2024年中考數學模擬考試試卷-附答案(北師大版)

2024年中考數學模擬考試試卷-附答案（北師大版）

（滿分：150分；考試時間：120分鐘）

學校:班級：姓名：考號：

一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小立方塊搭成，此幾何體的俯視圖是（）

BrR

DHZI

2.萬里長城是世界文化遺產之一，其總長大約為21200000m,將21200000用科學記數法

表示為（）

A.2.12X106B.2.12X107C.0.212xl08D.212xl07

3.如圖，AB〃CD,直線I與AB,CD分別交于點E和F,CD上有一點G且GE=GF,Zl=122°,

則N2的度數為（）

A.54°B.64°C.58°D.68°

4.實數a,b在數軸上的位置如圖所示，則下列結論不正確的是（）

A.ab<0B.a+b>0C.la-bl=a-bD.Va^=-a

5.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

6.下列運算正確的是（）

A.（m-l）2=m2-1B.（2m）3=6m3C.m7-m3=m4D.m2+m5=m7

7.用如圖所示的兩個可自由轉動的轉盤進行"配紫色"游戲（紅色和藍色配成紫色），兩個轉盤

分別被分成面積相等的幾個扇形，同時轉動兩個轉盤一次，轉盤停止時指針所指扇形的顏色

即為轉出的顏色（若指針停在分界線上，則重轉），則配得紫色的概率為（）

8.已知點A（xi,yi）,B（X2,丫2）在反比例函數y=-：的圖象上，且xi<0<X2,則下列結論一定正確

第1頁共18頁

的是()

A.yi+Y2<0B.yi+y2>0C.yi-yz<0D.yi-y2>0

9面圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以點B為圓心，適&長為半徑畫弧，分別交BC,

BD于點E和F,大于共F為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線BP,過點C作BP的垂線分別交

BP,AD于點M和N,則CN的長為()

A.V10B.V11C.2V3D.4

10.在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點，已知二次

函數y=ax2+4x+c(aW0)的圖象上有且只有一個完美點(|,|),且當OWxWm時，函數

y，=ax2+4x+c[(aW0)的最小值為-3,最大值為1,則m的取值范圍是()

4

77

A.-lWmWOB.2WmW4C.2^m<-D.2-<mW-

22

二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分..

11.因式分解：xy2-4x=.

12.如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內任取一

點P,則點P落在陰影部分的概率為.

13.若關于x的一元二次方程x2+2x+h=0無實數根，則k的取值范圍是.

14.如圖，正方形的邊AB=2,弧BD和弧AC都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面

之差為.

15.為了增強學生身體素質，學校要求學生練習跑步.開始時男生跑了50m,女生跑了80m,

然后男生女生都開始勻速跑步.已知男生的跑步速度為4.5m/s,當到達終點時男、女均停止

跑步，男、女生從開始勻速跑步到停止跑步分別用時100s,120s.已知x軸表示從開始勻速

跑步到停止跑步的時間，y軸代表跑過的路程，則當男、女相遇時，此時男、女同學距離終

點的距離為.

第2頁共18頁

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,點M是BC的中點，E是BM上的一點，連接AE,

作點B關于直線AE的對稱點B',連接DB'并延長交BC于點F.當BF最大時，點B'到BC的

距離為.

三.解答題：本題共10小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

0

17.(6分)計算：|-||+(.1)2024_sin3o°-(V3-V2)

+1>-3（r

18.（6分）解不等式組'i+x-，并把它的解集在數軸上表示出來.

3

19.（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E,F,G,H分別在邊AD、AB、BC、CD±,

且DE=BG,AF=CH.求證：EF=GH.

