2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 分式（講義）（解析版）（全國(guó)版）

分式

目錄

考點(diǎn)三分式的運(yùn)算

一、考情分析題型01分式的加減法

二、知識(shí)建構(gòu)題型02分式的乘除法

考點(diǎn)一分式的相關(guān)概念題型03分式的混合運(yùn)算

題型01分式的判斷題型04分式的化簡(jiǎn)求值

題型02利用分式有無(wú)意義的條件，求未題型05零指數(shù)幕

知數(shù)的值或取值范圍題型06分式運(yùn)算的八種技巧

題型03利用分式值為正、負(fù)數(shù)或0的條技巧一約分計(jì)算法

件，求未知數(shù)的值或取值范圍技巧二整體通分法

題型04約分與最簡(jiǎn)公式技巧三換元通分法

題型05最簡(jiǎn)公分母技巧四順次相加法

考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)技巧五裂項(xiàng)相消法

題型01利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形技巧六消元法

題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式技巧七倒數(shù)求值法

值的變化技巧八整體代入法

題型03利用分式的符號(hào)法則，將分式恒

等變形

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

在中考，主要考查分

分式的相關(guān)概念>理解分式和最簡(jiǎn)分式的概念.

式的意義和分式值為零

情況，常以選擇題、填空

分式的基本性質(zhì)>能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分與通分.題為主；分式的基本性質(zhì)

和分式的運(yùn)算考查常以

選擇題、填空題、解答

分式的運(yùn)算>能對(duì)簡(jiǎn)單的分式進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算.

題的形式命題.

考點(diǎn)一分式的相關(guān)概念

f夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理__________

分式的概念：如果A,B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子g叫做分式，A為分子，B為分母.

對(duì)于分式3來(lái)說(shuō)：①當(dāng)BWO時(shí)，分式有意義；當(dāng)B=0時(shí)，分式無(wú)意義.

②當(dāng)A=0且BWO這兩個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，分式值為0.

③當(dāng)A=B時(shí)，分式的值為1.當(dāng)A+B=O時(shí)，分式的值為-1.

④若我，則A、B同號(hào)；若番0,則A、B異號(hào).

約分的定義：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫分式的約分.

最簡(jiǎn)公式的定義：分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式.

通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母分式，這一過(guò)程叫做分式的通分.

通分步驟：①定最簡(jiǎn)公分母；②化異分母為最簡(jiǎn)公分母.

約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行恒等變形，即每個(gè)分式變形之后都不改變?cè)质降闹?

區(qū)別1）約分是針對(duì)一個(gè)分式而言，約分可使分式變簡(jiǎn)單.

2）通分是針對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的，通分可使異分母分式化為同分母分式.

最簡(jiǎn)公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次鼎的積作為公分母，這樣的

分母叫做最簡(jiǎn)公分母.

確定最簡(jiǎn)公分母的方法：

類(lèi)型方法步驟

1）取單項(xiàng)式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)；

分母為單項(xiàng)式

2）取單項(xiàng)式中每個(gè)字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母中該字母的次數(shù).

1）對(duì)每個(gè)分母因式分解；

分母為多項(xiàng)式2）找出每個(gè)出現(xiàn)的因式的最高次累，它們的積為最簡(jiǎn)公分母；

3）若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù).

1.判斷一個(gè)式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡(jiǎn)

后再判斷，例如：”就是分式.

a

2.分式的值為0,必須保證分母W0,否則分式無(wú)意義.

3.約分是對(duì)分子、分母同時(shí)進(jìn)行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式,約分要徹底，使分子、

分母沒(méi)有公因式，而且約分前后分式的值相等.

4.約分與通分都是根據(jù)是分式的基本性質(zhì).約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式，通分的關(guān)鍵是確定幾

個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母.

.提升-必考題型歸納

題型01分式的判斷

【例1】（2022?湖南懷化?中考真題）代數(shù)式|x,工，去，x2-|,i,筌中，屬于分式的有（）

511xz+43xx+2

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個(gè)判斷即

可.

