2024年湖南省高三數(shù)學(xué)3月模擬訓(xùn)練卷附答案解析

2024年湖南省高三數(shù)學(xué)3月模擬訓(xùn)練卷

（試卷滿分150分.考試用時120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

I.已知由小到大排列的4個數(shù)據(jù)1、3、5、a,若這4個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的2倍，則這4個數(shù)

據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

A.7B.6C.5D.4

若橢圓mx2+2y2=1的離心率為1

2.［，則實數(shù)機的值為（）

2

A.；B.1■或4C.g或8D.g或6

3.各項均不為零的等差數(shù)列｛4｝中，%=2,若a；-。,--a“+i=0（〃eN*,〃22）,則邑。”等于（）

A.0B.2C.2017D.4034

4.已知加，〃為兩條不同的直線，a,用為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若加//a,nila,則加〃〃

B.若〃〃加，n.Laf則加_La

C.若加//a,nll13,mLn,則。_1_尸

D.若冽//a,n工B,mlIn,則a〃/?

5.第31屆世界大學(xué)生夏季運動會于2023年7月28日至8月8日在成都舉行，比賽項目包括15個必選

項目和武術(shù)，賽艇，射擊3個自選項目.若將3男，3女6名志愿者分成3組，每組一男一女，分別分配

到3個自選項目比賽場館服務(wù)，則不同的分配方案共有（）

A.540種B.36種C.108種D.90種

6.如圖,在梯形Z8CD中，DC=2AB,P為線段CO上一點，且。尸=g尸C,E為3C的中點，若

EP=ZAB+/dAD（A,）,則幾+〃的值為（）

5Q

7.在中2sin/+sinB=2sinC,則〕—+-的最小值為()

SIIL4sinC

A.14B.16C.18D.20

22

8.已知雙曲線=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為耳、8，點A在C上，點3在〉軸上，

____________LILIULULILL

FlA-FlB=0,F2B^-F2A,則雙曲線C的離心率為()

A.B.V3+1C.D.V5+1

22

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=cos(ox+j(o>0),下列選項中正確的有()

A.若“X)的最小正周期7=2,貝！|。=兀

B.當(dāng)。=2時，函數(shù)“X)的圖象向右平移三個單位長度后得到g(x)=cos2x的圖象

C.若/(“在區(qū)間(0遂)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是(0彳

D.若在區(qū)間(0,兀)上只有一個零點，則。的取值范圍是

10.已知復(fù)數(shù)4，Z],則下列結(jié)論正確的有()

A.z；=z；B.不^=1,C.|簾|=|訃團D.k+z2|=|zj+㈤

11.已知函數(shù)"X)和其導(dǎo)函數(shù)g(x)的定義域都是R,若/(x)-x與g(2x+l)均為偶函數(shù)，貝I]()

A./(0)=0

B.公關(guān)于點(0,1)對稱

x

C.g(2023)=1

D.(g⑴一l)x(g(2)+1)+(g(2)-1)x(g(3)+1)+…+(g(2023)-l)x(g(2024)+l)=0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若集合4={(x,y)|y=2x2-3x+l},B=^x,y)\y=x},則集合/cB中的元素個數(shù)為.

13.已知圓錐的頂點為P,軸截面為銳角AP/8,ZPAB=a,則當(dāng)a=時，圓錐的內(nèi)切球與外

接球的表面積的比值最大，最大值為.

14.已知正實數(shù)c,d滿足a?-蜜+1=0,c2+德=i,則當(dāng)(a-cy+0-d)2取得最小值時,ab=.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)"X)=xe*.

(1)求曲線V=/(x)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(無)=/(x)-e*在x=0處取到極小值，求實數(shù)加的取值范圍.

