北京市朝陽區(qū)2024屆高三年級下冊質量檢測一數學試題（解析版）

北京市朝陽區(qū)2024屆高三下學期質量檢測一數學試題

第一部分（選擇題）

一、選擇題

1.已知全集。={1，2,3,4},A={反斗＜2},則）

A.{1}B.{1,2}C,{3,4}D.{2,3,4}

（答案1D

K解析》全集。={1,2,3,4},貝UA={1},

所以,A={2,3,4}.

故選：D

2.復數」一在復平面內對應的點位于（

3+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

K答案XA

ii（3-i）l+3i

K解析》復數二=所以復數對應的點為為第一象限

3+1八+二\八.、==10-

的點.故選：A.

3.在及42。中，若6a=2加inA,則2為（）

71兀兀一，2兀7

A.—B.—C.—或一D.-

3633（

［答案XC

rl兀2兀

k解析Uy/3sinA=2sinBsinA,sinB----,則3=—或3=—,

233

選C.

4.己知aeR,貝廣0＜。＜1”是“函數/（x）=（1-。）式在R上單調遞增”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（答案］A

（解析H對于函數/（x）=（l—a）d

當a=l時，/（力=0,為常數函數,

當a>l時，1—a<0，函數〃X）=（1—。）丁在R上單調遞減，

當a<1時，1—a>0,函數/（x）=（l—a）d在R上單調遞增，

所以“0<°<1”是“函數/（%）=（1-a）d在R上單調遞增”的充分而不必要條件.

故選：A.

5.已知直線x—6>+6=0和圓三+產=產（廠>0）相交于A,8兩點.若|AB|=6,則廠=

A.2B.20C.4D.3亞

K答案XD

（解析［圓f+y2=/（r>0）的圓心為：（0,0）,半徑為小

廠\6\

則圓心到直線x-0y+6=0的距離為d=7意=3,

由垂徑定理可得廠=］/+M=［32+32=30.

故選：D.

6.己知等比數列｛a,J的前〃項和為S”，且。］+。2=1,%+%=4,則其=（）

A.9B.16C.21D.25

［答案工C

K解析X由等比數列的性質可知，%士%=%土幺，即土也=3,得名+0=16，

%+%〃2+%41

S6=（4+。2）+3+。4）+（%+。6）=21.故選：C.

22

7.已知雙曲線C：=—3=1（?！?］〉0）的右焦點為尸，過點尸作垂直于x軸的直線/,

ab"

M,N分別是/與雙曲線C及其漸近線在第一象限內的交點.若M是線段FN的中點，則C

的漸近線方程為（）

A.y=±xB.y=±^^x

cy=±4xdy=±4x

［答案Rc

b

k解析』設雙曲線的右焦點歹(c,o),過第一象限的漸近線方程為y=,x,

be(be、(b"、

當x=c時，y=空，即N。,一，又Mc—,

a\aJya)

b21be

因為M是線段尸N的中點，所以幺=上.竺，得c=2b,

a2a

所以/=4)2=〃2+匕2,即〃=y/3b，

所以C的漸近線方程為丫=±2%=土且X.故選：C.

-a3

8.在一ABC中，AB=AC=2,BC=26，點尸在線段上.當上4.pg取得最小值時，

PA=()

A.3B.五C.。D.1

2244

［答案工B

k解析』如圖，以所在直線為x軸，以BC的垂直平分線建立y軸，建立平面直角坐

標系，

由AB=AC=2,BC=25則QA=,2?—(6了=1，

所以4(0,1),B(-A/3,O),C(73,0),設P(尤,0),

則PA=(r,l),PB=(-^-x,0),

則尸4,尸5=_公（_百_工）=彳2+氐3

4

當x=—走時,PAPB取得最小值，此時總=】§/，|/科=

（卜

222

故選：B

9.在棱長為1的正方體ABC?！?4Goi中，E，F,G分別為棱AA],BC,CQ的中

點，動點H在平面EFG內，且QH=1.則下列說法正確的是（）

A.存在點“，使得直線￡）〃與直線FG相交

B.存在點H,使得直線DHL平面EFG

JT

C.直線用“與平面石》G所成角的大小為一

3

D.平面EFG被正方體所截得的截面面積為之叵

2

[[答案』C

（解析》連接DF,DG,所以|￡＞丹=|DG|=t，歸G|=孝，取FG的中點M,連

接DM,

所以|。必=述＞1,

點。到線段尸G的最短距離大于1，所以不存在點〃，使得直線

114

與直線FG相交，故A不正確;

以。坐標原點，分別以ZM,DC,所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

標系，則￡>(0,0,0),

所以=EG=(-1,1,0),DE=[I,O,￡|,

11c

EF?YI——Q——x+y——z=0

設平面EFG的法向量為〃=(x,y,z),所以＜，即＜22,

EGn=Q一%+y=0

令x=l,則y=Lz=l,所以“=(1,1,1),

iDE-nl3J?

