數(shù)學(xué)（北京卷03）-2024年高考押題預(yù)測(cè)卷（全解全析）

第第頁2024年高考押題預(yù)測(cè)卷03【北京卷】數(shù)學(xué)·全解全析第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678910DCBCBACCCC1．【答案】D【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以故選：D2．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入方程組可求得首項(xiàng)和公差，代入求解即可.【詳解】∵為等差數(shù)列，∴∴，∴故選：C.3．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線離心率的公式，結(jié)合雙曲線的漸近線方程、點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由離心率，解出；由，所以漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為．故選：B4．【答案】C【分析】分別求解與中x的系數(shù)再求和等于13以及即可得的值，再求解的系數(shù)即可.【詳解】由題可知，，即，又，故或.當(dāng)時(shí)，，則的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，，則的系數(shù)為.故的系數(shù)為31或40.故選：C5．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，得到答案.【詳解】，故.故選：.6．【答案】A【分析】由題可得當(dāng)時(shí)，，即得.【詳解】由題可知，，，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)秒時(shí)，地震動(dòng)時(shí)程強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)值是.故選：A.7．【答案】C【分析】求得直線恒過的定點(diǎn)，找出弦長(zhǎng)取得最值的狀態(tài)，利用弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€方程為：，整理得，故該直線恒過定點(diǎn)，又12+故點(diǎn)在圓內(nèi)，又圓的圓心為N2,0則，此時(shí)直線過圓心；當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，取得最小值，此時(shí).故的取值范圍為.故選：.8．【答案】C【分析】分與討論，即可判斷A，當(dāng)時(shí)，即可判斷B，由命題的充分性以及必要性，即可判斷CD.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原不等式變?yōu)?，顯然成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則，解得；綜上可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)榭梢酝瞥觯食浞中詽M足，由推不出，比如，故必要性不滿足；所以“”的一個(gè)充分不必要條件是“，”，故C正確；對(duì)D，由不能推出，比如，反之，由可以推出，所以“”的充分不必要條件是“”，故D錯(cuò)誤；、故選：C9．【答案】C【分析】利用正弦定理求得外接圓半徑，根據(jù)三棱錐圖像，分別表示出，，然后利用勾股定理，解得，進(jìn)而利用球體的體積公式即可得出答案.【詳解】在中，，，根據(jù)三角形的外接圓半徑公式，可得的外接圓半徑，如圖所示．設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影的為，則，在中，因?yàn)?，解得，設(shè)三棱錐的外接球半徑，即，，在中，由勾股定理得，即，解得，故三棱錐的外接球半徑，根據(jù)球體的體積公式.故選：C10．【答案】C【分析】令求出，進(jìn)而令，求出，①正確；假設(shè)為等比數(shù)列，得到，代入驗(yàn)證，故②錯(cuò)誤；邏輯分析及反證可得，③④正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，由數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，解得：，①正確；若為等比數(shù)列，則，解得：，將代入，故不是等比數(shù)列，②錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，故必單調(diào)遞增，而，所以單調(diào)遞減，③正確；假設(shè)的所有項(xiàng)大于等于，取，則，，則與已知矛盾，故④正確.故選：C第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．【答案】2【分析】直接利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)實(shí)部的定義即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?fù)數(shù)的實(shí)部為，，解得.故答案為:.12．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及角所在的象限求出正弦函數(shù)值，求解即可．【詳解】∵第四象限角，，∴，故答案為.13．【答案】【分析】先求得拋物線的焦點(diǎn)為，根據(jù)題意，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線可化為，可得其焦點(diǎn)為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到直線的距離為，可得，解得或（舍去），故實(shí)數(shù)的值為．故答案為：.14．【答案】【分析】換元令,進(jìn)而得函數(shù)解析式，再求解函數(shù)值即可..