x(\a\al(作出對(duì)應(yīng)的幾何,圖形，構(gòu)造有關(guān),向量))→eq\x(\a\al(利用三角形法則或,平行四邊形法則運(yùn)算))→eq\x(回答實(shí)際問題)【解析】如圖所示，設(shè)，分別表示A，B所受的力，10N的重力用表示，則＋＝.易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴||＝||·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5，||＝||cos60°＝10×＝5.∴A處所受的力為5N，B處所受的力為5N.【變式訓(xùn)練2】在水流速度為的河中，如果要使船以10的速度與河岸成直角地橫渡，求船行駛速度的大小與方向．【解析】如圖，表示水流方向，表示垂直于對(duì)岸橫渡的方向，表示船行駛的方向，由=+，及=且，知||=20，，即船行駛速度為，方向與水流方向成角．反饋·課末達(dá)標(biāo)練習(xí)1.＋＋等于()A.B.C.D.【解析】＋＋＝＋＋＝.【答案】C2．對(duì)于任意一個(gè)四邊形ABCD，下列式子不能化簡(jiǎn)為的是()A.＋＋ B.＋＋C.＋＋ D.＋＋【解析】在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝.【答案】C3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，則|＋|＝________.【解析】在菱形ABCD中，連接BD(圖略)，∵∠DAB＝60°，∴△BAD為等邊三角形，又∵||＝1，∴||＝1，|＋|＝||＝1.【答案】14．若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．【解析】如圖所示，作＝a，＝b，則a＋b＝＋＝.所以|a＋b|＝||＝＝8(km)，因?yàn)椤螦OB＝45°，所以a＋b的方向是東北方向．【答案】8km東北方向5．如圖所示，設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)＋；(2)＋.【解析】(1)由題圖可知，四邊形OABC為平行四邊形．由向量加法的平行四邊形法則，得＋＝.(2)由題圖可知，＝＝＝，∴＋＝＋＝.課時(shí)評(píng)價(jià)作業(yè)(一)【基礎(chǔ)鞏固】1．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，+＝2，則()A.＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0【解析】因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，則＋＝0.【答案】B2．在四邊形ABCD中，＝＋，則()A．四邊形ABCD一定是矩形B．四邊形ABCD一定是菱形C．四邊形ABCD一定是正方形D．四邊形ABCD一定是平行四邊形【解析】由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形ABCD必為平行四邊形．【答案】D3．已知平行四邊形ABCD，設(shè)＋＋＋＝a，且b是一非零向量，則下列結(jié)論：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正確的是()A．①③B．②③C．②④D．①②【解析】∵在平行四邊形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a為零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于這個(gè)向量本身，∴①③正確，②④錯(cuò)誤．【答案】A4．已知，，則向量模長(zhǎng)的最大值是____．【解析】∵，∴的最大值為.【答案】5．若G為△ABC的重心，則＋＋＝________.【解析】延長(zhǎng)AG至E交BC于D使得AG＝GE，則由重心性質(zhì)知D為GE中點(diǎn)，又為BC中點(diǎn)，故四邊形BGCE為平行四邊形．∴＝＋.又＝－，∴＋＝.【答案】6.如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且BP＝QC.求證：+＝＋.【證明】＝＋，＝＋，∴+＝＋＋＋.因?yàn)楹痛笮∠嗟取⒎较蛳喾?，所以＋?，故+＝＋＋0＝＋.【能力提升】1．向量(＋)＋(＋)＋化簡(jiǎn)后等于()A.B.C.D.【解析】(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故選C.【答案】C2．若向量a，b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)∥b且a與b方向相同B．a(chǎn)，b是共線向量，且方向相反C．a(chǎn)＋b＝0D．無(wú)論什么關(guān)系都可以【解析】因?yàn)閨a＋b|＝|a|＋|b|，所以由向量加法的三角形法則知，a∥b且a與b方向相同【答案】A3.設(shè)a=(+)+(+),b是任一非零向量,則在下列結(jié)論中,正確的為()①a∥b；②a+b=a；③a+b=b；④|a+b|<|a|+|b|；⑤|a+b|=|a|+|b|；⑥|a+b|>|a|+|b|.A.①②⑥ B.①③⑥C.①③⑤ D.③④⑤⑥【解析】因?yàn)閍=(+)+(+)=+++=+=0，故只有①③⑤正確.【答案】C4.在平行四邊形中，若，則四邊形是________．【解析】由圖知.又，∴.∴四邊形為矩形．【答案】矩形5．若向量、滿足｜｜＝8，｜｜＝12，則｜＋｜的最小值是.當(dāng)非零向量、（、不共線）滿足時(shí)，能使＋平分、間的夾角.【解析】應(yīng)用｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜解題.由于｜＋｜≥｜｜｜－｜｜｜，所以｜＋｜的最小值是｜8－12｜＝4；若＋平分、間的夾角，利用平行四邊形法則，可構(gòu)成菱形.因此｜｜＝｜｜.【答案】4｜｜＝｜｜6．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O且||＝||=1,+=+=0,＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2).求|+|與|+|.【解析】∵+=+=0,∴=,=,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又||=||=1,知四邊形ABCD為菱形又cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，∴∠DAB＝60°，∴△ABD為正三角形．∴|+|=|+|=||=2||=,|+|=||=||=1.7.求證：三角形的三條中線構(gòu)成的向量首尾相連正好構(gòu)成一個(gè)三角形．證明：如圖所示：設(shè)△的三邊對(duì)應(yīng)的向量為，，，那么，設(shè)、、分別為三邊，，的中點(diǎn)，于是中線對(duì)應(yīng)的向量分別為，，，∴.∴，故結(jié)論得證，即三角形的三條中線構(gòu)成的向量首尾相連正好構(gòu)成一個(gè)三角形．8.如圖所示，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地