立體幾何初步章末復(fù)習(xí)講義-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第八章章末復(fù)習(xí)立體幾何初步類型一空間幾何體的表面積和體積圓柱；,圓錐：,圓臺(tái)：,球的表面積和體積.注意：正三棱錐是底面是等邊三角形，三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐.正四面體是每個(gè)面都是全等的等邊三角形的三棱錐.解題技巧：空間幾何體的表面積與體積的求法(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用．(3)求復(fù)雜幾何體的體積常用割補(bǔ)法、等體積法求解．1．已知圓柱的軸截面為正方形，且該圓柱的側(cè)面積為36π，則該圓柱的體積為()A．27πB．36πC．54π D．81π2.已知圓錐的一條母線的中點(diǎn)到圓錐底面圓的圓心的距離為2，母線與底面所成的角為60°，則該圓錐的體積為()A．eq\f(8\r(3)π,3)B．8eq\r(3)πC．eq\f(16\r(3)π,3) D．16eq\r(3)π3．(2022·新高考卷Ⅰ)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(eq\r(7)≈2.65)()A．1.0×109m3 B．1.2×109m3C．1.4×109m3 D．1.6×109m3類型二與球有關(guān)的切、接問(wèn)題1．(2022·新高考卷Ⅱ)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100πB．128πC．144π D．192π2.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為6，底面邊長(zhǎng)為4，則該球的表面積為()A.eq\f(44,3)πB.eq\f(484,9)πC.eq\f(81,4)πD．16π3.已知PA，PB，PC兩兩垂直且PA＝eq\r(2)，PB＝eq\r(3)，PC＝2，則過(guò)P，A，B，C四點(diǎn)的球的體積為.類型三空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系平面基本性質(zhì)基本事實(shí)1基本事實(shí)2基本事實(shí)3圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.符號(hào)語(yǔ)言作用確定平面判斷線在面內(nèi)證明三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；確定平面推論2確定平面推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.直線與直線的位置關(guān)系共面直線：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).（既不平行，也不相交）直線與平面的位置關(guān)系在平面內(nèi)，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)符號(hào)aα相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)符號(hào)a∩α=A平行，沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)a∥α說(shuō)明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來(lái)表示平面與平面的位置關(guān)系平行——沒(méi)有公共點(diǎn)：符號(hào)α∥β相交——有一條公共直線:符號(hào)α∩β=a1.（多選）設(shè)α，β表示兩個(gè)平面，l表示直線，A，B，C表示三個(gè)不同的點(diǎn)，給出下列命題，其中正確的是()A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，則l?αB．若α，β不重合，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝ABC．若l?α，A∈l，則A?αD．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線，則α與β重合2.在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，HG交于一點(diǎn)P，則()A．點(diǎn)P一定在直線BD上B．點(diǎn)P一定在直線AC上C．點(diǎn)P一定在直線AC或BD上D．點(diǎn)P既不在直線AC上，也不在直線BD上3.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上.類型四平行、垂直關(guān)系基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行1.線面平行的判定符號(hào)：2.線面平行的性質(zhì)符號(hào):3.線面垂直的判定符號(hào)：4.性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。符號(hào)：推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：a∥b,a⊥α?b⊥α性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行符號(hào)：推論：α∥β，l⊥α?l⊥β5.面面平行的判定符號(hào)：6．面面平行的性質(zhì)符號(hào)：補(bǔ)充：平行于同一平面的兩平面平行.符號(hào)：α∥γ，β∥γ?α∥β.兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個(gè)平面平行.符號(hào)：α∥β，a?α?a∥β.面面垂直的判定符號(hào)：推論：如果一個(gè)平面平行于另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直。8.面面垂直的性質(zhì)符號(hào)：α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m?l⊥β9.證明線線平行的方法①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線的傳遞性⑤面面平行的性質(zhì)⑥垂直于同一平面的兩直線平行；證明線線垂直的方法①線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角.在研究異面直線所成的角時(shí)，要通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線；②線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；③線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b.證明面面垂直的方法①面面垂直的定義：兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.1.(2022·高考全國(guó)卷乙)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D2.（多選）如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是()AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是PC，DC的中點(diǎn)，且平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.求證：(1)平面EFO∥平面PAD；(2)PD⊥平面ABCD.4.如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD邊中點(diǎn)，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（1）求證：AE⊥平面CDE；（2）求證：FG∥平面BCD；（3）在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說(shuō)明理由.類型五空間角1.異面直線所成的角步驟：1、平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角；2、找銳角（或直角）作為夾角；3、求解注意：取值范圍：（0。,90。].2.線面角：斜線與它在平面上的射影成的角，取值范圍：[0。,90。].如圖：PA是平面的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面上射影，為線面角。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面形成的圖形①定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.②二面角的平面角：若有(ⅰ)O∈l；(ⅱ)OA?α，OB?β；(ⅲ)OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.③范圍：0°≤∠AOB≤180°.1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC與MN所成角的大小為_(kāi)___________．2.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角的大小為_(kāi)___________．3.已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2eq\r(6)，則側(cè)面與底面所成的二面角的大小為_(kāi)___________．4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等邊三角形.（1）求證：BD⊥PC；（2）求二面角B-PC-D的大小.

