2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 利用二級結(jié)論秒殺橢圓雙曲線中的選填題（新高考專用）

■題型

【考點(diǎn)目錄】

考點(diǎn)一：橢圖焦點(diǎn)三角形的面積秒殺公式

考點(diǎn)二中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）秒殺公式

考點(diǎn)三：雙嗨焦點(diǎn)到漸逅戔的距離為b

考點(diǎn)四：雙崎中，焦點(diǎn)三角形的內(nèi)亡、/緘跡方程為x=?-6<y<bj，H0）.

考點(diǎn)五：橢圓與雙艇共焦點(diǎn)的離，牌關(guān)系秒殺公式

考點(diǎn)六：■陲旋防焦盤弦求離疝蝌保公式

考點(diǎn)七：雙照中定比分硒線求離，薛秒殺公式

考點(diǎn)一：橢圖焦點(diǎn)三角形的面積為S=Ntan9（8為焦距對應(yīng)的張角）

證明：設(shè)附=皿冏="

m+n=2a(l)加@2sin^cos^

22b=6

<(2c)=m+rf-2mncos0(2)-(lf-(2)：==工“&='i+cos^'，「葭

?2cos*一

=”"Wn9(3)2

t2

雙蟠中焦點(diǎn)三角形的面積為S=、（，為焦距對應(yīng)的張角）

U

tan—

2

【精選例題】

22

【例1】（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題〉已知石，片為橢圓C：、+2_=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,O

164

為。上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，目|尸0=國用|,則四邊形兩。片的面積為

2

【例2】設(shè)耳，理是雙曲線。：/一/1的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上目|。尸|=2,則△兩工

的面積為（）

B.3D.2

【跟蹤W練】

L設(shè)P為橢圓:+《=1上一點(diǎn)，用后為左右焦點(diǎn)，若/取與=60',則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）

A.至B.+空C.蛀D.+9

4444

2.設(shè)雙曲線C。-3=1（。＞0,方＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，離心率為0P是C上一點(diǎn)，且

月P_L月P.若△冏￡的面積為4,貝必=（）

A.1B.2C.4D.8

考點(diǎn)二：中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）秒殺公式

若橢圓與直線，交于月3兩點(diǎn)，M為月3中點(diǎn)，且。與心,斜率存在時(shí)，則%了?！?一：；（焦點(diǎn)在x

軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，心Kou=一?

若月8過橢圓的中心，P為橢圓上異于43任意一點(diǎn),（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在J'軸

上時(shí)，kPA-K=--y

PBb

下述證明均選怪焦點(diǎn)在工軸上的橢圓來證明,其他情況形式類似.

直徑問題證明：設(shè)/皿因?yàn)?3過原點(diǎn)，由對稱性可知，點(diǎn)所以

f22

容帝二1(1)

Jo+=Jo'一

J'o-Ji.又因?yàn)辄c(diǎn)P（X。＞y）,J（X,?乂）在橢圓上，所以有0

xxXo+XiX2-X120+五

o-iO1(2)

b2

222

兩式相減得法=一?所以“5=4

=

中點(diǎn)弦問題證明：設(shè).4（N，乂），8（口外），"X0，K）則橢圓.-

=

“=導(dǎo)含㈡至=號=會1

2

雙中焦點(diǎn)在》軸上為左0U-/8=r，焦點(diǎn)在y軸上為-ELB=M，

ab

【精選例題】

22

【例1】已知橢圓G:%今=1（。＞。＞0）的右焦點(diǎn)為83,0）,過點(diǎn)尸的直線交橢圓于.4,B兩點(diǎn).若一45

的中點(diǎn)坐標(biāo)為3,-1）,則G的方程為

【例2】過雙曲線C:t-二=1（八0,方＞0）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于42兩點(diǎn)，D為AB

丁b~

中點(diǎn)，若占/如《，則C的離心率為（）

A.y/6B.2C.y/3D.g

【例3】（多演）已知橢圓C:巨浮@小。）的左、右頂點(diǎn)分別為小4,上、下頂點(diǎn)分別為5,

風(fēng).點(diǎn)”為。上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且,\以，」地，a坦，MB：四條直線的斜率之積大于則c的

