浙江八年級上學期期中【?？?0題考點專練】（解析版）

浙江八年級上學期期中【?？?0題考點專練】一．不等式的性質(zhì)（共1小題）1．（2021秋?諸暨市期中）若a＜b，那么﹣2a+9＞﹣2b+9（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】不等式兩邊加或減某個數(shù)或式子，乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘或除以一個負數(shù)，不等號的方向改變．【解答】解：∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴﹣2a+9＞﹣2b+9【點評】能夠通過觀察理解由已知變化到所要比較的式子，是如何的得到的是解題的關鍵．二．在數(shù)軸上表示不等式的解集（共2小題）2．（2021秋?長興縣期中）在數(shù)軸上表示﹣2≤x＜1正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)﹣2是實心點，方向向右，1是空心點，方向向左畫出圖形即可得到答案．【解答】解：﹣2是實心點，方向向右，1是空心點，方向向左，如圖所示：故選：D．【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時，掌握“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”是解題的關鍵．3．（2021秋?義烏市期中）交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全．在通過橋洞時，我們往往會看到如圖所示的標志，這是限制車高的標志．則通過該橋洞的車高x（m）的范圍在數(shù)軸上可表示為（）A． B． C． D．【分析】利用已知圖表直接得出該橋洞的車高x（m）的取值范圍．【解答】解：由題意可得：通過該橋洞的車高x（m）的取值范圍是：0＜x≤4.5．在數(shù)軸上表示如圖：故選：D．【點評】此題主要考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．根據(jù)圖表理解題意是解題的關鍵．三．解一元一次不等式（共1小題）4．（2021秋?金東區(qū)校級期中）若關于x的一元一次方程x﹣m+2＝0的解是負數(shù)，則m的取值范圍（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≥2 D．m≤2【分析】根據(jù)方程的解為負數(shù)得出m﹣2＜0，解之即可得．【解答】解：∵方程x﹣m+2＝0的解是負數(shù)，∴x＝m﹣2＜0，解得：m＜2，故選：A．【點評】本題主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力，根據(jù)題意列出不等式是解題的關鍵．四．由實際問題抽象出一元一次不等式（共2小題）5．（2019秋?臨安區(qū)期中）“x的2倍與3的差是非負數(shù)，”用不等式表示為2x﹣3≥0．【分析】首先表示出x的2倍與3的差為2x﹣3，再表示非負數(shù)是：≥0，故可得不等式2x﹣3≥0．【解答】解：由題意得：2x﹣3≥0．故答案為：2x﹣3≥0．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，關鍵是正確理解題意，要抓住題目中的關鍵詞“非負數(shù)”正確選擇不等號．6．（2021秋?柯橋區(qū)期中）根據(jù)“x的2倍與3的差不小于8”列出的不等式是2x﹣3≥8．【分析】x的2倍與3的差，表示為2x﹣3，不小于表示的意思是大于或等于，從而可得出不等式．【解答】解：“x的2倍與3的差不小于8”，用不等式表示為2x﹣3≥8．故答案為2x﹣3≥8．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式的知識，注意理解“不小于”的含義．五．一元一次不等式的應用（共4小題）7．（2021秋?諸暨市期中）某種商品的進價為800元，標價為1200元．由于商品積壓，商家準備打折銷售，但要保證利潤不低于20%，則至少可以打八折．【分析】設打了x折，根據(jù)利潤率＝%，代入數(shù)據(jù)，列不等式求解．【解答】解：設打了x折，由題意得%．解得x≥8，∴x的最小整數(shù)為8，答：至少可以打八折．故答案為：八．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，求出打折之后的利潤，根據(jù)利潤率不低于20%，列不等式求解．8．（2021秋?拱墅區(qū)校級期中）隨著人們生活質(zhì)量的提高，凈水器已經(jīng)慢慢走入了普通百姓家庭，某電器公司銷售每臺進價分別為2000元、1700元的A、B兩種型號的凈水器，下表是近兩周的銷售情況：銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一周3臺5臺18000元第二周4臺10臺31000元（1）求A、B兩種型號的凈水器的銷售單價；（2）若電器公司準備用不多于54000元的金額再采購這兩種型號的凈水器共30臺，求A種型號的凈水器最多能采購多少臺？【分析】（1）設A種型號的凈水器的銷售單價為x元/臺，B種型號的凈水器的銷售單價為y元/臺，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結合該公司近兩周的銷售情況表中的數(shù)據(jù)，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設采購A種型號的凈水器m臺，則采購B種型號的凈水器（30﹣m）臺，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結合采購金額不多于54000元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．【解答】解：（1）設A種型號的凈水器的銷售單價為x元/臺，B種型號的凈水器的銷售單價為y元/臺，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種型號的凈水器的銷售單價為2500元/臺，B種型號的凈水器的銷售單價為2100元/臺．（2）設采購A種型號的凈水器m臺，則采購B種型號的凈水器（30﹣m）臺，根據(jù)題意得：2000m+1700（30﹣m）≤54000，解得：m≤10．答：A種型號的凈水器最多能采購10臺．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關系，正確列出一元一次不等式．9．（2021秋?越城區(qū)期中）郴州市正在創(chuàng)建“全國文明城市”，某校擬舉辦“創(chuàng)文知識”搶答賽，欲購買A、B兩種獎品以鼓勵搶答者．如果購買A種20件，B種15件，共需380元；如果購買A種15件，B種10件，共需280元．