【詳解】分母中含有字母的是另，三，9，

.,?分式有3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1X2022?上海?上外附中?？寄M預(yù)測(cè)）下列各式中：Y，—'---TV->+?中，

2x11m（x+y）n23

是分式的共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【提示】根據(jù)分式的概念：如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子］叫做分式，進(jìn)而解答

即可.

【詳解】空，-2―，紅是分式，共有3個(gè)，

xm（x+y）n

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的概念，解題的關(guān)鍵是掌握分式的分母必須含有字母.

【變式1-2］（2021?四川遂寧?中考真題）下列說(shuō)法正確的是（）

A.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

B.平行四邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形

C.在代數(shù)式32x,985,-+2b,；+y中，±+2b是分式

ana3JaJia

D.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4

【答案】A

【提示】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷

即可.

【詳解】解：A.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故選項(xiàng)正確；

B.平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.在代數(shù)式工，2x,985,-+2b,；+y中，。2b是分式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

aJia3Jaa

D.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)等知識(shí)點(diǎn),

熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

方法技巧

判斷式子是不是分式是從原始形式上看，看分母是否還有字母，而不是從化簡(jiǎn)后的結(jié)果上看，如：

4a

一就是分式，而不是整式.

a

題型02利用分式有無(wú)意義的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍

【例2】（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）使分式專有意義的x的取值范圍是.

【答案】X。5

【提示】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案.

【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，

即x—5*0,解得x力5,

故答案為：x片5.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義分母不為零是關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）在函數(shù)y=表中，自變量x的取值范圍是.

【答案】X7-|

【提示】根據(jù)分式中分母不能等于零，列出不等式5x+3K0,計(jì)算出自變量x的范圍即可.

【詳解】根據(jù)題意得：5x+370

5xH—3

???x2H——3

5

故答案為：Xk-|

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，分式有意義的條件，分母不為零，解答本題的關(guān)鍵是列出不

等式并正確求解.

【變式2-2］（2023?河南南陽(yáng)?校聯(lián)考三模）若代數(shù)式上無(wú)意義，則實(shí)數(shù)x的值是—.

【答案】3

【提示】根據(jù)分式無(wú)意義的條件得出3-x=0,再求出答案即可.

【詳解】解：要使代數(shù)式上無(wú)意義，

3—x=0,

解得：x=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式無(wú)意義的條件，能熟記分式無(wú)意義的條件是解此題的關(guān)鍵，當(dāng)分母B=0時(shí)，式子

5無(wú)意義.

【變式2-3］（2023?山東臨沂?一模）要使分式交二無(wú)意義，則x的取值范圍是_______.

X+1

【答案】x=-l

【提示】根據(jù)分式無(wú)意義的條件是分母為0進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：.??分式史二無(wú)意義，

X+1

x+1=0,

/.X=—1.

故答案為：X=-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式無(wú)意義的條件，熟知分式無(wú)意義的條件是分母不為。是解題的關(guān)鍵.

【變式2-4］（2023?湖北恩施?一模）函數(shù)y=旦的自變量x的取值范圍是（）

Jx-3

A.xH3B.x>3

C.xZ—1且xH3D.x>—1

【答案】c

【提示】根據(jù)分式有意義的條件與二次根式有意義的條件得出不等式組，解不等式組即可求解.

【詳解】解：..?旦有意義，

X—3

x+1>0,x-30,

解得X>-1且x大3,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，掌握分式有意義的條件與二次根式有意義的條件是解題的

關(guān)鍵.

方法技巧

1.分式有意義的條件：分式的分母不等于0.

2.分式無(wú)意義的條件：分式的分母等于0.

題型03利用分式值為正、負(fù)數(shù)或0的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍

【例3】（2023?浙江湖州?中考真題）若分式的值為0,則x的值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

【答案】A

【提示】分式的值等于零時(shí)，分子等于零，且分母不等于零.