離心率可以是

出

AB-T

3D-T

【跟蹤可練】

L已知M為雙曲線J-9=l（a＞0力＞0）的右頂點(diǎn)，A為雙曲線右支上一點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于雙曲線中心O的對稱

點(diǎn)為3,設(shè)直線一必、皿5的傾斜角分別為a、B＞且tanatan￡=：,則雙曲線的離心率為（）

A.忑）B.y/3C.手D.至

2.已知.4,B,P是雙曲線工一2=1（。＞0,b＞0）上不同的三點(diǎn)，目.4,3連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線

tr

PA,尸5的斜率乘積為則該雙曲線的離心率為（）

A.0B.變C.V2D.它

223

3.已知雙曲線￡-1=1（。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、月，過左焦點(diǎn)石作斜率為2的直線與雙曲線交于.4,

46-

B兩點(diǎn)，P是.45的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OP的斜率為,則雙曲線的離心率是（）

4

A.理B.2C.D.J1

22"

考點(diǎn)三：雙崢就倒海近線的距離為b

【精選例題】

【例1】若雙曲線￡-￡=1的焦點(diǎn)為2,0）到其漸近線的距離為弟，則雙曲線的漸近線方程為（）

a'b-

A.J=±3xB.y=±^3xC.『士*D.y=±^x

【例2】已知/是雙曲線C：x2-磔，2=3w冽＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)尸到C的一條漸近線的距離為

A.出B.3C.舊mD.3m

【跟蹤勘練】

fV2

1.已知雙曲線—-^-=1（?>0!6>0）的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B

ab

兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為4和4，且4+心=6,則雙曲線的方程為（）

X2V2,X2V2X3V2X2v2

A.----=1B.....-=1C....-=1D.-----=1

4121243993

2.已知雙曲線:一』=1（。>0力>0）的兩條漸近線均和圓C：f+/一6》+5=0相切，且雙曲線的

ab

右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為

【精選例題】

【例1】已知雙曲線。推-（=19>0/>0｝的左、右焦點(diǎn)分別為犀月，離心率為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離

為也.過月作直線/交雙曲線C的右支于43兩點(diǎn)，若H,G分別為△明月與△即理的內(nèi)心，則|HG|的取值

范圍為（）

A.[2a4]B.[a2）C.卜苧）D12衣孚

【例2】（多選題）雙曲線工-1=1的左、右焦點(diǎn)分別犀工，具有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線在第一象限

a-b-

的交點(diǎn)為尸，雙曲線和橢圓的離心率分別為0，4,△冏月的內(nèi)切圓的圓心為7,過月作直線H的垂線，垂

足為。，則（）

A.1到J軸的距離為。B.點(diǎn)D的軌跡是雙曲線

C.若|。刊=|即|,則±+3=5D.若又也-乂岫2卜“…則1<勺42

【例3】（多選題）已知三月分別為雙曲線犬-2r=1的左、右焦點(diǎn)，過理的直線與雙曲線的右支交于45

兩點(diǎn)，記△"月的內(nèi)切圓。,的面積為z,△即號的內(nèi)切圓Q的面積為名，則（）

A.圓q和圓儀外切B.圓心。在直線XO上

c.StS2=eD.￡+區(qū)的取值范圍是[2/3可

【跟蹤ill練】

L已知雙曲線方程是r-《=1,過E的直線與雙曲線右支交于c,D兩點(diǎn)（其中C點(diǎn)在第一象限），設(shè)點(diǎn)

V、N分別為△（?耳月、△期月的內(nèi)心，貝”的范圍是_____.