16.為研究一種新藥的耐受性，要對白鼠進(jìn)行連續(xù)給藥后觀察是否出現(xiàn)尸癥狀的試驗，該試驗的設(shè)計為:

對參加試驗的每只白鼠每天給藥一次，連續(xù)給藥四天為一個給藥周期，試驗共進(jìn)行三個周期.假設(shè)每只

白鼠給藥后當(dāng)天出現(xiàn)尸癥狀的概率均為;，且每次給藥后是否出現(xiàn)尸癥狀與上次給藥無關(guān).

(1)從試驗開始，若某只白鼠連續(xù)出現(xiàn)2次尸癥狀即對其終止試驗，求一只白鼠至少能參加一個給藥周

期的概率；

(2)若在一個給藥周期中某只白鼠至少出現(xiàn)3次尸癥狀，則在這個給藥周期后，對其終止試驗，設(shè)一只

白鼠參加的給藥周期數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.如圖，四棱錐P—48CD中，四邊形/3CD為梯形，其中48〃CD,23c0=60°,

AB=2BC=2CD=4,ADLPB.

⑴證明：平面尸AD_L平面45CD；

(2)若PB=PD,點E滿足近=2反,且三棱錐E-/AD的體積為孚，求平面P4D與平面ADE的夾角

的余弦值.

18.已知拋物線C:/=4x的焦點為R不過原點的直線/交拋物線C于4,2兩不同點，交x軸的正半

軸于點。.

⑴當(dāng)尸為正三角形時，求點N的橫坐標(biāo)；

⑵若|E4|=|F0,直線J/〃,且4和。相切于點E；

①證明：直線/E過定點，并求出定點坐標(biāo)；

②ANBE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

19.基本不等式可以推廣到一般的情形：對于，個正數(shù)4,出，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何

3

平均，即q+\+…+巳20°唐…，當(dāng)且僅當(dāng)為=&=…=?！睍r，等號成立.若無窮正項數(shù)列｛與｝同

n

時滿足下列兩個性質(zhì)：①三/>0,%</；②｛%｝為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)尸.

(1)若。“=〃+:，求數(shù)列｛?！埃淖钚№?；

n

1n

⑵若，=4,記s“=X”，判斷數(shù)列｛Sj是否具有性質(zhì)尸，并說明理由；

2—1i=i

⑶若g=[l+￡|”,求證：數(shù)列｛c,｝具有性質(zhì)P.

1.A

【分析】根據(jù)極差和中位數(shù)概念得到關(guān)于。的方程，再利用百分位數(shù)的概念即可.

【詳解】由小到大排列的4個數(shù)據(jù)1、3、5、a,則。w5,

這四個數(shù)為極差為中位數(shù)為等=4,

因為這4個數(shù)據(jù)極差是它們中位數(shù)的2倍，貝ija-1=2x4,解得。=9,

所以，這四個數(shù)由小到大依次為1、3、5、9,

因為4x0.75=3,故這4個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是三二7.

2

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)離心率的計算公式，分焦點的位置，討論即可求解.

22

2L,2L-1

【詳解】橢圓加/+2/=1的標(biāo)準(zhǔn)形式為工+了一1,

m2

x2y2

當(dāng)焦點在x軸時，e==—,解得:，此時橢圓方程為T+T=1符合要求，

212

2

Vm

fLJ~

22

當(dāng)焦點在y軸時，g=-y-=2r-m，解得機=8,此時橢圓為1十丁-1符合要求，

82

故選：c

3.D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可化簡已知等式為2a〃=0,由此可求得〃〃=2(〃￡N*,〃22),結(jié)合q=2

即可求得結(jié)果.

4

【詳解】???數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，用+%-=2%（"€用，"22）,

則由°；一為1-%7=0得：-2a“=0,又%H0,；.%=2（〃eN*,〃22）,

又%=2,:.S2m=2017x2=4034.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，逐一判斷選項.

【詳解】A.若m//a,〃〃a,則加與"平行，或相交或異面，故A錯誤；

B.若n"m,nLa,則機_La,故B正確；

C.若皿〃c,nllp,mln,則a與夕相交或平行，故C錯誤；

D.若mIla,n1.J3,mlIn,則故D錯誤.