【詳解】解：依題意得：x—1=0且3x+1H0,

解得x=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件.分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

2

【變式3-1］（2023?四川涼山?中考真題）分式S的值為0,貝氏的值是（）

x-1

A.0B.-1C.1D.0或1

【答案】A

【提示】根據(jù)分式值為。的條件進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：..?分式"的值為0,

X-1

.（x2-x=0

*'lx-1豐0'

解得x=0,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0,分母不為0是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?河北廊坊??？既＃┤舴质交浫?0,則（）

m2-16

A.m=4B.m=-4

C.m=+4D.不存在m,使得呼，=0

m2-16

【答案】D

【提示】根據(jù)題意可得，I?=,此方程組無(wú)解.

（m2-1670

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

（|m|-4=0

tm2-16*0（

故無(wú)解，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式值為零的條件，熟練掌握分式的值為零的條件為：分子為。，分母不為0,是解題

的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2021?江蘇揚(yáng)州?中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為。的是（）

1

A.x+1B.x2—1C.—D.（x+I）2

【答案】C

【提示】分別找到各式為。時(shí)的x值，即可判斷.

【詳解】解：A、當(dāng)x=-l時(shí)，x+l=0,故不合題意；

B、當(dāng)*二±1時(shí)，x2-l=0,故不合題意；

C、分子是1,而今0,則三切，故符合題意；

D、當(dāng)x=-l時(shí)，（x+1）2=0,故不合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件，代數(shù)式的值.若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分

子為0；（2）分母不為0.這兩個(gè)條件缺一不可.

【變式3-4]（2021南充市一模）若分式與占的值是負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）

xz+l

A.x>-3B.x>2-C.x<3-D.x<2-

2323

【答案】B

【提示】根據(jù)題意列出不等式即可求出X的取值范圍.

【詳解】解：由題意可知：2-3x<0,且x2+l>0恒成立，

?—

??X一,

3

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的值，當(dāng)分子和分母同號(hào)時(shí)，分式值為正數(shù)，當(dāng)分子和分母異號(hào)時(shí)，分式值為負(fù)數(shù).

【變式3-5】分式/?的值為負(fù)數(shù)的條件是（）

X3-2X2+X

A.x<3B.x>0且xH1

C.xV1且xW0D.0<x<3,且xH1

【答案】D

【提示】根據(jù)乘法公式，化簡(jiǎn)分式，分式的值要為負(fù)數(shù)，則分子、分母為異號(hào)，即可求出答案.

x—3

x(x2-2x+1)

x—3

一X(X-1)2'

因?yàn)榉质降闹禐樨?fù)數(shù)，

\-3>0儼一3<0

Ax<0或者x>0

.xW1(xW1

0<x<3且xW1

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，分式的取值與分子、分母的關(guān)系，且分母不能為零，理解和掌握分式取值

與分子、分母的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式3-6】若分式合的值大于零，則x的取值范圍是_____.

（X—

【答案】x>一2且xW1

【提示】由已知可得分子x+2>0,再由分式的分母不等于零，得到x-l用，進(jìn)而求出x的取值.

【詳解】解：?.?分式溪三的值大于零，

（X—

Ax+2>0,

.".x>-2,

Vx-l#0,

故答案為x＞-2且Xg.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的值；熟練掌握分式求值的特點(diǎn)，特別注意分式的分母不等于零這個(gè)隱含條件是解

題的關(guān)鍵.

【變式3-7】下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）

A.當(dāng)x=2時(shí)，＞的值為零B.當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，備的值總為正數(shù)

C.無(wú)論X為何值，三不可能得整數(shù)值D.當(dāng)x大3時(shí)，T有意義

x+lX

【答案】B

【提示】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0;分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號(hào)；分式值

是0的條件是分子等于0,分母不為0即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A、當(dāng)x=2時(shí)，＞無(wú)意義，故本選項(xiàng)不合題意；

B、當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，裊的值總為正數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

x2+l

C、當(dāng)x=0或2時(shí)，三能得整數(shù)值，故本選項(xiàng)不合題意；

X+1

D、當(dāng)xHO時(shí)，三有意義，故本選項(xiàng)不合題意；

X

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件.分式有意義的條件是分母不等于0.分式值

是。的條件是分子是0,分母不是0.