課后作業(yè)1.已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥l D．m⊥n2.如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是()A．eq\f(\r(2),2)B．1C．eq\r(2) D．2eq\r(2)3.下列說(shuō)法正確的是()A．多面體至少有3個(gè)面B．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形4.（多選）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是()A．圓柱的側(cè)面積為2πR2B．圓錐的側(cè)面積為2πR2C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶25.平面α與平面β平行的條件可以是()A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與β平行B．直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)C．α內(nèi)的任何直線都與β平行D．直線a在α內(nèi)，直線b在β內(nèi)，且a∥β，b∥α6.（多選）若a，b為不重合的直線，β為平面，則下列結(jié)論正確的是()A．若a⊥β，b⊥β，則a∥b B．若a∥β，b∥β，則a∥bC．若a∥β，b⊥β，則a⊥b D．若a∥β，b?β，則a∥b7.(多選)如圖，在棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐P-ABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()A．PC∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥PAD．直線PD與直線MN所成角的大小為90°8.給出下列四種說(shuō)法：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐；④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．39.已知A，B是球O的球面上的兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為eq\f(4,3)，則球O的表面積為()A．16π B．36πC．64π D．144π10.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′-BCD的體積為eq\f(1,3)一個(gè)直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面升高9厘米，則此球的半徑為_(kāi)___________厘米．12.如圖，矩形ABCD和矩形CDEF有一公共邊CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝eq\r(2)，ED＝eq\r(2).則點(diǎn)B到平面AED的距離與EF到平面ABCD的距離的和為_(kāi)___________．13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.(1)求證：BD⊥PC；(2)若平面PBC與平面PAD的交線為l，求證：BC∥l.14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD為正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E，F(xiàn)分別為棱PB，PA的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAB⊥平面EFDC；(2)若AD＝2，直線PC與平面PAD所成的角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積．15.已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，且這個(gè)球的體積是eq\f(32,3)π，那么這個(gè)三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)___________，體積是____________．16.試在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC這三個(gè)條件中選兩個(gè)條件補(bǔ)充在下面的橫線處，使得PO⊥平面ABCD成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，并在此條件下進(jìn)一步解答該題：如圖，在四棱錐P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD為菱形，若________，且∠ABC＝60°，異面直線PB與CD所成的角為60°，求二面角A-PB-C的余弦值．

答案類型一1.C．2.A．3.C．由已知得該棱臺(tái)的高為157.5-148.5＝9(m)，所以該棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)×9×(140＋eq\r(140×180)＋180)×106＝60×(16＋3eq\r(7))×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3).類型二1.A2.B3.eq\f(9,2)π類型三1.ABD2.B3.【證明】（1）因?yàn)锽G∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD，又因?yàn)镋、F分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E、F、G、H四點(diǎn)共面.（2）因?yàn)镚、H不是BC、CD的中點(diǎn)，所以EF≠GH.又EF∥GH，所以EG與FH不平行，則必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EG?平面ABCHF?平面ACD))?M∈平面ABC且M∈平面ACD?M在平面ABC與平面ACD的交線上?M∈AC.