2023-2024學年北京延慶區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學試題及答案

2024北京延慶高二（上）期末

數(shù)學

本試卷共4頁，150分，考試時長120分鐘.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合A={x,2＜4},集合8={x|x〉o},則Au3=（）

A.-2]B.[—2,0）C.[-2,+co）D.（0,2]

3

2.已知雙曲線的一個焦點是（5,0）,漸近線方程為y[X,則雙曲線的離心率為（）

5534

A.一B.—C.—D.一

3455

3.復數(shù)z=i（2+3i）,貝”的虛部為（）

A.2B.-3C.2iD.3i

22

4.已知尸是橢圓土+匕=1上的動點，則尸到橢圓的兩個焦點的距離之和為（）

94

A.3B.4C.275D.6

5.到定點歹（i,o）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動點且動點不在％軸的負半軸的軌跡方程是（）

A.y~=8xB.y2=4xC.y2-2xD.y2=x

6.正方體ABC?！狝qC]A的棱長為2,則點G到平面AB。的距離為（）

A.1B.V2C.6D.2

7.已知圓好+丁=4上一點A和圓好+/一4%一4〉=0上一點8,則司的最大值為（）

A.2+472B.2+272C.4^D.272

22

8.“1＜加＜2”是“方程二一+^^=1表示橢圓”的（）

2—mm-1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.若不論左為何值，直線y=Mx-2）+b與曲線必+丁=9總有公共點，則b的取值范圍是（）.

A.（—石，石）B.[-6,6]C.（-2,2）D.[-2,2]

10.在平面直角坐標系xOy中，點A（l,l）,B（2,l）,C（2,2）,P是圓M:一+。一廳=2上一點，。是

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.ABC邊上一點，則。P。。的最大值是()

A.8+2&B.12

C.8+4A/2D.16

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.橢圓3必+4丁=12的長軸長為.

2

12.雙曲線匕-必=1的漸近線方程是

4

13.已知圓好+/=2,求經(jīng)過點(1,1)的圓的切線方程.

14.已知方程2d-尤|y|+4=0,求》的取值范圍.

15.若曲線/(x,_y)=0上的兩點々(和%)，鳥(4,%)滿足玉w》為，則稱這兩點為曲線

2222

*x,y)=o上的一對“雙胞點”.下列曲線中：①2+\=i(y<o)；②亍―\=1(孫〉0)；③

V=4x(y>0)；④忖+1y|=1.存在“雙胞點”的曲線序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.根據(jù)下列條件，分別求出曲線的標準方程：

(1)焦距是6,過點(0,5),焦點在》軸上的橢圓；

(2)一個焦點是(5,0),一條漸近線方程為3x-4y=。的雙曲線；

(3)焦點到準線的距離是4,而且焦點在》軸上的拋物線.

17.已知過點尸(0,5)的直線/被圓C：f+/+?_12y+24=0所截得的弦長為473.

(1)寫出圓C的標準方程及圓心坐標、半徑；

(2)求直線/的方程.

18.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。是矩形，側(cè)棱PAL底面A3CD,點E為棱PD的中

點，AB=1,AD=AP=2.

(1)求平面ACE與平面PA3夾角的余弦值；

(2)若F為棱PC的中點，則棱PA上是否存在一點G,使得尸平面EFG.若存在，求線段AG的

長；若不存在，請說明理由.

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19.已知拋物線C：y2=4x,過焦點廠的直線/與拋物線C交于42兩點，定點“（5,0）.

（1）若直線/的斜率為1,求△/?及■的面積；

（2）若是以M為直角頂點的直角三角形，求直線/的方程.

22_

20.已知橢圓E：1+4=1（a>>>0）的短半軸長為1,焦距為2g.

ab

（1）求橢圓E的離心率；

（2）設橢圓E的右頂點為A,過點P（4,0）且斜率為左（左W0）的直線交橢圓E于不同的兩點直線

AB,AC分別與直線尤=4交于點",N.求歸+\PN\的取值范圍.

21.給定正整數(shù)〃22,設集合Me{0,l},左=1,2,….對于集合M中的任意

元素夕=（再,/，和7=（%，%，一，先），記上7=不必+起％++xnyn.設,且集合

p,i=i,

A=[ai\ai={tii,tn<z=l,2,,n\對于A中任意元素4，%,若.則稱A具

U，6，

有性質(zhì)T（”,p）.

（1）判斷集合4={（1/,0）,（1,01）,（0,1,1）}是否具有性質(zhì)?。?,2）?說明理由;

（2）判斷是否存在具有性質(zhì)T（4,p）的集合A,并加以證明.

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參考答案

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.【答案】C

【解析】

【分析】化簡A={x|-2<x<2},再由集合并集的運算即可得解.

