廣東省東莞市2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

廣東省東莞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/(x)=("l)x，，若對任意xwR,都有八%)<1成立，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()

A.(-co,l-e)B.(l-e,+co)C.(-e,0]D.(l-e,1]

k]nY+1

2.已知函數(shù)/(x)=—(左eN+),g(x)=——,若對任意的c>l,存在實(shí)數(shù)。力滿足0<a<b<c,使得

Xx-1

g(a)=/(b)=g(c),則攵的最大值是()

A.3B.2C.4D.5

3.已知等差數(shù)列｛qj的前"項(xiàng)和為S〃，且$25=50,則知+@=()

A.4B.8C.16D.2

4.若復(fù)數(shù)z滿足|W=1,則|z-(其中i為虛數(shù)單位)的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

5.閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是()

[開始)

A.1.1B.1C.2.9D.2.8

033

6.已知函數(shù)/(x)=J二，?=/(2),b=f(0.2°),c=/(logft32),則a,b,c的大小關(guān)系為()

e+1

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

7.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是a,則q+4+%+…+弓2=()

A.0B.55C.66D.78

8.已知集合A={-2,0,1,3},B={X\-45<X<^/3}9則集合AB子集的個(gè)數(shù)為()

A.4B.8C.16D.32

9.對于定義在R上的函數(shù)y=/(￡),若下列說法中有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一個(gè)是()

A./(X)在(7,0］上是減函數(shù)B./(尤)在(0,+8)上是增函數(shù)

C./(%)不是函數(shù)的最小值D.對于xeR,都有/(x+l)=/(l—x)

10.《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦(每一卦由三個(gè)爻組成，其中“■一”表示一個(gè)陽爻，“一_”表示一個(gè)陰爻).若從含有兩個(gè)及以上陽

爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽爻的概率為()

11.已知銳角1滿足2sin2a=1—cos2a,則tanc=()

1

A.-B.1C.2D.4

2

12.若(l+2ai)i=l—bi,其中a,bGR,則|a+bi|=().

A.-B.J5C.好

D.5

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線C：y=x3-10x+3上，且在第四象限內(nèi).已知曲線C在點(diǎn)P處的切線為

y=2x+8,則實(shí)數(shù)人的值為.

14.在一次醫(yī)療救助活動(dòng)中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,

且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加，則不同的選派案共有種.(用數(shù)字作答)

15.已知函數(shù)/(%)=2?(111工一%)+工2(0>0)有兩個(gè)極值點(diǎn)再、x2(xt<x2),則/(%)+/(X2)的取值范圍為

16.設(shè)函數(shù)/。)=111先+111(2-％)+公(々>0),若/'(x)在(0,1］上的最大值為,，則。=.

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=\+tcosa

17.(12分)在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為，.(/為參數(shù)，0Wa<?).在以。為極點(diǎn)，x軸

y=l+/sma

正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線C：夕=4cos&

冗

(1)當(dāng)&=一時(shí)，求C與/的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；

4

(2)直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),線段中點(diǎn)為求|AB|的直

18.(12分)已知數(shù)列｛4｝中，q=a(實(shí)數(shù)。為常數(shù))，4=2,E,是其前幾項(xiàng)和，§"="(%；%)且數(shù)列也｝是等

比數(shù)列，偽=2,%恰為“與4-1的等比中項(xiàng).

(1)證明：數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列;

(2)求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式;

3111,1

(3)若G=Q，當(dāng)”22時(shí)?！?廠節(jié)+廠*++—,｛%｝的前“項(xiàng)和為《，求證：對任意〃22,都有

127；,>6n+13.

JTJT

19.（12分）如圖，在直角△ACB中，ZACB=—,ZCAB=—,AC=2,點(diǎn)〃在線段AB上.

23

(1)若sin/CMA=X2,求CM的長；

3

(2)點(diǎn)N是線段C3上一點(diǎn)，MN=@，且S4BMV=gs^ACB，求RW+BN的值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=d—f一(。_16卜，g(x)=alnx,。eR.函數(shù)/?(力=以立―g(力的導(dǎo)函數(shù)”⑺

X

在|,4上存在零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若存在實(shí)數(shù)。，當(dāng)xe[O,可時(shí)，函數(shù)/（%）在％=0時(shí)取得最大值，求正實(shí)數(shù)萬的最大值；

（3）若直線/與曲線y=/（x）和y=g（九）都相切，且/在V軸上的截距為-12,求實(shí)數(shù)。的值.