故選：B

5.B

【分析】根據(jù)題意，將3男、3女6人分成3組，每組一男一女，再將這3組分別分配到3個自選項目,

結(jié)合排列組合的知識，即可求解.

c'c'c'c1

【詳解】由題意，將3男、3女6人分成3組，每組一男一女，分組方法有3：22=6種,

A3

將這3組分別分配到3個自選項目比賽場館的分配方法有A；種，

故不同的分配方案共有6A；=36（種）.

故選：B.

6.B

【分析】直接利用向量的線性運算，化簡求得一￡尸=：1/。-5求一得的值，即可得到答案.

26

【詳解】由題意，根據(jù)向量的運算法則，可得：

—-—-—-1—-2--1/----\4--1—-11--

EP=EC+CP=-BC+-CD=-[AC-AB\一一AB=-AC——AB

232、7326

1/一一、11一15一

=-[AD+2AB\——AB=-AD——AB

2、7626

EP=A,AB+JLLADJ所以a二一二,〃=37，

62

所以2+〃=_:+不=_不，故選B.

5

【點睛】本題主要考查了向量的線性運算及其應(yīng)用，其中解答中熟記向量的線性運算法則，合理應(yīng)用向

量的三角形法則化簡向量而是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

1

r,L-ACA-AC—AC4-A

【分析】利用和差角公式及二倍角公式得到2sin-^cos=4=4sin±/cos上詈，即可得到

2222

/C—ACAA594

sin--------=2sin---------,從而得至“tan—=3tan—,再令加=tan—,貝!J--------+-------=16m+一,利|用基本

22222sinAsinCm

不等式計算可得.

【詳解】因為2sin4+sinB=2sinC,

所以sinB=2(sinC—sinZ),即sin(力+C)=2(sinC-sin^4),

C-ACAC.AC+ACA.C.A

因為sin=sm——cos-----cos——sin——cos=cos——cos-----sin—sm—

222222222

C-AC+A

所以sincos

2

,CAC.CC.242cA.AC.AA

=sin-cos2-cos——I-sin-cos-sin-----sin-cos-sin------cos2-sin-cos一

222222222222

=—sinC——sinA,

22

.C+ACA,C—ACA

所以2sin--------cos---------=4sin---------cos---------,

2222

5八C+/兀LLt、IC+/

又0<--------<—,所以cos--------->0,

222

?C+AC-A

所以sm--------=2sin---------

22

.CAC.A/.CAC.A}

BnnPsm-cos——l-cos-sin—=2sin—cos-----cos—sin—,

2222\2222；

rA

所以tan—=3tan—，

22

/CA

設(shè)冽=tan—,則tan—=3m,顯然tan—>0tan—>0,即加〉0,

2222

5959

——十

siib4sinCc,4%c.cc

2sin—cos—2sin—cos—

所以2222

.2/2%.CC

sm——bcos——sm2—+cos2—

2222

59

~~T~+

59

~C2

2tan—2tan—+6m16m+44

222m=16m-\----->2=16,

mm

m2+19m2+1

tan2—+1tan2—+1

22

6

4A1SQ

當(dāng)且僅當(dāng)16加=：,即加=tang=：時等號成立，故3+一的最小值為16.

m22sirL4smC

故選：B

8.A

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出HM=4C,推導(dǎo)出△2片耳為等邊三角形，求出M凰、\AF^,利

用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.

HULLUUU.

【詳解】因為88=則工為線段的中點，

因為百不=0,則/耳」明,則a=2陽用=4c,

因為。為片名的中點，OBLg,則忸用=忸聞=；|/同=2'=內(nèi)用,

所以，424耳為等邊三角形，

22

由勾股定理可得|/周=J御一解2=^4C)-(2C)=2?,

由雙曲線的定義可得M4|一|/巴|=2。，即26c-2c=2",

因此，該雙曲線的離心率為e=￡==L=

aV3-12

故選：A.

