云南省丘北縣2024屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

云南省丘北縣民中2024屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)z=(2+z)(l+i)的共軌復(fù)數(shù)為()

A.3-3zB.3+3，C.1+3/D.1-3/

2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A.16』+^^B.1673+—C.1654扃D.16用晅

3333

3.已知a/wR,3+ai=b-(2a-Y)i,貝！||3。+沅|=()

A.MB.26C.3D.4

4.當(dāng)〃>0時(shí)，函數(shù)/（%）=（/—改）產(chǎn)的圖象大致是（）

5.已知0,g,,e0,g,tan?=C0S,則（）

2J{2）1-sin2〃

crt兀c兀

A.2a/3——B.cc/3——

7TTC

C.cc-0=-^D.or+2/?=—

6.若（1—2i）z=5i（i是虛數(shù)單位），則目的值為（）

A.3B.5C.73D.75

7.如圖，設(shè)P為AA5C內(nèi)一點(diǎn)，且AP=，A3+LAC,則AA3P與AA5C的面積之比為

34

]_

B.

3

j_

6

Y

8.已知圓％2+y2—4x+2y+l=0關(guān)于雙曲線C：不=1(。＞o/〉o)的一條漸近線對稱，則雙曲線c的離心率為

a"F

()

A.75B.5C.6D.-

24

9.若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镸={x|-2WxW2},值域?yàn)镹={y|0WyW2},則函數(shù)y=/(x)的圖像可能是()

10.已知函數(shù)/(x)=x+ei，g(x)=ln(x+2)—4e“f,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù).%,使

/(%)—g(x0)=3成立，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-In2-1B.-l+ln2C.-In2D.In2

11.在等差數(shù)列｛4｝中，若S“為前”項(xiàng)和，2%=勺+12,則幾的值是()

A.156B.124C.136D.180

12.已知函數(shù)/(%)=Asin(GX+。)A>0,(2?>0,0<^<—的部分圖象如圖所示，則/)

^/6—^2娓+垃

42

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4一?

13.已知a,0ecos(a+0=g,cos(,—>則sin[a+1

14.已知z-i=l+2i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z=

〃3,兒

15.若函數(shù)/(x)=sin2x-gcos2x的圖像向左平移:個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖像.則g(x)在區(qū)間-?，丁上的

8oO

最小值為.

16.根據(jù)如圖的算法，輸出的結(jié)果是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

Inx+g).

17.(12分)已知函數(shù)/(%)=如2

(I)若帆=1,求曲線y=/Q)在(1,/⑴)處的切線方程;

(II)當(dāng)加￡1時(shí)，要使/(x)>Hnx恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

%=l+2cos。

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系九0y中，曲線C的參數(shù)方程是為參數(shù)），以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正

y=2sma

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕cos（e+d=3.

（I）求曲線C的普通方程與直線/的直角坐標(biāo)方程；

（II）已知直線/與曲線。交于A,B兩點(diǎn),與X軸交于點(diǎn)P,求4Hp國.

19.（12分）已知橢圓C：「+g=l（0<6<a）的離心率為母.且經(jīng)過點(diǎn)（1,日）

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)（0,2）的直線/與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,以04、05為鄰邊的平行四邊形O4MB的頂點(diǎn)M在橢圓C

上，求直線/的方程.

20.（12分）如圖，正方形ABC。所在平面外一點(diǎn)滿足。石=。尸，其中￡、歹分別是AB與AD的中點(diǎn).

（2）若AB=4,PE=PF=2屈,且二面角P—ER—C的平面角的余弦值為主叵，求與平面？EF所成角的

11

正弦值.

21.（12分）每年的寒冷天氣都會帶熱“御寒經(jīng)濟(jì)”，以交通業(yè)為例，當(dāng)天氣太冷時(shí)，不少人都會選擇利用手機(jī)上的打

車軟件在網(wǎng)上預(yù)約出租車出行，出租車公司的訂單數(shù)就會增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數(shù)據(jù)中抽取的5天

的日平均氣溫（單位：。C）與網(wǎng)上預(yù)約出租車訂單數(shù)（單位：份）；

日平均氣溫（℃）642-2-5

網(wǎng)上預(yù)約訂單數(shù)100135150185210

（1）經(jīng)數(shù)據(jù)分析，一天內(nèi)平均氣溫xc與該出租車公司網(wǎng)約訂單數(shù)y（份）成線性相關(guān)關(guān)系，試建立y關(guān)于x的回歸

方程，并預(yù)測日平均氣溫為-7。（2時(shí)，該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)；

（2）天氣預(yù)報(bào)未來5天有3天日平均氣溫不高于-5。（2,若把這5天的預(yù)測數(shù)據(jù)當(dāng)成真實(shí)的數(shù)據(jù)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，則

從這5天中任意選取2天，求恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的概率.