【詳解】由題意A={x|x2<4}={x[—2<x<2},8={x|x>0},

所以ADB={x|-2<x<2}u{x|x〉。}={xIx之-2}=[-2,+<z>）.

故選：C.

2.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出a，J再根據(jù)離心率公式即可得解.

【詳解】設雙曲線的實軸長為2a,虛軸長為"，焦距為2c,

b3

由題意可得雙曲線的焦點在無軸上，且c=5,-

a4

3

所以b二:。，

4

又/+匕2=。2,所以36=25,解得標=16,所以"4,

lo

所以雙曲線的離心率一c='5.

a4

故選：B.

3.【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)復數(shù)的乘法運算求解出z,則復數(shù)的虛部可知.

【詳解】因為z=i（2+3i）=2i+3i?=—3+2i,所以z的虛部為2,

故選：A.

4.【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓方程求解出。的值，再由橢圓定義可知結(jié)果.

【詳解】由橢圓方程可知：a=3,

由橢圓定義可知：P到橢圓的兩個焦點的距離之和為2a=6,

故選：D.

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5.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義即可得解.

【詳解】因為動點到定點歹(i,o)的距離比到》軸的距離大1,

所以動點到定點尸(L0)的距離等于到x=-l的距離，

所以動點的軌跡是以尸(i,o)為焦點，x=-l為準線的拋物線，

所以動點的軌跡方程是=4x.

故選：B.

6.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等體積法可知％y即=匕一4G4，然后計算出SABD】，SAGR，結(jié)合三棱錐體積公式則點G

到平面4班\的距離可求.

【詳解】設點G到平面482的距離為d,

因為%Y*=kca，所以;xSA町x"=gxSAGAXBB」

又因為SABX-\/22+22=2A/2,S——x2x2—2,

?！?2X八ACD2

所以gx20xd=gx2x2,所以d=0,

故選：B.

7.【答案】A

【解析】

【分析】利用兩圓的位置關系數(shù)形結(jié)合計算即可.

【詳解】易知圓/+/=4的圓心為原點(0,0),半徑弓=2,

由圓x2+y2—4x—4y=0=(x—2『+(y—2)2=8,故其圓心為(2,2),半徑々=2血,

兩圓圓心距為d=J(2—0)2+(2—0『=20e(2虛—2,20+2),所以兩圓相交，

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貝=4+4+々=4亞+2,如圖所示.

1

IImax4

故選：A

8.【答案】B

【解析】

22

【分析】根據(jù)“1＜加〈2”與“方程+工=1表示橢圓”的互相推出關系判斷出屬于何種條件.

2—mm—1

3丫22

【詳解】當1＜加＜2時，取加=—,止匕時+^^=1=尤2+2=2,故方程表示圓；

22—mm—1

2-m＞0

22

當方程-^+-^=1表示橢圓時，則根—1＞0,

2—mm—1與1

33I

解得〈加1＜加＜一或一＜根＜2＞，

I22J

33]

止匕時＜加1＜加或萬＜加＜2：是｛司1〈根＜2｝的真子集，

331

所以＜〃”＜機＜5或5＜相＜2|可推出｛川1＜根＜2｝；

22

綜上可知，“1＜加＜2”是“方程+-L=I表示橢圓”的必要而不充分條件，

2-mm—1

故選：B.

9【答案】B

【解析】

【分析】由題知直線恒過定點（2涉），進而將問題轉(zhuǎn)化為點（2涉）在圓內(nèi)或圓上問題求解即可.

【詳解】解：由直線方程可知直線恒過定點（2涉），

要使直線y=-x-2）+b與曲線d+丁=9總有公共點，則點Q向在圓內(nèi)或圓上，

所以22+廿＜9,解得：-也WbM亞.

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所以，〃的取值范圍是：[-石，石].

故選：B.

10.【答案】B

【解析】

【分析】設「（石,%）,。（％，%），則。尸?。。=玉4+%%，因為馬6[1,2],%6[1,2],所以當

々=2,%=2,即。點與。點重合時，0P?。。=%了2+%%有最大值2（石+%），問題轉(zhuǎn)化為尸（%,%）

在圓M：f+（y-4）2=2上，求芯+%的最大值，

【詳解】解：設「（和％）,。（々，％），則。尸=（&%）,OQ=（%，%），

所以。尸?CQ=xxx2+%%,

因為々e[l,2],%e[l,2],

所以當％=2,%=2,即。點與C點重合時，。戶?。。=%4+%%有最大值2（%+為），

所以問題轉(zhuǎn)化為尸01，%）在圓加“2+（2-4）2=2上，求七+%的最大值,

因為點p（x,y）在圓M上，設點P（x,y）所在的直線/為了+>=/,

因為直線/與圓加有公共點,

所以圓心到直線的距離不大于半徑，即<V2,

所以‘—4|<2,解得2<f<6,即2V石+%V6,

所以4<2（石+%）<12,

所以OPOQ的最大值是12,

故選:B

【點睛】關鍵點點睛：此題考查向量數(shù)量積的運算律，考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是當

々=2,%=2,即。點與C點重合時，。尸?。。=%%2+%%有最大值2（%+%），問題轉(zhuǎn)化為尸（%,%）

在圓加：X2+。一4）2=2上，求%的最大值，然后利用直線與圓的位置關系求解即可，考查數(shù)形結(jié)合

的思想，屬于中檔題

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.【答案】4

【解析】

【分析】將橢圓方程化為標準方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)計算即可.