（1）A、B兩種獎品每件各多少元？（2）現(xiàn)要購買A、B兩種獎品共100件，總費用不超過900元，那么A種獎品最多購買多少件？【分析】（1）設A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，根據(jù)“如果購買A種20件，B種15件，共需380元；如果購買A種15件，B種10件，共需280元”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設A種獎品購買a件，則B種獎品購買（100﹣a）件，根據(jù)總價＝單價×購買數(shù)量結合總費用不超過900元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整數(shù)即可得出結論．【解答】解：（1）設A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種獎品每件16元，B種獎品每件4元．（2）設A種獎品購買a件，則B種獎品購買（100﹣a）件，根據(jù)題意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤．∵a為整數(shù)，∴a≤41．答：A種獎品最多購買41件．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關系，找出關于a的一元一次不等式．10．（2021秋?下城區(qū)期中）某校暑假準備組織該校的“三好學生”參加夏令營，由1名老師帶隊．甲旅行社說：“若老師買全票一張，則學生可享受半價優(yōu)惠．”乙旅行社說：“包括老師在內(nèi)都6折優(yōu)惠”若全票價是1200元，則：（1）設三好學生人數(shù)為x人，則參加甲旅行社的費用是1200+600x元；參加乙旅行社的費用是720（x+1）元．（2）當學生人數(shù)取何值時，選擇參加甲旅行社比較合算？【分析】（1）假設三好學生人數(shù)為x人，對甲旅行社：“若老師買全票一張，則學生可享受半價優(yōu)惠”．則參加甲旅行社的費用為1200+1200×0.5×x；對乙旅行社：“包括老師在內(nèi)都6折優(yōu)惠”．則參加乙旅行社的費用為1200×0.6×（x+1）；（2）若使參加甲旅行社比較合算，也就是說：甲旅行社的費用﹣乙旅行社的費用＜0，解不等式即可知學生人數(shù)取何值時合算．【解答】解：（1）設三好學生人數(shù)為x人由題意得，參加甲旅行社的費用是1200+1200×0.5×x＝1200+600x；參加乙旅行社的費用是1200×0.6×（x+1）＝720（x+1）．（2）由題意得1200+600x﹣720（x+1）＜0解不等式得x＞4答：（1）1200+600x，720（x+1）．（2）當學生人數(shù)多于4人時，選擇參加甲旅行社比較合算．【點評】該題可變換條件與結論，會出現(xiàn)各種各樣的習題，望同學們探索．六．解一元一次不等式組（共2小題）11．（2021秋?平陽縣期中）解不等式（組）：（1）2（x+1）﹣1＞x；（2）．【分析】（1）去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可；（2）先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集．【解答】解：（1）2（x+1）﹣1＞x，2x+2﹣1＞x，2x﹣x＞﹣2+1，x＞﹣1；（2），解不等式①得：x＜﹣2，解不等式②得：x≤，∴不等式組的解集為x＜﹣2．【點評】本題考查了解一元一次不等式（組）的應用，能求出不等式或不等式組的解集是解此題的關鍵．12．（2021秋?諸暨市期中）解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】先分別解兩個不等式得到x＞﹣3和x≤2，再根據(jù)大小小大中間找得到不等式組的解集，然后利用數(shù)軸表示解集．【解答】解：，解①得x＞﹣3，解②得x≤2，所以不等式組的解集為﹣3＜x≤2，用數(shù)軸表示為：【點評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．七．一元一次不等式組的整數(shù)解（共2小題）13．（2021秋?平陽縣期中）不等式組的整數(shù)解的和為（）A．1 B．0 C．29 D．30【分析】先求出不等式的解集，在取值范圍內(nèi)可以找到整數(shù)解，進而求其和．【解答】解：由①式，解得x＞由②式，解得x≤1∴不等式組的解集為﹣＜x≤1∴不等式組的整數(shù)解為﹣1，0，1∴其和為0．故選：B．【點評】解答此題要先求出不等式組的解集，求不等式組的解集要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．14．（2021秋?義烏市期中）求不等式組：的整數(shù)解．【分析】先求出每個不等式的解集，再確定其公共解，得到不等式組的解集，然后求其整數(shù)解．【解答】解：由x﹣3（x﹣2）≤8得x≥﹣1由5﹣x＞2x得x＜2∴﹣1≤x＜2∴不等式組的整數(shù)解是x＝﹣1，0，1．【點評】解答此題要先求出不等式組的解集，求不等式組的解集要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．八．一元一次不等式組的應用（共2小題）15．（2021秋?海曙區(qū)校級期中）“低碳生活，綠色出行”已逐漸被大多數(shù)人所接受，某自行車專賣店有A，B兩種規(guī)格的自行車，A型車的利潤為a元/輛，B型車的利潤為b元/輛，該專賣店十月份前兩周銷售情況如表：A型車銷售量（輛）B型車銷售量（輛）總利潤（元）第一周10122240第二周20153400（1）求a，b的值；（2）若第三周售出A，B兩種規(guī)格自行車共25輛，其中B型車的銷售量大于A型車的售量，且不超過A型車銷售量的1.5倍，該專賣店售出A型、B型車各多少輛才能使第三周利潤最大，最大利潤是多少元？【分析】（1）根據(jù)前兩周兩種自行車的銷售數(shù)量及銷售總利潤，即可得出關于a，b的二元一次方程組，解之即可得出a，b的值；（2）設第三周售出A種規(guī)格自行車x輛，則售出B種規(guī)格自行車（25﹣x）輛，根據(jù)“B型車的銷售量大于A型車的售量，且不超過A型車銷售量的1.5倍”，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，結合x為整數(shù)即可得出各銷售方案，再利用總利潤＝每輛的利潤×銷售數(shù)量，可分別求出各方案獲得的總利潤，比較后可得出：該專賣店售出A型車10輛、B型車15輛時才能使第三周利潤最大，最大利潤是2600元．【解答】解：（1）依題意得：，解得：．答：a的值為80，b的值為120．（2）設第三周售出A種規(guī)格自行車x輛，則售出B種規(guī)格自行車（25﹣x）輛，依題意得：，解得：10≤x＜12.5，∵x為整數(shù)，∴x可以為10，11，12．