第5章 二次根式（單元測試·拔尖卷）-2023-2024學年八年級數學上冊全章復習與專題突破講與練（湘教版）

第5章二次根式（單元測試·拔尖卷）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2019上·四川成都·八年級校考階段練習）若有意義，則字母x的取值范圍是（

）A．x≥1 B．x≠2C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠22．（2020上·重慶沙坪壩·八年級統(tǒng)考期末）若二次根式有意義，且關于x的分式方程有正數解，則符合條件的整數m的和是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣43．（2017上·八年級單元測試）下列計算不正確的是（

）A． B．C． D．4．（2019上·陜西寶雞·八年級?？茧A段練習）化簡二次根式的結果是（

）A． B．－ C． D．－5．（2017上·江西撫州·八年級崇仁縣第一中學階段練習）下列各式中，不正確的是（

）A．B． C． D．6．（2017下·江蘇無錫·八年級階段練習）若實數a，b滿足+=3，﹣=3k，則k的取值范圍是（）A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣17．（2022上·河南周口·九年級校聯(lián)考階段練習）若，，則a與b的大小關系是（

）A．a>b B．a<b C．a=b D．不能確定8．（2020下·重慶·九年級?？茧A段練習）與最接近的整數是（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（2020上·河南洛陽·九年級?？茧A段練習）設a為的小數部分，b為的小數部分，則的值為（

）A．B． C． D．10．（2019下·八年級單元測試）設S=，則不大于S的最大整數[S]等于（）A．98 B．99 C．100 D．101填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）已知，則的值為．12．（2022下·北京西城·八年級北京八中?？计谥校┮阎猲是正整數，是整數，則滿足條件的所有n的值為．13．（2019上·河南洛陽·九年級?？茧A段練習）把根號外的因式移入根號內，得14．（2019上·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期中）已知實數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|＝．15．（2018下·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）若2x﹣1=，則x2﹣x=．16．（2019上·四川成都·八年級?？茧A段練習）已知，a是x的整數部分，b是x的小數部分，則a-b=17．（2023上·浙江嘉興·九年級?？奸_學考試）化簡．18．（2018下·八年級課時練習）將1、、、按右側方式排列.若規(guī)定（m，n）表示第m排從左向右第n個數，則（5，4）與（9，4）表示的兩數之積是.三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2018下·河南周口·八年級校聯(lián)考期中）計算：（1）＋； （2）－－||20．（8分）（2023下·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）計算：（1） （2）（10分）（2021·浙江·九年級自主招生）（1）已知其中，化簡求值；（2）已知，探究m與n的關系．22．（10分）（2023下·北京西城·八年級?？计谥校┰跀祵W課上，老師說統(tǒng)計學中常用的平均數不是只有算術平均數一種，好學的小聰通過網絡搜索，又得到了兩種平均數的定義，他把三種平均數的定義整理如下：對于兩個數，，稱為，這兩個數的算術平均數，稱為，這兩個數的幾何平均數，稱為，這兩個數的平方平均數小聰根據上述定義，探究了一些問題，下面是他的探究過程，請你補充完整：（1）若，，則；________；_______；（2）小聰發(fā)現當，兩數異號時，在實數范圍內沒有意義，所以決定只研究當，都是正數時這三種平均數的大小關系．結合乘法公式和勾股定理的學習經驗，他選擇構造幾何圖形，用面積法解決問題：