22

【詳解】由3/+4丁2=12=亍+.=1,

第7頁/共15頁

顯然橢圓的焦點在橫軸上，其實軸長為2義4=4.

故答案為：4

12.【答案】y=±2x

【解析】

【詳解】根據(jù)雙曲線的漸近線公式得到y(tǒng)=±-x,y=±2x

b

故答案為丁=±2》.

13.【答案】x+y-2=0

【解析】

【分析】由題可知切線的斜率存在，設出切線方程利用圓心到切線的距離為半徑可求斜率，從而得到切線

方程.

【詳解】由題可知切線的斜率存在，設切線方程為丁一1=左(％-1),即日—y+1-左=0,

.??且筌=0,解得左=一1,所以切線方程為x+y—2=0.

yjl+k2

故答案為：x+y—2=0.

14.【答案】(―oo,—4&][J[4&,+OO)

【解析】

44

【分析】分離出1例，得|丁|=2兀+—，求出對應的/(%)=2%+—的值域即可求解.

xx

【詳解】當x=0時，原式化為4=0,無解，故九。0,

4

則|y\=2x+—,由|y|NO得力＞0,

x

4

設/(%)=2%+—,由對勾函數(shù)知，

x

函數(shù)在(0,&)單調(diào)遞減，(后,+8)單調(diào)遞增，

故/(x)min=/(V2)=442,則/(X)的值域為[40,+00),

即則或)＜一4后.

故答案為：(―oo,—[4A/2,+OO)

15.【答案】①④

【解析】

【分析】根據(jù)定義結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)與圖象一一判定即可.

【詳解】對于①J+J=l(y＜0)，如L—⑹顯然符合“雙胞點”定義；

第8頁/共15頁

2222

對于②二—匕=1（盯〉0），易知其圖象為雙曲線上—匕=1：的圖象在第一、三象限的部分，

顯然該部分圖象單調(diào)遞增，沒有符合“雙胞點”定義的點；

對于③V=4x（j>0）,易知其圖象為拋物線丁=4x的圖象在第一象限的部分，

顯然該部分圖象單調(diào)遞增，沒有符合“雙胞點”定義的點；

對于④|x|+回=1,如《（-1,0）,/^］，一￡|顯然符合“雙胞點”定義；

綜上①④有“雙胞點”.

故答案為：①④

【點睛】思路點睛：根據(jù)“雙胞點''的定義結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的圖象與性質(zhì)一一判定選項即可.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

22

16.【答案】（1）匕+土=1；

2516

x2

(2)--

16

(3)x1—+8y.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距與頂點及焦點在y軸上寫出橢圓標準方程即可;

（2）根據(jù)雙曲線的焦點及漸近線方程寫出雙曲線標準方程即可；

（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)及焦點在y軸上寫出拋物線標準方程即可.

【小問1詳解】

2x2

由題意可設與+=l(a>b〉0),

a

2

a2-b2=(~

可知<12=>/=25萬=16,

6Z—5

則橢圓的標準方程為：-^+―=1;

2516

【小問2詳解】

易知雙曲線的焦點在橫軸上，

22

可設標準方程為=1（a>03>0），

則a2、b252,且云-ay=。是其一條漸近線，

即2故/=1612=9,所以雙曲線的標準方程為：—-^=1；

a4169

第9頁/共15頁

【小問3詳解】

若焦點在縱軸正半軸，可設拋物線標準方程為：x2=2py（p>0）,

因為焦點到準線的距離是4,則有0=4,所以犬=8〉，

若焦點在縱軸負半軸上，可設拋物線標準方程為：x2=-2py（p>0）,

因為焦點到準線的距離是4,則有0=4,所以必二8y,

綜上拋物線的標準方程為：x2=±8y.

17.【答案】⑴（x+2y+（y—6）2=16,圓心坐標為（—2,6）,半徑為4.

⑵3%-4丁+20=0或1=0.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程與圓的標準方程的關系，即可求解；（2）根據(jù)直線與圓的位置關系，當直

線斜率存在時，結(jié)合勾股定理和點到直線的距離公式即可求解，當直線斜率不存在時，特殊情形驗證下即

可.