當x＝10時，25﹣x＝15，此時利潤＝10×80+15×120＝2600（元）；當x＝11時，25﹣x＝14，此時利潤＝11×80+14×120＝2560（元）；當x＝12時，25﹣x＝13，此時利潤＝12×80+13×120＝2520（元）．∵2600＞2560＞2520，∴該專賣店售出A型車10輛、B型車15輛時才能使第三周利潤最大，最大利潤是2600元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．16．（2021秋?義烏市期中）在抗擊新冠肺炎疫情期間，市場上防護口罩出現(xiàn)熱銷，某藥店售出一批口罩．已知3包兒童口罩和2包成人口罩共26個，5包兒童口罩和3包成人口罩共40個．（1）求兒童口罩和成人口罩的每包各是多少個？（2）某家庭欲購進這兩種型號的口罩共5包，為使其中口罩總數(shù)量不低于26個，且不超過34個，①有哪幾種購買方案？②若每包兒童口罩8元，每包成人口罩25元，哪種方案總費用最少？【分析】（1）設兒童口罩每包x個，成人口罩每包y個，根據(jù)：“3包兒童口罩和2包成人口罩共26個，5包兒童口罩和3包成人口罩共40個”列方程組求解即可；（2）①設購買兒童口罩m包，根據(jù)“這兩種型號的口罩共5包，為使其中口罩總數(shù)量不低于26個，且不超過34個”列出不等式組，確定m的取值，進而解決問題；②分別求出每個方案的費用即可解決問題．【解答】解：（1）設兒童口罩每包x個，成人口罩每包y個，根據(jù)題意得，，解得，，∴兒童口罩每包2個，成人口罩每包10個；（2）①設購買兒童口罩m包，則購買成人口罩（5﹣m）包，根據(jù)題意得，，解得，2≤m≤3，∵m為整數(shù)，∴m＝2或m＝3，∴共有兩種購買方案：方案一：購買兒童口罩2包，則購買成人口罩3包；方案二：購買兒童口罩3包，則購買成人口罩2包．②方案一的總費用為：2×8+3×25＝91元；方案二的總費用為：3×8+2×25＝74元．∵91＞74，∴方案二的總費用最少．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用等知識，根據(jù)題意得出正確的等量關系是解題關鍵．九．三角形的角平分線、中線和高（共1小題）17．（2021秋?椒江區(qū)校級期中）用一塊含30°角的透明直角三角板畫已知△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結論．【解答】解：A，B，C都不是△ABC的邊BC上的高．故選：D．【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關鍵．一十．三角形的穩(wěn)定性（共1小題）18．（2021秋?諸暨市期中）人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 D．三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，是為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來增加其穩(wěn)定性，故選：D．【點評】此題考查了三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答．一十一．三角形三邊關系（共1小題）19．（2021秋?蕭山區(qū)期中）已知線段a＝2cm，b＝4cm，則下列長度的線段中，能與a，b組成三角形的是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】利用三角形三邊關系判斷即可，兩邊之和＞第三邊＞兩邊之差．【解答】解：∵a＝2cm，b＝4cm，∴2cm＜第三邊＜6cm∴能與a，b能組成三角形的是4cm，故選：B．【點評】考查了三角形三邊關系，利用三邊關系判斷時，常用兩個較小邊的和與較大的邊比較大小．兩個較小邊的和＞較大的邊，則能組成三角形，否則，不可以．一十二．三角形內(nèi)角和定理（共3小題）20．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）若一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個三角形中的最大的角度是90°．【分析】已知三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比，可以設一份為k，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求三個內(nèi)角的度數(shù)，從而確定三角形的最大角的度數(shù)．【解答】解：設三個內(nèi)角的度數(shù)分別為k，2k，3k．則k+2k+3k＝180°，解得k＝30°，則2k＝60°，3k＝90°，這個三角形最大的角等于90°．故答案為：90°．【點評】本題主要考查了內(nèi)角和定理．解答此類題利用三角形內(nèi)角和定理列方程求解可簡化計算．21．（2021秋?濱江區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC邊BC上的高，BE平分∠ABC交AD于點E．若∠C＝60°，∠BED＝70°．求∠ABC和∠BAC的度數(shù)．【分析】先根據(jù)AD是△ABC的高得出∠ADB＝90°，再由三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)可知∠DBE+∠ADB+∠BED＝180°，故∠DBE＝180°﹣∠ADB﹣∠BED＝20°．根據(jù)BE平分∠ABC得出∠ABC＝2∠DBE＝40°．根據(jù)∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∠C＝60°即可得出結論．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°．又∵∠DBE+∠ADB+∠BED＝180°，∠BED＝70°，∴∠DBE＝180°﹣∠ADB﹣∠BED＝20°．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBE＝40°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關鍵．22．（2021秋?青田縣期中）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠C、∠DAE的度數(shù)．【分析】先在△ABC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠C＝40°，再根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝90°，則在△ADC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠DAC＝50°，然后根據(jù)角平分線的定義求解．