山東省棗莊市滕州市2023-2024學年高二年級上冊期末數(shù)學試題

山東省棗莊市滕州市2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知4B,C,。是空間中互不相同的四個點，則萬一方_就=（）

A-ADB-CDCBCD.DA

2?直線由x+y+2=0的傾斜角為（）

B0CD

A.150o-no-60°-30°

3.橢圓2+《=1的長軸長是（）.

94

A.3B.6C.9D.4

則兩圓的公切線的條

4.已知圓G：（X-2『+（了+4『=16，圓Q：/+j?+2%一3=0，

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.在等差數(shù)列｛q｝中，的+。4+。5=30,貝的值為（）

A.20B.15C.10D.5

6.若離心率為右的雙曲線C：5-，=l（a>0,b>0）的一條漸近線與直線“+叼+1=°垂

直，則加一（）

A.±1B.+近C.±2D.土石

-2-2

7.已知數(shù)列｛見｝的通項公式為0,=100一3〃，若“=”,4+2?！?“當數(shù)列上｝的前”項和

Sn取最大值時，?=（）

試卷第11頁，共33頁

A.29B.32C.33D.34

8.已知三棱錐P—45c中，AP=BC=BP=AC=也，AB=PC=2，則異面直線力尸

與5c所成角的余弦值為（）

A.-B.&C.3D.|

3T33

二、多選題

9.在等差數(shù)列｛%｝中，已知%=8，%,=-8，S”是其前1項和，則下列選項正確的是

（）

A.〃=—2B.%=o

C幾=54D邑〉區(qū)

--78

10.已知直線/：丘一夕_后+1=0（后*1）與OO：/+/=9交于48兩點，則（）

A.直線/恒過定點（草）

B.使得N2=40的直線/有2條

C.AO/5面積的最大值為加

D.。。在48兩點處的切線的交點在直線x+y-9=0上

11.如圖，已知正方體Z8CZ）-的棱長為1點〃為CG的中點，點尸為該正

方體的上底面4qGA上的動點，則（）

試卷第21頁，共33頁

A.滿足CP//平面加）4的點尸的軌跡長度為亞

B.存在唯一的點尸￥兩足4尸py

c.滿足“的點尸的軌跡長度為立

4

D.存在點尸丫兩足+=2

12.如圖，尸為拋物線c：/=2中（p>0）的焦點,。為坐標原點，過歹軸左側一點。

,分別交歹軸于〃、兩點，則下列結

作拋物線C的兩條切線，切點為4B,pA、pBN

論一定正確的是（）

rf0

*

vrxA/

AR

,/APB+/MFN=18G。>NAFB+NAPB=180。

C\OM\\FA\D\OM\_\MA\

\ON\~\FB\.\ON\~\MP\

三、填空題

13.在等比數(shù)列｛〃J中,若弓+%=2，/+。4=4，貝445+46=--------

試卷第31頁，共33頁

14.過定點0,2)且與直線*-3y+l=0平行的直線的一般式方程為一.

15.在三棱錐尸一/BC中，N在線段尸/上，滿足尸/=3/W,M是平面/3C內任意一

點，4PM=5PN+xPB+2PC'則實數(shù)%=——?

16.已知雙曲線m一4=1(°>0/>0),過點“(2。，°)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂

ab

足為直線與雙曲線的左支交于點N,且2前=5而，則雙曲線的離心率為_

四、解答題

17.已知正項數(shù)列滿足裙+代+姆+…+d=等(〃€汗).

⑴求｛〃“｝的通項公式；

⑵記“=—-—，數(shù)列｛"｝的前"項和為S",求S".

an+%+1

18.已知以點/Ji?為圓心的圓與直線/:x+2y+7=0相切.過點8(-2,0)的直線廠

與圓A相交于M,N兩點.

(1)求圓A的標準方程；

⑵當pw|=2M時，求直線/'的方程.

19.已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,%=2，%+2-%=3.

⑴求出“；

(2)當〃為奇數(shù)時，求數(shù)列｛4｝的前〃項和s.,.

20.在四棱錐尸中，底面/BCD是正方形，側棱尸。垂直于底面”28,

試卷第41頁，共33頁

PD=DC，E是PC的中點，作EF1.PB于點工求證:

⑴上4〃平面

(2)尸平面EEO.

21.如圖，四棱錐p_/3CZ)的底面4BCD是正方形，平面P8C1平面N8CD，0,

E分別是8C，尸/的中點，平面a經(jīng)過點0，D，E與棱尸8交于點尸，

PB=PC=CD=2.