2.（多選題）已知雙曲線C二-]=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、￡,離心率為2,焦點(diǎn)到漸

aD

近線的距高為質(zhì).過月作直線/交雙曲線C的右支于A、B兩點(diǎn)，若H、G分別為△.哲月與月￡的內(nèi)心,

貝八）

A.C的漸近線方程為J=±、8xB.點(diǎn)H與點(diǎn)G均在同一條定直線上

C.直線褥不可能與/平行D.|HG|的取值范圍為2衣竽）

考點(diǎn)五：已知具有公共焦點(diǎn)的橢圖與雙曲線的離心率分別為。1，。2,尸是它們的一個(gè)交點(diǎn)，目

/罵時(shí)=20,W（—）2+（—）2=1.

e1。2

【精選例題】

【例1】已知R,居是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，目N耳盟=g,則橢圓和雙曲

線離心率倒數(shù)之和的最大值為（）

A.-B.拽C.4D.坡

333

22j2

【例2】（多選題）已知橢圓與雙曲線。"/=1（4>0,4>0）有公共焦點(diǎn)區(qū)（左

焦點(diǎn)），氏（右焦點(diǎn)），目兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為尸，若例是以冏為底邊的等腰三角形，C,

c：的離心率分別為4和4,且0=2,則（）

3

A.始一6：=&+抬D.cosZ/^PJ5]=-

【跟蹤ill練】

I.已知尸是橢圓G：二+￡=1（。>6>0）的右焦點(diǎn),.4為橢圓C的下頂點(diǎn),雙曲線q：工-二=1（那>0,

<rlrnrir

”>o）與橢圓C共焦點(diǎn)，若直線AF與雙曲線q的一條漸近線平行，C,c的離心率分別為q,彩，則：+；

的最小值為.

考點(diǎn)六：設(shè)圖錐曲線。的焦點(diǎn)廠在A軸上，過點(diǎn)F且斜率為左的直線/交曲線。于43兩點(diǎn)，若

AF=>0）,則°=J1+左，4~~-，即|ecos8|=（~--

/t+12+1

【精選例題】

1例知橢圓C:=+：=1過焦點(diǎn)F的直線，與橢圓。交于.4,5兩點(diǎn)（點(diǎn).4位于'軸上方），若簫=再，

43

貝」直線/的斜率上的值為.

【例2】已知尸是雙曲線二-在=1（。>0,匕>0）的右焦點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)尸目與雙曲線相交于兩點(diǎn)，

a-b-

記該雙曲線的離心率為一直線/的斜率為無，若赤=不并，則（）

A.8e--^=1B.g--8^=lC.9/-￡=1D.尸一9/=1

【例3】已知R,理是雙曲線C：三-1=1（4>0/>0）的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)不傾斜角為30。的直線與雙曲

b-

線的左，右兩支分別交于點(diǎn)A,3.若|第卜|即則雙曲線。的離心率為（）

A.母B.y/3C.2D.J5

【跟蹤勘練】

1斜率為！的直線7過橢圓C：二+二=1（。>。>01的焦點(diǎn)尸，交橢圓于45兩點(diǎn)，若萬"方，則該橢圓

zCTuJ

的離心率為.

2.已知雙曲線E-的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，過點(diǎn)片且傾斜角為［的直線/與雙曲線的左、

6Tir、0

右支分別交于點(diǎn)A,B,且|第卜|B工則該雙曲線的離心率為（）

A.0B.鄧C.2&D.2書

XTy2b

考點(diǎn)七：揖雙照方程為丁一七=1（.＞0/＞0）的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且與漸踏y=_x垂直的直

aba

線分別交兩條葡滕于己。兩點(diǎn).

______22

情形1.如圖1.若而=/其。＞0/H1）,則。2=「（*）

X—1

圖1圖2

如圖2.若礪=4訴（0＜%＜1）,則/=二-

2+1

【精選例題】

【例1】過雙曲線4一4=1（。＞0力＞0）的右焦點(diǎn)做一條漸近線的垂線，垂足為幺，與雙曲線的另一條

ab

漸近線交于點(diǎn)3,若而=2或，則此雙曲線的離心率為

【例21已知雙曲線C:=1,（。＞0力＞0）過C的右焦點(diǎn)尸作垂直于漸近線的直線，交兩漸近線于A、

3兩點(diǎn)A、3兩點(diǎn)分別在一、四象限，若點(diǎn)=：,則雙曲線C的離心率為（）

BF2

A.手B.2C.y/3D.書

【跟蹤可練】

L已知雙曲線y-得=1（。＞°力＞0）的兩條漸近線分別為直線,11,經(jīng)過右焦點(diǎn)尸且垂直于人的直線/分

別交％,于43兩點(diǎn)，目方=2/，則該雙曲線的離心率為（）

A.3^1B.^3C.-D.