方法技巧

1）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0,這兩個(gè)條件必須同時(shí)考慮，進(jìn)而求解問(wèn)題.

2）分式值為正的條件：分式的分子、分母同號(hào).

3）分式值為負(fù)的條件：分式的分子、分母異號(hào).

題型04約分與最簡(jiǎn)分式

【例4】（2023?甘肅蘭州?中考真題）計(jì)算：—=（）

a-5

A.a—5B.a+5C.5D.a

【答案】D

【提示】分子分解因式，再約分得到結(jié)果.

【詳解】解:

a—5

a(a—5)

a—5

a

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了約分，掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2022?貴州銅仁?中考真題）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

233

A.|-2|=2B.a2.a-3=LC.^21=a+1D.（a）=a

aa—1

【答案】D

【提示】根據(jù)絕對(duì)值，同底數(shù)塞的乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，分式的性質(zhì)，幕的乘方計(jì)算法則求解即可.

【詳解】解：A、|-2|=2,計(jì)算正確，不符合題意；

B、a2-a-3=a-1=計(jì)算正確，不符合題意；

a

C、么l=（a+l）（aT）=a+l,計(jì)算正確，不符合題意；

a-1a-1

D、（a2）3=a6,計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值，同底數(shù)幕的乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，分式的性質(zhì)，幕的乘方計(jì)算法則，熟

知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023?河北保定?模擬預(yù)測(cè)）如圖，若x為正整數(shù)，則表示分式會(huì)也的值落在（)

X2+3X+2

①②③④

，、/、/、/、

卜/、W/、W/、W/、NA

-10123

A.段①處B.段②處C.段③處D.段④處

【答案】C

【提示】先化簡(jiǎn)分式，再確定分式值的范圍即可.

■、江在々刀2X2+4X2X（X+2）2X2（X+1）-22

【詳解】解：不壬=詢而=M=F^=N2—肅＜2n,

「X為正整數(shù)，

；.x的最小值為1,

???當(dāng)x=l時(shí)，告=后=1，

2

.FW2一有<2,

分式卷的值落在段③處,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)，解題關(guān)鍵是能夠運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)并確定分式值的范圍.

【變式4-3］（2023?安徽?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：立吧，其中x=VI-1.

x+1

【答案】x+1；V2

【提示】先根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解.

【詳解】解：立吧

X+1

（X+I）2

―x+1

=X+1,

當(dāng)x=&—1時(shí)，

.?.原式=企-1+1=V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行求解.

【變式4-4］（2021?河北?模擬預(yù)測(cè)）下列分式屬于最簡(jiǎn)分式的是（）

A.等B.口C.3D.士堡

5x2y-xx+yx+3y

【答案】c

【提示】利用最簡(jiǎn)分式的定義：分式分子分母沒(méi)有公因式，判斷即可.

【詳解】A、答=詈，故此選項(xiàng)不符合題意；

5x25x

B、黃=*=-1，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、立是最簡(jiǎn)分式，故此選項(xiàng)符合題意；

x+y

口、立羋=（x+3*-3y）=x_3y,故此選項(xiàng)不符合題意.

x+3yx+3y

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了最簡(jiǎn)分式，熟練掌握最簡(jiǎn)分式的定義是解題的關(guān)鍵.

方法技巧

分式的約分子和分母必須都是乘積的形式才能進(jìn)行約分，約分要徹底，使分子、分母沒(méi)有公因式.

確定分子、分母的公因式的方法：

分子、分母類(lèi)型具體方法

單項(xiàng)式1）系數(shù)取各系數(shù)的最大公約數(shù);2）相同字母取字母的最低次哥.

