2024年高考數學特輯二輪復習之導數 零點嵌套問題

敷型11零點城套向毀

2

1.已知函數/(x)={ax+lnx){x-Inx)-x有三個不同的零點不，x2,x3(其中％v々<吃)，則

(1一啊)2(1一些)(1一姐)的值為()

玉x2x3

A.1—aB.a—1C.—1D.1

【解析】解：令/(x)=0,分離參數得——處，

x—lrvcx

令h(x)=————,關注公眾號：Hi數學派

x-lnxx

由媽?瑾生g=0,得彳=1或苫=?.

x1(x-lnx)2

當xe(O,l)時,h!(x)<0;當尤c(l,e)時，h'(x)>0;當尤w(e,+oo)時,h!(x)<0.

即/z(x)在(0,1),(e,”o)上為減函數,在(l,e)上為增函數.

xInx1Inx人Inx

a-----:-----------j-------，令〃=—，

x-lnxx]_也xx

x

貝ija=---〃，即//+(〃_1)〃+1—〃=(),

1-〃

自+〃2=1-4<0，從〃2=1—av0,

a工Iwc1—lnx

對于〃=—“二

x

則當Ovxve時，“>0;當時，“<().而當時，〃恒大于0.

畫其簡圖,

e,、,Iwc,lnxInx,

不妨亍又M<出，貝n從=---,〃2=---0-=〃3=----，

一再x2x3

（1一姐）2（1一處）（1一3）=（1一4）2（1一〃2）（1-〃3）

玉

=［（1一M）（l-〃2y|2="=1.

故選：D.

YInx.

L

2.已知玉，x2,X3是函數/（x）=以+/加-------三個不同的零點，且玉</<%，設必=1----（i=l,2,

x—InxXj

3）,則“；％必=（）

A.1B.-1C.eD.-

e

【解析】解：令f（x）=O得a=^———,

x一Inxx

人Inxx11

??--=t,貝I------=------tCL------t?

xx—Inx1—t9l—t

即r+(a—1)才+1—a=0.關注公眾號：Hi數學派

人/、true.，/、1-Inx

令g(無)=—，貝n"g'(x)=——，

XX

g(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+oo)上單調遞減，

且當Ovxvl時，g(x)<0,當犬〉e時，g(x)>0,

g(e)=-,

e

.?.當0<t<工時，關于X的方程g(尤)，有兩大于1的解，當r,,0時，關于X的方程gO)=r只有一小于1的

e

解.

當％=工時，關于九的方程g(x)=/有唯一^用％=e.

e

?/(x)有三個不同的零點，

二.關于/的方程/+(〃-1?+1-。=0在(一8,0]｛匕和(0」)上各有1個解.

2ge

不妨設兩解為0,t2,貝1|.+，2=1-々，柩2=1-〃，

ip\1p

若/?二—,則々=-------,此時方程的另一■解為r=1—a—=-----<0,

ee-1eee-1

二.原方程只有兩解，不符合題意;

同理，=0也不符合題意；

設%v0vq，則"1=1—%,M?=M3=l—t2,

,2M3=(1-%)2(1-2)2=(1_172+單2

故選：A.

x2x

3.已知函數/(x)=(xe)+(。-1)(%/)+1—。有三個不同的零點不，x2,x3.其中再v九2V3，則

XxX3

(1-xYe)(1-x2e^)(1-x3e了的值為()

A.1B.(a-I)2C.-1D.1-a

【解析】解：令”加尤,則，=(%+1)心

故當x￡(-l,+oo)時，f>0,"是增函數，

當犬￡(一00,-1)時，f<0,才=%/是減函數，

可得無=—1處/=xe”取得最小值一工，

e

%-%—0,畫出/=%€'的圖象，

由/(%)=0可化為/+(〃一1?+1—〃=0,

故結合題意可知，*+(。-1?+1-々=0有兩個不同的根，

故△=(〃-1)2-4(1-〃)〉0,故Q<—3或a>1,

不妨設方程的兩個根分別為％,t2,

(J)civ—3,tyt2—1—a>4,

2

與一一<%+/2<0相矛盾，故不成立；

e

②若a>l,則方程的兩個根％,t2一?正一?負；

x2x3

不妨設4Vo<12，結合/=%/的性質可得，x2e-=,x3e-=t2,

故(1一七6西)(1一%2,2)(1-43*)2關注公眾號：Hi數學派

二(1一4)(1-6)(1—2)2

=(1一(。+/2)+4/2)2

又t,2—1—a,Zj+q=l_a,

...（1_玉6百）（1_%0巧）（1_玉6對）2=（1_1+Q+1_1）2=1.

故選：A.