附：回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為:

_n/

Z（%一元）（%—9）ZX—戒,y_

b=上三------------=-----------,a=y-bx

￡（%--?。?^xr-nx2

i=\i=l

22.（10分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形ABC空地，擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域，用來種植三種花

卉.方案是：先建造一條直道OE將AABC分成面積之比為2:1的兩部分（點(diǎn)，E分別在邊A5,AC±）；再取OE

的中點(diǎn)M,建造直道AM（如圖）.設(shè)A。=尤，DE=義,=%（單位：百米）.

（1）分別求%,為關(guān)于上的函數(shù)關(guān)系式；

（2）試確定點(diǎn)。的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

直接相乘，得1+3"由共軌復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果

【詳解】

Vz=（2+z）（l+0=1+3/

,其共軌復(fù)數(shù)為1-3九

故選：D

【點(diǎn)睛】

熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軌復(fù)數(shù)的性質(zhì).

2、D

【解析】

結(jié)合三視圖可知，該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐，下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.

【詳解】

由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱，則上半部分的半個(gè)圓

錐的體積V=-X-X4^X273=勺電，下半部分的正三棱柱的體積K=-X4X2A/3X4=16^/3，故該幾何體的體積

1233~2

丫=匕+匕=當(dāng)56邪.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，考查空間幾何體的體積，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

3、A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征，求出3a和b,再利用復(fù)數(shù)的模公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】

b=3

因?yàn)?+勿=b—(2a—1?,所以',

一(2〃-1)二a.

b=3,

解得《1

3〃=1,

貝!113a+W|=|l+3/|=Vl2+32=M.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

由“尤)=0,解得三—依=0,即％=0或x=a,。＞0,；.函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，二4,。，不正確，設(shè)4=1,

則”無)=(l2—=(爐由/(%)=(%2+尤_])/＞0,解得X〉-"J或彳＜,

由/(％)=(尤2-1)/<0,解得：一T；石<X<一1,即X=—1是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),二。不成立，排除。，

故選B.

【方法點(diǎn)晴】本題通過對多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,

屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識點(diǎn)較多，但是并不是無

路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及

xfO+,xfO,xf+oo,x-—oo時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項(xiàng)一一排除.

5、C

【解析】

利用二倍角公式，和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式，化簡可得tana=J。*?n|+|，即可求得結(jié)果.

1-sm2(3=ta)

【詳解】

cos2(3_cos2sin2(3_1+tan_(n)

tana——zz——tanF13,

1-sin2(3cos2/?+sin2-2sincosf31-tan/?(4)

JTJT

所以a=—+尸，即a—/=—.

44

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡三角函數(shù)，難度較易.

6、D

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】

(1—2z)z=5i(i是虛數(shù)單位)

可得|(1—2。閆=阿

解得回=百

本題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.

7、A

【解析】

作尸￡>//AC交A3于點(diǎn)。，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出S^DP與SMBC的比例，再由S“DP與S“PB的

比例，可得到結(jié)果.

【詳解】

如圖，作PD//AC交AB于點(diǎn)。，

則APuAD+OP，由題意，AD=\AB,DP=\AC,且40尸+/。43=180,

34

所以S.p」IA。IIDPIsinNADP1A31|AC|sinNCAB=，S.

11S.APR1

又AB,所以，S^PB=3SMDP=-S^C,即1=1

34今

所以本題答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.

8、C

【解析】

將圓尤2+V_4元+2y+1=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為（2,-口.根據(jù)圓Y+V_4x+2y+1=0關(guān)于雙曲線

22h1

。?土-匕=l（a>0）〉0）的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.

■?2/

【詳解】

已知圓Y+y之一4%+2y+1=0,

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x—2）?+（y+l）2=4,

所以圓心為（2,-1）.

22

因?yàn)殡p曲線C:，一2=1（。>04>0）,

b

所以其漸近線方程為y=±-x,

a

22

又因?yàn)閳A爐+/-4x+2y+1=0關(guān)于雙曲線c：，-方=1(a>0)>0)的一條漸近線對稱,

則圓心在漸近線上，

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

9,B

【解析】

因?yàn)閷不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象，即可排除；

對B滿足函數(shù)定義，故符合；

對C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定;

對D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒有原象，故可否定.

故選B.