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20.（8分）植物園是當地人民喜愛的休閑場所之一，里面的秋千深受孩子們喜愛.如圖所示，

秋千鏈子的長度為3m,當擺角NBOC恰為26°時，座板離地面的高度BM為0.9m,當擺動

至最高位置時，擺角NAOC為50°,求座板距地面的最小和最大高度分別為多少？（結果精

確到0.1m,參考數據：sin26°七0.44,cos26°=0.90,tan26°^0.49,sin50°七0.77,cos50°

七0.64,tan50°七1.19）

21.（8分）"小手拉大手，共創(chuàng)文明城某校為了解學生對所在城市創(chuàng)建全國文明城市相關知

識的知理情況，通過發(fā)放問卷進行測評，從中隨機抽取20份答卷，并統(tǒng)計成績（成績得分

用x表示.單位：分）:94,83,90,86,94,88,96,100,89,82,94,82,84,89,88,

93,98,94,93,92.整理上面的數據，得到頻數分布表和扇形統(tǒng)計圖.

等級成績/分頻數

A95W%W100a

B90w%<958

C85W,<905

D800%<854

根據以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a=,b=.

（2）若成績不低于90分為優(yōu)秀，請估計該校1600名學生中，達到優(yōu)秀等級的人數；

⑶已知A等級中有2名男生，現(xiàn)從A等級中隨機抽取2名同學，試用列表或畫樹狀圖的方法

求出恰好抽到一男一女的概率.

第4頁共18頁

22.(8分)如圖，AB是。。的直徑，點E,C在。0上，點C是弧BE的中點，AE垂直于過點C

的直線CD,垂足為D,AB的延長線交直線CD于點F.

(1)求證：CD是。0的切線；

(2)若AE=2,sinZAFD=|

①求。0的半徑；

②求線段DE的長.

23.(10分)端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習俗.今年端午節(jié)來臨之際，某商場預測

A粽子能夠暢銷.根據預測，每千克A粽子節(jié)前的進價比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購進A

粽子的數量比節(jié)后用相同金額購進的數量少4千克.根據以上信息，解答下列問題：

⑴該商場節(jié)后每千克A粽子的進價為多少元？

(2)如果該商場在節(jié)前和節(jié)后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節(jié)前

每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場節(jié)前購進多少千克A粽子獲得利潤最

大？最大利潤為多少？

第5頁共18頁

24.(10分)當k值相同時，我們把正比例函數y=%和反比例函數y=f叫做"關聯(lián)函數".小亮根

據學習函數的經驗，以函數y=-%和y=-：為例對"關聯(lián)函數"進行了探究，下面是小亮的探

究過程，請你將它補充完整

(1)如圖，在同一平面直角坐系中畫出這兩個函數的圖象，兩個函數圖象在第二、四象限分別

交于點A、B,則點A、B的坐標分別是A、B.

(2)點P是函數y=-%在第二象限內的圖象上的一個動點(不與點A重合)，作直線PA、PB,

分別與x軸交于點C、D.設點P的橫坐標為t.小亮通過分析得到：在點P運動的過程中,

總有PC=PD.

證明PC=PD的過程如下(不完整)：

易知點P的坐標為(t,-|)

設直線AP的表達式為y=ax+b

-2a+b=1

-2a+b=1

將點A、P的坐標分別代人，得2

解得

直線AP的表達式為y=-，—一

令y=0,得乂<-2,則點C的坐標為(t-2,0)

同理可得直線BP的表達式為y=；x—學

請你補充剩余的證明過程；

⑶當4PCD是等邊三角形時，t=.

(4)隨著點P的運動，4ABP的面積S與點P的橫坐標t之間存在一定的函數關系，當t>-2

時，請你求出S關于t的函數表達式.

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25.(12分)如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式；

⑵如圖1,點Q是x軸上方拋物線上一點，射線QM_Lx軸于點N,若QM=BM,且tanNMBN=%

請直接寫出點Q的坐標；

⑶如圖2,點E是第一象限內一點，連接AE交y軸于點D,AE的延長線交拋物線于點P

點F在線段CD上，且CF=OD,

26.(12分)原題再現(xiàn)：小強特別喜歡探究數學問題，一天李老師給他這樣一個幾何問題：AABC

和4BDE都是等邊三角形，將4BDE繞著點B旋轉到圖1位置，求證：AE=CD.小強很快就通

過△ABE^CBD,論證了AE=CD.