FB

(2)求直線AF與平面CDE所成角的余弦值.

22.已知橢圓c：±+￡=i(a>6>o)過點兒一2，-1),焦距為2〃.

a2b1

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/：y=fcc+加與橢圓c交于異于A的兩點M,N,直線/M,/N分別與直線

x=-4交于點尸，°兩點，。為坐標原點且|op|=|o@，求證：直線/過定點，并求出

定點坐標.

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.B

【分析】運用向量加法法則、減法法則計算即可.

【詳解】AB-DB-AC^AB+BD-AC^AD-AC^CD-

故選：B.

2.B

【分析】先求出直線斜率，再由斜率與傾斜角的關系可求得結果.

【詳解】直線后+y+2=0的斜率為-石，設直線的傾斜角為1，

則tanc=-G，0°<a<180%所以a=120°-

故選：B.

3.B

【分析】根據(jù)橢圓方程有0=3,即可確定長軸長.

【詳解】由橢圓方程知：0=3,故長軸長為6?

故選：B

4.B

【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關系求解.

02,

【詳解】因為圓G：(x_2)2+(y+4)2=16,C2:(X+1)+/=4

所以匕?=，(一1一21+(-4)=5,4+&=6,國一間=2,

所以因一周<|CG|<凡+為，

所以兩圓相交，

所以兩圓的公切線的條數(shù)為2,

故選：B

5.A

【分析】由等差數(shù)列的性質計算即可得.

答案第11頁，共22頁

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，a3+a4+a5=3a4=30?則&=10，因止匕出+。6==20?

故選：A.

6.C

【分析】根據(jù)雙曲線離心率求得2=2,再根據(jù)雙曲線的一條漸近線與直線“+町+1=°垂

直列出±2（-，）=-1,求解加.

【詳解】?=j+所以3=2,得漸近線為‘=

因為其中一條漸近線與直線“+叼+1=°垂直，則±2.］」］=一1，得加=土2

故選：C

7.C

【分析】根據(jù)題意，由條件可得$29<$33，S34<S29-即可得到結果.

【詳解】因為％=的”+2%*4,令?！?100-3〃>0,則"<圖，

3

所以當〃工33時，%>0，當〃N34時，Q“<0，

a

則b29=a29?。31?。33>0，Ao=。30?32?/4<。，

a

b3i=Q31?Q33.。35<0，°32=32.%4.。36>0，

43=。33°a35,%7〉0，&4=434°。36,。38<0'

則當〃《29時，b>0,當34時，b<0,

nn

所以只需要考慮$29同283同4的大小即可；

答案第21頁，共22頁

S32-S29=Z)30+&31+Z，32=10x4x(-2)+7xlx(-5)+4x(-2)x(-8)=-51<0>貝US32<邑9，

$33-%=%+%+%+%=-51+lx(-5)x(-ll)=4>0，則s29Vs33,

務廣翹二630+631+632+633+634=4+(-2)(-8)(-14)<0，則S34<S29，

所以當〃=33時，s“取最大值?

故選：C

8.A

【分析】對棱相等，根據(jù)意將圖形補全成一個長、寬、高分別為血，1,血的長方體,

再建系寫出坐標利用向量法即可得出答案.

【詳解】如圖，將三棱錐P-/8C補成長方體，設長寬高分別為c,

a2+c2=4a=V2

22

則，a+b=3,解得1=1

[b2+c2=3

c=V2

以P為原點，分別以PE,PF,PH為x),z軸建立空間直角坐標系,

4(1,0詞,尸(0,0,0),s(i,V2,o)；0(0,72,5/2),

ZP=(-1,0,-V2)；5C=(-l,0,V2)；

設直線/尸與8C所成角為0，

答案第31頁，共22頁

APBC

cos0=|cosAP,BC\卜2|」

AP\\BCVl+2xVf+23-

故選：A.

9.ABD

【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得％與”的方程組，可求出生與“，再結合

等差數(shù)列通項公式和前〃項和公式可判斷各選項.

【詳解】由%=上牝=-8,可得,+3d=8,解得1%=14,

%+114=—8

.?.%=%+71=14+7義（一2）=0，故A，B正確；

又$=15%+'（15-1）4=0,故C錯誤；

1512

同理，57=56>風=56，

.-.^-=8,邑=7,則叢〉叢，故D正確.

7878

故選：ABD.

10.ACD

【分析】利用直線方程判定其過定點可判定A,利用弦長公式結合直線過定點可判定B,

利用三角形面積公式可判定C,利用切點弦方程可判定D.

