湖南省長沙市2024屆中考數(shù)學模擬沖刺訓練

絕密★啟用前湖南省長沙市2024屆中考數(shù)學模擬沖刺訓練溫馨提示：1.答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號、考室和座位號；2.必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3.答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；4.請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5.答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6.本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分．一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．2024年3月27日清晨，在中國太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征六號改運載火箭，成功將云海三號02星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功．長六改火箭總長約50米，起飛重量約530000千克．其中數(shù)據(jù)530000用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．2．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．3．“青年大學習”是共青團中央為組織引導廣大青少年，深入學習貫徹習近平新時代中國特色社會主義思想的青年學習行動．某校為了解同學們某季度學習“青年大學習”的情況，從中隨機抽取7位同學，經(jīng)統(tǒng)計他們的學習時間（單位：分鐘）分別為：78，80，85，80，90，80，85．則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（

）A．78 B．80 C．85 D．904．亮亮的媽媽在超市買了24個青團，其中豆沙餡的8個，芋泥餡的6個，蛋黃肉松餡的10個，它們的形狀、大小和重量都是一樣的，這些青團裝在一個不透明的塑料袋中．小敏從中隨機摸出一個，恰好是芋泥餡青團的概率是（

）A． B． C． D．5．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中、都與地面平行，，，若，則（

）A． B． C． D．6．如圖，的對角線，相交于點，的平分線與邊相交于點，是的中點，若，，則的長為（

）A．1 B． C． D．27．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．

B．

C．

D．

8．如圖，在一艘小船A上測得海岸上高為的燈塔的頂部C處的仰角是，則船離燈塔的水平距離等于（

）A． B． C． D．9．《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方程組為（

）A． B． C． D．10．如圖，二次函數(shù)：的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且對稱軸為直線，點B坐標為，則下面的五個結(jié)論：①；②；③當時，或；④；⑤（m為實數(shù)），其中正確的結(jié)論是（

）A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11．因式分解：．12．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．13．如圖，在中，以點為圓心，長為半徑作弧，交于點；分別以，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，連接并延長，交于點．若，，則的長為．14．某校為開展“陽光體育”活動，組織調(diào)查了該校50名學生各自最喜愛的一項體育活動，制成了如圖所示的扇形統(tǒng)計圖．全校共有3200名學生，估計該學校選擇羽毛球的學生有名．15．如圖，已知是的直徑，弦，垂足為，且，，則圖中陰影部分的面積為．16．如圖，點在反比例函數(shù)的圖像上，軸于點，為的中點，連接，若的面積為，則的值為．三、解答題：本題共9小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．計算：．18．先化簡，再求值：，其中．19．解方程組：20．近年來教育部要求學校積極開展素質(zhì)教育，落實“雙減”政策，瀘縣某中學把足球和籃球列為該校的特色項目．學校準備從體育用品商店一次性購買若干個籃球和足球．若購買3個籃球和2個足球共490元，購買2個籃球和3個足球共460元．(1)籃球、足球的單價各是多少元？(2)根據(jù)學校實際需要，需一次性購買籃球和足球共100個，要求購買籃球和足球的總費用不超過9200元，且購買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的一半，請求出最省錢的一種購買方案．21．我校為加強學生安全意識，組織全校學生參加安全知識競賽．從中抽取部分學生成績進行統(tǒng)計，繪制以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)圖中的信息，解決下列問題：(1)填空：；(2)補全頻數(shù)直方圖；(3)我校共有3000名學生，若成績在70分以下（含70分）的學生安全意識不強，則我校安全意識不強的學生約有多少人？22．如圖，是的直徑，C，D是上兩點，為的切線，且，垂足是E，連接交于點F．

