2023-2024學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷+

2023-2024學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列圖形是汽車的標(biāo)識(shí)，其中是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是(

)A. B.

C. D.2.下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是(

)A. B.

C. D.3.北京冬奧會(huì)開幕式的冰雪五環(huán)由我國(guó)航天科技建造，該五環(huán)由21000個(gè)LED燈珠組成，夜色中就像閃閃發(fā)光的星星，把北京妝扮成了奧運(yùn)之城．將數(shù)據(jù)21000用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A. B. C. D.4.學(xué)校舉辦跳繩比賽，九年班參加比賽的6名同學(xué)每分鐘跳繩次數(shù)分別是172，169，180，182，175，176，這6個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(

)A.181 B.175 C.176 D.5.2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？(

)A.8 B.10 C.7 D.96.已知關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是(

)A. B. C.且 D.且7.如圖，在中，，，，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為(

)

A.

B.

C.

D.8.關(guān)于x的方程實(shí)數(shù)根的情況，下列判斷正確的是(

)A.有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根 D.有一個(gè)實(shí)數(shù)根9.如圖，中，，AD平分與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)若的面積是24，，則PE的長(zhǎng)是(

)A. B.2 C. D.310.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接則下列結(jié)論：①；②；③；④若BE：：3，則；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的其中正確的結(jié)論是(

)A.①②④⑤

B.①②③⑤

C.①②③④

D.①③④⑤二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.因式分解：______.12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是______.13.一元二次方程配方為，則k的值是______.14.若的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式的值是__________.15.如圖，在中，，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接若，則__________.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，…在x軸上且，，，…按此規(guī)律，過點(diǎn)，，，…作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)，，，…記，，，…的面積分別為，，，…則______.三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題8分

計(jì)算：18.本小題8分

先化簡(jiǎn)，再求值：，其中19.本小題8分

如圖，在?ABCD中，E，G，H，F(xiàn)分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且，求證：20.本小題8分

為了加強(qiáng)對(duì)青少年防溺水安全教育，5月底某校開展了“遠(yuǎn)離溺水，珍愛生命”的防溺水安全知識(shí)比賽．下面是從參賽學(xué)生中隨機(jī)收集到的20名學(xué)生的成績(jī)單位：分：

87998689919195968797

919796869689100919997

整理數(shù)據(jù)：成績(jī)分8687899195969799100學(xué)生人數(shù)人222a13b21分析數(shù)據(jù)：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)93cd解決問題：

直接寫出上面表格中的a，b，c，d的值；

若成績(jī)達(dá)到95分及以上為“優(yōu)秀”等級(jí)，求“優(yōu)秀”等級(jí)所占的百分率；

請(qǐng)估計(jì)該校1500名學(xué)生中成績(jī)達(dá)到95分及以上的學(xué)生人數(shù)．21.本小題8分

今年，我國(guó)“巔峰使命”2022珠峰科考團(tuán)對(duì)珠穆朗瑪峰進(jìn)行綜合科學(xué)考察，搭建了世界最高海拔的自動(dòng)氣象站，還通過釋放氣球方式進(jìn)行了高空探測(cè)．某學(xué)校興趣小組開展實(shí)踐活動(dòng)，通過觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算氣球升空的高度

如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，，垂足為點(diǎn)B，，，，求AB的高度．精確到

參考數(shù)據(jù)：，，，22.本小題8分

如圖，以AB為直徑的半圓中，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C在圓上，過點(diǎn)C作，且連接AD，分別交OC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，與交于點(diǎn)G，若

求證：①∽；

②CD是的切線．

求的值．23.本小題8分

2008年5月12日14時(shí)28分四川汶川發(fā)生里氏級(jí)強(qiáng)力地震．某市接到上級(jí)通知，立即派出甲、乙兩個(gè)抗震救災(zāi)小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點(diǎn)480千米的災(zāi)區(qū)．乙組由于要攜帶一些救災(zāi)物資，比甲組遲出發(fā)小時(shí)從甲組出發(fā)時(shí)開始計(jì)時(shí)圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程千米、千米與時(shí)間小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象．請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息，解決下列問題：

由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了______小時(shí)；

甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災(zāi)區(qū)．請(qǐng)問甲組的汽車在排除故障時(shí)，距出發(fā)點(diǎn)的路程是多少千米？

為了保證及時(shí)聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩組在第一次相遇時(shí)約定此后兩車之間的路程不超過25千米，請(qǐng)通過計(jì)算說明，按圖象所表示的走法是否符合約定？24.本小題8分

問題背景：

一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是的角平分線，可證小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明