333

2."是雙曲線，9=13＞°4°）的左右焦點(diǎn)，過尺且斜率為1的直線與兩條漸近線分別交于48兩點(diǎn),

若亞=2麻，則雙曲線的離心率為

A.乎B.質(zhì)C.嚕D.加

■考點(diǎn)過關(guān)練■

1.已知點(diǎn)尸在橢圓二+1=1（。＞方＞0）上，月，月是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若兩?麗=3,且AP醫(yī)理的面

積為2,則6=（）

A.2B.3C.4D.5

2.橢圓源+…鳴直紛…交于MN兩點(diǎn)，連接原點(diǎn)與線段卬中點(diǎn)所得直線的斜率為多嗚

的值是（）

A?孝B.苧?？?/p>

3.已知雙曲線嗒爺=皿＞。）的離心率為小焦點(diǎn)到漸近線距離為3,則雙曲線C實(shí)軸長（）

A.B.3C.2書D.6

4.侈選黝已知橢圓C：/*—的左、右焦點(diǎn)分別為"，離心率為9且經(jīng)過點(diǎn)

在橢圓上，則（）

A.|冏|的最大值為3

B.丁里目的周長為4

C.若“期=60,貝LP工月的面積為4

D.若附||格|=4,則&冏=60

5.（多選題）設(shè)橢圓的方程為1+斗=1,斜率為六的直線不經(jīng)過原點(diǎn)。，而且與橢圓相交于.4,5兩點(diǎn),

24

M為線段AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（）

A.直線4B與0M垂直

B.若點(diǎn)M坐標(biāo)為（M）,則直線方程為2x+y-3=0

C.若直線方程為y=x+i,則點(diǎn)M坐標(biāo)為；m

D.若直線方程為J=2x+2,則

6.（多選題）設(shè)一4,5是雙曲線x2-：=l上的兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中可以為線段疑中點(diǎn)的是（）

4

A.（0,2）B.（-1,2）C.（1,1）D.（1,4）

7.（多選題）若尸是橢圓。：二+巳=1（。>匕>0）與雙曲線C：二-二=W">0.”>0）在第一象限的交點(diǎn)，

crb~"rzr

且G,C共焦點(diǎn)冗，月，5P瑪=&,G,C的離心率分別為4,彩，則下列結(jié)論中正確的是（）

k2

A.|冏|=7"+4,=-4B.8S，=——

!r+?r

31

c.若，=120?,則>+>=4D.若6=90。，則4+4的最小值為2

8.（多選題）如圖，尸是橢圓*+上電3°）與雙曲線°44=儂＞°'"＞°）在第一象限的

交點(diǎn)，目C，q共焦點(diǎn)瑪月,“區(qū)尸工=仇1，6的離心率分別為勺，4,則下列結(jié)論正確的是（）

13

A.冏卜a+肛戶甩=a-刑B.若6=60。，貝11不+r=4

ee〃

C.若8=90。，則3；+約的最小值為2Dtan—=—

a2b

9.己知橢圓C：二+）=1的焦點(diǎn)分別為月（。，2）,^（0-2）,設(shè)直線，與橢圓。交于時(shí)，N兩點(diǎn)，目點(diǎn)

nr6

P\W為線段MV的中點(diǎn)，則直線7的方程為.