⑴請你寫出小強的證明過程；

遷移應用：小強想，把等邊^(qū)ABC和等邊4BDE都換成等腰直角三角形，將4BDE繞著點B

旋轉到圖2位置，其中NACB=NEDB=90°,那么AE和CD有什么數量關系呢？

(2)請你幫助小強寫出結論，并給出證明；

⑶如圖3,如果把等腰直角三角形換成正方形，將正方形人5￡6繞點人旋轉&°,若AB=

6V2,AG=4,在旋轉過程中，當C,G,E三點共線時，請求出DG的長度.

圖1圖2圖3

第7頁共18頁

答案

一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小立方塊搭成，此幾何體的俯視圖是（C）

A-FHn

C0T]正面

2.3里長城是世界文化遺產之一，其總長大約為21200000m,將21200000用科學記數法

表示為（B）

A.2.12X106B.2.12X107C.0.212xl08D.212xl07

3.如圖，AB〃CD,直線I與AB,CD分別交于點E和F,CD上有一點G且GE=GF,Zl=122°,

則N2的度數為（B）

A.54°B.64°C.58°D.68°

4.實數a,b在數軸上的位置如圖所示，則下列結論不正確的是（C）

A.ab<0B.a+b>0C.la-bl=a-bD.Va^^a

5.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（D）

6,下列運算正確的是（C）

A.（m-l）2=m2-1B.（2m）3=6m3C.m7-m3=m4D.m2+m5=m7

7,用如圖所示的兩個可自由轉動的轉盤進行“配紫色”游戲（紅色和藍色配成紫色），兩個轉盤

分別被分成面積相等的幾個扇形，同時轉動兩個轉盤一次，轉盤停止時指針所指扇形的顏色

即為轉出的顏色（若指針停在分界線上，則重轉），則配得紫色的概率為（B）

8.已知點A（xi,yi）,B（X2,丫2）在反比例函數y=?的圖象上，且Xi<0<X2,則下列結論一定正確

X

的是（D）

A.yi+y2<0B.yi+y2>0C.yi-y2VoD.yi-y2>0

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BC,

第8頁共18頁

BD于點E和F,大于共F為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線BP,過點C作BP的垂線分別交

BP,AD于點M和N,則CN的長為(A)

A.V10B.V11C.2V3D.4

10.在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點，已知二次

函數y=ax2+4x+c(aW0)的圖象上有且只有一個完美點(|,|),且當OWxWm時，函數

y，=ax2+4x+c=(aW0)的最小值為-3,最大值為1,則m的取值范圍是(B)

4

77

A.-lWmWOB.2WmW4C.2^m<-D.2-<mW-

22

二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分..

11.因式分解：XV2-4X=x(v+2)(v—2).

12.如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內任取一

點P，則點P落在陰影部分的概率為\.

13.若關于x的一元二次方程x2+2x+h=0無實數根，則k的取值范圍是,

14.如圖，正方形的邊AB=2,弧BD和弧AC都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面

之差為27—4.

15.為了增強學生身體素質，學校要求學生練習跑步.開始時男生跑了50m,女生跑了80m,

然后男生女生都開始勻速跑步.已知男生的跑步速度為4.5m/s,當到達終點時男、女均停止

跑步，男、女生從開始勻速跑步到停止跑步分別用時100s,120s.已知x軸表示從開始勻速

跑步到停止跑步的時間，y軸代表跑過的路程，則當男、女相遇時，此時男、女同學距離終

點的距離為315m.

第9頁共18頁

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,點M是BC的中點，E是BM上的一點，連接AE,

作點B關于直線AE的對稱點B',連接DB'并延長交BC于點F.當BF最大時，點B'到BC的

距離為三.

三.解答題：本題共10小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(6分)計算：|-||+(.1)2024_sin30。-(V3-V2)0

22

（2（x-1）+1>-30

18.（6分）解不等式組1+%,并把它的解集在數軸上表示出來.

3

解不等式①，得X>-1

解不等式②，得X《2

原不等式組的解集為-l<x^2

19.（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E,F,G,H分別在邊AD、AB、BC、CD±,

且DE=BG,AF=CH.求證：EF=GH.