【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵AD⊥BC于D，∴∠ADC＝90°，在△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝25°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．準確識別圖形，即在哪個三角形中運用內(nèi)角和定理是解題的關鍵．一十三．三角形的外角性質(zhì)（共1小題）23．（2021秋?金華期中）如圖：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，點D在BC的延長線上，則∠ACD＝130度．【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和可得．【解答】解：∠ACD＝∠A+∠B＝130°．【點評】熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)．一十四．全等三角形的性質(zhì)（共1小題）24．（2021秋?諸暨市期中）如圖，△AOB≌△ADC，點B和點C是對應頂點，∠O＝∠D＝90°，記∠OAD＝α，∠ABO＝β，當BC∥OA時，α與β之間的數(shù)量關系為（）A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°【分析】根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB＝AC，全等三角形對應角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴β+（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝2β．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．一十五．全等三角形的判定（共3小題）25．（2021秋?臺州期中）如圖，已知∠1＝∠2，添加一個條件，使得△ABC≌△ADC，下列條件添加錯誤的是（）A．∠B＝∠D B．BC＝DC C．AB＝AD D．∠3＝∠4【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．【解答】解：A、∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（AAS），故本選項不符合題意；B、BC＝DC，AC＝AC，∠1＝∠2不能推△ABC≌△ADC，故本選項符合題意；C、∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SAS），故本選項不符合題意；D、∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（ASA），故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．26．（2021秋?拱墅區(qū)校級期中）如圖，AC與DB相交于E，且AE＝DE，如果添加一個條件還不能判定△ABE≌△DCE，則添加的這個條件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AC＝DB【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，對每個選項分別分析、解答出即可．【解答】解：根據(jù)題意，已知AE＝DE，∠AEB＝∠DEC，∴只需添加對頂角的鄰邊，即EB＝EC（由AC＝DB可以得到），或任意一組對應角，即∠A＝∠D，∠B＝∠C；所以，選項A符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是能夠根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．27．（2021秋?長興縣期中）如圖，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求證：△AOB≌△COD．【分析】先證明∠COD＝∠AOB，然后根據(jù)“SAS”可證明△AOB≌△COD．【解答】證明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，即∠COD＝∠AOB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決此類問題的關鍵．一十六．全等三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）28．（2021秋?溫州期中）如圖，BP平分∠ABC，D為BP上一點，E，F(xiàn)分別在BA，BC上，且滿足DE＝DF，若∠BED＝140°，則∠BFD的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝DG，證明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG＝∠DFH，根據(jù)互為鄰補角的性質(zhì)得到答案．【解答】解：作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，∵D是∠ABC平分線上一點，DG⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DG，在Rt△DEG和Rt△DFH中，，∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL），∴∠DEG＝∠DFH，又∠DEG+∠BED＝180°，∴∠BFD+∠BED＝180°，∴∠BFD的度數(shù)＝180°﹣140°＝40°，故選：A．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．29．（2021秋?溫州期中）如圖，AD，BC相交于點O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求證：AC＝BD；（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度數(shù)．【分析】（1）由“HL”可證Rt△ACB≌Rt△BDA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠BAD＝∠ABC＝35°，再根據(jù)角的和差即可求解．