【小問1詳解】

由題意整理圓的方程得，標準方程為（x+2）2+（y-6『=16,故圓心坐標為（-2,6）,半徑為4.

【小問2詳解】

由（1）,又直線被圓截得的弦長為4君，

故弦心距為卜二孚=2，

當直線斜率存在時，設直線的斜率為限則過尸（。，5）的直線，可設為丁=履+5,即依-y+5=0,

1?直線與圓C的圓心相距為2,

卜2左-6+5|3

此時直線的方程為3x-4y+20=0,

當直線的斜率不存在時，直線的方程為x=0,也符合題意.

故所求直線的方程為3x—4y+20=0或x=0.

18.【答案】（1）逅；

6

（2）不存在，因為PC,E尸不垂直.

【解析】

【分析】（1）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算面面夾角即可；

（2）設存在點G滿足條件，利用線面垂直的向量關系判定即可.

第10頁/共15頁

【小問1詳解】

因為底面ABC。是矩形，側(cè)棱P4,底面A5CD,可知PA,AB,AD三線兩兩垂直,

如圖示建立空間直角坐標系，由題意可知C（l,2,0）,P（0,0,2）,D（0,2,0）,所以E（O,1,1）,

則AE=（O,l,l）,AC=（l,2,O）,

771,A.E—/?+C—0

設平面ACE的一個法向量為m=（〃也c）,貝葉

m-AC=a+2b=0

令b1,則〃=2,c=l,即根

易知平面PAB的一個法向量為n=（0,1,0）,

設平面AC￡與平面P45的夾角為。，

m-n\,_1_V6

貝！Jcoscif=|cosm,n|

\m\-\n\V66

【小問2詳解】

假設存在點G,使得尸平面MG,且G（0,01）,

根據(jù)⑴可知bg』/],PC=（1,2,—2）,則跖=g,O,o],EG=（O,—l,"l）,

若PCJ_平面所G,又E尸u平面EFG,所以尸CLET"

而尸C?EF=LWO,則PC,所不成立，所以尸Cd_平面ERG不成立.

2

19.【答案】⑴872

⑵y=+^-（x-l）

【解析】

【分析】（1）A3的斜率為1時，/：y=x—L代入拋物線方程得d—6x+l=0,求出|A3|,點M到

直線A3的距離，即可求AAEW的面積；

4

（2）設出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去人根據(jù)韋達定理表示出%+4=2+”，

第11頁/共15頁

玉%2=1，%%=-4,由44_1_如，求得k值，進而得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：由題意尸(L0),當A3的斜率為1時，/：y=x—1

代入拋物線方程得x--6x+l=0

設4%，％),B(X2,%)，Xj+x2=6,|AB|=+x2+2=8,

點M到直線AB的距離d=與”=272

V2

ABAf的面積S=！X8X2A/^=8j^；

2

【小問2詳解】

解：易知直線時不符合題意.可設焦點弦方程為y=k(x—1),4再，%),B(X2,

代入拋物線方程得左2%2_(242+4)x+勿2=0,則

c4,

%!+X2—2+=1，=-4

MALMB,肱4=(占-5,%),MB={X2-5,%)，

MA,MB=X1%—5(X[+X])+25+%%=22—5義(2+—^)=0,:.k=土'..

故L的方程為丁=±卓5—1)

20.【答案】(1)2

2

(2)(2石,+co)

【解析】

【分析】(1)由短半軸，焦距及/=62+02求解出仇C,再根據(jù)離心率公式即可得解;

(2)設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理表達出|PM|+|PN|=g,結(jié)合左2<

求得答案.

【小問1詳解】

必=1

依題意知,解得a=2,>=1,c=,

a2=b2+c2

所以離心率e=￡=蟲

a2

【小問2詳解】

第12頁/共15頁

2

由⑵得，橢圓￡的方程為亍+:/=1,則A（2,0）,

設直線BC的方程為y=々（X-4）（左w0）,

y=/r（x-4）

聯(lián)立%2,得（1+4左2）%2_32左2》+64k2—4=0,

---1-y2=1'

14?

1

△=（32左2）一2—40+4左2）（64左2—4）=160—12左2）＞0,得父＜在，且公力。.,

設8（%,%）,。（x2，%）,<2,X2<2,

32k264V-4

則M+Xy-----------—,XyXy--------------，

121+4左2121+4左2

7/ZVITV

設朋'（4,根）,N（4,“），依題意有：不=一3，-=—

因為％%=/（占一4）（々-4）＞0,

所以加飛—￡—2）2

所以=帆+阿=帆+"=

2Mxi-4）2Mx2-4）玉+%2―4

4k1-

玉一2冗2-2%9-2（%+x2）+4