多項(xiàng)式先把分子、分母進(jìn)行因式分解,再確定公因式

題型05最簡(jiǎn)公分母

【例5】（2021?河北唐山?一模）要把分式高與照通分，分式的最簡(jiǎn)公分母是（）

A.2a2b2cB.2a3b3C.2a3b3cD.6a3b3c

【答案】A

【提示】根據(jù)最簡(jiǎn)公分母定義是各分母的最小公倍數(shù)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)最簡(jiǎn)公分母是各分母的最小公倍數(shù)，

???系數(shù)2與1的公倍數(shù)是2,a?與a的最高次幕是a?,b與bZ的最高次嘉是b?,對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的

字母c直接作公分母中的因式，

.,.公分母為：2a2b2c.

故選擇：A.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)公分母，熟練掌握最簡(jiǎn)公分母是解題關(guān)鍵.

1

【變式5-1］（2021?內(nèi)蒙古?二模）分式擊導(dǎo)的最簡(jiǎn)公分母是+人=

-a2+l

1

【答案】a(l+a)(l—a)

a(l+a)(l-a)

【提示】先把兩個(gè)分式分解因式,然后通分，即可得到答案；然后進(jìn)行計(jì)算求值即可.

111_1

【詳解】解：：

-a2+l(l-a)(l+a)a2+aa(l+a)

11a11-a

-a2+l-(l-a)(l+a)-a(l-a)(l+a)'a2+aa(l+a)(l-a)

，焉，夫的最簡(jiǎn)公分母為：a（l+a）（l-a）

111a+l-a1

**-a2+la2+aa2+aa(l+a)(l-a)a(l+a)(l-a)

1

故答案為：a(l+a)(l-a),

a(l+a)(l-a)

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和公分母，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解

考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)

?夯基?必備基礎(chǔ)龍識(shí)儂

AAer

分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.即=—（c^o）

BB.C

或3含（”0）,其中A,B,C是整式.

分式符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè),分式的值不變，即：金=胃=-?

D-DD

A

-B

易易錯(cuò)

運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式;

②隱含條件：分式的分母不等于0.

提升-必考題型歸納

題型01利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形

【例1】（2023?廣東茂名?一模）下列等式中正確的是（）

A.2=上=WC”="D."可

bb+bbb+1bb-1bb2

【答案】A

【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不變，逐個(gè)判斷

即可解答.

【詳解】解：言=票=三，故A正確；

言與（不一定相等，故B錯(cuò)誤；

b+l0

B與（不一定相等，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)（＜°時(shí)，0，故D錯(cuò)誤，

bb2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2023?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）下列分式從左到右變形錯(cuò)誤的是（）

A.￡=工B.三=四C.—義=白D.^2^=4

5c54a4aba-bb-aa2+4a+4a+2

【答案】B

【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：A、g原式變形正確，不符合題意；

B、當(dāng)b=0時(shí)，W=S不成立，原式變形錯(cuò)誤，符合題意；

4a4ab

C、—々=--,原式變形正確，不符合題意；

a—bb—a

D、獸三=半黑=上|,原式變形正確，不符合題意；

a2+4a+4（a+2）2a+2

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)，分式的分子和分母同時(shí)乘

以或除以同一個(gè)不為。的整式，分式的值不變.

方法技巧

分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形和分式運(yùn)算的理論依據(jù)，正確理解和熟練掌握這一性質(zhì)是學(xué)好分式

的關(guān)鍵，利用分式的基本性質(zhì)可將分式恒等變形，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的分式，簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.

題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

【例2】（2023南通市二模）如果把分式當(dāng)中的x和y都擴(kuò)大到原來(lái)的20倍，那么分式的值（）

A.擴(kuò)大到原來(lái)的20倍B.縮小到原來(lái)的媒

C.擴(kuò)大到原來(lái)的2倍D.不變

【答案】D

【提示】根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】把x和y都擴(kuò)大20倍后，原式變?yōu)榻z泮_理等=日曳，

20x—2Oxx

即約分后仍為原式，分式的值不變.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］如果將分式答中x,y都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則分式的值（）

A.擴(kuò)大到原來(lái)的2倍B.不變

C.擴(kuò)大到原來(lái)的4倍D.縮小到原來(lái)的;.