所以點。到平面E尸G的距離為^^=上產=、±<1，而DH=1,所以不存在點”,

\n\2V32

使得直線平面E/G,故B不正確；

因為。4=(1,1,1),所以。耳，平面E尸G,連接。四交EG于點。，所以。為。用的中

6

點，DO=BQ=T

所以ZB.HO為直線B.H與平面EFG所成角,

因為DH=1,在中，sinNDHO=^=旦

DH2

jrjr

所以NDH0=§,因為RtOB]H與R”\ODH全等,所以NB[HO=NDHO=3,故C

延長G尸交與5的延長線于N,連接EN交A3于P,連接PF,取2cl的中點K,24

的中點J,

連接KG,EJ,KJ,KGHEP,EJ//GF,KJ//PF,

平面EFG被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為正，

2

所以截面面積為6x^x也義如=更，故D不正確.

2244

故選：C.

10.已知〃個大于2的實數天,對任意%(i=1,2,…，")，存在％>2滿足％<七,

且則使得％+々+…+x“_i<15x“成立的最大正整數九為()

A.14B.16C.21D.23

［答案XD

Inx；Iny.

K解析］由xj=>：',且玉>2,故yjn%=xjn%,即----=-----,

xi%

令/(x)=g(x?2),r(x)=L坐，

XX

故當x?2,e)時，>0,當xe(e,+co)時，fr(x)<0,

即/(x)在(2,e)上單調遞增,在(e,+s)上單調遞減，

Inx；Iny；,、,、

由----即/(%)=/(￥),故王>e,2<X，<e,

xi%

又/(2)=浮=竽=/(4),故王<4,即e<x,<4,

若石+々+…+芭1T<15%,則有152再+:+…+.-1>(“Je,

~X,4

ACAC

即〃4—+1,由e；?2.72,故一+1322.06+1=23.07.

ee

故最大正整數九為23.

故選：D.

第二部分(非選擇題)

二、填空題

11.在的展開式中，X的系數為(用數字作答)

K答案H15

k解析》由二項式的展開式的通項公式，得禺『（-?）'=q（-1丫￡令:=1，則

廠=2,所以系數為C；（—Ip=15,

故（答案》為：15.

12.已知拋物線*=2py（p>0）的焦點為尸，準線方程為丁=一1,則。=；設

0為原點，點〃（不，兒）在拋物線上，^\OM\=\FM\,則為=.

（答案X2-

2

k解析X由拋物線準線方程為y=-1,故夕=2,

貝l]f=4y,F（o,l）,由〃（々，兀）在拋物線上，

故回■+g=%+l,

由可得其+無=（%+1）二

11

即片9=2%+1=4為，即為=—.故K答案』為：2；I.

13.已知函數I"]；，若實數"c（a5<c）滿足/'⑷=/⑶=〃。），則

a+b-；a+b+c的取值范圍是.

K答案H2[6,7）

K解析X由=—I",：,故/（力在（2,+“）上單調遞減，

在（1,2）上單調遞增，且有7?⑴=0,/（2）=1,/（0）=1,/（4）=1,/（5）=0,

由/（a）=/（/?）=/（c）,則0<a<l<〃<2<4Wc<5,

由xe（0,2）時，/（x）=|x-l|,則/（%）關于x=l對稱，故a+/?=2,

則a+Z?+c=2+c?6,7）.故[[答案X為：2；[6,7）.

14.己知函數〃x）=gsin2x.若曲線y=/（x）在點處的切線與其在點

5（%2，/（%2））處的切線相互垂直，則石一九2的一個取值為.

7T

K答案X-（（答案』不唯一）

2

K解析U/f（x）=cos2x,由題意可知，（玉）/'（%2）=—1，

cos2x1=1兀

gpcos2xr-cos2X2=-1,所以<,得玉=k[7t,x?=—\-42兀，k[,k?eZ,

COS2X2=-l2

COS2Xj=-1Ji

或v,得玉二\~左3兀，X2—/兀，&，憶4￡Z,

cos2X2=12

兀7C

所以再-%=_'+（左1—左2）兀，玉一々二萬+（%3—（）兀，左1，%2,%3，％4￡Z,

7T

所以西一々的一個取值為

7T

故K答案》為：一（（答案X不唯一）

2

/\IAB\.?

