小學(xué)繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)專題

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯編第一章計(jì)算1.1四則混合運(yùn)算1.1.1繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)技巧繁分?jǐn)?shù)的定義如果分?jǐn)?shù)形式中，分子或分母含有四則運(yùn)算或分?jǐn)?shù)，或分子與分母都含有四則運(yùn)算或分?jǐn)?shù)的數(shù)，叫“繁分?jǐn)?shù)”；其對(duì)應(yīng)于“簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”。繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的基本方法.1可利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系把繁分?jǐn)?shù)寫成分子除以分母的形式。例：÷×.2利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，去掉分子、分母上分?jǐn)?shù)的分母后化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。一般情況下，分子、分母所乘上的適當(dāng)非零整數(shù)為分子、分母部分的兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)。例：繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的常用技巧.1化帶分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)：繁分?jǐn)?shù)中的分子或分母若含有帶分?jǐn)?shù)，則把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)再化簡(jiǎn)。.2化小數(shù)為分?jǐn)?shù)：繁分?jǐn)?shù)中的分子或分母若含有小數(shù)，則一般可把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)再化簡(jiǎn)。.3化分?jǐn)?shù)為小數(shù)：繁分?jǐn)?shù)中的分子或分母部分所含有的分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)，則可把分子或分母中的分?jǐn)?shù)化為小數(shù)再化簡(jiǎn)。.4化小數(shù)為整數(shù)：若分子、分母都是小數(shù)還可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分子與分母同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，把小數(shù)化成整數(shù)再化簡(jiǎn)。.5化復(fù)雜為簡(jiǎn)單：繁分?jǐn)?shù)的分子或分母部分若含有加減運(yùn)算，則先加減運(yùn)算再按繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。繁分?jǐn)?shù)的分子、分母都是連乘運(yùn)算可以分子、分母直接約分化簡(jiǎn)。（１）（２）.6化多層為單層：化簡(jiǎn)復(fù)雜的繁分?jǐn)?shù)要學(xué)會(huì)分層化簡(jiǎn)。走進(jìn)奧數(shù)繁分?jǐn)?shù)最小公倍數(shù)），從而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通過計(jì)算化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)或整數(shù)。例2、EQ\f(4EQ\f(2,3)-3EQ\f(3,4),2EQ\f(1,2)+4EQ\f(5,6))=EQ\f(（4EQ\f(2,3)-3EQ\f(3,4)）×12,（2EQ\f(1,2)+4EQ\f(5,6)）×12)=EQ\f(56-45,30+58)=EQ\f(11,88)=EQ\f(1,8)繁分?jǐn)?shù)的分子部分和分母部分，有時(shí)也出現(xiàn)是小數(shù)的情況，如果分子部分與分母部分都是小數(shù)，可依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把它們都化成整數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算。如果是分?jǐn)?shù)和小數(shù)混合出現(xiàn)的形式，可按照分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算的方法進(jìn)行處理。即：把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)。有一種繁分?jǐn)?shù)，形式如1+EQ\f(1,4+EQ\f(1,3+EQ\f(1,2+EQ\f(1,2+…))))這種繁分?jǐn)?shù)叫連分?jǐn)?shù)。連分?jǐn)?shù)是繁分?jǐn)?shù)的特殊形式，二者之間是一般與特殊的關(guān)系。計(jì)算連分?jǐn)?shù)，采取自下而上的方法，先將連分?jǐn)?shù)中最下面的分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)，然后逐步向上計(jì)算。例如：EQ\f(1,1+EQ\f(1,2+EQ\f(1,3+EQ\f(1,4))))=EQ\f(1,1+EQ\f(1,2+EQ\f(1,3+EQ\f(1,4))))=EQ\f(1,1+EQ\f(1,2+EQ\f(4,13)))=EQ\f(1,1+EQ\f(1,EQ\f(30,13)))=EQ\f(1,EQ\f(43,30))=EQ\f(30,43)例1：EQ\f(1998+1997×1999,1998×1999-1)=EQ\f(1998+1997×1999,1997×1999+1999-1)=EQ\f(1998+1997×1999,1998+1997×1999)=13.已知EQ\f(1,1+EQ\f(1,2+EQ\f(1,x+EQ\f(1,4))))=EQ\f(8,11)，求x.解：用倒推法。設(shè)EQ\f(1,1+x)1=EQ\f(8,11)，解得x1=EQ\f(3,8)。