所以GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上.類型四1.A2.ABD3.證明：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PC，DC的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又EF?平面PAD，PD?平面PAD，所以EF∥平面PAD.同理可得，F(xiàn)O∥平面PAD.又EF∩FO＝F，EF，F(xiàn)O?平面EFO，所以平面EFO∥平面PAD.(2)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，PD⊥AD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD?平面PAD，所以PD⊥平面ABCD.4.（1）證明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.因?yàn)镈E∩EC＝E，DE，EC?平面DCE，所以AE⊥平面CDE.（2）證明：取AB的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，所以GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，因?yàn)镚H?平面BCD，BD?平面BCD，所以GH∥平面BCD.同理FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，所以平面FHG∥平面BCD，因?yàn)镚F?平面FHG，所以GF∥平面BCD.（3）取線段AE的中點(diǎn)R，則平面BDR⊥平面DCB.證明如下：取線段DC的中點(diǎn)M，取線段DB的中點(diǎn)S，連接MS，RS，BR，DR，EM.則MSeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BC，又REeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BC，所以MSeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))RE，所以四邊形MERS是平行四邊形，所以RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點(diǎn)，所以EM⊥DC.由（1）知AE⊥平面CDE，AE∥BC，所以BC⊥平面CDE.因?yàn)镋M?平面CDE，所以EM⊥BC.因?yàn)锽C∩CD＝C，所以EM⊥平面BCD，因?yàn)镋M∥RS，所以RS⊥平面BCD.因?yàn)镽S?平面BDR，所以平面BDR⊥平面DCB.類型五1.60°2.30°3.eq\f(π,3)4.（1）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，所以PO⊥AB.又側(cè)面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，又BD?平面ABCD，所以PO⊥BD.又AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°，所以△DAB≌△OBC，所以∠BCO＝∠ABD，所以BD⊥OC，又OC，PO?平面POC，OC∩PO＝O，所以BD⊥平面POC，又PC?平面POC，所以BD⊥PC.（2）如圖，取PC的中點(diǎn)E，連接BE，DE，因?yàn)镻B＝BC，所以BE⊥PC.又BD⊥PC，BE∩BD＝B，所以PC⊥平面BDE，所以PC⊥DE，所以∠BED是二面角B-PC-D的平面角.因?yàn)锽C⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB，AD⊥PA，由平面幾何知識(shí)，可求得BE＝eq\f(1,2)PC＝eq\r(2)，PD＝BD＝eq\r(5)，所以DE＝eq\r(3)，所以BE2＋DE2＝BD2，所以∠BED＝90°，即二面角B-PC-D的大小為90°.課后作業(yè)1.C2.D3.D4.CD5.C6.AC7.ABC8.B9.A10.B11.1212.2＋eq\r(2)13.(1)連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接PO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BD⊥AC.又因?yàn)镻B＝PD，O為BD的中點(diǎn)，所以BD⊥PO.因?yàn)镻O∩AC＝O，PO，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.因?yàn)镻C?平面PAC，所以BD⊥PC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BC∥AD.因?yàn)锽C?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因?yàn)锽C?平面PBC，平面PBC與平面PAD的交線為l.所以BC∥l.14.(1)證明：因?yàn)椤鱌AD為正三角形，F(xiàn)為棱PA的中點(diǎn)，所以PA⊥DF.又PA⊥CD，CD∩DF＝D，CD，DF?平面EFDC，所以PA⊥平面EFDC，又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面EFDC.(2)因?yàn)锳B∥CD，PA⊥CD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以∠CPD為直線PC與平面PAD所成的角，即∠CPD＝45°，所以CD＝PD＝AD＝2.又AB＝2CD，所以AB＝4，所以S直角梯形ABCD＝eq\f(1,2)×AD×(CD＋AB)＝eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6.又AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.過(guò)P作PO⊥AD，垂足為O(圖略)，則PO⊥平面ABCD.因?yàn)椤鱌AD為正三角形，所以PO＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，所以V四棱錐P-ABCD＝eq\f(1,3)×PO×S直角梯形ABCD