證明：四邊形ABCD是平行四邊形

.\AD=BC,ZA=ZC

第10頁共18頁

XVDE=BG

.\AE=CG

在AEAF和△GCH中，

AE=CG

NA=NC

AF=CH

.?.△EAFg△GCH(SAS)

:.EF=GH

20.（8分）植物園是當地人民喜愛的休閑場所之一，里面的秋千深受孩子們喜愛.如圖所示，

秋千鏈子的長度為3m,當擺角NBOC恰為26°時，座板離地面的高度BM為0.9m,當擺動

至最高位置時，擺角NAOC為50°,求座板距地面的最小和最大高度分別為多少？（結果精

確到0.1m,參考數據：sin26°七0.44,cos26°=0.90,tan26°七0.49,sin50°七0.77,cos50°

七0.64,tan50°七1.19）

解:

過點B作BT_LON于點T,過點A作AKLON于點K

在RtAOBT中，OT=OB?cos26°=3x0.90=2.7(m)

VZBMN=ZMNT=ZBTN=90°

，四邊形BMNT是矩形

.\TN=BM=0.9m

.,.ON=OT+TN=3.6(m)

.,.CN=ON-OC=3.6-3=0.6(m)

在RtAAOK中，OK=OA?cos50°=3x0.64=1.92(m)

/.KN=ON-OK=3.6-1.92=1.7(m)

答：座板距地面的最小高度約為0.6m,最大高度約為1.7m.

第11頁共18頁

21.(8分)"小手拉大手，共創(chuàng)文明城某校為了解學生對所在城市創(chuàng)建全國文明城市相關知

識的知理情況，通過發(fā)放問卷進行測評，從中隨機抽取20份答卷，并統(tǒng)計成績(成績得分

用x表示.單位：分):94,83,90,86,94,88,96,100,89,82,94,82,84,89,88,

93,98,94,93,92.整理上面的數據，得到頻數分布表和扇形統(tǒng)計圖.

等級成績/分頻數

A95W%近100a

B90W%<958

C85^%<905

D800”<854

根據以上信息，解答下列問題：

(1)填空：a=,b=.

(2)若成績不低于90分為優(yōu)秀，請估計該校1600名學生中，達到優(yōu)秀等級的人數；

⑶已知A等級中有2名男生，現(xiàn)從A等級中隨機抽取2名同學，試用列表或畫樹狀圖的方法

求出恰好抽到一男一女的概率.

解：(l)a=20-8-5-4=3.

Vb%=8+20xl00%=40%

.\b=40

故答案為3,40

(2)1600義奈880(名)

即估計該校1600名學生中，達到優(yōu)秀等級的人數為880.

(3)A等級中有2名男生，則有1名女生.

畫樹狀圖如下：

開始

男男女

AAA

男女男女男男

共有6種等可能的結果，恰好抽到一男一女的結果

，恰好抽到一男一女的概率為

63

22.(8分)如圖，AB是。O的直徑，點E,C在。O上，點C是弧BE的中點，AE垂直于過點C

的直線CD,垂足為D,AB的延長線交直線CD于點F.

(1)求證：CD是。O的切線；

(2)若AE=2,sinZAFD=|

第12頁共18頁

①求。0的半徑；

②求線段DE的長.

22.(1)證明：如圖，連接0C

VAD1DF

.\ZD=90°

???點C是弧BE的中點

.,.弧CE=MCB

.\ZDAC=ZCAB

VOA=OC

.\ZCAB=ZOCA

.\ZDAC=ZOCA

.,.AD//OC

.,.ZOCF=ZD=90°

TOC是(DO的半徑

.,.DC是。0的切線.

(2)解：①如圖，過點O作OG_LAE,垂足為G

/.AG=EG=-AE=1

2

VOG±AD

/.ZAGO=ZDGO=90°

VZD=ZAGO=90°

，OG〃DF

/.ZAFD=ZAOG

i

VsinZAFD=-

3

1

:.sinZAOG=sinZAFD=-

3

第13頁共18頁

在RtAAGO中，AO=14-i=3

.,.(DO的半徑為3

②?.,NOCF=90°

.?.ZOCD=180°ZOCF=90°

VZOGE=ZD=90°

，四邊形OGDC是矩形

.,.OC=DG=3

VGE=1

ADE=DG—GE=3-1=2

，線段DE的長為2

23.(10分)端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習俗.今年端午節(jié)來臨之際，某商場預測