又設(shè)EQ\f(1,2+x)2=EQ\f(3,8)，解得x2=EQ\f(2,3)再設(shè)EQ\f(1,x3)=EQ\f(2,3)，解得x3=EQ\f(3,2)x+EQ\f(1,4)=EQ\f(2,3),解得x=EQ\f(5,12)拓展演練用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題：⑴EQ\f(567+345×566,567×345+222)⑵EQ\f(987×655-321,666+987×654)⑶EQ\f(252525×252252,525525×525252)⑷EQ\f(213639×264528792,132396×213426639)（5）EQ\f(96EQ\f(72,73)+36EQ\f(24,25),32EQ\f(24,73)+12EQ\f(8,25))（6）EQ\f(1+2+3+4+5+6++5+4+3+2+1,666666×666666)（7）EQ\f(1EQ\f(2,3)+2EQ\f(3,4)+3EQ\f(4,5)+…+27EQ\f(28,29)+28EQ\f(29,30),3EQ\f(1,3)+5EQ\f(2,4)+7EQ\f(3,5)+…+55EQ\f(27,29)+59EQ\f(28,30))2.計(jì)算EQ\f(3.875×EQ\f(1,5)+38.75×0.09-0.155÷0.4,2EQ\f(1,6)×[(4.32-1.68-1EQ\f(8,25))×EQ\f(5,11)-EQ\f(2,7)]÷1EQ\f(9,35)+1EQ\f(11,24))3.計(jì)算下面各題。（1）EQ\f(1,2+EQ\f(1,3+EQ\f(1,4+EQ\f(1,5))))（2）EQ\f(1,5+EQ\f(1,4+EQ\f(1,3+EQ\f(1,2))))（3）EQ\f(1,6-EQ\f(2,7-EQ\f(3,8-EQ\f(4,5))))（4）EQ\f(1+EQ\f(1,2-EQ\f(1,3)),1-EQ\f(1,2+EQ\f(1,3)))4.已知EQ\f(1,1+EQ\f(1,2+EQ\f(1,3+EQ\f(1,4+EQ\f(1,x)))))=EQ\f(67,96)5.求下列式子的整數(shù)部分。EQ\f(1,EQ\f(1,1991)+EQ\f(1,1992)+…+EQ\f(1,2000))星級(jí)擂臺(tái)EQ\f(1-EQ\f(1,2)+EQ\f(1,3)-EQ\f(1,4)+…+EQ\f(1,99),EQ\f(1,1+101)+EQ\f(1,2+102)+…+EQ\f(1,50+150))拓展演練答案參考1.（1）原式=EQ\f(567+345×566,566×345+345+222)=1（2）1（方法同1）（3）原式=EQ\f(25×10101×252×1001,525×1001×52×10101)=EQ\f(3,13)（4）2（5）3（方法同7）（6）EQ\f(1,12345654321)（7）原式=EQ\f(EQ\f(5,3)+EQ\f(11,4)+EQ\f(19,5)+…+EQ\f(811,29)+EQ\f(869,30),EQ\f(10,3)+EQ\f(22,4)+EQ\f(38,5)+…+EQ\f(1622,29)+EQ\f(1738,30))=EQ\f(EQ\f(5,3)+EQ\f(11,4)+EQ\f(19,5)+…+EQ\f(811,29)+EQ\f(869,30),2（EQ\f(5,3)+EQ\f(11,4)+EQ\f(19,5)+…+EQ\f(811,29)+EQ\f(869,30))）=EQ\f(1,2)2.23.（1）EQ\f(68,157)（2）EQ\f(30,157)（3）EQ\f(79,450)（4）2EQ\f(4,5)x=29提示：EQ\f(1,EQ\f(1,1990)×10)>EQ\f(1,EQ\f(1,1991)+EQ\f(1,1992)+…+EQ\f(1,2000))>EQ\f(1,EQ\f(1,2000)×10)星級(jí)擂臺(tái)答案參考:2提示：分子=(1+EQ\f(1,2)+EQ\f(1,3)+EQ\f(1,4)+…+EQ\f(1,99)+EQ\f(1,100))-2×(EQ\f(1,2)+EQ\f(1,4)+…+EQ\f(1,100))=(1+EQ\f(1,2)+EQ\f(1,3)+EQ\f(1,4)+…+EQ\f(1,99)+EQ\f(1,100))-(1+EQ\f(1,2)+EQ\f(1,3)+EQ\f(1,4)+…+EQ\f(1,50))=EQ\f(1,51)+EQ\f(1,52)+…+EQ\f(1,100)分母=EQ\f(1,2)（EQ\f(1,51)+EQ\f(1,52)+…+EQ\f(1,100)）參考部分(一)分?jǐn)?shù)與繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)1.講析：容易看出，分子中含有因數(shù)37，分母中含有因數(shù)71。所以可得2.（長(zhǎng)沙地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克選拔賽試題）講析：注意到，4×6=24，2＋4=6，由此產(chǎn)生的一連串算式：16×4=64166×4=6641666×4=6664……3.（1990年馬鞍山市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）講析：如果分別計(jì)算出分子與分母的值，則難度較大。觀察式子，可發(fā)現(xiàn)分子中含有326×274，分母中含有275×326。于是可想辦法化成相同的數(shù)：4.（全國第三屆“華杯賽”復(fù)賽試題）講析：可把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)都化成假分?jǐn)?shù)，并注意將分子分母同乘以一個(gè)數(shù)，以消除各自中的分母。于是可得5.化簡(jiǎn)（全國第三屆“華杯賽”復(fù)賽試題）講析：由于分子與分母部分都比較復(fù)雜，所以只能分別計(jì)算。計(jì)算時(shí)，哪一步中能簡(jiǎn)算的，就采用簡(jiǎn)算的辦法去計(jì)算。所以，原繁分?jǐn)?shù)等于1。什么叫做繁分?jǐn)?shù)？_計(jì)算奧數(shù)專題_繁分?jǐn)?shù)問題在一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母里，至少有一個(gè)又含有分?jǐn)?shù)，這樣形式的分?jǐn)?shù)，叫做繁分?jǐn)?shù)。繁分?jǐn)?shù)中，把分子部分和分母部分分開的那條分?jǐn)?shù)線，叫做繁分?jǐn)?shù)的主分?jǐn)?shù)線（也叫主分線）。主分線比其他分?jǐn)?shù)線要長(zhǎng)一些，書寫位置要取中。在運(yùn)算過程中，主分線要對(duì)準(zhǔn)等號(hào)。如果一個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子部分和分母部分又是繁分?jǐn)?shù)，我們就把最長(zhǎng)的那條主分線，叫做中主分線，依次向上為上一主分線，上二主分線……；依次向下叫下一主分線，下二主分線……；兩端的叫末主分線。