嘗試證明：

請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明：；

應(yīng)用拓展：

如圖3，在中，，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．

①若，，求DE的長(zhǎng)；

②若，，求DE的長(zhǎng)用含m，的式子表示

25.本小題8分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．

求此拋物線的解析式；

若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D.不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：

根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．

本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2.【答案】C

【解析】解：，故A不正確；

B.，故B不正確；

C.，故C正確；

D.，故D不符合題意；

故選：

利用完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，冪的乘方的法則，同底數(shù)冪的除法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．

本題考查了完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，冪的乘方的法則，同底數(shù)冪的除法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．3.【答案】B

【解析】解：；

故選：

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)數(shù)．

此題考查了科學(xué)記數(shù)法．解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4.【答案】D

【解析】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：169，172，175，176，180，182，

中位數(shù)，

故選：

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法即可得出答案．

本題考查了中位數(shù)，掌握將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是解題的關(guān)鍵．5.【答案】B

【解析】解：設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，

根據(jù)題意，可得，

解得或舍，

共有10支隊(duì)伍參加比賽．

故選：

設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)“循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)”列一元二次方程，求解即可．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6.【答案】C

【解析】解：方程兩邊同時(shí)乘以得，，

解得

為正數(shù)，

，解得，

，

，即，

的取值范圍是且

故選：

先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．

本題考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解是解題的關(guān)鍵．7.【答案】B

【解析】【分析】

連接CD，根據(jù)，可以得到的度數(shù)，再根據(jù)以及的度數(shù)即可得到的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．

本題考查了弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是：求出弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)以及弧所在扇形的半徑．

【解答】

解：連接CD，如圖所示：

，，，

，，

由題意得：，

為等邊三角形，

，

的長(zhǎng)為：，

故選：8.【答案】B

【解析】解：關(guān)于x的方程根的判別式，

有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

故選：

由根的判別式的符號(hào)來判定原方程的根的情況．

本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：

①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．

上面的結(jié)論反過來也成立．9.【答案】A

【解析】解：如圖，過點(diǎn)E作于G，

，AD平分，

，，

，，

點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

是AD的中點(diǎn)，

，

是CD的中點(diǎn)，

，

，

，

≌，

，

，

的面積是24，

，

，

，

，

由勾股定理得：

故選：

如圖，過點(diǎn)E作于G，證明≌，得，由三角形中位線定理可得AD的長(zhǎng)，由三角形ABC的面積是24，得BC的長(zhǎng)，最后由勾股定理可得結(jié)論．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)，作輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．10.【答案】B

【解析】解：①四邊形ABCD是正方形，

，，

，

，

在和中，

，

≌，

在和中，

，

≌，

，

，

①的結(jié)論正確；

②，，

點(diǎn)A，B，P，O四點(diǎn)共圓，

，

②的結(jié)論正確；

③過點(diǎn)O作，交AP于點(diǎn)H，如圖，

，，

，

，

，

，

，，，

在和中，

，

≌，

③的結(jié)論正確；

④：：3，

設(shè)，則，

，

過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，如圖，

，

，

，

在中，

，

④的結(jié)論不正確；

⑤四邊形ABCD是正方形，

，，

≌≌≌

由①知：≌，

，

即四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的

⑤的結(jié)論正確．

綜上，①②③⑤的結(jié)論正確．

故選：

利用全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理對(duì)每個(gè)選項(xiàng)的結(jié)論進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，充分利用正方形的性質(zhì)構(gòu)造等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】解：

故答案為：

直接提取公因式a，進(jìn)而分解因式得出答案．

此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．12.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意得，，

解得

故答案為：

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計(jì)算即可得解．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．13.【答案】1

【解析】解：，

，

，

，

一元二次方程配方為，

，

故答案為：

根據(jù)配方法可以將題目中方程變形，然后即可得到k的值．

本題考查解一元二次方程-配方法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用配方法將方程變形．14.【答案】2

【解析】解：，

，

，

若的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，

，，

，

故答案為：

根據(jù)的范圍，求出的范圍，從而確定a、b的值，代入所求式子計(jì)算即可．

本題考查了估算無理數(shù)的大小，二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是求出a、b的值．15.【答案】

【解析】【分析】

如圖，連接BE，根據(jù)作圖可知MN為AB的垂直平分線，從而得到，然后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用斜邊上的中線的性質(zhì)即可求解．

本題主要考查了直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，作一條線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理，掌握常見圖形的尺規(guī)作圖方法是解題的關(guān)鍵．