15.設A,B為兩個非空有限集合，定義，（AB）=1-匕七其中間表示集合S的元素個

數.某學校甲、乙、丙、丁四名同學從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6門高

中學業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試,設這四名同學的選考科目組成的集合

分別為S],S],S3,5.已知5=｛物理，化學，生物｝,邑=｛地理，物理，化學｝,$3=

｛思想政治，歷史，地理｝,給出下列四個結論：

①若J（S2，S4）=1,則S4=｛思想政治，歷史，生物｝;

②若“S/UJ,則$4=｛地理,物理，化學｝;

③若、4=｛思想政治，物理，生物｝,則/（4弓卜/^應六/⑸應）；

④若/肉應口/⑸應:/但應），則凡=｛思想政治，地理，化學｝

其中所有正確結論的序號是.

[答案》①③

K解析》對于①：J（S2，S4）=1-=1,所以小s1=0,所以$2S=0,

5B4

又$2=｛地理，物理，化學｝,所以“=｛思想政治，歷史，生物｝,①正確；

/、/、SJS2Is.S421

對于②：J（S],S2）=J（S],S4）,即^~=~S~=4=2J

所以21slis/Tsus/,所以iHUsj必為偶數,又3W|SJS4|<6,

當國.S/=6時，氏S4|=|0|=O,不符合2叩S/TSJJS/，

所以國S/=4,且凡S4\=2,此時S4情況較多，比如”=｛物理，地理，生物｝,②

錯誤；對于③：若見=｛思想政治，物理，生物｝,則

911414

J（S1,S4）=l--=-,J（S2,S4）=l--=-,J（S3,S4）=l--=-,

乙JJJJ

所以/肉㈤卜/區(qū)㈤卜/⑸㈤），③正確；

對于④：當邑=｛物理，地理，歷史｝時，

149191

J（S1,S4）=l--=-,J（S2,S4）=l--=-,J（S3,S4）=l--=-）

滿足“S],S4）>/（S2，S4）=/（S3，S4）,但不是84=｛思想政治，地理，化學｝,④錯誤.

故選：①③

三、解答題

16.己知函數/（x）=Asin（ox+0）（A〉0,o〉0,0<°<5]的最小正周期為兀.

（1）若A=l,”0）=孝，求。的值；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為己知，確定/（%）的K解析X

式，并求函數丸（X）=/（"-2cos2x的單調遞增區(qū)間.

條件①：/（%）的最大值為2；

條件②：/（%）的圖象關于點[監(jiān),。）中心對稱；

條件③：/(%)的圖象經過點

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

解：(1)因為A=l,/(0)=孝，則sinQ=^^,且則。=:;

(2)因為函數“力的最小正周期為兀，則口=2,

2sin[g+°)=0,

若選①②，則A=2,且/

八兀n15兀5兀47r.5兀.?！獜V,z./\c.(c兀

且0<°<一，則—<---1■夕<—,則---H夕=兀，則0=一，所以/(x)=2sin2x+—

26636616

若選擇①③，則A=2,且/[g]=2sinq+e]=百，則sin]+°卜

7171712兀兀兀71

0<,則_<—\-(p<—,則———,則"=一,

2663636

所以/(x)=2sin|2x+~

TV

若選擇②③，由②可知，甲=/

由③可知，/(5)=Asin(t+t)=="^，則A=2,

所以/(x)=2sin(2x+tj.

%(x)=2sin12x+《J_2cos2x=sin2x-cos2x=2sinf2x-j,

6

令----F2kliV2x----<—F2kji,kGZ,得---Fkit4xW—Fku,kGZ,

26263

兀7C

所以函數/z(x)的單調遞增區(qū)間是一二+碗,彳+左兀，左eZ,

63

17.如圖，在三棱錐?！狝BC中，側面ZMC_L底面ABC,AD=DC,AB=BC.

k

//7

//J

(1)求證：AC±BD；

（2）已知AB=逐，AC=2,AD=yfi，歹是線段BD上一點，當A尸，BD時，求

二面角尸—AC—5的余弦值.