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得。、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；

(2)齊次式法：由己知條件得出關(guān)于。、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

9.ACD

【分析】利用最小正周期公式可得。，可判斷A；利用三角函數(shù)圖象的平移可得g(x),可判斷B；利用

余弦函數(shù)的減區(qū)間列不等式組求。的取值范圍，可判斷C；結(jié)合〉=cosx在區(qū)間(0,兀)上只有一個零點，

列不等式組可求。的取值范圍，可判斷D.

7

【詳解】對于A：由f(x)的最小正周期7=2可得同=2,又。>0,解得。=兀，故A正確;

對于B：當(dāng)。=2時，/(X)=COS12X+3,將其圖象向右平移1個單位長度后，得

g(x)=cos2卜-"+；=cos〔2x-；］的圖象，故B錯誤；

兀

對于C：由X€(0,兀)彳導(dǎo)—<GJX+—<COTI+—令A(yù)。X+—=%,

則尸cost在區(qū)間C，°兀+鼻上單調(diào)遞減，

a>>0/I

2(2

于是《兀，解得即GE0,7,故C正確;

6971+—<713V3

［3

對于D：因為/(X)在區(qū)間(0,兀)上只有一個零點,

所以》=COS/在區(qū)間［1口兀+1)只有一個零點,

。>0

兀兀17￡7

于是CDTlH-->一,解得一<69W—,即696故D正確.

32666；6

兀，3兀

a)Tt+—<——

32

故選：ACD.

10.BC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)以及模的運算公式對應(yīng)各個選項逐個判斷即可求解.

【詳解】設(shè)Zi=〃+bi,z2=c+di,其中a,6,c,d￡R.

2222

對于選項A:2；=(。+加『=a-b+2abi,zf=a-b-2abif所以2ab與-2〃6不一定相等，故選項A錯

誤;

對于選項B:因為4/2=(〃+Z)i)(c+di)=(QC-bd)+(Qd+6c)i,

所以馬丁2=(ac-bd)-(ad+Tc)i,

因為44=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,

所以4?Z2=4?馬，故選項B正確;

對于選項C:因為44=(〃+Z)i)(c+di)=(ac—Z?d)+(Qd+6c)i,

8

22222222

所有匕必?|=f(ac-bd)"+(ad+bc)2=y]ac+bd+ad+bc

因為匕|㈤=yja2+b2yjc2+d2=A/a2J+加/+二屋+pc2,

所以匕匐=團m』"故選項C正確;

對于選項D:因為4+z?=(。+c)+(6+d)i,所以卜+z2|=J(a+c)~+優(yōu)+")~

㈤+同=Ja?+廿+Vc2+d2,而J(a+c『+(6+4)2與「北+4+J02+/不一定相等,故選項D錯誤；

故選：BC.

11.BD

【分析】用特殊值法，假設(shè)/(x)=l+x,可判斷選項A；

對/(x)r=〃-x)+x進(jìn)行變形處理，即可判斷其對稱性，從而判斷選項B；

對“X)-尤=/(-x)+x兩邊求導(dǎo)，可得g(x)+g(-x)=2,根據(jù)g(2x+1)=g(-2x+1)可判斷g(x)的周期性

和對稱性，再根據(jù)特殊值關(guān)系，即可判斷選項C；

由特殊值關(guān)系得到g(2)+g(4)=2,g(l)+g⑶=2,化簡

(g(l)-l)x(g⑵+1)+(g⑵-1)x(g⑶+1)+…+3(2023)-1)X(g(2024)+l),即可判斷選項D.