如圖，畫出邊長為的正方形和它的兩條對角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示．①請你分別在圖2，圖3中用陰影標出一面積為，的圖形：②借助圖形可知，當，都是正數時，的大小關系是：___________（把從小到大排列，并用“”或“”號連接）；③若．則的最小值為________．23．（10分）（2019上·四川·八年級四川師范大學附屬中學?？茧A段練習）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知a（b（2，ab（（3，求．我們可以把a（b和ab看成是一個整體，令x（a（b，y（ab，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結果．（1）計算：；（2）m是正整數，a（，b（且．求m．（3）已知，求的值．24．（12分）（2023上·四川內江·九年級四川省內江市第六中學?？茧A段練習）我們學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現：當時，有，當且僅當時取等號．（1）當時，的最小值為______；當時，的最大值為______；（2）當時，求的最小值；（3）如圖，四邊形的對角線、相交于點、的面積分別為和，求四邊形的最小面積．參考答案：1．D【分析】直接利用二次根式的有意義的條件分析得出答案．解：有意義，則x+1≥0且x-2≠0，解得：x≥-1且x≠2．故選D．【點撥】本題考查了二次根式有意義的條件，正確把握相關性質是解題關鍵．2．D【分析】根據二次根式有意義，可得，解出關于的分式方程的解為，解為正數解，進而確定m的取值范圍，注意增根時m的值除外，再根據m為整數，確定m的所有可能的整數值，求和即可．解：去分母得，，解得，，∵關于x的分式方程有正數解，∴，∴，又∵是增根，當時，，即，∴，∵有意義，∴，∴，因此且，∵m為整數，∴m可以為-4，-2，-1，0，1，2，其和為-4，故選：D．【點撥】考查二次根式的意義、分式方程的解法，以及分式方程產生增根的條件等知識，解題的關鍵是理解正數解，整數m的意義．3．D解：根據二次根式的加減法，合并同類二次根式，可知，故正確；根據二次根式的乘法，可知，故正確；根據二次根式的性質和化簡，由分母有理化可得，故正確；根據二次根式的加減，可知與不是同類二次根式，故不正確.故選D.4．B【分析】首先根據二次根式有意義的條件求得a、b的取值范圍，然后再利用二次根式的性質進行化簡即可解：故選B【點撥】本題考查了二次根式的性質及化簡，解題的關鍵是根據二次根式有意義的條件判斷字母的取值范圍．本題需要重點注意字母和式子的符號．5．B解：根據二次根式的性質和立方根的性質，逐一判斷為：=3，=-3，故A正確；=4，=2，故B不正確；根據被開方數越大，結果越大，可知C正確；，可知D正確.故選B.6．C解：依據二次根式有意義的條件即可求得k的范圍．解：若實數a，b滿足+=3，又有≥0，≥0，故有0≤≤3