21.（12分）2019年入冬時(shí)節(jié)，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會(huì)，增強(qiáng)身體素質(zhì)，積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從

速滑項(xiàng)目中隨機(jī)選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機(jī)構(gòu)對他們的鍛煉成果進(jìn)行評估打分（滿分為100分）并且認(rèn)為

評分不低于80分的參與者擅長冰上運(yùn)動(dòng)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請將下列2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯

錯(cuò)誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系？

擅長不擅長合計(jì)

男性30

女性50

合計(jì)100

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2n(ad-bcY

(K=---------------，其中H=Q+b+C+d)

(a+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

22.(10分)如圖所示，直角梯形ABC。中,4)〃3。,4)，43,4￡=48=3。=2仞=2,四邊形￡。。尸為矩

形,CF=6

（1）求證:平面ECF,平面ABC。;

(2)在線段。歹上是否存在點(diǎn)P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為巫，若存在，求出線段BP的長,若不存

10

在,請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

先將所求問題轉(zhuǎn)化為(k-1)X<士對任意XeR恒成立，即y=二得圖象恒在函數(shù)

ee

丁=(左-1)》圖象的上方，再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.

【詳解】

由/(%)<1得0—l)x<二，由題意函數(shù)V==得圖象恒在函數(shù)y=(k-l)x圖象的上方，

ee

作出函數(shù)的圖象如圖所示

1b1

過原點(diǎn)作函數(shù)y=F的切線，設(shè)切點(diǎn)為S"),則-1"=—=「，解得a=—1,所以切

eaae

線斜率為-e,所以-e(左—1<0,解得1—e(左<1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

2、A

【解析】

]ny-k1k1nY+1

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為‘一>勺，對于X>1恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)/2(X)=X-'一，然后求出久幻的范圍，進(jìn)

x-1XX-1

一步得到女的最大值.

【詳解】

kY-4-1

/(%)二—(左￡N+),g(X)=-對任意的。>1,存在實(shí)數(shù)滿足0<QVb<C,使得g(〃)=/S)=g(。)，

xx-1

易得g(c)=f(b)>/(c),即皿?>-恒成立，

c-1C

lnx+1k_

.------>-,對于X>1恒成H,

x-1X

…/、lnx+1…，/、x-2-lnx

設(shè)h(x)=x-------，貝！Ih(x)=-----,

x-1(X-1)

令4(%)=%-2-Inx,，d(x)=l」>0在X>1恒成立，

x

q⑶=3—2—ln3<0,式4)=4—2—ln4>0,

故存在尤°e(3,4),使得即/-2=111%0，

當(dāng)無e(l,%))時(shí),q(x)<0,力(尤)單調(diào)遞減;

當(dāng)無€(%+00)時(shí),q(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增.

，/、，/、xnInx?+x?

???力(X)min=丸(%)=-一，將/-2=InXo代入得:

.1/、_7/、_/(%—2)+/_

??"(X)min-〃(兀0)—：一工0,

%—1

上cN+，且左(丸。)皿=/，

:.k<3

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

3、A

【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.

【詳解】

25(a

S25=-------------=50=>〃]+a25=4=>%]+=4?

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本量的計(jì)算，難度容易.

4、B

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定|z-z],

即可得|z—力的最大值.

【詳解】

由|z|=l知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上,

|z-4表示復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)（0,1）間的距離,

又復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)所在圓的圓心到（0,1）的距離為1,

所以|z7L=1+1=2.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程，寫出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

【詳解】

初始值〃=0,S=1

第一次循環(huán)：〃=1,s=lx』=g；

22

第二次循環(huán)：n=2,=

233

131

第三次循環(huán)：〃=3,5=-x-=-

344;

141

第四次循環(huán)：?=4,5=-X-=-

455;

第五次循環(huán)：〃=5,=L

566

第六次循環(huán)：n=6,S=1x-=-；

677

171

第七次循環(huán)：n=7,S=-x-=-

788;

1Q1

第九次循環(huán)：〃=8,S=-x-=-

899;

191

第十次循環(huán)：n=9,S=-x—=—<0.1；

所以輸出S=9x\=0.9.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

可判斷函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞增，且2°3〉l〉0.2°3〉0〉logo.32,所以c<b<a.

【詳解】

03

/(%)=更匚=1—--在R上單調(diào)遞增，且2°3>1>O.2>0>log032,

+1ex+1

所以c<Z?<a.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解

能力.