4.已知函數/（%）=（三）2+§-々有三個不同的零點七，X2,元3（其中石VX2Vx3），則（1一3）2（1-^"）（1一名）

的值為（）

A.1B.—1C.aD.—a

【解析】解：令心）==，貝

exex

.?.當XV1時，f（x）>0,函數"x）在（-00,1）單調遞增，當時，f（x）<0,在（1,+8）單調遞減，且

%（%）極大值=/（1）=1，關注公眾號：Hi數學派

e

由題意，g?）=r+。/一。必有兩個才艮.<0,且0<,2<4，

由根與系數的關系有，％+=―。，々，

YY

由圖可知，4=：有一?解元］<0,三:^有兩解，2，%3，且0<%2<1<%3,

故（1-很）2（1-%）Q-宗"）=（1-。）2（1-/2）（1-［2）=［（1-。）（1-22）］2=口-（。+/2）+區(qū)］2=（1+?-?）2=1.

故選：A.

x

5.若關于％的方程-1-------1■■機=0有三個不相等的實數解芯,x2,x3,且不<0<%2V3，其中小￡尺，

exx+ex

e為自然對數的底數，則（。+1）2（飛+1）（■今+1）的值為（）

A.1+mB.eC.m—1D.1

X￡>X

【解析】解：由方程二+一一+機=0

exx+ex

x1_

=>-----1-----------Fm=0,

/上+1

Y1

令一=t,貝I有/H--------Fm=O.

/t+1

=^>Z2+(m+1)Z+1+m=0,

令函數g⑺號，g'（加寧，

/.g（x）在（-00,1）遞增，在（1,+00）遞減,

其圖象如下,

Y"X,、

要使關于％的方程1-----------1=0有三個不相等的實數解x，x,x,SLX.<0<X<X

exx+ex2323

結合圖象可得關于，的方程*+（加+1?+1+機=0一定有兩個實根％,t2,&<0<^2）

且五=五=二=/,,關注公眾號：Hi數學派

ex'eX1浮

，臣+1)2(今+1)(T+1)

e*e巧涉

2

=[(z1+l)(r2+l)].

(t]+1)(‘2+1)=+("1+，2)+1=(1+機)—(1+根)+1=1.

+I,+1)=[(%+1)?2+I)]2-1?

故選：D.

6.若關于X的方程---1-----------Fm=0有三個不相等的實數解F，x2,x3,且玉<0<%2<%3，其中小￡尺，

exx-ex

e=2.718為自然對數的底數，則（五—1）2（三一1）（2■—1）的值為（）

eXi*e%

A.eB.1—mC.1+mD.1

X￡>xX1

【解析】解：由方程---1-----------Fm=O=>1-----------Fm=0,

e"x-exex

ex

令2=f,則有f+—L+M=o.關注公眾號：Hi數學派

ext-1

=>t2+(m—V)t+l,—m=O,

令函數g(x)=一小)=寧，

/.g(x)在(-00,1)遞增，在(1,+co)遞減,

其圖象如下,

要使關于x的方程-----^+機=0有3個不相等的實數解七,x2,x3,且不<0<%2<%3

結合圖象可得關于/的方程/+(加一?+1，一根=0一定有兩個實根4,t2,4v0v,2)

且3=4,三=§=，2

e'游e\

??I/-1)2(親-"W-1)=-DC-DI??

(r1—1)(%2—1)=一("1+/2)+1=(1—根)—(1—m)+1=1.

..(宗-if(，-1)(W一D=K4-D?2-1)『二1?

故選：D.

2

7.若關于x的方程—1|+————-+m=0有三個不相等的實數解％、無2、m，(玉v0v9v%3)其中機￡H，

e=2.71828...,則(|一-11+1).(|*—11+1).(|*一11+1)2的值為()

A.eB.4C.m—1D.m+1

x

【解析】解：^t=\e-l\f函數y=|/—1|的圖象如下:

22

方程|/一11H--------------Fm=0=>^4--------Fm=O.即”+（加+1"+2+機=0,

|靖一1|+1t+1

2

要使方程|/一1|+---------F相二0有三個不相等的實數解%、X2>元3，（X1V。V%2V%3），

|e—11+1

則方程/+（加+1）［+2+機=0一定有兩個實根4,t2,

可驗證/=0或1不符合題意，關注公眾號：Hi數學派

所以方程/+（加+1?+2+機=。一定有兩個實根4,t2,且0〈％vlv,2.

x3

且|^」一1|=|產-2_1|=。，le--ll=t2f

2

則(|^'-11+1).(1靖2—11+1).(|6巧—11+1)2=+l)(t2+1)].

(t1+1)(^2+1)=單2+(，l+/2)+1=Q+M)—(1+m)+1=2.

22

則(|ef+1)?(|*-11+1).(1*一11+1)=刈+l)(f2+1)]=4,

故選：B.

