2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市交聯(lián)體數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市交聯(lián)體數(shù)學(xué)高一下期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，則下列不等式不成立的是()A． B． C． D．2．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒，若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）A． B． C． D．3．小金同學(xué)在學(xué)校中貫徹著“邊玩邊學(xué)”的學(xué)風(fēng)，他在“漢諾塔”的游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙：有、、三個木樁，木樁上套有編號分別為、、、、、、的七個圓環(huán)，規(guī)定每次只能將一個圓環(huán)從一個木樁移動到另一個木樁，且任意一個木樁上不能出現(xiàn)“編號較大的圓環(huán)在編號較小的圓環(huán)之上”的情況，現(xiàn)要將這七個圓環(huán)全部套到木樁上，則所需的最少次數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A． B． C． D．5．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切6．將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣:其中每一行項(xiàng)數(shù)是上一行項(xiàng)數(shù)的倍，且從第二行起每-行均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，記數(shù)陣中的第列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于()A． B． C． D．7．在中，已知其面積為，則=（）A． B． C． D．8．已知a＞0，x，y滿足約束條件,若z=2x+y的最小值為1，則a=A． B． C．1 D．29．已知平面向量的夾角為，且，則()A． B． C． D．10．已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，，成等比數(shù)列，則有（）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，則______．12．已知函數(shù)的最小正周期為，若將該函數(shù)的圖像向左平移個單位后，所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為________.13．已知圓是圓上的一條動直徑，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，則的最小值是____.14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證成立時，等號左邊的式子是______.15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則________．16．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足（，且），且，設(shè)，，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）對于任意，，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．已知平面向量滿足：（1）求與的夾角；（2）求向量在向量上的投影.19．如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20．已知同一平面內(nèi)的三個向量、、，其中（1，2）．（1）若||＝2，且與的夾角為0°，求的坐標(biāo)；（2）若2||＝||，且2與2垂直，求在方向上的投影．21．已知數(shù)列前項(xiàng)和為，，且滿足（）．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求證：．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由題得a＜b＜0，再利用作差比較法判斷每一個選項(xiàng)的正誤得解.【詳解】由題得a＜b＜0，對于選項(xiàng)A,=，所以選項(xiàng)A錯誤.對于選項(xiàng)B,顯然正確.對于選項(xiàng)C,，所以，所以選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D,，所以選項(xiàng)D正確.故答案為A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查不等式的基本性質(zhì)和實(shí)數(shù)大小的比較，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.2、B【解析】試題分析：因?yàn)榧t燈持續(xù)時間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選B.【考點(diǎn)】幾何概型【名師點(diǎn)睛】對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認(rèn)識，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法．3、B【解析】

假設(shè)樁上有個圓環(huán)，將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得出的值，可得出結(jié)果.【詳解】假設(shè)樁上有個圓環(huán)，將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，可這樣操作，先將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，然后將最大的圓環(huán)從木樁套在木樁上，需要次，在將木樁上個圓環(huán)從木樁套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，所以，，易知.設(shè)，得，對比得，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，因此，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，同時也考查了利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵就是利用題意得出數(shù)列的遞推公式，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.4、B【解析】

已知兩角及一對邊，求另一邊，我們只需利用正弦定理.【詳解】在三角形中由正弦定理公式:，所以選擇B【點(diǎn)睛】本題直接屬于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.屬于簡單題.5、D【解析】

根據(jù)圓的方程求得兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系可確定位置關(guān)系.【詳解】由圓的方程可知圓圓心為，半徑；圓圓心為，半徑圓心距為：兩圓的位置關(guān)系為：外切本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是能夠通過圓的方程確定兩圓的圓心和半徑，從而根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系確定位置關(guān)系.6、C【解析】

先確定為第11行第2個數(shù)，由可得，最后根據(jù)從第二行起每一行均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列即可得出結(jié)論．【詳解】∵其中每一行項(xiàng)數(shù)是上一行項(xiàng)數(shù)的倍，第一行有一個數(shù)，前10行共計(jì)個數(shù)，即為第11行第2個數(shù)，又∵第列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，，∴當(dāng)時，，∴第11行第1個數(shù)為108，∴，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是為第11行第2個數(shù)，屬于中檔題．7、C【解析】或（舍），故選C.8、B【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+y表示的直線經(jīng)過點(diǎn)A時，取得最小值，而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），所以，解得，故選B.【考點(diǎn)定位】本小題考查線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識，難度不大，線性規(guī)劃知識在高考中一般以小題的形式出現(xiàn)，是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，幾乎年年必考.9、B【解析】