A粽子能夠暢銷.根據預測，每千克A粽子節(jié)前的進價比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購進A

粽子的數量比節(jié)后用相同金額購進的數量少4千克.根據以上信息，解答下列問題：

⑴該商場節(jié)后每千克A粽子的進價為多少元？

⑵如果該商場在節(jié)前和節(jié)后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節(jié)前

每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場節(jié)前購進多少千克A粽子獲得利潤最

大？最大利潤為多少？

解：⑴設該商場節(jié)后每千克A粽子的進價為x元

解得x=10或x=-12(舍去)

經檢驗，x=10是原分式方程的根，且符合題意.

答：該商場節(jié)后每千克A粽子的進價為10元.

(2)設該商場節(jié)前購進m千克A粽子，總利潤為w元

根據題意，得(10+2)m+10(400-m)<4600

解得mW300

w=(20-12)m+(16-10)(400-m)=2m+2400.

V2>0

Aw隨著m增大而增大

當m=300時，w取得最大值，最大利潤為2x300+2400=3000(元)

答：該商場節(jié)前購進300千克A粽子獲得利潤最大

24.(10分)當k值相同時，我們把正比例函數y=；x和反比例函數y/叫做"關聯(lián)函數".小亮根

K.X

據學習函數的經驗，以函數y=-；x和y=-2為例對"關聯(lián)函數"進行了探究，下面是小亮的探

ZX

究過程，請你將它補充完整

(1)如圖，在同一平面直角坐系中畫出這兩個函數的圖象，兩個函數圖象在第二、四象限分別

交于點A、B,則點A、B的坐標分別是A、B.

第14頁共18頁

⑵點P是函數y=-%在第二象限內的圖象上的一個動點(不與點A重合)，作直線PA、PB,

分別與x軸交于點C、D.設點P的橫坐標為t.小亮通過分析得到：在點P運動的過程中,

總有PC=PD.

證明PC=PD的過程如下(不完整)：

易知點P的坐標為(t,-|)

設直線AP的表達式為y=ax+b

-2a+b=1

(-2a+b=1

將點A、P的坐標分別代人，得，2

(ta+b=--

fa=-i'

解得k

，直線AP的表達式為y=-

令y=0,得乂<-2,則點C的坐標為(t-2,0)

同理可得直線BP的表達式為y=：x—學

請你補充剩余的證明過程；

⑶當4PCD是等邊三角形時，t=.

(4)隨著點P的運動，4ABP的面積S與點P的橫坐標t之間存在一定的函數關系，當t>-2

時，請你求出S關于t的函數表達式.

解：(1)令-1x=-則x2=4

ZX

/?Xi=-2,Xz=2

分別代入關系式，得y1=i,丫2=-1.

/.A(-2,1),B(2,-1)

⑵令工x一葉工0,得x=l+2

則/

D的坐標為(t+2,0)

如P

C

-,過點P作PH，x軸于點H,則H(t,0).

又

?C(t-2,0),D(t+2,0)

第15頁共18頁

/.CH=DH

APH是線段CD的中垂線

/.PC=PD

⑶后

(4)S=t-i

25.(12分)如圖，拋物線y=ax2+bx+3與X軸交于點A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式；

⑵如圖1,點Q是x軸上方拋物線上一點，射線QM±x軸于點N,若QM=BM,且tanZMBN=p

請直接寫出點Q的坐標；

⑶如圖2,點E是第一象限內一點，連接AE交y軸于點D,AE的延長線交拋物線于點P

點F在線段CD上，且CF=OD,連接AF,EF,BE,BP,若S-FE=SMBE,求aPAB的面積.

圖1圖2

⑴設拋物線的表達式為y=a(x+l)(x-3)=

a(x2-2x-3),當x=0時，y=3

；.-3a=3,解得a=-l.

故拋物線的表達式為y=-x2+2x+3

(2)Q(2,3)

⑶面積=3.5

26.(12分)原題再現(xiàn)：小強特別喜歡探