10.已知點(diǎn)4B,C是離心率為0的雙曲線r：*■一*=1（。＞0力〉0）上的三點(diǎn)，直線AB,AC,BC的斜率分別

是匕￡K，點(diǎn)DE,尸分別是線段.4BMCBC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線。A。及。尸的斜率分別是用人,。

若*一反~+三=3,貝U左+原+々=

利川二級結(jié)論秒殺拋物線中的選填題

■題型J

【考點(diǎn)目錄】

考點(diǎn)一：拋轆中焦半徑焦點(diǎn)弦三角形面積秒殺公式

考點(diǎn)二過焦點(diǎn)的直線與蝴陵相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式

考點(diǎn)三：過焦點(diǎn)的兩條相互垂直的弦的和及構(gòu)成四邊形面積最小值秒殺公式

考點(diǎn)四：拋轆中點(diǎn)弦求斜率秒殺公式

考點(diǎn)五：螂噬中以焦半徑/點(diǎn)弦為直徑的圖相切問題

考點(diǎn)六：拋摩中阿基米德三角形相關(guān)秒殺結(jié)論

【考點(diǎn)分類】

考點(diǎn)一：拋轆中焦半徑焦點(diǎn)弦三角形面積秒殺公式

已知幅斜角為6直線的7經(jīng)過拋物段./=2px的焦點(diǎn)產(chǎn)，且與B蝶陵交于43兩點(diǎn)，則

0|JF|=―U—」跖|=—--

1—cos614-cos0|7*141\FB|p

②?“婚i=而48,，也""'=2兇+｝）?

③|/尸|=匕+工，|BF|=/+巴,|AB\=^xA^xB+p.

【精選例題】

【例1】傾斜角為45的直線/經(jīng)過拋物線,儼=4x的焦點(diǎn)尸，且與拋物線相交于43兩點(diǎn)，貝山月（）

4

A.-B.4C.6D.8

3

【例2】已知?4（4乂）回％%）是拋物線。，=盯上的兩點(diǎn),且直線且3經(jīng)過C的焦點(diǎn)，若］,+必=12,則

悶=()

A.12B.14C.16D.18

【例3把知拋物線V=6x,弦月B過拋物線的焦點(diǎn)尸且滿足方=3麗，則弦AB的中點(diǎn)到A軸的距離為（）

A.1B.3C.1D.4

22

【例4】（多選題）已知拋物線E:J，2=2/S>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/與拋物線E交于43兩點(diǎn)（A

在第一象限），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|所卜2|昉|=6,則（）

A.p=4

B.直線/的斜率是±2&

C.線段.48的中點(diǎn)到J'軸的距離是g

D.Q43的面積是6度

【跟以峰】

1.已知拋物線/=260>0）的焦點(diǎn)為尸，過焦點(diǎn)尸的直線/交拋物線于兩點(diǎn)A,B.若弦長|4B|=4p,

則直線/的斜率為.

JT

2.（多選題）在直角坐標(biāo)系xQv中，已知拋物線C：儼=2/（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的傾斜角為了的

4

直線/與C相交于A,8兩點(diǎn)，目點(diǎn)A在第一象限，“143的面積是80,則（）

A.圍=8B.P=4

C-畝+贏=；D.網(wǎng)=8+40

3.（多選題）已知直線八J'=x+",過拋物線。：F=4x的焦點(diǎn)產(chǎn)，目與拋物線交于.4,5兩點(diǎn)，則（）

A.m=1

B.同=8

C.|,4F|=2|BF|

D.拋物線C上的動點(diǎn)到直線丁=x+2距離的最小值為年

2

4.（多選題）已知直線/過拋物線。：V=船的焦點(diǎn)尸，目與拋物線C交于山不乂卜項(xiàng)0心）兩點(diǎn)，點(diǎn)“為

。的準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若X|+x?=5,則|回=7

B.過C的焦點(diǎn)的最短弦長為4

C.當(dāng)萬=2而時(shí)，直線/的傾斜角為g

D.存在2條直線/,使得|叫忸必=防心〃成立

考點(diǎn)二：過焦點(diǎn)的直線與帔睢相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式

制雌打、2px的焦點(diǎn)為F,4再403（孫”）是過尸的直線領(lǐng)鑼戔的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：

P?2

再為=下4D'2=-P

4.

加般地，颼直線7恒a定點(diǎn)M（肛0）與翻族y2=2px（p>0）交于區(qū)3兩點(diǎn)，那么

1

xJxB=m,yAyB=-2pm.

端OA±OB^.4B?a^W（2pO）.