【詳解】解：令，則,故,即所以故答案為：15．【答案】【分析】由已知得，則有，可得數(shù)列為等比數(shù)列，求和即可.【詳解】，則，依題意可知，所以，故，即，且，所以（常數(shù)），故是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以．故答案為：三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。16．（14分）【答案】(1)證明見解析(2)存在；或【分析】（1）根據(jù)底面菱形的特點(diǎn)得到，再由線面垂直得到，平面，進(jìn)而得到面面垂直；（2）建立空間坐標(biāo)系得到線面角的表達(dá)式，求解即可.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，所以是正三角形，是的中點(diǎn)，，又，平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AE，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量，則即令，得平面的一個(gè)法向量．設(shè)與平面所成的角為，則，解得或，即存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或．17．（13分）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），【分析】（Ⅰ）因?yàn)?，直接令，即可求得的值；（Ⅱ）由正弦函?shù)的和差公式化簡(jiǎn)得，再由誘導(dǎo)公式得，由三角函數(shù)的周期公式即可求得函數(shù)的最小正周期，令，即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，．（Ⅱ）因?yàn)?，所以，所以周期．令，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：18．(13分)【答案】(1)分布列見解析(2)證明見解析，經(jīng)過150次傳毽子后甲接到毽子的概率大于【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算求得的分布列.（2）利用湊配法證得是等比數(shù)列，從而求得，進(jìn)而判斷出【詳解】（1）的所有可能取值為0，1，，，所以的分布列為01（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所?所以是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，即，所以，故經(jīng)過150次傳毽子后甲接到毽子的概率大于.19．（15分）【答案】（1）；（2）存在點(diǎn).【分析】（1）由，三等分橢圓的短軸，解得，由，推出，解得，，解得，進(jìn)而寫出橢圓的方程．（2）設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)，，則用坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)得，滿足，解得，，進(jìn)而解出答案．【詳解】（1）由點(diǎn)，三等分橢圓的短軸，得，由，得，即，又，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，，直線的方程為，由，整理得，所以，，△，設(shè)，，則，，，，，，首先滿足，即，當(dāng)時(shí)，，且點(diǎn)在橢圓上，所以橢圓上存在點(diǎn)，使得恒有．20．（15分）【答案】（Ⅰ）見證明（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）分別對(duì)兩函數(shù)求導(dǎo)，求出兩函數(shù)在處切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線的直線方程，就可以證明曲線與在處的切線重合；（Ⅱ）方法1：構(gòu)造對(duì)求導(dǎo)得到，對(duì)進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，綜合分析，最后求出實(shí)數(shù)的取值范圍．方法2：可得（），構(gòu)造新函數(shù)設(shè)，求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，綜合分析，最后求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】證明:(Ⅰ)在處的切線方程為在處的切線方程為所以切線重合.（Ⅱ）（方法1）：令①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，在遞減，，不恒成立.②當(dāng)時(shí)，，（i）當(dāng)時(shí)，時(shí)，，遞減，，在遞減，，不恒成立.（ii）當(dāng)時(shí)，，在遞增，，在遞增，，恒成立.綜上，.（Ⅱ）（方法2）：，（），設(shè)，，，在遞減，，與已知矛盾，①，，在遞增，滿足題意②當(dāng)時(shí)，，，在遞減，，不滿足題意綜上，21．（15分）【答案】(1)E不是，F(xiàn)是(2)不存在，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)新定義計(jì)算即可判斷；（2）若存在符合題意的實(shí)數(shù)z，根據(jù)題意可得，求解后，檢驗(yàn)，進(jìn)而可判斷；（3）不妨設(shè)A中所有元素滿足，從而可得，進(jìn)而可得，再分、、三種情況求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以E不是“諧調(diào)集”，因?yàn)?，所以F是“諧調(diào)集”；（2）若存在符合題意的實(shí)數(shù)z，則，所以，即，解得或或，當(dāng)時(shí)，則，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，由此，x、y是方程的實(shí)數(shù)解.但