(1)求證：平分；(2)求證：；(3)若，求的值．23．如圖是某款籃球架的示意圖，已知底座米，底座與支架所成的角，支架的長為米，籃板頂端點到籃框的距離米，籃板底部支架與支架所成的角．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）(1)求支架的頂端到地面的距離的高度．（精確到米）；(2)求籃框D到地面的距離（精確到米）．24．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，菱形頂點A的坐標為．(1)求過點B的反比例函數(shù)的解析式；(2)點D在x軸上，當以B、D、O三點構(gòu)成的三角形為等腰三角形時，求點D的坐標；(3)反向延長，與反比例函數(shù)在交于點F，點Q在x軸上的一點，當以F、Q、B三點構(gòu)成的三角形為直角三角形時，直接寫出Q點的坐標．25．定義：對于函數(shù)，當自變量，函數(shù)值時，則叫做這個函數(shù)的不動點．(1)直接寫出反比例函數(shù)的不動點是______．(2)如圖，若二次函數(shù)有兩個不動點，分別是0與3，且該二次函數(shù)圖象的頂點P的坐標為．①求該二次函數(shù)的表達式；②連接，M是線段上的動點（點M不與點O，P重合），N是該二次函數(shù)圖象上的點，在x軸正半軸上是否存在點滿足，若存在，求m的最大值；若不存在，請說明理由．閱讀材料：在平面直角坐標系中，若點E和點F的坐標分別為和，則點E和點F的距離為．26．【問題探究】綜合實踐課上，老師給出這樣一個問題要求同學們進行小組合作探究：如圖①，在中，，點在邊上，．探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小紅同學這一個學習小組探究此問題的方法是：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接（如圖②），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及，可證，得．即可得出之間的數(shù)量關(guān)系．（1）請你根據(jù)小紅同學這一學習小組的探究方法，寫出探究結(jié)論：在圖②中，______度，之間的數(shù)量關(guān)系是______．【問題延伸】（2）小明同學這一學習小組在上述探究的基礎(chǔ)上，又進行了如下問題的探究：如圖③，在正方形中，點分別是邊上的動點，連接交于，若．請你幫小明同學這一學習小組完成如下猜想：①線段的數(shù)量關(guān)系是______；②線段的數(shù)量關(guān)系是______；請任選一個你的猜想說明理由．【問題解決】（3）請根據(jù)上述探究方法，解決如下問題：如圖④，已知點，點，點位于軸正半軸，，試求出點的坐標．參考答案：1．C【分析】本題考查科學記數(shù)法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法：為整數(shù)，進行表示即可．【詳解】解：530000；故選C．2．D【分析】本題考查了整式的運算，涉及整式的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的計算法則．根據(jù)相關(guān)的計算法則逐一判斷即可．【詳解】解：A、，故該選項錯誤，不符合題意；B、，故該選項錯誤，不符合題意；C、，該選項錯誤，不符合題意；D、，故該選項正確，符合題意；故選：D．3．B【分析】本題考查了眾數(shù)的求解，根據(jù)眾數(shù)的定義進行求解即可．【詳解】解：數(shù)據(jù)為78，80，85，80，90，80，85，數(shù)據(jù)中80這個數(shù)最多，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為80，故選：B．4．A【分析】本題主要考查了概率公式，先確定總數(shù)為24個，芋泥餡的6個，再根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】根據(jù)題意可知一共有24個青團，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，芋泥餡有6個，所以小敏從中隨機摸出一個，恰好是芋泥餡青團的概率是．故選：A．5．C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．根據(jù)題意可得，由推出，根據(jù)、都與地面平行，推出，即可求解．【詳解】解：，，，，，，、都與地面平行，，，故選：C．6．A【分析】首先證明為等腰三角形，易得，進而可得，再證明為的中位線，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)即可獲得答案．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，，，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∵是的中點，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．7．C【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：由①得：；由②得：；∴不等式組的解集為：故選：C8．A【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，要求學生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．在直角三角形中，已知角的對邊求鄰邊，可以用正切函數(shù)來解決．【詳解】解：根據(jù)題意可得：船離海岸線的距離為，故選：A．9．A【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意得：，故選：A．10．D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系．開口方向，對稱軸，與軸的交點坐標判斷①，特殊點判斷②，圖象法解不等式，判斷③，特殊點結(jié)合對稱軸，判斷④，最值判斷⑤；掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，∴，∵對稱軸為，∴，∵拋物線與軸交于正半軸，∴，∴，故①正確；∵對稱軸為，∴與的函數(shù)值相等，即：，故②正確；∵點關(guān)于的對稱點為，∴當時，或；故③正確；∵圖象過點，，∴，∴；故④錯誤；∵拋物線的開口向下，∴當時，函數(shù)值最大，即：，∴；故⑤正確；綜上，正確的結(jié)論是①②③⑤；故選：D．11．【分析】本題主要考查因式分解，運用公式法分解即可【詳解】解：，故答案為：12．【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)非負，得到，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．13．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，勾股定理，設(shè)交于點，連接，根據(jù)作圖可知，，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等角對對邊得出，再證明四邊形是菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)交于點，連接,由作圖可知：，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，在中，，，故答案為：．14．【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計整體等知識點，掌握用樣本估計整體成為解題的關(guān)鍵．先求出羽毛球所占的百分比，然后再乘以全校的學生數(shù)即可解答．【詳解】解：羽毛球所占的百分比為，所以該學校選擇羽毛球的學生有名．故答案為：．15．【分析】本題考查扇形面積公式、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等，先證明是等邊三角形，根據(jù)求出半徑，進而利用勾股定理求出，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，，，，即，，又，是等邊三角形，，，，，，，故答案為：．16．【分析】本題考查反比例函數(shù)值的幾何意義（過雙曲線上任意一點作軸、軸的垂線，所得的矩形的面積為），熟練掌握反比例函數(shù)值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的面積為，為的中點，∴，∵軸，∴，∵反比例函數(shù)圖像在第二象限，∴．故答案為：．17．【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)冪，求特殊角三角函數(shù)中，先計算特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根和負整數(shù)指數(shù)冪，再計算乘方，最后計算加減法即可．【詳解】解：．18．，．【分析】本題主要考查了分式化簡求值．先將原式的分子、分母進行因式分解，再將除法化乘法，化簡后代值求解即可．【詳解】解：，當時，原式．19．【分析】本題主要考查解二元一次方程組，掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．先化簡①式，再運用加減消元法即可求解．【詳解】解：①式化簡去分母得，，整理得，，∴得，，∴，∴，解得，，∴原方程組的解為．20．(1)籃球的單價是110元，足球的單價是80元．(2)該校購買34個籃球，則購買66個足球最省錢．【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用等知識點，根據(jù)題意正確列出方程組和不等式成為解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)籃球的單價是x元，足球的單價是y元，根據(jù)等量關(guān)系“購買3個籃球和2個足球共490元，購買2個籃球和3個足球共460元”列出方程組求解即可；（2）設(shè)該校購買m個籃球，則購買個足球，根據(jù)購買的總費用不超過9200元列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)籃球的單價是x元，足球的單價是y元，依題意得：，解得：．答：籃球的單價是110元，足球的單價是80元．（2）解：設(shè)該校購買m個籃球，則購買個足球，購買籃球和足球的總費用依題意得：，解不等式①得：．解不等式①得：．∴m的取值范圍為：，∵購買籃球和足球的總費用，，∴y隨m的增大而增大，∴當時，最省錢，∴該校購買34個籃球，則購買66個足球最省錢．答：該校購買34個籃球，則購買66個足球最省錢．21．(1)75，54；(2)圖見詳解(3)900人【分析】本題考查了頻數(shù)（率分布直方圖：提高讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．也考查了用樣本估計總體．（1）先由組人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以、組對應(yīng)百分比求出人數(shù)，再用乘以組人數(shù)所占比例即可得；（2）根據(jù)以上所求結(jié)果可得答案；（3）利用樣本估計總體思想求解可得．【詳解】（1）解：被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人），，組人數(shù)為（人），則組人數(shù)為（人），，故答案為：75，54；（2）解：補全直方圖如下：