7、D

【解析】

先分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出sin(等1萬］的值，可進(jìn)一步得到數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式，然后代入

q+%+/+…+%轉(zhuǎn)化計(jì)算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

2n+l=sin-l,

解：由題意得，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，sin-----71=sinn7i+—=sin^+―

2I2I22

sm^^=sin^^=smj=l

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),+

22

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，an=-n.當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，an=n,

-

所以q+4+%---1〃12

=-12+22-32+42----112+122

=(22-12)+(42-32)+---+(122-II2)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

_12x0+12)

-2

=78

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔

題.

8、B

【解析】

首先求出AB,再根據(jù)含有幾個(gè)元素的集合有2"個(gè)子集，計(jì)算可得.

【詳解】

解：A={-2,0,1,3},3={%|-君＜%＜百},

.'.A5={—2,0,1},

.?.AB子集的個(gè)數(shù)為23=8.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運(yùn)算，集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由/(x+l)=/(l—x)得/?(*)關(guān)于X=1對稱,

若關(guān)于X=1對稱，則函數(shù)在（0,+8）上不可能是單調(diào)的，

故錯(cuò)誤的可能是3或者是。，

若。錯(cuò)誤，

則/（尤）在（F,0］上是減函數(shù)，在/■（工）在（0,+8）上是增函數(shù)，則/'（0）為函數(shù)的最小值，與C矛盾，此時(shí)C也錯(cuò)誤,

不滿足條件.

故錯(cuò)誤的是3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合對稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

10、B

【解析】

基本事件總數(shù)為6個(gè)，都恰有兩個(gè)陽爻包含的基本事件個(gè)數(shù)為3個(gè)，由此求出概率.

【詳解】

解：由圖可知，含有兩個(gè)及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，

取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共6個(gè)，其中符合條件的

基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共3個(gè)，

31

所以，所求的概率尸=二=一.

62

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題滲透傳統(tǒng)文化，考查概率、計(jì)數(shù)原理等基本知識(shí)，考查抽象概括能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

利用sin2a=2sinacosa,cos2（z=1-2sin2a代入計(jì)算即可.

【詳解】

由已知，4sin（Zcos?=2sin2a?因々為銳角，所以sinawO,2cosa=sin?,

即tana=2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

試題分析：由已知，-2a+i=l—bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有@=一工，b=-l

2

所以|a+bi|=J（—g）2+（—l）2=與，選C

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-13

【解析】

先設(shè)切點(diǎn)P（x0,y0），然后對y=V-10%+3求導(dǎo)，根據(jù)切線方程的斜率求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)尤。，代入原函數(shù)求出切點(diǎn)的縱

坐標(biāo)Jo，即可得出切得P（%,為），最后將切點(diǎn)代入切線方程即可求出實(shí)數(shù)b的值.

【詳解】

解:依題意設(shè)切點(diǎn)%），

因?yàn)閥=x3-10x+3,

貝！I了=3/一10,

又因?yàn)榍€C在點(diǎn)尸處的切線為y=2x+b,

y'=3/2—10=2,解得5=±2,

又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限內(nèi)，則%=2,

%=23-10x2+3=-9.則P（2,-9）

又因?yàn)辄c(diǎn)P（2,—9）在切線y=2x+b±.,

所以—9=2x2+〃.

所以6=-13.

故答案為：-13

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和已知切線斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，本題屬于基礎(chǔ)題.

14、60

【解析】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).

【詳解】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，

然后從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，

故選派的方法為：=10x6=60.

故答案為60.

【點(diǎn)睛】

解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,

解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).

15、(-oo,161n2-24)

【解析】

確定函數(shù)y=/(x)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用極值的定義，建立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求/(玉)+/(%)的取值

范圍.

【詳解】

函數(shù)/(x)=2a(lnx—力+%2的定義域?yàn)?0,+。)，=24/f--lL2x=~2ax+2a,

IX/X

依題意，方程2必—2ax+2a=0有兩個(gè)不等的正根%、x2(其中占<%),

則八=4儲(chǔ)一i6a>0na>4,由韋達(dá)定理得玉+馬=。>0,x[x2=a>0,

所以

/(x,)+/(x2)=2^1n(x1x2)+^+工；)—2〃(玉+%2)

22

=2all1(演%2)+[(%1+%2)2-2%1%]-2〃(再+々)=2alna+〃2-2a-2a=2a]na-a-2a9

令/?(4)=2QIna-/-2Q(Q>4),則//(a)=21na-2a,""(〃)=2一2=幺^——,

aa

當(dāng)a>4時(shí)，h\a)<09則函數(shù)y="(a)在(4,+a))上單調(diào)遞減,則“(a)v>(4)=41n2-8<0,

所以，函數(shù)y=/z(a)在(4+8)上單調(diào)遞減，所以，/z(Q)v/z(4)=161n2—24.