①，0≤≤3，則﹣3≤-≤0

②+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k，即﹣3≤3k≤3，化簡可得﹣1≤k≤1．故選C．【點撥】本題主要考查了二次根式的意義和性質．解題的關鍵在于二次根式具有雙非負性，即≥0（a≥0），利用其非負性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并對0≤≤3變形得到﹣3≤-≤0，進而即可轉化為關于k的不等式組，求出k的取值范圍.7．B【分析】先利用二次根式的混合運算化簡a和b，再根據二次根式的估算比較即可．解：∵，∴，∴，∵，，∴，故選：B．【點撥】本題主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．8．B【分析】把原式去括號后根據算術平方根的性質求解．解：原式=，∵49<54<64，∴，∵，∴，∴最接近7，∴最接近7-3即4，故選：B．【點撥】本題考查二次根式的應用，熟練掌握二次根式的混合運算法則和算術平方根的性質是解題關鍵．9．B【分析】首先分別化簡所給的兩個二次根式，分別求出a、b對應的小數部分，然后化簡、運算、求值，即可解決問題．解：∴a的小數部分為，∴b的小數部分為，∴，故選：B．【點撥】該題主要考查了二次根式的化簡與求值問題；解題的關鍵是靈活運用二次根式的運算法則來分析、判斷、解答．10．B【分析】由，代入數值，求出S=+++…+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整數為99．解：∵==，∴S=+++…+===100-，∴不大于S的最大整數為99．故選B.【點撥】本題主要考查了二次根式的化簡求值，知道是解答本題的基礎．11．/【分析】先利用二次根式有意義求得與的值，然后把與的值代入變形后的代數式求值即可．解：∵，∴，解得，∴，∴．故答案為：【點撥】本題考查了代數式的化簡求值，二次根式有意義的條件的應用是解題的關鍵．12．或或【分析】先利用算術平方根有意義的條件求得正整數的取值范圍，然后令等于所有可能的平方數即可求解．解：由題意得，解得，∵n是正整數，∴∴，∴，∴，∵是整數，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整數，∴或或，故答案為：或或【點撥】本題考查了算術平方根的性質，理解掌握被開方數是平方數時算術平方根才是整數是解題的關鍵．13．【分析】根據被開方數大于等于零，可得出，再根據二次根式的性質進行計算即可．解：∵，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查的知識點是二次根式的性質與化簡，掌握二次根式的基本性質是解此題的關鍵．14．-2a【分析】根據數軸判斷出a、b、c的正負情況以及大小情況，然后根據絕對值和二次根式的性質去掉根號和絕對值號，再進行計算即可得解．解：由圖可知，∴∴﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|＝===-2a.【點撥】本題考查二次根式的性質與化簡和化簡絕對值.在解決本題時需注意①對于任意實數a,都有；②在化簡絕對值時，絕對值內如果是一個多項式,要給化簡后的結果帶上括號.15．【分析】根據完全平方公式以及整體的思想即可求出答案．解：∵2x﹣1=，∴（2x﹣1）2=3∴4x2﹣4x+1=3∴4（x2﹣x）=2∴x2﹣x=故答案為【點撥】本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式，本題屬于基礎題型．16．【分析】先把x分母有理化求出x=，求出a、b的值，再代入求出結果即可．解：∵∴∴∴【點撥】本題考查了分母有理化和估算無理數的大小的應用，解此題的關鍵是求a、b的值．17．【分析】將原式變形為，再求出，繼而化簡得到．解：設則，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則和二次根式的性質．18．解：試題解析：（5，4）表示第5排從左向右第4個數是：，（9，4）表示第9排從左向右第4個數，可以看出奇數排最中間的一個數都是1，第9排是奇數排，最中間的也就是這排的第5個數是1，那么第4個就是：，∴（5，4）與（9，4）表示的兩數之積是：×=2．故答案為2．19．（1）2；（2）3【分析】（1）根據平方差公式和二次根式的性質，進行二次根式的求和運算求解即可.（2）根據完全平方公式，零次冪的性質，絕對值的性質求解即可.解：（1）＋

=9-7+2-2=2.（2）－－||=2+2+1-1-2+=3.【點撥】本題主要考查了實數的運算，平方差公式，完全平方公式，零指數冪，二次根式的性質，熟練掌握公式和運算法則是解題的關鍵.20．（1）；（2）16【分析】（1）先把二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，即可得解；（2）先計算平方差公式和二次根式的乘法，再計算加減法，即可解答．（1）解：；（2）解：．【點撥】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算順序和運算法則，二次根式的化簡，是解決問題的關鍵．21．（1）；（2）【分析】（1）根據分數運算化簡，再由二次根式混合運算代入求值即可得到答案；（2）利用平方差公式及完全平方公式恒等變形，最后由配方法求解即可得到答案．解：（1），，原式；（2），，即，，，即，．【點撥】本題考查分式化簡求值及二次根式混合運算，熟練掌握分式運算及二次根式運算是解決問題的關鍵．22．（1）；；（2）①見詳解②③【分析】（1）將，分別代入求值即可得；（2）①分別求出，，再根據正方形的性質、矩形和直角三角形的面積公式即可得；②根據（2）①中的所畫的圖形可得，由此即可得出結論；③由，可知當時，取最小值，此時，結合已知條件可得，即可確定的最小值．（1）解：當，時，，．故答案為：；；（2）①，則用陰影標出一個面積為的圖形如下所示：

，則用陰影標出一個面積為的圖形如下所示：

②由（2）①可知，，當且僅當，即時，等號成立，∵都是正數，∴都是正數，∴．故答案為：；③∵，∴當時，取最小值，此時，即，整理，可得，∴，∵，∴，此時，∴的最