【答案】A

【提示】x,y都擴(kuò)大成原來(lái)的2倍就是變成2x和2y.用2x和2y代替式子中的x和y,看得到的式子與原

來(lái)的式子的關(guān)系.

【詳解】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：與箸1=空等，

則分式的值擴(kuò)大為原來(lái)的2倍.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原

式比較，最終得出結(jié)論.

【變式2-2］（2022?河北?一模）如果要使分式二，的值保持不變，那么分式應(yīng)（）

a-3b

A.a擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍B.a,b同時(shí)擴(kuò)大3倍

C.a擴(kuò)大2倍，b縮小3倍D.a縮小2倍，b縮小3倍

【答案】B

【提示】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后得出答案即可.

【詳解】A.a擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍，盧普;=—大/，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

2a—3x3b2a—9ba—3b

B.a,b同時(shí)擴(kuò)大3倍，/普；=$=故該選項(xiàng)正確，符合題意；

3a-3x3b3a-9ba-3b

2x2a4a2a______

C.a擴(kuò)大2倍，b縮小3倍，2a—3x4=”口故該選項(xiàng)不正確，不行合題思；

D.a縮小2倍，b縮小3倍上史亞=3；中=1，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

2a-3x-b2a-ba-3b

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能正確根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵.

【變式2-3X2022武安市中考二模）若m,n的值均擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）.

.m+3cm+3

A.---C.------D.—

nB?碧n+3m-n

【答案】B

【提示】根據(jù)m,n擴(kuò)大到3倍為：3m,3n；把3m,3n依次代入選項(xiàng)，進(jìn)行判斷，即可.

【詳解】Vm,n的值均擴(kuò)大到原來(lái)的3倍為3m,3n

A3m+3

.,不符合題意;

3nn

3x3m

B、察，符合題意；

2x3n2n

3m+3

C、7*不符合題意;

3n+3

313

D、,不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì).

題型03利用分式的符號(hào)法則，將分式恒等變形

【例3】（2022年湖北省黃岡咸寧孝感三市中考模擬）不改變分式的值，使分子、分母的第一項(xiàng)系數(shù)都是正

數(shù)，則三黑一

【答案】探

【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案.

-2a+b_-(2a-b)_2a-b

【詳解】解:

—a—3b—(a+3b)a+3b

故答案為：鬻

【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【變式3-1］（2023?河北石家莊?二模）若巳=A（mHn）,則A可以是（）

K.—B.—C.—D.—

m-3m+3-mm2

【答案】c

【提示】用舉反例結(jié)合分式的基本性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】A.如：衿力3一不上故此項(xiàng)錯(cuò)誤；

2—32m—3m

1+31n+3n

B.如:------------W-故此項(xiàng)錯(cuò)誤;

2+32m+3m

-n_-nx(-l)2故此項(xiàng)正確;

c.-mmx(-l)

i212

D.如:7----W-9、力工故此項(xiàng)錯(cuò)誤.

(一2)22mzm

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，掌握基本性質(zhì)，會(huì)用舉反例的方法進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022邢臺(tái)市新河縣二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式分可變形為（）

cl—U

?a—a-a—a

A?啟B.京C,D.—

【答案】D

【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】言=一提=目，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

考點(diǎn)三分式的運(yùn)算

夯基-必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

分式運(yùn)算說(shuō)明

1）同分時(shí)，分與不變,分子相加M.■/.