【詳解】假設(shè)/(x)=l+x,則/(x)-x=l,g(2x+l)=l都為偶函數(shù)，則所設(shè)函數(shù)〃x)=l+x符合題意，

此時/(0)=1,所以A錯誤；

因為/Xx)-x為偶函數(shù)，所以/(x)-尤=/(-x)+x,即/+￡^=2,

X-X

令〃(無)=—,貝股(x)+〃(一x)=2,所以〃(x)關(guān)于點(0,1)對稱,故B正確;

因為g(2x+l)均為偶函數(shù)，所以g(2x+l)=g(-2x+l),所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，即

g(l+x)=g(I),

因為;'(尤)-x=/(-尤)+x,所以廣(x)-l=-7'(-x)+l,所以g(尤)+g(-x)=2,

所以g(x+4)=g(x),g(2023)=g(3),又g(T)=g⑶,g(0)=g(4),

所以g⑴+g(3)=g(l)+g(-l)=2,所以無法確定g(2023)的值，所以C錯誤；

又g(2)+g(-2)=2,g(2)=g(-2),所以g(2)=g(-2)=l,又g(4)=g(0)=1,所以g(2)+g(4)=2,

由g(x+4)=g(x)知函數(shù)g(x)周期為4,則g(x)-g(x+l)的周期也為4,則

(g⑴T)x(g(2)+1)+(g(2)-l)x(g(3)+1)+…+(g(2023)-l)x(g(2024)+1)

=g(l)g(2)+g(2)g(3)+…+g(2023)g(2024)-g(2024)+g(l)-2023

9

=506[g(l)g(2)+g(2)g(3)+g(3)g(4)+g(4)g(5)]-g(2024)g(2025)-g(2024)+g(l)-2023

=506[(g(2)+g(4))(g⑴+g(3)j]-g(0)g(l)-g(0)+g(l)-2023

=506x4-g⑴-1+g⑴-2023=0,所以D正確.

故選：BD

【點睛】對稱性有關(guān)結(jié)論：

若f(a-x)=f(a+x),則/(x)關(guān)于直線x=。對稱；

若/(2a-x)=f(x),則/(%)關(guān)于直線x=a對稱；

若/(a-x)+/(a+x)=2b,則/(幻關(guān)于點(。,6)中心對稱;

若/(2a-x)+/(x)=2b,則/(x)關(guān)于點(見6)中心對稱；

周期性結(jié)論：

若/(x+T)=/(x),則函數(shù)的周期為T.

12.2

【詳解】集合/={(x,v)|V=2X2-3X+1),B={(x,y)\y=x}均表示的是點集，即曲線上的點構(gòu)成的集合,

則集合NcB即為求兩函數(shù)圖象的交點.

y-2x2—3x+1

聯(lián)立方程得：f,2X2-4X+1=0,由A=16-8=8>0知兩函數(shù)圖象有兩個交點，所以集合

y=x

AcB中的元素個數(shù)為2.

13.-##-^-##0.25

334

【分析】作出圖形，設(shè)N5=2,PA=PB,M為線段的中點，連接設(shè)圓錐的內(nèi)切球和外接球

的半徑分別為r、R,計算出廠、R關(guān)于。的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得￡的最大值及其

對應(yīng)的a值，即可得解.

【詳解】如下圖所示：

P

A

AMB

10

不妨設(shè)N8=2,PA=PB,M為線段45的中點,

連接尸圓錐的內(nèi)切球球心為a,半徑為r；外接球球心為O,半徑為

圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為"=(-Y,

4位,[R)

rv

在Rt/XO]M4中，AM=\,ZOtAM=—,

.a

sin—2sm2

f1-cosa

r=O.M=tan—=2

1

2a、.aaS1IKZ

cos—2sm—cos—

222

222

在中，AM=\,OM=tana-RfOA=OM+AM,

2I2xI

即火2=(tanc—火y+F,所以，尺二史”[=J=1

2tana281n^cos?asin2a

cosa

r_1-cosa

所以,sin2a=-~2sin。cosa=2Q-cosa，osa=2

Rsinasina

用,

1兀

當(dāng)且僅當(dāng)cosa=5時，即當(dāng)a=§時，等號成立，

所以，圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積的比值的最大值為

4

兀]

故答案為：—；—.