【詳解】對于A,直線方程可化為/：左（工_］）_（/一］）=0,顯然％=l=>y=l,

即直線/恒過定點（1,1）,故A正確；

對于B,由48=4/，圓的半徑為3,得弦心距4=亞下=

答案第41頁，共22頁

結合圖形及A易知，滿足題意得弦所在直線為工=1或y=l，即直線/斜率后=0,或不存在,

由題意/斜率存在，故只有1條滿足題意，故B錯誤;

對于C,設弦心距為則@2的面積s=%處公dR=

結合A可知dw爐下=0，由二次函數(shù)的單調性可知，當［=拒時，Smax=J14，故C

正確；

對于D,設兩切線交點為則。、尸、48四點共圓，以O尸為直徑，

故其圓心為（無，四）半徑為?。?需,該圓方程為1中

2

與x+y2=9作差得切點弦28的方程為工0》+%了=9'

又過點（1,1）,所以Xo+%=9=>x+y=9,

即交點尸在直線x+y=9上，故D正確.

故選：ACD.

11.ABC

【分析】在正方體中，證得平面504〃平面81cn，得到。P//平面，求得點尸的軌

跡長度，可判定A正確；以。為原點，建立空間直角坐標系，結合向量的垂直的坐標表示,

列出方程，可判定B、C正確；求得點M關于平面4瓦GA的對稱點為結合

PA+PM2AM：可判定D錯誤.

【詳解】對于A,如圖（1）所示，在正方體中，可得BD//BQi，4D//BiC，

答案第51頁，共22頁

因為BAo平面BDA]，2。u平面BDAj所以8Q〃平面BDAX，

同理可證：4c〃平面8口4，因為8Q1C8C=A，且穌R，ACu平面gen

所以平面50/"/平面8]8]，又因為CPu平面4c2，所以CP〃平面2D/j

所以點P在線段BQ上運動，所以點尸的軌跡長度為4R=0，所以A正確;

對于B,以。為原點，以所在的直線分別為'J/軸，建立空間直角坐標系,

如圖(2)所示，

—可r,得口小,。,。)〃(?！?1寸.設nP(x”,y,V))，n且0<x<l,0<y<1

貝UN=(x—1,%1),礪=(xj—1,；),而=(一1,1,；)，

由萬?礪=(x_l,y,l)—(x,y_l,g)=x2-x+/--y+1=(x-1)2+(x-1)2=0,

解得x=±y=」，所以存在唯一的點pd4,l)使得‘01P必，所以B正確；

2222

對于C,由MP：”,可得M礪=(_l,l,；).(x，I5=_x+y_]+；=0,

答案第61頁，共22頁

日口3日石OW,O〈yWl

即產(chǎn)x+屋因為/

當x=°時，可得”予當日時，可得Xj

所以點p的軌跡為線F段F,且頌。，沁a咱i5,

貝1尸卜jdr+di+o?=走,所以c正確；

對于D,如圖⑵所示，點前關于平面”￡ca的對稱點為“019,

當點4尸,“三點共線時，PA+PM=PA+PM'最短,

^^PA+PM>AM'=

所以不存在點尸使得尸力+尸川=2,所以D不正確.

故選：ABC.

12.AD

答案第71頁，共22頁

【分析】求得過點A的切線方程，得到得出々怖與和々麗可判

斷A正確；當點'在準線."上,求得"B+”…，可判定B錯誤；由

OMFA22

\\_\y<y2=-P\OM?V,\MA^_yf

~\ON\=\FB'求得，可判定C錯誤；分別求得記才=,和而^一黨，可判

定D正確.

【詳解】設拋物線c：J?=28（,>0）上一點Mg,%），則y；=2pXo，

過點A/Xxo，%）的切線方程為y-%=k（x-x0）

聯(lián)立方程組（y—%=%（x—x。），整理的丁一女y一女+療=0,

[y2=2pxkk

令A0=,解得左=K,即過拋物線上一點的切線的斜率為二，

M必

對于A中，設/（],）,3手,％），”產(chǎn)%），則過點八的切線方程為k卜+、，

令苫=°,可得了=21,即M（0,%）,

22

又由拋物線C：「=2px的焦點為尸聲,0）,所以％.=-之,

2P

則LG=T,所以gpZPMF=~,

2

同理可得NP2VF='，則"N，尸也四點共圓，所以/”B+/MFN=n,所以A正確；

2

答案第81頁，共22頁

對于B中，若點"在準線x=-5上，可直線"'的方程為為y=p(x-5),

此時直線過焦點4多0),則乙*'=無，所以4F3+//P8＞無，所以B錯誤;