【解答】證明：（1）∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA都是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴AC＝BD；（2）在Rt△ACB中，∠ABC＝35°，∴∠CAB＝90°﹣35°＝55°，由（1）可知△ACB≌△BDA，∴∠BAD＝∠ABC＝35°，∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用HL證明Rt△ACB≌Rt△BDA是本題的關鍵．30．（2021秋?北侖區(qū)期中）已知：如圖，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分線與AB邊的垂直平分線相交于點D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別是E、F．（1）求證：AE＝BF；（2）求AE的長；（3）求線段DG的長．【分析】（1）欲證明AE＝BF只要證明△DEA≌△DFB即可．（2）根據(jù)CE＝CF，設AE＝BF＝x，列出方程即可．（3）先證明∠EDF＝90°，再證明∠ADB＝∠EDF＝90°，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決．【解答】（1）證明：如圖連接AD、BD．∵∠DCE＝∠DCB，DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，∵DG垂直平分AB，∴DA＝DB，在Rt△DEA和Rt△DFB中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFB（HL），∴AE＝BF．（2）設AE＝BF＝x，在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF，∴6+x＝8﹣x，∴x＝1，∴AE＝1．（3）∵△DEA≌△DFB，∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠CED＝∠CFD＝∠ECF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠ADB＝90°，∵AG＝GB，∴DG＝AB＝5．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，學會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．31．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE＝BD，連接AE、DE、DC．①求證：△ABE≌△CBD；②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．【分析】①利用SAS即可得證；②由全等三角形對應角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定出∠BDC的度數(shù)．【解答】①證明：在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；②解：∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，由①得：△ABE≌△CBD，∴∠AEB＝∠BDC，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝30°+45°＝75°，則∠BDC＝75°．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．32．（2021秋?義烏市期中）如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝17，AD＝9，求AE的長．【分析】（1）求出CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，根據(jù)HL證出兩三角形全等即可．（2）求出DF＝BE，證Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF＝AE，設DF＝BE＝x，得出方程17﹣x＝9+x，求出x，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，在Rt△BCE與Rt△DCF中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，∴DF＝BE，∵∠F＝∠CEA＝90°，∴在Rt△AFC和Rt△AEC中∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴AF＝AE，設DF＝BE＝x∵AB＝17，AD＝9，∴17﹣x＝9+x解得：x＝4∴AE＝17﹣4＝13．【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．33．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當∠AEB＝50°，求∠EBC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)AAS即可推出△ABE和△DCE全等；（2）根據(jù)三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．【解答】（1）證明：在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°．【點評】本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力．一十七．角平分線的性質(zhì)（共1小題）34．（2021秋?新洲區(qū)期中）如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．【分析】（1）連接BP、CP，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BP＝CP，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DP＝EP，然后利用“HL”證明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可；（2）利用“HL”證明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD＝AE，再根據(jù)AB、AC的長度表示出AD、CE，然后解方程即可．【解答】（1）證明：連接BP、CP，∵點P在BC的垂直平分線上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分線，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．一十八．等腰三角形的性質(zhì)（共5小題）35．（2021秋?拱墅區(qū)期中）在△ABC中，若AB＝AC，其周長為12，則AB的取值范圍是（）A．