將模平方后利用數(shù)量積的定義計(jì)算其結(jié)果，然后開根號得出的值．【詳解】，因此，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積來求平面向量的模，通常利用平方法結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義來進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．10、C【解析】試題分析：因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以可得，有最小值，故選C.考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的性質(zhì)；2、對數(shù)的運(yùn)算及基本不等式求最值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)表求解出，代入回歸直線，求得的值.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線求實(shí)際數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于明確回歸直線恒過，從而可構(gòu)造出關(guān)于的方程.12、【解析】

先利用周期公式求出，再利用平移法則得到新的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出的表達(dá)式，即可求出的最小值．【詳解】由得，所以，向左平移個單位后，得到，因?yàn)槠鋱D像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，有，則，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及圖像變換，以及型的函數(shù)奇偶性判斷條件．一般地為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則；為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則．13、【解析】

由題意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．【詳解】圓，得，則圓心C（1，2），半徑R＝，如圖可得：＝＝﹣＝，點(diǎn)是直線上，所以＝（）2＝，∴的最小值是＝.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題．14、【解析】

根據(jù)左邊的式子是從開始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1求解即可.【詳解】因?yàn)樽筮叺氖阶邮菑拈_始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.【點(diǎn)睛】項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯點(diǎn)，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.15、【解析】

求出公差，利用通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)公差為，則所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，為一個底面是直角梯形的四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，分別求出其底面積和高，求出體積，得到答案.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示，幾何體是一個底面是直角梯形的四棱錐，由三視圖可知，其底面積為，高所以幾何體的體積為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體，求四棱錐的體積，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析（2）(3).【解析】

（1）將式子寫為：得證，再通過等比數(shù)列公式得到的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)（1）得到進(jìn)而得到數(shù)列通項(xiàng)公式，再利用錯位相減法得到前n項(xiàng)和.（3）首先判斷數(shù)列的單調(diào)性計(jì)算其最大值，轉(zhuǎn)換為二次不等式恒成立，將代入不等式，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以是等比?shù)列，其中首項(xiàng)是，公比為，所以，.（2），所以，由（1）知，，又，所以.所以，所以兩式相減得.所以.（3），所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，所以當(dāng)或時，取最大值是.只需，即對于任意恒成立，即所以.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的證明，錯位相減法求前N項(xiàng)和，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的最大值，二次不等式恒成立問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生解決問題的能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由題，先求得的大小，再根據(jù)數(shù)量積的公式，可得與的夾角；（2）先求得的模長，再直接利用向量幾何意義的公式，求得結(jié)果即可.【詳解】（1）∵，∴，又∵，∴，∴，∴（2）∵，∴∴向量在向量上的投影為【點(diǎn)睛】本題考查了向量的知識，熟悉向量數(shù)量積的知識點(diǎn)和幾何意義是解題的關(guān)鍵所在，屬于中檔題.19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）轉(zhuǎn)化為證明；（Ⅱ）轉(zhuǎn)化為證明，；（Ⅲ）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，由于平面，平面，所以平?（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?平面平面，平面平面，所以平面.所以.取中點(diǎn)，連接.由，，，可得四邊形為正方形.所以.所以.所以.因?yàn)椋云矫?（Ⅲ）存在，當(dāng)為的中點(diǎn)時，平面，此時.證明如下：連接交于點(diǎn)，由于四邊形為正方形，所以是的中點(diǎn)，同時也是的中點(diǎn).因?yàn)?，又四邊形為正方形，所以，連接，所以四邊形為平行四邊形.所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的關(guān)系.線面關(guān)系的證明要緊扣判定定理，轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明.20、（1）（2，4）（2）【解析】

（1）由題意可得與共線，設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)||＝2，求出參數(shù)的值，可得的坐標(biāo)；

（2）由題意可得，再根據(jù)，求出

的值，可得在方向上的投影的值．【詳解】（1）同一平面內(nèi)的三個向量、、，其中（1，2），若||＝2，且