8.若存在正實數〃？，使得關于x的方程x+a(2x+2〃工-4ex)[7"(x+/M)-仇x]=0有兩個不同的根，其中e為自

然對數的底數，則實數a的取值范圍是()

A.(』0)B.(0,當

2e

C.(-co,0)U(:,+oo)D.(：,+oo)

【解析】解：由題意得一Lua+'-Ze)歷(1+竺)=Q-2e)/加，(1=-+1>1),

2axxx

令=(/>1),關注公眾號：Hi數學派

2e12e

則[(力=歷/+1一一,f\t)=-+—>0,

ttf

當f>e時，f'(t)>f(e)=0,

當l<f<e時，f'(t)<f(e)=0,

(e)=-e,

1

一五>'

而tfl時,f(r)-?O,

則要滿足一e<-」-<0,

2a

解得：a>—,

2e

故選：D.

9.若存在正實數相，使得關于%的方程無+a(2x+2m-4ex)[加(x+帆)-/MX]=0成立，其中為自然對數的底

數,則實數Q的取值范圍是()

A.(-a),0)B.(0，1)

2e

C.(^x)90)^J[—,+oo)D.[—,+oo)

【解析】解：由無+a(2x+2m—4ex)[ln(x+m)—lnx\=0

_八、7x+m_

x+2a{zx+m—2ex)ln----=0,

x

口c?八,x+m石、Tx+m

即1+2。(------2e)ln-----=0,

xx

即設％=葉?，貝卜>0,關注公眾號：Hi數學派

x

則條件等價為14-2a(t—2e)lnt=0,

即。-26)/6=-」-有解，

2a

設g⑺=(t-2e)lnt,

/?)=加+1—彳為增函數，

g'(e)=/H^+1--=1+1-2=0,

e

.,.當/〉e時，g\t)>0,

當Ov/ve時，g\t)<0,

即當1=e時，函數g?)取得極小值為：g(e)=(e—2e)lne=—e,

即g?)..g(e)=—e,

若(，一2e)lnt=--—有解,

2a

貝一~—-e,?e,

2a2a

則a<0或〃…工，

2e

二實數a的取值范圍是+00).

d2e

故選：C.

10.已知函數u(x)=(2e—l)x—m,L>(X)=ln(x+m)—Inx若存在m,使得關于工的方程2^?M(X)?L>(X)=x有解,

其中e為自然對數的底數則實數a的取值范圍是()

A.(—co,0)(-^―,+oo)B.(—00,0)

C.(0,—)D.(-co,0)|^J[—,+GO)

【解析】解：由2a?沅(X)?L>(X)=%可得[2a(2e-l)x-2am]4n------x=0,

x

口cc「小r、m、.x+my八口cc-x+m,x+m,八

即2〃[(2e—1)------------1=0,即2a(2e------x)?加-------1=0,

xxxx

令"=t,貝I方程(2e-t)lnt——有解.

x2a

2,—t2,

設f(t)=(2e—t)lnt,則fr(t)=—IntH-----=—IntH-----1,

tt

顯然廣⑺為減函數，又廣(e)=0,

.?.當Ov/ve時，/\0>0,當1〉e時，[。)<0,

.?./⑺在(0,e)上單調遞增，在(e,+oo)上單調遞減,

⑺的最大值為/(e)=e,關注公眾號：Hi數學派

1解得a<0或〃…工.

6

.?石，'2e

故選：D.

11.已知/(%)=(依+加0(%-阮0-兀2恰有三個不同零點，則a的取值范圍為_(1,1-1----——)

一e(e-1)

【解析】解：令〃x)=0,分離參數得。=一一——,

x—lrucx

令〃(尤)=」一——,關注公眾號：Hi數學派

x-lnxx

由叫媽R皿=。得*=1或/e.

X2(x-M2

當xe(O,l)時，h'(x)<0;當xe(l,e)時，h'(x)>0;當尤e(e,+co)時，h'(x)<0.

即〃(x)在(0,1),(e,+oo)上為減函數，在(l,e)上為增函數.

.?.x=l時，/z(x)有極小值(1)=1;x=e時，/z(x)有極大值〃(e)=1+------

e(e—1)

設〃=——,貝I4<1;

X

1—Y

這是因為對于函數y=Inx—x,x>0,有，=----,

x

當ovxvi時，y>0,函數單調遞增；當兄>1時，y<o,函數單調遞減;

即x=l時函數有極大值，也是最大值—1,故V龍>0,Inx—x<0,lnx<x,即得——<1;

x

〃(無)+=1;

1—jU1—jLl

：.當/(%)=(依+加；)(％-加0-兀2恰有三個不同零點，即y=a與y=h(X)有三個不同的交點;

:.l<a<l+------.

e(e—1)

故答案為：(1,1+--—).

e(e-l)

r2

12.已知函數f(x)=ax+Inx-------有三個不同的零點不，x2,x3(其中玉