AB＞6 B．AB≤3 C．3＜AB＜6 D．4≤AB≤7【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)，兩邊之和大于第三邊列出不等式可求出腰長的取值范圍．【解答】解：設腰長AB為x，則底邊長為12﹣2x，依題意得：，解得3＜x＜6．故腰長AB的取值范圍是3＜AB＜6．故選：C．【點評】考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題的關鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列出不等式組即可．36．（2021秋?仙居縣期中）等腰三角形的一邊為4，另一邊為9，則這個三角形的周長為（）A．17 B．22 C．13 D．17或22【分析】本題可先根據(jù)三角形三邊關系，確定等腰三角形的腰和底的長，然后再計算三角形的周長．【解答】解：當腰長為4時，則三角形的三邊長為：4、4、9；∵4+4＜9，∴不能構成三角形；因此這個等腰三角形的腰長為9，則其周長＝9+9+4＝22．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；對于已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．37．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）若等腰三角形的兩邊長分別是4和8，則它的周長是20．【分析】解決本題要注意分為兩種情況4為底或8為底，還要考慮到各種情況是否滿足三角形的三邊關系來進行解答．【解答】解：∵等腰三角形有兩邊分別分別是4和8，∴此題有兩種情況：①4為底邊，那么8就是腰，三角形的三邊為4，8，8能構成三角形，則等腰三角形的周長為4+8+8＝20，②8底邊，那么4是腰，4+4＝8，所以不能圍成三角形應舍去．∴該等腰三角形的周長為20，故答案為：20．【點評】本題考查了等腰三角形性質(zhì)；解題時涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．38．（2021秋?柯橋區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，連結AP，則∠BAP的度數(shù)是15°或75°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到△ABC各內(nèi)角的關系，然后根據(jù)題意，畫出圖形，利用分類討論的方法求出∠BAP的度數(shù)即可．【解答】解：如右圖所示，當點P在點B的左側時，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP1，∴∠CAP1＝∠CP1A＝＝＝55°，∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；當點P在點C的右側時，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP2，∴∠CAP2＝∠CP2A＝＝＝35°，∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；由上可得，∠BAP的度數(shù)是15°或75°，故答案為：15°或75°．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，解答本題的關鍵是畫出合適的輔助線，利用分類討論的方法解答．39．（2021秋?拱墅區(qū)校級期中）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成15cm和6cm兩部分，求等腰三角形的底邊長．【分析】設等腰三角形的腰長、底邊長分別為xcm，ycm，根據(jù)題意列二元一次方程組，注意沒有指明具休是哪部分的長為15，故應該列兩個方程組求解．【解答】解：∵等腰三角形的周長是15cm+6cm＝21cm，設等腰三角形的腰長、底邊長分別為xcm，ycm，由題意得（4分）解得（3分）∴等腰三角形的底邊長為1cm（1分）【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解二元一次方程組和三角形三邊關系的綜合運用，此題的關鍵是分兩種情況分析，求得解之后注意用三角形三邊關系進行檢驗．一十九．等腰三角形的判定（共1小題）40．（2021秋?余杭區(qū)校級期中）如圖，點D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求證：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接寫出圖中除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形．【分析】（1）首先過點A作AF⊥BC于點F，由AD＝AE，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AB＝AC．（2）根據(jù)等腰三角形的判定解答即可．【解答】證明：（1）過點A作AF⊥BC于點F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形為：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．二十．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）41．（2021秋?濱江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長線上一點，DE⊥BC于點E，交AB于點F．（1）求證：△ADF是等腰三角形．（2）若AF＝BF＝，BE＝2，求線段DE的長．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可證得∠D＝∠DFA，根據(jù)等腰三角形的判定即可證得結論；（2）過A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得DH＝FH，根據(jù)全等三角形的判定證得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理求出EF，即可求出DE．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，∴∠D＝∠BFE，∵∠BFE＝∠DFA，∴∠D＝∠DFA，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形；（2）解：過A作AH⊥DE于H，∵DE⊥BC，∴∠AHF＝∠BEF＝90°，由（1）知，AD＝AF，∴DH＝FH，在△AFH和△BFE中，，∴△AFH≌△BFE（AAS），∴FH＝EF，∴DH＝FH＝EF，在Rt△BEF中，∵BF＝，BE＝2，∴EF＝＝3，∴DE＝3EF＝9．