（1）證明：取AC中點M,連接D暇、BM,

由AD=OC,AB=BC,故ACLDM、ACLBM,

又DM、瀏/u平面D5M，DMBM=M,

則AC,平面DBM,又皮）u平面故ACLM；

（2）解：由側面ZMCJ_底面ABC,且AC_L5M,平面DSM，

AC=平面ZMCc平面ABC,故平面ZMC，

又DMu平面ZMC，故即有BM、DM、AC兩兩垂直，

故可以M為原點，建立如圖所示空間直角坐標系M-ABD,

由AB—y/5，AC=2,AD=A/2，AO=DC,AB—BC,

則DAf=；AC=l,BM=J(75)2-l2=2>

即河(0,0,0)、0(0,0,1)、8(0,2,0)、A(l,0,0),C(-l,0,0),

03=(02-1)、A￡>=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),

令DF=ADB=(0,22,-2),則AF=AD+DE=(—1,241—X),

i(24

由AF_LBD,故2x2/l+(_l)x(l_7l)=0,解得力=《，故=二

令平面E4C的法向量為加二(x,y,z),

—2x=0

則有＜24，令y=2,則有加=（0,2,-1）,

-x+-y+—z=0

I5，5

由2軸_[_平面ABC,故平面ABC的法向量可為力=（0,0,1）,

,m-n-1一石

則cosm,n=----=]——「=--,

\ni\\n\V4+1-V15

故二面角F-AC-B的余弦值為@.

5

18.為提升學生用數學知識解決現實生活或其他學科領域中問題的能力，發(fā)展學生數學建

模素養(yǎng)，某市面向全市高中學生開展數學建模論文征文活動.對于參加征文活動的每篇論文,

由兩位評委獨立評分，取兩位評委評分的平均數作為該篇論文的初評得分.從評委甲和評委

乙負責評審的論文中隨機抽取10篇，這10篇論文的評分情況如下表所示.

序評委甲評評委乙評初評得

號分分分

1678274.5

2808683

3617668.5

4788481

5708577.5

6818382

7848685

8687471

9667771.5

10648273

（1）從這10篇論文中隨機抽取1篇，求甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過5的概

率；

（2）從這10篇論文中隨機抽取3篇，甲、乙兩位評委對同一篇論文的評分之差的絕對值不

超過5的篇數記為X，求X的分布列及數學期望；

（3）對于序號為i（i=l,2,…,10）的論文，設評委甲的評分為X,,評委乙的評分為匕，分

別記甲、乙兩位評委對這10篇論文評分的平均數為又，Y，標準差為值,s乙，以

/---、

][X—XY—Y

-」一+」一作為序號為i的論文的標準化得分.對這10篇論文按照初評得分與標

21§甲s乙）

準化得分分別從高到低進行排名，判斷序號為2的論文的兩種排名結果是否相同？（結論不

要求證明）

解：（1）設事件A為從這10篇論文中隨機抽取1篇，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值

不超過5,

又在這10篇論文中，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過5的有2篇，

21

所以尸（A）=—=—；

「105

（2）由已知X的可能取值為0,1，2-

C37c'c27c2C11

p（X=0）=W=,，P（X=l）=-^=—,P（X=2）=^=—.

''C：°15'）C：°15'）C：。15

所以X的分布列為

X012

771

P

151515

7713

所以X的數學期望為E（X）=0*E+1X石+2*石=§；

（3）根據數據序號為2的論文初評得分排名為第2，

-八萬67+80+61+78+70+81+84+68+66+64…

由已知X=-----------------------------------------------------=71.9,

10

-82+86+76+84+85+83+86+74+77+82O1c

JL——o1.5,

10

明顯序號為7的論文甲乙兩評委評分均最高，故初評得分排名為第1，標準化得分排名仍然

為第1，

現在就看初評得分排名為第3的序號為6的論文其標準化得分排名是否會發(fā)生變化，

/---、ifX-X

_1(X2-X1Y-Y6Yl3

2lp2-^6,2~Y^(

21s甲§乙/21s甲§乙/21s甲s乙J21s乙

根據表中數據觀察可得評委甲的評分波動大，故S甲>S乙，

/——\/——、

31、門-XY-Y]1X-XY.-Y]八

所以------->0,即----------+'7-------------6-----+」——>0,

s乙s甲21s甲s乙7121s甲壇)

所以序號為2的論文標準化得分排名為第2,所以序號為2的論文的兩種排名結果相同.

19.已知橢圓E：二+/=1(?！?〉0)的離心率為白，48分別是E的左、右頂點,

P是E上異于A,8的點，△AP6的面積的最大值為2&-

(1)求E方程；

(2)設O為原點，點N在直線x=2上，N,尸分別在x軸的兩側，且與的

面積相等.

(i)求證：直線。V與直線AP的斜率之積為定值；

(ii)是否存在點P使得△APBgAJVB尸，若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明

理由.