如：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算也可以寫成繁分?jǐn)?shù)的形式。什么叫做繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)？_計(jì)算奧數(shù)專題_繁分?jǐn)?shù)問題把繁分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)或整數(shù)的過程，叫做繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)。繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)一般采用以下兩種方法：（1）先找出中主分線，確定出分母部分和分子部分，然后這兩部分分別進(jìn)行計(jì)算，每部分的計(jì)算結(jié)果，能約分的要約分，最后寫成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出最后結(jié)果。此題也可改寫成分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算式，再進(jìn)行計(jì)算。（2）繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的另一種方法是：根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，經(jīng)繁分?jǐn)?shù)的分子部分、分母部分同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)（這個(gè)倍數(shù)必須是分子部分與分母部分所有分母的最小公倍數(shù)），從而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通過計(jì)算化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)或整數(shù)。繁分?jǐn)?shù)的分子部分和分母部分，有時(shí)也出現(xiàn)是小數(shù)的情況，如果分子部分與分母部分都是小數(shù)，可依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把它們都化成整數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算。如果是分?jǐn)?shù)和小數(shù)混合出現(xiàn)的形式，可按照分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算的方法進(jìn)行處理。即：把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)。繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算基本法則_計(jì)算奧數(shù)專題_繁分?jǐn)?shù)問題繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，涉及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的定義新運(yùn)算問題，綜合性較強(qiáng)的計(jì)算問題．1．繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算必須注意多級(jí)分?jǐn)?shù)的處理，如下所示：

甚至可以簡(jiǎn)單地說：“先算短分?jǐn)?shù)線的，后算長(zhǎng)分?jǐn)?shù)線的”．找到最長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)線，將其上視為分子，其下視為分母．2．一般情況下進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘、除運(yùn)算使用真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，而不使用帶分?jǐn)?shù)．所以需將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)．3．某些時(shí)候?qū)⒎謹(jǐn)?shù)線視為除號(hào)，可使繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算更加直觀．4．對(duì)于定義新運(yùn)算，我們只需按題中的定義進(jìn)行運(yùn)算即可．繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析1_計(jì)算奧數(shù)專題_繁分?jǐn)?shù)問題繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析1繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析2繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析3繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析4繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析5繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析6繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析7繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析8繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析9繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析10繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析11繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析12繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析13繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析14繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析15數(shù)學(xué)計(jì)算公式（常用公式）繁分?jǐn)?shù)的計(jì)算練