CCC

分式的加《4法

2）異分母，先通分.化為同分理的分式.種加及.即，彳±：=堂-

1）祭法：用分子的枳作為電分批的積作為權(quán)的分值.即，：Dtf=Bl*?a

分式的疑除法

2）除法t把13式的分子、分母位置.再與檢除式利?.Hh：+；=彳?9=詈

分式的乘力把分子、分母分別乘人，即：

運(yùn)口域序：先算乘方，再W乘除，最后算加仃括8的，先算括號(hào)里的.靈話運(yùn)用運(yùn)燈

分式的混合運(yùn)算

⑸.運(yùn)恒蚣僵媯縉______________________________________________

1.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時(shí)應(yīng)確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母.

2.整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式.

3.分式與分式相乘，

①若分子、分母是單項(xiàng)式，則先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡(jiǎn)分式或整式；

②若分子、分母是多項(xiàng)式，則先把分子、分母分解因式，看能否約分，再相乘.

4.當(dāng)分式與整式相乘時(shí),要把整式與分子相乘作為積的分子,分母不變.

5.乘方時(shí),一定要把分式加上括號(hào),并且一定要把分子、分母分別乘方.

6.分式乘方時(shí),確定乘方結(jié)果的符號(hào)與有理數(shù)乘方相同，即：

①正分式的任何次幕都為正；②負(fù)分式的偶次幕為正,奇次幕為負(fù).

7.分式乘方時(shí),分式的分子或分母是多項(xiàng)式時(shí),應(yīng)把分子、分母分別看作一個(gè)整體.

如.（與丫=/7a-

\a-bJ（a-b）z十a(chǎn)2_〃

8.分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)

算.

提升-必考題型歸納

題型01分式的加減法

【例1】(2023?天津?中考真題)計(jì)算」7-2的結(jié)果等于()

x-1x2-l

—1B.x—1C.—D.-z—

x+lX2-l

【答案】C

【提示】根據(jù)異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

r詳解】解.」.....-=——--------?=x+i-2__匚_=1.

叫什岬/用午.x-1x2-l(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)(x-1)(x+l)(x-1)(x+l)x+l'

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算.

【變式1-1】(2021?黑龍江大慶?中考真題)已知b>a>。，則分式評(píng)緇的大小關(guān)系是()

aa+1a_a+l

A.—<-----D.不能確定

bb+1bb+1c?公震

【答案】A

【提示】將兩個(gè)式子作差，利用分式的減法法則化簡(jiǎn)，即可求解.

【詳解】解?。四=迎1上鮑m=a-b

L訐用牛，用牛?匕b+1b(b+l)b(b+l)

*.*b>a>0,

aa+1a-b八

=-------<U

bb+1---b(b+l)

aa+1

-<-----,

bb+1

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的大小比較，掌握作差法是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023?上海?中考真題)化簡(jiǎn)：t-髭的結(jié)果為_(kāi)_____

1-x1-X

【答案】2

【提示】根據(jù)同分母分式的減法計(jì)算法則解答即可.

【詳解】解：3一二=》=—=2；

1-x1-x1-x1-x

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了同分母分式減法計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【變式「3】(2023?吉林?中考真題)下面是一道例題及其解答過(guò)程的一部分，其中M是單項(xiàng)式.請(qǐng)寫(xiě)出單

項(xiàng)式M,并將該例題的解答過(guò)程補(bǔ)充完整.

例先化簡(jiǎn)，再求值：二-J，其中a=100.

2

解：原式=a上1

a(a+l)

【答案】M=a,蓋，過(guò)程見(jiàn)解析

【提示】先根據(jù)通分的步驟得到M,再對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后代入a=100計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意，第一步進(jìn)行的是通分,

.MMa_a2

a+la(a+l)a(a+l)’

/.M=a,

庫(kù)比_H21_a2—l_(a+l)(a-1)_a_1_〔1

、工a(a+l)a(a+l)a(a+l)a(a+l)aa'

原式二1-'99

當(dāng)a=100時(shí),

100100

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.