10、A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+exa-In(x+1)+4ea-x,

.1x+1

令y=x-Inz(x+1),y'=l-----=-----，

x+2x+2

故y=x-In(x+1)在(-1,-1)上是減函數(shù)，(T,+oo)上是增函數(shù)，

故當(dāng)x=-1時(shí)，y有最小值-1-0=-1,

而eX-a+4ear%,(當(dāng)且僅當(dāng)e*-a=4ea-x,即*=2+1111時(shí),等號成立)；

故f(x)-g(x)>3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r(shí)成立時(shí)，等號成立)；

故x=a+lnl=-1,BPa=-1-Ini.故選：A.

11、A

【解析】

因?yàn)榈?41=2%=4]+12,可得%=12,根據(jù)等差數(shù)列前九項(xiàng)和，即可求得答案.

【詳解】

a7+an-2a9=an+12,

%—12,

13(?,+a,)

$3=二，=13%=13x12=156.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)丁=二--丁求出周期，再將二，1代入求出9的值.最后將一代入解析

式即可.

【詳解】

由圖象可知4=1,

上2%

‘所以7="，，。=于=2.

?4-12

7T

:?于(x)=sin(2x+^),將代入得5譏(一+。)=1,

--F(p-..F2左TT,kGZ,結(jié)合OV°V—9(P——

/(x)=sin\2x-\——.

3?nn

717171.71V2-V6

sin-cos----cos——sin——=------------

I3434j4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

33

13、——

65

【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得sin（a+〃），sin]，-的值，由兩角差的正弦公式即可計(jì)算得

sin[</+?]的值.

【詳解】

a，cos（a+尸）=[,cos]/—?]=一得，

37r,2〃J,(71：371\

〔于J

in(tz+/?)=-yi^2百=1，

sin>cosa+

芹，

1-cos21

J13

sink+^=sin（a+尸）一（萬一（

I4

=疝3+小“￡聞83+小小司=卜汨一￡|一乎土嗜.

33

故答案為：一~^

o5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

14、2-i

【解析】

解：z-i=l+2i

l+2i_(l+2i)i

z=-2=2-i

故答案為：2-，

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15、-V3

【解析】

7TTT

注意平移是針對自變量X,所以g(x)=y(x+d)=2sin(2x-K),再利用整體換元法求值域(最值)即可.

o12

【詳解】

由已知,/(x)=sin2x-y/3cos2x=2sin(2x-—),g(x)=于(x+—)=

38

2sin[2(x+—)--]=2sin(2x--),又xe苧，M2x--e,

8312L88J1233

2sin(2x章)e[-6,2],所以g(x)的最小值為一拒.

故答案為：$

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

16、55

【解析】

根據(jù)該For語句的功能，可得S=l+2+3+...+10,可得結(jié)果

【詳解】

根據(jù)該For語句的功能，可得S=l+2+3+...+10

皿(1+10)x10

則$=^^-----1——=55

2

故答案為：55

【點(diǎn)睛】

本題考查For語句的功能，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

【解析】

(I)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；

(II)構(gòu)造函數(shù)y=/(x)-%加，對參數(shù)分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.

【詳解】

(I)當(dāng)m=1時(shí)，/(x)=x2^Inx+^-J,則/'(x)=2?lnx+g1+x.

所以/'⑴=2.

113

又/⑴=5,故所求切線方程為y—5=2(x—1),即y=2x-

(II)依題意，得mr2[inx+gj〉xlnx,

gpmx11inx+g]-xlnx〉O恒成立.

令g(x)=mx21lnx+—|-xlnx,

貝!Ig'(%)=Qmx-l)(lnx+1).

①當(dāng)機(jī)KO時(shí)，因?yàn)間(l)=；7〃VO,不合題意.

②當(dāng)0<mVl時(shí),令g'(x)=0,

加11=處11

得玉=---9%2=一，顯然---->一?

2me2me

令g'(x)>0,M0<x<-^x>—；令g'(x)<0,^-<x<—.

e2me2m

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0-],U，+8

,單調(diào)遞減區(qū)間是

e2m}

當(dāng)時(shí),2

mx-x<09lnx<0,

212

所以g(%)=mxfInx+-^j-xInx二(mx-xjinx+^mx>0,

―,白+喪〉。，所以“>5'

只需g

2m

所以實(shí)數(shù)M的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，屬綜合中檔題.

18、(1)(x-l)2+y2=4,直線1的直角坐標(biāo)方程為x-y—2=0；(2)3.

【解析】

⑴消參得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線的參數(shù)

方程，將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于f的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求

解.

【詳解】

Ix-II2(,Ix1-2c,?s<

⑴由曲線C的參數(shù)方程(a為參數(shù))>(a為參數(shù))，

lv=2sinalv=2sina

兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(X—l>+y2=4；

由直線1的極坐標(biāo)方程可得pcosOcos—psinOsin-=pcos0—psin0=2,

即直線1的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0.