14.q+1

2

【分析】將(a-c)2+(6-d)2轉(zhuǎn)化為(見“與伍⑷兩點間距離的平方，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為(。力)與圓心(0,0)的距

離，結(jié)合基本不等式求得最小值，進(jìn)而分析求解即可.

【詳解】可將(。-c)2+(b-d)2轉(zhuǎn)化為(。/)與(c,〃)兩點間距離的平方,

由。2一。6+1=0,得6=。-|—,

a

而。2+/=1表示以(0,0)為圓心，1為半徑的圓，(c,d)為圓上一點,

貝U(〃㈤與圓心(0,0)的距離為：G7?2>

11

當(dāng)且僅當(dāng)2/=|,即。=±3時等號成立，

此時6)與圓心(0,0)的距離最小，即(。⑼與(c,d)兩點間距離的平方最小，

即｛a-c)2+(6-d)2取得最小值.

當(dāng)口時，=/+1=2^+1,

V22

故答案為：蟲+1.

2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為圓c?+/=1上的點到b=“+!上的點的距離

a

的最小值的求解問題，進(jìn)而求解.

15.(l)y=x(2)(-co,g)

【分析】(1)求導(dǎo)，即可根據(jù)點斜式求解直線方程，

(2)求導(dǎo)，分類討論加的取值，即可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解極值.

【詳解】(1)由題意，/'(x)=(x+l)e'-2a,則/'(0)=1,

又"0)=0,故所求的切線方程為>=x.

x2xx

(2)由題意,g(x)=xe-mx-e,g'(x)=XQX-2mx=x(e-2m).

若加40,則e“—2加>0,故當(dāng)x￡(—叫0)時，g'(x)<0,當(dāng)XE(0,+8)時，gr(x)>0,

故當(dāng)x=0時，函數(shù)g(x)取到極小值；

若相>0,則令g'(x)=。，解得x=0或x=ln2加，

要使函數(shù)g(x)在x=0處取到極小值，則需ln2加<0,即

此時當(dāng)xe(-<?,ln2⑼時，g'(x)>0,當(dāng)xe(ln2加,0)時，g'(x)<0,當(dāng)尤C(0,+8)時，g'(x)>0,滿足條件.

綜上，實數(shù)加的取值范圍為(-s,g).

16.(1)—22；(2)分布列見解析，言71.7

【分析】(1)利用“正難則反”思想，計算一個給藥周期也沒有參加完的概率尸，則至少能參加一個給藥

周期的概率為1-尸；

(2)先計算出一個給藥周期內(nèi)至少出現(xiàn)3次尸癥狀的概率，然后根據(jù)題目條件確定隨機變量X的可能取

值，分別計算每一個X值所對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】解：(1)設(shè)“一只白鼠至少能參加一個給藥周期”為事件則”的對立事件為一個給藥周期

12

也沒有參加完.

設(shè)一次給藥出現(xiàn)尸癥狀為事件A,則一個給藥周期也沒有參加完的概率為

P=P(AA\+P(AAA\={^\+-x-x-=—,

')'33327

所以一只白鼠至少能參加一個給藥周期的概率為p(/)=l-

(2)設(shè)事件8為“在一個給藥周期中某只白鼠至少出現(xiàn)3次尸癥狀”，

則隨機變量X的取值為1,2,3.

尸（X=2）=[l一尸（叫.尸⑻f,

P（X=3）=[l-P（S）].[l-P（S）]=|x|=|i,

所以X的分布列為

所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為￡(X)=lx1+2xl+3x^=§

9O1O1O1

【點睛】本題考查概率的乘法公式及加法公式，考查隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望計算，難度一般.解答

時易錯點如下：

(1)每次給藥相互獨立；

(2)在解答第(2)小題時，注意若前一個給藥周期能通過，才可以參加下一個給藥周期.