【精選例題】

【例1】（多選題）已知拋物線C：）=笈2的的焦點(diǎn)為尸，封（入乂）、N（jJ”是拋物線上兩點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為《,0；

B.若直線MV過點(diǎn)F，則x,x,=-l

10

c.若標(biāo)=/而，則|MV|的最小值為:

D.若|MF|+|,Wf==,則線段MV的中點(diǎn)尸到x軸的距離為g

ZO

【例2】（多選題）已知拋物線V=8x的焦點(diǎn)為尸，過尸且傾斜角為45。的直線/交拋物線于A,3兩點(diǎn)（）

A.直線/的方程為x—J—2=0B.原點(diǎn)到直線，的距離為發(fā)

C.|JB|=16

D.y,y2=-8

【例3】（多選題）已知拋物線C：V=4、的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn).4,5是拋物線C上不同兩點(diǎn)，下列說法正確的

是（）

A.若.45中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,貝”加|的最大值為8

B.若48中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2,則直線AB的傾斜角為三

C.設(shè)N（4,o）,則卜用的最小值為4及

D.若0A10B,貝I直線AB過定點(diǎn)（4,0）

【跟蹤期練】

1.（多選題）過拋物線=2/（P＞。）焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于月（4K）,3（毛,打）兩點(diǎn)，貝ij說法正

確的是（）

A.[4B\=xt+x2+pB.%+%=p2

112_____3

C-阿卡國=萬D.OAOB=--p^

2.（多選題）已知點(diǎn)MT0）在拋物線。：丁2=2網(wǎng)「＞0）的準(zhǔn)線上，過拋物線C的焦點(diǎn)尸作直線/交C于

/（斗乂）、即72）兩點(diǎn),則（）

A.拋物線C的方程是V=4xB.x吊=1

32

C.當(dāng)萬=3而時(shí)，|-43|=-yD.3iF=2BMF

3.（多選題）已知4工3）尸（0心）是拋物線C：V=x上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線C的焦點(diǎn),

下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

B.|.4B|=X,+X2+1

C.若Q4_L03,則直線.45經(jīng)過定點(diǎn)(LO)

D.若點(diǎn)P(-2,1),P4P3為拋物線C的兩條切線，則直線43的方程為》-21-2=0

考點(diǎn)三：過焦點(diǎn)的兩條相互垂直的弦的和及構(gòu)成四邊形面積最小值秒殺公式

①改為BCD是拋轆石:/=2px(p>0)中過焦點(diǎn)廠的兩條相互垂直的弦，|“姻+|。必存在最小值，

且最小值為8P.

②改AB:CD是腳漁E:y2=2px(p>0)中過焦點(diǎn)F的兩條相互垂直的弦，則四邊形ABCD的面積的

最小鼬8P-

【精選例題】

【例1】(多選題)過拋物線C：儼=?的焦點(diǎn)尸作兩條互相垂直的直線/，和L設(shè)直線/,交拋物線C于.4,

B兩點(diǎn)，直線4交拋物線C于D,E兩點(diǎn)，貝”.4B|+|DE|可能的取值為()

A.18B.16C.14D.12

【例2】在平面直角坐標(biāo)系xG中，已知?jiǎng)訄A“與圓大+儼-2》=0內(nèi)切，且與直線》=-2相切，設(shè)動圓圓

心M的軌跡為曲線瓦

(1或曲線E的方程；

(2奧點(diǎn)尸(L0)作兩條互相垂直的直線與曲線E相交于A,3兩點(diǎn)和C,D兩點(diǎn)，求四邊形HC8。的面積S的

最小值

【跟蹤囑】

1.已知尸為拋物線C：J產(chǎn)=4x的焦點(diǎn)，過尸作兩條互相垂直的直線-3直線4與C交于45兩點(diǎn)，直

線4與c交于D,E兩點(diǎn)，則|.4B|+|DE|的最小值為

2.已知拋物線p=4x.其焦點(diǎn)為尸，若互相垂直的直線也〃都經(jīng)過拋物線］，2=4x的焦點(diǎn)尸，目與拋物線相

交于.4,3兩點(diǎn)和C,。兩點(diǎn)，則四邊形WB8面積的最小值為.