114

+>

----

【變式1-4](2023?江蘇南泉?校聯(lián)考三模)已知a>0,b>0,證明:aba+b

【答案】見(jiàn)解析

【提示】根據(jù)作差法比較大小，然后根據(jù)分式的加減進(jìn)行計(jì)算得出工+(-320即可得證.

aba+b

【詳解】證明：?.?1+'T=b(a+b)q(a：,)-4ab=個(gè)黑,

aba+bab(a+b)ab(a+b)

又a>0,b>0,

(a—b)2>0,ab>0,a+b>0.

；?甘黑23

ab(a+b)

?一+3"A?

aba+b

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，熟練掌握分式的加減運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【變式1-5](2021?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題)已知高一白=音片，求4、B的值.

【答案】A的值為4,B的值為-2

【提示】根據(jù)分式、整式加減運(yùn)算，以及二元一次方程組的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

rj羊角刀]_______B_"(%-2)口(%-1)

L許用牛1二一2^x~(x-l)(x-2)+(%-1)(%―2)，

.4(%-2)+8(%-1)_2%—6

(X—1)(%—2)(X—1)(%—2)'

：.A{x-2)+B(x-1)=2x-6,

即Q4+B)x-(2A+B)=2x-6.

.fB=2

Fz+8=6'

解得：仁

的值為4,B的值為-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式、整式、二元一次方程組的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運(yùn)算、整式加

減運(yùn)算、二元一次方程組的性質(zhì)，從而完成求解.

題型02分式的乘除法

【例2】（2023?河北?中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A.xy6B.xy5C.x2y5D.x2y6

【答案】A

【提示】根據(jù)分式的乘方和除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：x3Q2=x3.g=xy6-

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘方，掌握公式準(zhǔn)確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?內(nèi)蒙古?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.a3+a3=a6B.a+b-?=aC.-.......-=2D.f—=—

ba-la-lka27a5

【答案】C

【提示】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，分式的乘除混合運(yùn)算，分式的加減，分式的乘方運(yùn)算逐項(xiàng)提示.

【詳解】A.a3+a3=2a3,故不符合題意；

B.a+b《=2,故不符合題意；

bb2

C.W—三=2,故符合題意；

a-la-l

D.限）3=捺,故不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，分式的乘除混合運(yùn)算，分式的加減，分式的乘方運(yùn)算，熟練掌握分式的

運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2022?河北石家莊?一模）若就+己，運(yùn)算的結(jié)果為整式，貝『'口”中的式子可能是（）

A.y—xB.y+xC.2xD.1

【答案】C

【提示】先根據(jù)分式除法法則計(jì)算，再根據(jù)結(jié)果為整式，得出口中的式子可能是，即可得出答案.

【詳解】解：言+前

□.（x+y）（y-x）

x+yx

_n（y-x）

???運(yùn)算結(jié)果為整式，

???□中的式子是含量有X因式的式子,

，□中的式子可能是2x,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查分式乘除運(yùn)算，熟練掌握分式乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3】關(guān)于式子——+上，下列說(shuō)法正確（）

X2+6X+9X+3

A.當(dāng)x=3時(shí)，其值為0B.當(dāng)x=-3時(shí)，其值為2

C.當(dāng)0<x<3時(shí)，其值為正數(shù)D.當(dāng)x<0時(shí)，其值為負(fù)數(shù)

【答案】A

【提示】根據(jù)分式的乘除法法則.平方差公式.完全平方公式對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)化簡(jiǎn)后的分式對(duì)選項(xiàng)一

一進(jìn)行提示，即可得出答案.

X2-9x(x+3)(x—3)x+3x—3

【詳解】解:ZX--

X2+6X+9x+3(x+3)2x

A.當(dāng)x=3時(shí)，原式=瞪=0,故該說(shuō)法正確，符合題意;

B.當(dāng)x=-3時(shí)，分母x+3=-3+3=0,原式?jīng)]有意義，不能計(jì)算求值，故該說(shuō)法不正確，不符合題意;

C.當(dāng)0<x<3時(shí),則x-3<0,

...平<0,故該說(shuō)法不正確，不符合題意；

D.當(dāng)x<0時(shí)，則x-3