(1)解：當點尸是短軸端點時，△4P3的面積最大，面積的最大值為2?2。2=2四,

2

￡=V|

a2

則<ab—2^/2,得〃=/=2,“2=4，

c2=a2-b2

22

所以橢圓E的方程為土+乙=1；

42

(2)(i)證明：設？(%為),N(2,0,ty0<Q

SAPB==2尻|,SNPB=-1?|x(2-x0),

由題意可知，21yol=31|義(2_玉))，,=2F，即

xJ；-

所以七=%=-1；

龍。+224—XQ

(ii)解：假設存在點尸，使得一APBwNBP,

因為|AB|〉|AP|,忸外=忸”，

所以|AP|=|A?|,ZAPB=ZNBP,ZABP=ZNPB,則NAPN=NNBA=9O，

由(i)可知，AP±ON,又AP1NP,所以O,N,P三點共線,

則NOPfi=NOfiP,所以|03=|0阿=2,

則點尸與點A重合，這與已知矛盾，所以不存在點尸，使aAPB當△NBP.

20.已知函數/(x)=(l-<xx)e”(aeR).

(1)討論的單調性；

(2)若關于x的不等式—%)無整數解，求”的取值范圍.

解：⑴f'(x)=(l-a-ax)ex,當/'(%)=0,得x=^--,

當a>0時，》小一00,1：］時，y?)>o,/(x)單調遞增，

時，/'(力<。，/(尤)單調遞減，

當a<0時，xe[-時，/(力<0,單調遞減，

xe]L”.,+Q時，用》)>0,/(%)單調遞增，

當。=0時，/(%)=ex,函數/(%)在R上單調遞增，

綜上可知，。>0時，函數/(X)的單調遞增區(qū)間是1s,1)，單調遞減區(qū)間是

fl-a

,+oo

Ia

a<0時，函數/(x)的單調遞減區(qū)間是1-單調遞增區(qū)間是(與+s],

a=0時，函數”力的增區(qū)間是(—8,+8),無減區(qū)間.

(2)不等式(l-ox)e*,即a[x—<1,

設/i(x)=x_?,〃(x)=i-W=￡±^,

設(x)=e*+x—2,f(x)=eT+l>0,所以從x)單調遞增，

且/(O)=—1,f(l)=e—2>0,

所以存在ae(O,l),使(％)=0,即/(%)=0,

當無￡(-0,九0)時，/l(x)單調遞減，當%?/0，+8)時,%⑺單調遞

增，所以丸(x)2丸(%)=x()eM;Xo+l,

e

因為e工2x+l，所以/2(x)2/2(x0)=Xoe陽/+12工0(/+：1)~)+：1=紅〉0,

\\u/e%°e與e與

當xWO時，/z(x)>/z(O)=l,當時，/z(x)>/z(l)=l,

不等式(l—ar)e*>a(l—x)無整數解，

即—三二］<1無整數解，

若aWO時，不等式恒成立，有無窮多個整數解，不符合題意，

若時，即:WL因為函數網可在(—8,0］上單調遞減，在［1,+8)上單調遞增，

11

所以xeZ時，/:(%)>min{/z(O),/z(l)}=l>-,所以—無整數解，符合題意，

aa

當0<°<1時，因為可0)=/1(1)=1〈)，顯然0,1是a/(x)<l的兩個整數解，不符合題

思JiZL，

綜上可知，a>l.

21.若有窮自然數數列A：…22)滿足如下兩個性質，則稱A為紇數列：

①%2max{q+ak_2,---,ak_l+%}(k=2,3,—一,"),其中，max{xpx2,---,xj表

示玉,%,…這S個數中最大的數；

@akWmin{%+aA._1,a2+ak_2,---,ak_l+q}+1(k=2,3,…，”),其中，，…,又}

表示西,々,…,這s個數中最小的數.

(1)判斷A：2,4,6,7,10是否為風數列，說明理由；

(2)若A:?1，。2「一，。6是線數列，且%,。2，“3成等比數列，求4；

⑶證明：對任意紇數列A：%,%，…，％("?2),存在實數力,使得

ak=［U］(^=1,2,???,?).(［x］表示不超過x的最大整數)

(1)解：A：2,4,6,7,10不是紜數列，理由如下：

因為q+%=8,4+4=8,所以max{q+q,o2+a2}=8,

但q=7<8,所以A不滿足性質①，故不是反數列；

(2)解：根據A：4,4,…，4是紜數列可得A：%,出，滿足：

%=q+q或出=q+q+1,/=q+%或％=%+4+1，

①若出=%十%，因為%，出，。3成等比數列，所以。3=五=4%，

q

又用。0,所以。3。。1+%，所以？=+2+1=3勾+1=4%,得％=1,

②若。2=6+4+1，因為%，。2，%成等比數列，所以,=W=(2.+1),

axax

,工(24+1)2

當％=6+。2時，?=3^+1=-^—!~

3