考點(diǎn)四：拋犍戔中點(diǎn)弦求殺公式

設(shè)直線/qM卷丁=2"相交所得的弦且8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（對此），則心=上

Jo

【精選例題】

【例1】已知拋物線/=2"的一條弦.43恰好以點(diǎn)尸（U）為中點(diǎn)，弦.45的長為尼，則拋物線的準(zhǔn)線方程

為（）

13

A.A*=——B.Jt=_1C.x=——D.x=-2

22

【例2】直線J，=h-2與拋物線./=8x交于48兩點(diǎn)，.48中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則無為（）

A.-1B.2C.-1或2D.以上都不是

【例3】直線/過拋物線儼=4x的焦點(diǎn)尸，且與拋物線交于45兩點(diǎn)，線段月8中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，則。到直線月3的距離為（）

A.芋B.竽C.4D.|

【跟制I練】

1.已知直線/與拋物線C：丁=2v相交于48兩點(diǎn)，若線段月B的中點(diǎn)坐標(biāo)為化4）,則直線/的方程為（）

A.4x-j=0B.2x-y=0

C.8x-y-6=0D.x-2y+3=0

2.已知拋物線V=2"（p>0）的焦點(diǎn)為尸，第一象限的A、2兩點(diǎn)在拋物線上，目滿足步尸卜卜4,

|而卜也若線段.43中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則拋物線的方程為.

3.已知拋物線C：儼=以，過點(diǎn)P（L1）的直線交拋物線。于43兩點(diǎn)，若尸為月8的中點(diǎn)、，則直線.43的方

程為.

考點(diǎn)五：拋轆中以焦半徑庫點(diǎn)弦為直徑的圖相切問題

設(shè)4B是過拋物線力=初。＞0）焦點(diǎn)尸的弦，若.4⑴，口），5（X2,”），則

①以弦-43為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

②以AF或5尸為直徑的圓與.】?軸相切.

【精選例題】

【例1】（多選題）已知45是拋物線C：j，2=6x上的兩動點(diǎn)，尸是拋物線的焦點(diǎn)，下列說法正確的是（

A.直線.43過焦點(diǎn)尸時(shí)，以.48為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切

B.直線.43過焦點(diǎn)尸時(shí)，|.空|的最小值為6

C.若坐標(biāo)原點(diǎn)為O,目。4_L03,則直線.43過定點(diǎn)（3,0）

（3A

D.與拋物線C分別相切于43兩點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)N,若直線.48過定點(diǎn);-10一則點(diǎn)N在拋物線C

的準(zhǔn)線上

【例2】（多選題）已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，過焦點(diǎn)尸的直線/交拋物線于.4,5兩點(diǎn)（其中點(diǎn)/在

x軸上方），則（）

11-

A-畫畫

B.弦-43的長度最小值為1

C.以4F為直徑的圓與J軸相切

D.以45為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切

【跟蹤計(jì)練】

1.（多選題）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線了=擊6-2）（無＞0）經(jīng)過拋物線C：V=2"的焦點(diǎn)尸，目與C交于.4,

5西點(diǎn)，△O*是以。尸為底邊的等腰三角形，/是拋物線。的準(zhǔn)線，則（）

A.以.43直徑的圓與準(zhǔn)線/相切B.k=

C.BF=2EAD.“145的面積是60

2.（多選題）已知拋物線C：儼=2?。>0）的焦點(diǎn)尸在直線/：khT上，直線/與拋物線交于點(diǎn)43（。

為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說法中正確的是（）

A.p=2

B.準(zhǔn)線方程為x=-2

C.以線段.43為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切

D.直線。4。5的斜率之積為定值

考點(diǎn)六：拋轆中阿基米德三角形相關(guān)秒殺結(jié)論y'I

GMO躅點(diǎn)：如圖,假謝㈱的誦為x2=2py{p>0）,過拋酸影戔y=-^|

上一點(diǎn)尸（天,北）向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為,其坐標(biāo)為~>

（沖川）<孫當(dāng)卜英以點(diǎn)尸和兩切點(diǎn)43圍成的三角形2LB中，有如下的常見彳"—-

結(jié)論：

結(jié)論1.直線AB過拋轆的焦點(diǎn)F.