OM

四(0當N(0,")\\=-A￡yL+P

對于c中，由2,2,可得DM%,里=I3=2p2=才+/,

FBPylPyl+p2

42T---------1

2222

222,222

FA可得M=K+P-則%%+%0=-%必一%P,

IFB%W2+夕2

所以必%=_p2,此時直線48過焦點廠，

設直線y=Mx-K),代入拋物線廿=2℃,可得/一女＞_p2=0,

2k

設方程的兩根為多,%，可得必%=-p2，

即當直線過拋物線焦點時，兩交點的縱坐標之積為_/，

而直線電不一定過拋物線的交點，所以C錯誤；

\OM\y,10M22

對于D中，由|ON|一%，可得可=公，

，片中尸(畢，中)

y=~x+—x=

2,即功2

聯(lián)立方程組必,解得2P2

廣上x+及

%2

42

必+必|(W||也|

了；(必2+/)所以兩

則?M4『="241IMP1I,所以D正確.

\MP\2逐；9yl(y'+p2)

4p24

答案第91頁，共22頁

故選：AD.

【點睛】方法點睛：解決拋物線問題的方法與策略：

1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離（拋

物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離）進行等量轉化.如果問題中涉及拋

物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題.因此，涉及

拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離，

這樣就可以使問題簡單化.

2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結合根

與系數(shù)的關系，合理進行轉化運算求解，同時注意向量、基本不等式、函數(shù)及導數(shù)在解答

中的應用.

13.8

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質直接得出答案即可.

【詳解】在等比數(shù)列｛2｝中，q+%，%+%，氏+/也成等比數(shù)列，

因為%+%=2，/+=4，

所以。5+=8，

故答案為：&

14.x-3y+5=0

【分析】利用兩直線平行時方程的特點直接可寫出所求直線.

【詳解】過點（1,2）且與直線x-3y+l=0平行的直線方程為：卜.1）-3（y_2）=0,即

答案第1。1頁，共22頁

%—3y+5=0.

故答案為：x-3y+5=0

15.1

3

【分析】根據(jù)空間向量運算、四點共面等知識求得正確答案.

【詳解】依題意，4所=5而+x而+2無，

則尸M=2PN+*尸B+—PC=?x—尸/+士尸5+—尸。

4424342

S—(■X—(■1—?

=——PA+—PB+—PC,

1242

由于43,C,M四點共面，所以』+二+!=1L

12423

故答案為：;

【分析】由已知求出點"的坐標，由2國=5面求出點N的坐標，代入雙曲線方程即可

求得離心率.

答案第111頁，共22頁

【詳解】不妨設雙曲線的漸近線為y=2x,則直線y=-—(x-2a),

a

b\2/2?32a2b

y--xx=22

由〃得，,,即0'

y=一：(x_2a)y=出2

16rc2

設點N(x。,%),貝ij京=(/_2d％),海=(g-2a2a2b.

c

因為2京=5而，

2(x-2a)=5(^--2a)x=-^,5a3—3ac25a2b

0QNr(2)x

所以，c，解得，c，即cc

__2a1b501b

2%=5?2%=2

ICIC

12322

Nxy(5a-3ac2,5ab.2

由點在雙曲線下一爐=1上，代入得(S

a2M-1

整理得《="，貝燈=史，

a242

故答案為：叵.

2

17-⑴。"

答案第121頁，共22頁

⑵=病R-i

【分析】(1)利用數(shù)列通項和前〃項和公式求解；

(2)由(1)得到2=而[_6,再利用裂項相消法求解.

2

【詳解】⑴解：因為a；+W+W+…+d=g(〃cN*)，

當時，°；+短+a；+…+￡]=(〃I["["""-

兩式相減得〃；=〃，因為4〉0，可得%=4，〃22，

令〃=1,可得囚=1，滿足〃“=新，

所以｛4｝的通項公式為%=冊；

(2)bn=—r=~~-----=4n+i-4n,

sjn+J.+l

所以S“=V2-1+V3-V2+V4-V3+---+AA7+1-A/^=AA?+T-1-

18-⑴(x+l『+(y-2)2=20；

⑵x=-2或3x-4y+6=0.

【分析】(1)根據(jù)直線與圓相切，由點到直線的距離公式可得半徑，結合圓心坐標即可得

解;

(2)對直線廠的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線的距離公式以及弦長公式即可

求解.