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正確作出輔助線，并證得DH＝FH＝EF是解決問題的關鍵．42．（2021秋?諸暨市期中）如圖所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．（1）求證：△BDE是等腰三角形；（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到∠DBE＝∠CBE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，從而得到結論；（2）先利用三角形內(nèi)角和計算出∠ABC＝75°，再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補計算出∠BDE的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，∴△BDE是等腰三角形；（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，∵DE∥BC，∴∠BDE+∠DBC＝180°，∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．也考查了平行線的性質(zhì)．二十一．直角三角形的性質(zhì)（共2小題）43．（2021秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點F，AG平分∠DAC．給出下列結論：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正確結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根據(jù)等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AG⊥EF．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正確；∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（對頂角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正確；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°時∠EBC＝∠C，故③錯誤；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正確．綜上所述，正確的結論是①②④．故選：C．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．44．（2021秋?象山縣期中）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，則∠A的度數(shù)為55°．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝90°﹣35°＝55°，故答案是：55°．【點評】此題考查直角三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)直角三角形的兩銳角互余．二十二．勾股定理（共6小題）45．（2021秋?北侖區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三邊為邊作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于點J．三個正方形沒有重疊的部分為陰影部分，設四邊形BGFJ的面積為S1，四邊形CHIJ的面積為S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，則正方形BCFG的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．22【分析】設BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面積和三角形面積得S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，則c2＝16，求出c＝4，然后求出b＝2，則a2＝b2+c2＝20，即可求解．【解答】解：設BC＝a，AC＝b，AB＝c，∵S1＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S正方形ACHI﹣S△ACJ，∴S1﹣S2＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S正方形ACHI+S△ACJ＝S正方形BCFG﹣4﹣S正方形ACHI＝12，∴S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴a2﹣b2＝c2，∴c2＝16，∴c＝4（負值已舍去），∴S△ABC＝bc＝2b＝4，∴b＝2，∴a2＝b2+c2＝16+22＝20，∴正方形BCFG的面積為20，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)以及三角形面積等知識，熟練掌握勾股定理和正方形的性質(zhì)，求出c和b的值是解題的關鍵．46．（2021秋?下城區(qū)校級期中）如圖所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于（）A．9 B．25 C．36 D．45【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結果．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）＝AC2﹣AB2＝45．故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認真觀察，分別兩次運用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點，重點還是在于勾股定理的熟練掌握．47．（2021秋?上城區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，正方形ABDE的面積為100，則正方形ACFG的面積為64．【分析】由正方形ABDE的面積為100得直角三角形的斜邊是10．再根據(jù)勾股定理得AC＝8，從而可得正方形ACFG的面積．【解答】解：因為S正方形ABDE＝AB2＝100，在Rt△ABC中，BC＝6，所以S正方形ACFG＝AC2＝AB2﹣BC2＝64．故答案為：64．【點評】考查了熟練運用正方形的面積公式以及勾股定理．