【解答】

解：如圖，連接BE，

，

，，

而根據(jù)作圖可知MN為AB的垂直平分線，

，

在中，，

，

為直角三角形ABC斜邊上的中線，

故答案為：16.【答案】

【解析】解：，，

，

，

，

，

，

把代入直線中可得：，

，

把代入直線中可得：，

，

把代入直線中可得：，

，

把代入直線中可得：，

，

，

，

，

，

，

故答案為：

根據(jù)已知先求出，，的長(zhǎng)，再代入直線中，分別求出，，，，然后分別計(jì)算出，，，，再從數(shù)字上找規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，含30度角的直角三角形，根據(jù)已知分別求出，，，的值，然后從數(shù)字上找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．17.【答案】解：

【解析】先計(jì)算算術(shù)平方根和平方，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減．

此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序和方法．18.【答案】解：

，

當(dāng)時(shí)，

原式

【解析】利用分式的減法法則和除法法則對(duì)分式進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)，把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算求出a的值，代入化簡(jiǎn)后的分式進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．

本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，特殊角的三角函數(shù)值，掌握分式的混合計(jì)算及特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．19.【答案】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

，，

，

，

即，

在和中，

，

≌，

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明≌是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：分的有4人，97分的有3人，

，，

分的人數(shù)最多，

眾數(shù)為4，即，

，

綜上所述，，，，；

成績(jī)達(dá)到95分及以上有10人，

則“優(yōu)秀”等級(jí)所占的百分率為：；

估計(jì)該校1500名學(xué)生中成績(jī)達(dá)到95分及以上的學(xué)生人數(shù)為：人

【解析】根據(jù)20名學(xué)生的成績(jī)的具體數(shù)據(jù)求出a、b，根據(jù)眾數(shù)的定義求出c，根據(jù)中位數(shù)的定義求出d；

根據(jù)“優(yōu)秀”等級(jí)人數(shù)求出“優(yōu)秀”等級(jí)所占的百分率；

根據(jù)“優(yōu)秀”等級(jí)所占的百分率估計(jì)該校1500名學(xué)生中成績(jī)達(dá)到95分及以上的學(xué)生人數(shù)．

本題考查的是眾數(shù)、中位數(shù)以及用樣本估計(jì)總體，掌握眾數(shù)、中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：設(shè)，

在中，

，

，

在中，

，

，

，

，

解得：

的高度約為984米．

【解析】設(shè)，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理分別表示出CB，BD的長(zhǎng)度，利用列出方程，解方程即可求解．

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確利用直角三角形的邊角關(guān)系定理選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式是解題的關(guān)鍵．22.【答案】證明：①，

，

，

∽；

②，

，

，

，

是半圓的半徑，

是的切線；

解：過點(diǎn)F作交OC于H，

設(shè)圓的半徑為2a，

，，

，，

由勾股定理得：，

，

∽，

，

，

，

，

，

，

是的切線，

，即，

解得：，

，

【解析】①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)對(duì)頂角相等得到，根據(jù)相似三角形的判定定理證明∽；

②根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；

過點(diǎn)F作交OC于H，設(shè)圓的半徑為2a，根據(jù)勾股定理用a表示出AE，進(jìn)而求出AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DG，進(jìn)而求出FG，計(jì)算即可．

本題考查的是切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：；

設(shè)直線EF的解析式為，

點(diǎn)、點(diǎn)均在直線EF上，

，

解得直線EF的解析式是；

點(diǎn)C在直線EF上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6，

點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為；

點(diǎn)C的坐標(biāo)是；

設(shè)直線BD的解析式為；

點(diǎn)、點(diǎn)在直線BD上，

；

解得；的解析式是；

點(diǎn)在直線BD上且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，代入得，

甲組在排除故障時(shí)，距出發(fā)點(diǎn)的路程是270千米．

符合約定；

由圖象可知：甲、乙兩組第一次相遇后在B和D相距最遠(yuǎn)．

在點(diǎn)B處有千米千米，

在點(diǎn)D有千米千米，

按圖象所表示的走法符合約定．

【解析】由于線段AB與x軸平行，故自3時(shí)到時(shí)這段時(shí)間內(nèi)甲組停留在途中，所以停留的時(shí)間為時(shí)；

觀察圖象可知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)就是甲組的汽車在排除故障時(shí)距出發(fā)點(diǎn)的路程的千米數(shù)，所以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)是解答題的關(guān)鍵，這就需要求得直線EF和直線BD的解析式，而EF過點(diǎn)，，利用這兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出該直線的解析式，然后令，即可求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，又因點(diǎn)，這樣就可求出CD即BD的解析式，從而求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；

由圖象可知：甲、乙兩組第一次相遇后在B和D相距最遠(yuǎn)，在點(diǎn)B處時(shí)，，求出此時(shí)的，在點(diǎn)D有，也求出此時(shí)的，分別同25比較即可．

本題是依