17.(1)證明見解析;(2)等

【分析】(1)利用勾股定理先證再證N￡>_L平面PBD即可得面面垂直；

(2)根據(jù)條件建立合適的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)體積先計算￡坐標(biāo)，再利用空間向量求面面角即可.

【詳解】（1）?;NBCD=60°,BC=CD=2,:.ABCD為等邊三角形,

:.AB=2BD=4，

13

又四邊形ABCD為梯形，ABHDC,則AABD=60°,

根據(jù)余弦定理可知，在△4BD中，

AD1=AB2+BD2-2AB-BDcos^ABD=42+22-2x4x2xl=12

2

根據(jù)勾股定理可知，AD2+BD2=AB2,即4。18。，

AD±PB,PBcBD=B,PB,BDu平面PBD,

：.AD1平面PBD,

又ADu平面ABCD,:.平面PBD1平面ABCD；

(2)?.?(?為8。中點，PB=PD,;.PO1BD,

由(1)可知，平面PAD_L平面48CD,

又平面PBDPl平面ABCD=BD,POu平面PBD,

PO1平面ABCD,

連接OC,則OC_LAD,且OCu平面48cD,

故尸。_LOC,PO_L8D,

所以P。，BD,0c兩兩垂直.

以。為原點，以歷為x軸正方向，以詼為y軸正方向，以而為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則/卜1,-2后0),8(l,0,0),C(0,后0),。(-1,0,0),

____(2h

設(shè)尸(o,oj)且"0,；理=?.正，則E0,^-,-,

由三棱錐E-4M)的體積為逋得：-xlx2x2V3x-=^,

33233

所以％=6,

PE=-PC,:.E(O,—,2,

3I3

14

嚀2

DE=，麗=（2,0,0）,就=（1,Cj,麗=（1,0,$衣=2函/0,，~3分,

設(shè)平面尸4D的一個法向量為麗=(a,b,c),

m?DP=q+6c=0,、

則｛一.r，令。=1,則6=0,。=一6,故而=（一6,0,1）,

應(yīng)?￡>/=—2j36=0

設(shè)平面ADE的一個法向量為與=(x,y,z),

n-DB=2x=0

則<—.2A/3，令y=#）,則x=0,z=-1,

n-DE^x+--y+2z^Q

故方=(0,百,-1).

所以平面PAD與平面BDE的夾角余弦值為：

I/__\|何?司1V37

\cos{m,n)\=-=--/，=

,同司7(-6)2+l-7(V3)2+l74,

18.(1)3⑵證明見解析,定點為(1,0),最小值為16

【分析】(1)根據(jù)拋物線。的方程，可以求得焦點坐標(biāo)，由尸是正三角形，設(shè)點/和。的坐標(biāo),

可以求解；

(2)過點/，作準(zhǔn)線的垂線，得垂足尸，構(gòu)造平行四邊形，設(shè)/點的坐標(biāo)，以/點的縱坐標(biāo)為參變量,

分別計算直線4,AE,的方程以及三角形/匹的面積即可.

【詳解】(1)；V=4x,2p=4,5=l,.?.拋物線焦點坐標(biāo)廠(1,0),準(zhǔn)線方程為尸-1,

設(shè)4(Q,。，D(m,0),因為尸是正三角形，必有m+1，解得。=3,

即4點橫坐標(biāo)為3；

15

如圖，設(shè)/點在第一象限，過/點作準(zhǔn)線x=-l的垂線，得垂足P,連接PR==,APUFD,

四邊形/PFD是平行四邊形，PFHAD,

設(shè)/(〃，/)(?＞0,/＞0),則口一1,。，直線/＞尸的斜率為左=-^=-：,

y2=4x

設(shè)4的方程為》=x+6,聯(lián)立方程＜t,

y=——x+b