⑵由題意可得P(2,0),則直線1的參數(shù)方程為：-(t為參數(shù)).

設(shè)A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為ti,t2,則|PA|?|PB|=|tiHt2|,

(一苴

x=2+"^*l?

將<一(t為參數(shù))代入(X—l)2+y2=4,得t2+、J%-3=0,

y■遍

2

則A>0,由韋達(dá)定理可得ti?t2=—3,所以|PAHPB|=|-3|=3.

19、(1)—+y2=1(2)y=±巫X+2

4-2

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)以及4―廿=°2列方程，由此求得進(jìn)而求得橢圓的方程.

(2)設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立直線/的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何

意義得到。m=。4+。8,由此求得〃點(diǎn)的坐標(biāo)，將A3,M的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡后可求得直線/的斜率，由

此求得直線/的方程.

【詳解】

(1)由橢圓的離心率為且，點(diǎn)(1,3)在橢圓上，所以￡=3,二+工=1,且儲一^=,2

22a2a4b

2

解得/=4萬=1,所以橢圓。的方程為?+y2=l.

(2)顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為左，則直線/的方程為y=Ax+2,設(shè)

|y2=]

A（%，x）,B（x2,y2）,M（x0,y0）,由彳4-消去V得（1+4左之）/+需履+12=0,

y=kx+2

丁-16k12

Wx1+X2=--,V2=—,

%=為+X、

由已知得QM=OA+QB，所以｛，由于點(diǎn)4B、〃都在橢圓上，

〔%=%+%

所以！+弁=1，+貨=1'^^+（%+%）2=1，

展開有（才+y；）+（j+￡）+^^+2%丁2=1，2+xix2+4yly2=0,

4-4P

又%%=（3+2）（而2+2）=k2xx+2左（X]+々）+4=

x21+442

所以2+1+4、/=°印5=4「.一半,

經(jīng)檢驗(yàn)滿足△=（164產(chǎn)一4（1+4/）義12=64左2-48>0,

故直線/的方程為y=±巫x+2.

2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

20、(1)證明見解析(2)姮

11

【解析】

(1)先證明EF,平面POC,即可求證EP_LPC；

(2)根據(jù)二面角P-石尸-C的余弦值，可得PC,平面ABC。，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量

計(jì)算線面角即可.

【詳解】

(1)連接AC,交所于點(diǎn)。，

p

連結(jié)PO.則EF±PO,EFLAC,POcyAC=O,

故EF，面POC.

又PCu面POC,

因此即，PC.

(2)由(1)知NPOC即為二面角P—EF—C的平面角，

且FO=&PO=V22,OC=3A/2.

在△POC中應(yīng)用余弦定理，得PC=^POr+OC--2PO-OC-cosZPOC=2，

于是有PC2+OC2=PO2，

即PC_LOC,從而有PC，平面ABC。.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),尸(0,0,2),3(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),

于是PE=(2,4,-2),PF=(4,2,-2),CB=(0,4,0),

設(shè)平面PEF的法向量為加=(x,y,z),

m-PE=02x+4y-2z=0

則即4解得尤=y

m?PF-04x+2y-2z=0

于是平面PEF的一個(gè)法向量為m=(1,1,3).設(shè)直線BC與平面PEF所成角為。，因此

.AsCBm4而

sin0=cos<CB,m>=----：--------=------==.

\CB\-\m\4xVn11

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直，線線垂直的證明，二面角，線面角的向量求法，屬于中檔題.

3

21、(1)y=-9.5x+165.5,232；(2)-

【解析】

⑴根據(jù)公式代入求解；

(2)先列出基本事件空間Q,再列出要求的事件，最后求概率即可.

【詳解】

〃=5八=5

解：(1)由表格可求出亍=1,9=156,22%，=20,51y=780,2%：=85代入公式求出3=_9.5，

i=li=l

所以。=y—5x=165.5，所以，=—9.5x+165.5

當(dāng)x=-7時(shí)，y=(-9.5)x(-7)+165.5=232.

所以可預(yù)測日平均氣溫為-7℃時(shí)該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)約為232份.

(2)記這5天中氣溫不高于-5P的三天分別為AB,C,另外兩天分別記為RE,則在這5天中任意選取2天有

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10個(gè)基本事件，其中恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的有

AD,AE,BD,BE,CD,CE,共6個(gè)基本事件，

所以所求概率。4=|，即恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于20份的概率為1.

【點(diǎn)睛】

考查線性回歸系數(shù)的求法以及古典概型求概率的方法，中檔題.

22、(1)%=小2+當(dāng)—6,%e[2,3]._y2=J~~'XG[2,3].

(2)當(dāng)4。=幾百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值