【詳解】(1)設圓/的半徑為『，由題意知,

答案第131頁，共22頁

圓心到直線/的距離為d=匕+4土21=26,即'=2右，

712+22

所以圓/的方程為(x+1)?+(y-2)2=20；

(2)當直線廠與x軸垂直時，直線方程為》=_2,即x+2=0，

點N到直線的距離為1,止匕時陽N|=2同=1=2曬，符合題意;

當直線/'與x軸不垂直時，設廠:y=《(x+2),即foc-y+2左=0，

取的中點。，連接/。，則/Q_LMN，

因為|腦V|=2M，所以|4。|=J20-19=1，

又點/到直線”

的距離為卜目

所以…=1，解得左二，所以直線''方程為標一"+6=0

./LT7T4

綜上，直線廠的方程為x=-2或3x-4y+6=0?

19.⑴%“=3〃-1

3?2+1

⑵E.=

4

答案第141頁，共22頁

【分析】（1）根據(jù)條件氏+2-風=3,得出數(shù)列外,"為等差數(shù)列，即可求出結果；

（2）根據(jù)條件得出°,“1=32，由⑴知%=3"-1，再利用分組求和即可求出結果.

【詳解】⑴因為%+2”，=3,所以數(shù)列出?…,句構成首項為4=2,公差為3的等差

數(shù)列，

所以a2n=%+（"-1）,3=3力一1,

（2）由%La,=3,所以數(shù)列％嗎,…，電1構成首項為%=1，公差為3的等差數(shù)列，得到

a211T=4+-1）,3=3〃-2，

設〃=2"1'

則

S?k_\=（1+-----〃2左一）1+（。2+“4—?+。2%-2）=（1+4+7HF3k—2）+（2+5+8+—\-3k—4）

J（l+3"2）+（?l）（2+3"4）=3上二3"1，

22

又后="1,所以“為奇數(shù)時，s3（^ii）2-+1=3/？+1

20.⑴證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設oc=a，連接NC交3。于點G，連接

EG,求得向量方和詫，結合力=2的和線面平行的判定定理，即可證得尸/〃平面

EDB.

答案第151頁，共22頁

（2）由（1）求得麗.麗=o，得到P3_LDE，根據(jù)結合線面垂直的判定定理,

即可證得尸平面EED.

【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設oc=a，連接/C交2。于點G，連接

EG,

可得。（。，。，。），4（。,0,0）,P（0,0,a）,￡（0,巴,巴），

因為底面/BCD是正方形，所以G是此正方形的中心,

故點G的坐標為（若,。］,所以的=1/o,_￡|,

又因為常=（20,_°），所以強=2的，所以"http://EG.

而EGu平面皮＞5，且尸No平面瓦＞8，所以p///平面皮＞8?

（2）解：由⑴得叫間⑼，所以麗=（℃.）,詼=卜黃］,

可得麗.金。+//。，所以而博即尸2E

又由跖_LP8，且EFcDE=E'所以尸臺j_平面27口?

21.(1)2

答案第161頁，共22頁

⑵①

10

【分析】(1)過點尸作直線,與8C平行，則〃〃。，所以/、/O共面，延長0E與/交于

點G，連接OG，0G與尸8的交點即為點尸，再利用三角形相似計算可得；

(2)連接0尸，取的中點初，連接加，即可證明0尸,平面/Be。，建立空間直角坐

標系，利用空間向量法計算可得.

【詳解】(1)過點尸作直線,與Be平行，則〃//。，所以/、共面，延長OE與/交于

點G'

連接OG，QG與尸8的父點即為點歹，

因為45c。為正方形，°是5c的中點，

所以4D//BC'AD=2OB'又〃/8C'所以〃/4D'

因為E是尸工的中點，所以尸G=4D，則尸G=2O8，

(2)連接0尸，取/。的中點連接ON，因為尸3=PC=CD=2

答案第171頁，共22頁

所以尸OJ.BC，且PO=\尸。2一。。2=廳

又平面P3C/平面/3CD，平面尸3Cc平面/3CD=8C，0P平面尸3C,

所以OP_L平面48cD，

如圖建立空間直角坐標系,則0(0,0,0)，C(0,l,0)<￡>(2,1,0)>42,-1,0），

叩,一,§，

7T

77

所以屋Ji,-3,遮、218］，cD=（2,0,0）

，AF=

CDE應=(x,y,z)mCD=2x=0

設平面的法向量為

-3A/3

m-CE=x——y-\-----z

22

所以I際“-7叫^1=忻可赤間I=壽3=M而，

設直線,尸與平面COE所成角為0,則sinO=巫，所以cosO=3屈

1010

所以直線AF與平面CDE所成角的余弦值為亞.

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