結(jié)論2.直線AB航程為3:=2p也9=X,v0+v）.

結(jié)論3.過F的直線與翻貨交于43兩點(diǎn)，以AB分別為切點(diǎn)儂兩條股，則這兩條股的交點(diǎn)P（私v0）

確I的為拋鍥戔的準(zhǔn)線

證明：過1點(diǎn)的蛆方程為再x=p（n+T）,過3點(diǎn)的般方程為&X=PG，2+T），兩式相除可得：

三.=空出=},二巧兇一再）'2=1,=竽.=_衛(wèi).這就證明了該結(jié)論.

巧y+>,2再一巧2p2

結(jié)論4.尸尸L".

v_P_y_P_

證明：由結(jié)論3,心=%，&>F=二^那么心"F=M'^=也_:=_1-

P毛P%P?

結(jié)論5.HP_LP8.

M：=&則5/=、土-呼??由拋娥焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知內(nèi)巧=-/,代入上

ppppP

式即可得心修=呼=一1,故AP1PB.

結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為河，則尸河平行于拋槌的對稱軸.

證明：由結(jié)論3的證明可知，過點(diǎn)A,B的般的交點(diǎn)P例蛭幽瞧上?旦P的坐標(biāo)為（色等，竽?），顯

然產(chǎn)河平行于拋物段的對稱軸.

【精選例題】

【例11已知拋物線C：犬=2*，（p>0）的焦點(diǎn)為F,M（x,y）（x>0）為C上一動點(diǎn)，若曲線C在點(diǎn)M

處的切線的斜率為寺,則直線尸M的斜率為（）

A.迫B.近C.迫D.?

2345

【例2】設(shè)拋物線C：儼=6x的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線交C于.4,B兩點(diǎn)，分別以.4,3為切點(diǎn)作C的切線

4,4,若4與4交于點(diǎn)P,且滿足四1=2由，則因卜（）

A.5B.6C.7D.8

【例3】（多相）已知拋物線T=x’的焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為六的直線/交拋物線于」8兩點(diǎn)，3在第

一象限，過出5分別作拋物線的切線（，A,且［相交于點(diǎn)尸，若砂交、軸于點(diǎn)。，則下列說法正確的

有（）

A.點(diǎn)尸在拋物線的準(zhǔn)線上B.4P3=：

C.FQ^BQD.若木=等，則胃的值為:

【例4】已知拋物線。：犬=4T的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/傾斜角為60。，交C于43兩點(diǎn)，過43兩點(diǎn)分

別作。的切線心4,其交點(diǎn)為尸，4,4與x軸的交點(diǎn)分別為MN,則四邊形RI如V的面積為.

【跟蹤ill練】

L已知拋物線犬=勺的焦點(diǎn)為尸，若拋物線上一點(diǎn)尸滿足|尸產(chǎn)|=5,則過點(diǎn)P的切線方程為（）

A.2x-y-4=03x-4y+4=0B.2x-j」4=0或2翼+y+4=0

C.2x+y+4=0或3x+4j+4=0D.3x-4i+4=0或3x+4y+4=0

2.(多選題)設(shè)拋物線C：J=x’的焦點(diǎn)為尸，過拋物線C上不同的兩點(diǎn)4B分別作C的切線，兩條切

線的交點(diǎn)為P,.43的中點(diǎn)為0,則()

A.平心軸B.PF1ABC."FA="FBD.|JF|+|BF|=2|PF|

3.已知拋物線C：『=2m。＞0)的焦點(diǎn)為尸，且尸與圓河：/+。，+4,=i上的點(diǎn)的距離的最小值4.

(1球P；

(2港點(diǎn)尸在圓M上，R1,P3是C的兩條切線，43是切點(diǎn)，求面積的最大值.

■考點(diǎn)過關(guān)練工

1.已知拋物線C：V=2/(p＞0)，過點(diǎn)尸(3,0)目垂直于x軸的直線/交拋物線C于A,3兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，若^0.4B的面積為9,則P=()

A.]B.2