此題中注意：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．此結論在運算中也要經(jīng)常運用．48．（2021秋?濱江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在邊AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為F，與BC交于點E，則BE的長是．【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)可知AE是CD的垂直平分線，利用勾股定理求出AB的長，再利用等積法求出DE的長，再利用勾股定理求BE即可．【解答】解：連接DE，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴AE是CD的垂直平分線，∴CE＝DE，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝，∴BD＝AB﹣AD＝2，∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，∴3×4＝3CE+5DE，∴DE＝，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，故答案為：．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，運用等積法求出DE的長是解題的關鍵．49．（2021秋?北侖區(qū)期中）如圖，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣．【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出線段OB的長度，然后根據(jù)OA＝OB即可求出OA的長度，接著可以求出數(shù)軸上點A所表示的數(shù)．【解答】解：∵OC＝3，BC＝1，∴BO＝＝＝，∵OA＝OB，∴OA＝，∴數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣；故答案為：﹣．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．50．（2021秋?義烏市期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以B為圓心，BC為半徑畫弧，交線段AB于點D，以A為圓心，AD為半徑畫弧，交線段AC于點E，連接CD．（1）若∠A＝25°，求∠ACD的度數(shù)．（2）若BC＝2.5，CE＝2，求AD的長．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCD，計算即可；（2）根據(jù)線段的和差以及勾股定理可得結論．【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝65°．∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝＝57.5°．∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57.5°＝32.5°；（2）∵∠ACB＝90°，BC＝2.5，CE＝2，∴BD＝BC＝2.5，AC＝AD+2，∴AB＝AD+2.5，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（AD+2.5）2＝（AD+2）2+2.52，解得：AD＝4．【點評】本題考查的是勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．二十三．作圖—基本作圖（共2小題）51．（2021秋?諸暨市期中）畫△ABC的邊BC上的高，下列畫法正確的是（）A． B． C． D．【分析】作哪一條邊上的高，即從所對的頂點向這條邊或這條邊的延長線作垂線段即可．【解答】解：在△ABC中，畫出邊BC上的高，即是過點A作BC邊的垂線段，正確的是C．故選：C．【點評】此題主要考查了作圖﹣基本作圖，三角形的高，關鍵是要注意高的作法．52．（2021秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN分別交BC，AC于點D，E．若AE＝3，△ABD的周長為13，則△ABC的周長為19．【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：∵DE垂直平分線段AC，∴DA＝DC，AE+EC＝6，∵AB+AD+BD＝13，∴AB+BD+DC＝13，∴△ABC的周長＝AB+BD+BC+AC＝13+6＝19，故答案為：19．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．二十四．作圖—復雜作圖（共2小題）53．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）如圖是作△ABC的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊 C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對角【分析】觀察圖象可知已知線段AB，α，β，由此即可判斷．【解答】解：觀察圖象可知：已知線段AB，∠CAB＝α，∠CBA＝β，故選：C．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，解題的關鍵是理解題意，屬于中考?？碱}型．54．（2021秋?溫州期中）如圖，已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)在BC上確定一點P，使PA+PC＝BC．則下列四種不同方法的作圖中準確的是（）A． B． C． D．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)分別分得出即可．【解答】解：A、如圖所示：此時BA＝BP，則無法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此選項錯誤；B、如圖所示：此時PA＝PC，則無法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此選項錯誤；C、如圖所示：此時CA＝CP，則無法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此選項錯誤；D、如圖所示：此時BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此選項正確；故選：D．【點評】此題主要考查了復雜作圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出是解題關鍵．二十五．命題與定理（共3小題