因此，/(%)+/(%)的取值范圍是(f』61n2—24).

故答案為：(―』61n2-24).

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，將/(%)+/(%)的取值范圍轉(zhuǎn)化為以。為自變量的函數(shù)

的值域問題是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

1

16、a=—

2

【解析】

2x2

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由/'(%)=在(0,1］上尸(x)>0,可得/■(》)在(0/上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為

x［x-2)

/(1)=|,即可求出參數(shù)的值.

【詳解】

解：/(x)=lnx+In(2—x)+必定義域?yàn)?0,2)

f'(x)=—H——-——\-a=-^7--+a

xx-2x(x-2)

(0,1],a>Q

2x-2

+a〉0

x(x-2)

???/(x)在(0,1］上單調(diào)遞增，

故/(%)在(0,1］上的最大值為/(I)=a=|

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、⑴(0,0),2^2,j；(2)2A/2

【解析】

7T

(1)依題意可知，直線/的極坐標(biāo)方程為(夕eR),再對夕分三種情況考慮;

4

(2)利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義，求弦長即可得到答案.

【詳解】

TT

(1)依題意可知，直線/的極坐標(biāo)方程為e=—(peR),

4

(r-

當(dāng)夕〉0時(shí)，聯(lián)立《4'解得交點(diǎn)2加,了，

p=4cos6),')

當(dāng)夕=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)(0,0)滿足兩方程，(易漏解之處忽略夕=0的情況)

當(dāng)。<0時(shí)，無交點(diǎn)；

綜上，曲線C與直線/的點(diǎn)極坐標(biāo)為(0,0),

(2)把直線/的參數(shù)方程代入曲線C,得戶+2(sine—cosa>—2=0,

可知。+。=0,ty-t2=-2,

所以|AB|=卜]—胃=J"/)?-4他=2應(yīng).

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、

分類討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.

18、(1)見解析(2)bn=2",nwN*(3)見解析

【解析】

(1)令〃=1可得4=S1=0,即。=0.得到"=望，再利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解，

⑵由⑴知%=2(〃-1),“eN*.設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為夕，所以包=白。1=2qZ,再根據(jù)由恰為S4與4-1

的等比中項(xiàng)求解，

⑶由(2)得到讓2時(shí)，0"=^^+^^+…+3>:+[+…+g

=2〃(2"11)+1=土」,求得北，再代入證明。

2〃2〃2

【詳解】

W/7

(1)解：令〃=1可得％=1=0,即a=0.所以S0=^.

“22時(shí)4=S,i=詈—(〃—黑I,可得(〃_2)為=(〃—1)%,

an-laa,a,

當(dāng),23時(shí)工n=-所以4=n

4Tn-2%-an_2a2

顯然當(dāng)"=1,2時(shí)，滿足上式.所以a“=2(〃—l),〃wN*.

.?.an+l-an=2,所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

(2)由(1)知?！?2(〃-1),neN*?

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為4,所以a=b0i=2q'i

=

46,54=12,a—2夕,

%恰為邑與4-1的等比中項(xiàng)，

所以62=12x(2q-1),

解得q=2,所以〃=2",〃eN*

(3)“22時(shí)，Tn—cx+c2+...+cn,

I丹島+Jr出+力+,-+[―+為1+-，+3],而〃22時(shí),

111111

H------------+...H----->------1------F...H-----

2"T+12”T+22〃2〃2〃T

6x2+13

所以當(dāng)71=2時(shí)，T=1H--1--1■—=—

'2341212

+c>14441116n+13

當(dāng)時(shí)，北=°1+。2++—+—+H——----------

"23422212，

二對任意都有12北26〃+13,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和的關(guān)系，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)以及數(shù)列放縮的方法，還考查了

轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題，

19、(1)3；(2)4+73.

【解析】

(1)在VC4M中，利用正弦定理即可得到答案;

（2）由S^BMN='SAACB可得5MINU4JL在ABMN中,利用MN=J7及余弦定理得

MN~=BM2+BN--2BM-BNcos-,解方程組即可.

【詳解】

(1)在VC4M中，已知NCAM=工，sin/CMA=業(yè)，AC=2,由正弦定理,

33

sinZCAMsinZCMA

3

(2)因?yàn)镾ABMN=《S^CB，所以gBM.BMsinmnlxlxZxZ/，解得BM-BN=4g.