（3）解：（人），答：該校安全意識不強的學生約有900名．22．(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合角的平分線的定義證明即可；（2）連接，設(shè)交于點G，證明，利用等量代換，垂徑定理，證明即可；（3）設(shè)，，則，結(jié)合，勾股定理，三角函數(shù)計算即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖．∵為的切線，∴．

∵，∴，∴，∴．又∵∴，∴，即，∴平分．（2）證明：如圖，連接，設(shè)交于點G，

由（1）得，∴C為劣弧的中點，∴，．∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，即．∵，，，∴，即．（3）解：設(shè)，，則，代入中，得，

解得，∴．在中，，∵，，∴，∴，又，∴．在中，，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三角函數(shù)，角的平分線的定義，熟練掌握切線的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．(1)的高度為米(2)籃框到地面的距離約為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)即可求解；（2）延長交射線于點，過點作于點，則四邊形是矩形，解，求得，進而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：在中，，（米），∴的高度為米；（2）如圖，延長交射線于點，過點作于點．∵，，，∴四邊形是矩形，∴（米）．∵，則，∴．在中，（米），∴（米），∴籃框到地面的距離約為米24．(1)；(2)或或或(3)或【分析】（1）過點A作軸于E，過B作軸于G．由點A的坐標可求出．再根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，軸,即得出，，即，最后利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；（2））根據(jù)勾股定理得到，①當O為頂點時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，②當D為頂點時，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到；③當B為頂點時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（3）反向延長，與反比例函數(shù)在第三象限交于點F，即得出，．設(shè)，則，．分類討論：①以為斜邊時，②以為斜邊時和③以為斜邊時，根據(jù)勾股定理分別列出關(guān)于t的等式，解出t即可．【詳解】（1）解：過點A作軸于E，過B作軸于G，如圖，∵，∴，∴．∵四邊形是菱形，∴，軸,∴，∴，∴．∵過B點的反比例函數(shù)解析式為，∴，解得：，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：∵，∴，①當O為頂點時，，∴或；②當D為頂點時，，∵四邊形是菱形，∴是的垂直平分線，∴點D與C重合，∴；③當B為頂點時，，則，∴，∴；綜上所述：D的坐標為或或或；（3）解：如圖，反向延長，與反比例函數(shù)在第三象限交于點F，∵，∴，∴．設(shè)，則，，①以為斜邊時，，∴，解得，∴Q或；②以為斜邊時，，∴，解得，∴；③以為斜邊時，，∴，解得，∴．綜上所述，Q的坐標為：或或或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，坐標與圖形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．25．(1)，；(2)①；②存在，m的最大值為．【分析】本題考查了待定系數(shù)法求解拋物線表達式與二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，（1）根