22622

在中，由余弦定理得，

MN2=BM2+BN2-2BM-BNc吟=（BM+BN、-IBM-BN-

即（S）2=（3〃+5N）2—2X4道義

(BM+BN)2=19+8豆=(4+可，

故BM+BN=4+6

【點(diǎn)睛】

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.

20、(1)[10,28]；(2)4；(3)12.

【解析】

(1)由題意可知，h(x)=x1-x-a]nx-a+16,求導(dǎo)函數(shù)”(x),方程—%—“=。在區(qū)間|,4上有實(shí)數(shù)解，求

出實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)由/(無)=/一丁—(。一16)*,貝！J/'(x)=3d—2x—a+16,分步討論，并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，

得出正實(shí)數(shù)萬的最大值；

(3)設(shè)直線/與曲線y="力的切點(diǎn)為(忌另一才—(〃―16)為)，因?yàn)?'(%)=3d—2x—(a—16),所以切線斜率

左=3才一2%一(a—16),切線方程為y=(24-a)x—12,設(shè)直線/與曲線y=g(%)的切點(diǎn)為(々，。山/)，因?yàn)?/p>

g'（x）=4,所以切線斜率k=q，即切線方程為y=4（x—X2）+aln%,

a1-二24-。,求得％22*，設(shè)G(x)=lnx+^——

整理得V=一%+41口%2-。.所以〈九2則

x27212

々In/—。=—12

G(x)=；12x-l

>0,

2

?X2%

|■，+8］上單調(diào)遞增，最后求出實(shí)數(shù)。的值.

所以G

【詳解】

r\2

(1)由題意可知，h［x)=x2-x-ainx-a+16,則〃(%)=2%—1一幺=」一

xx

即方程2/—x—a=0在區(qū)間*4上有實(shí)數(shù)解，解得。?10,28］；

(2)因?yàn)?(x)=x3—X2—<2—16^x,貝!)/'(X)=3JV2—2x—Q+16,

①當(dāng)A=4—12(—Q+16)<0,即10<Q<T時(shí)，/'(x)20恒成立，

所以〃x)在［0,可上單調(diào)遞增，不符題意；

47

②當(dāng)丁<。<16時(shí)，令/'(%)=312—21一〃+16=0,

解得:x_2±12(—0+16)_］±,3”47.

63

(1_、/3“_471

當(dāng)xe0,^-——時(shí)，/'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

、3>

所以不存在6>0,使得/(%)在［0,可上的最大值為7(0),不符題意；

③當(dāng)16WaW28時(shí)，/f(x)=3x2-2x-a+16=0,

hjn/a1-J3a—471+■\13a—47

解得：x=-2------<0.X,=------->0

133

且當(dāng)龍€（0,馬）時(shí)，當(dāng)尤€（*2，+8）時(shí)，

所以/（九）在（0,%）上單調(diào)遞減，在（龍2，”）上單調(diào)遞增，

若0＜6＜々，則“X）在［0,可上單調(diào)遞減，所以＜（63=/（。），

若b>X2,則/⑴(0,%)上單調(diào)遞減，在(尤28)上單調(diào)遞增，

由題意可知，/(Z?)</(O),BpZ?3-/?2-(a-16)Z?<0,

整理得b?—b<a—16，

因?yàn)榇嬖赼e[16,28],符合上式，所以〃—人〈⑵解得0</?W4,

綜上，b的最大值為4；

⑶設(shè)直線/與曲線y=/(x)的切點(diǎn)為(冷左；—才—(a—16)%)，

因?yàn)?'(x)=3*—2x—(a—16),所以切線斜率左=3d—2%—(a—16),

即切線方程y=[3x「—2%]—(a—16)](x—玉)+x；—xf—(a—16)%]

整理得：y=[3x；—2工]—(a—16)]尤—2尤：+Xy

由題意可知，—2x；+x：=—12,即12=0,

即(石―2乂2片+3%+6)=0,解得，甘=2

所以切線方程為y=(24—a)x—12,

設(shè)直線/與曲線y=g(x)的切點(diǎn)為(々，。山9)，

因?yàn)間'(x)=@，所以切線斜率左=烏，即切線方程為丁=2(%—々Hain%,

X犬2*2

a1

整理得y=—x+〃in%2一〃.

x2

a^

—=24—a11

所以《X,,消去。，整理得ln4+^——-=0,

2X22

ainx2-a=-l2

且因?yàn)榈?24—a(ae[10,28]),解得馬2』,

九27

設(shè)G(x)=lnx+；一；2x-l