專題06 二次函數(shù)的應用（講練）-2024年中考數(shù)學沖刺復習講練測（浙江新中考）（解析版）

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考點要求命題預測二次函數(shù)的應用在中考中.二次函數(shù)的實際應用是中考必考考點.常以解答題形式考查.往往會結合方程（組）與一次函數(shù)考查。一、解答題1．（2023·浙江湖州·中考真題）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：銷售價格x（元/千克）5040日銷售量y（千克）100200(1)試求出y關于x的函數(shù)表達式．(2)設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？【答案】(1)(2)銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為，由表中數(shù)據(jù)即可得出結論；（2）根據(jù)每日總利潤=每千克利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質求最值即可．【詳解】（1）解：設y關于x的函數(shù)表達式為．將和分別代入，得：，解得：，∴y關于x的函數(shù)表達式是：；（2）解：，∵，∴當時，在的范圍內，W取到最大值，最大值是2250．答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)等量關系寫出函數(shù)解析式．2．（2023·浙江溫州·中考真題）一次足球訓練中，小明從球門正前方的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高為2.44m，現(xiàn)以O為原點建立如圖所示直角坐標系．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）．(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？【答案】(1)，球不能射進球門(2)當時他應該帶球向正后方移動1米射門【分析】（1）根據(jù)建立的平面直角三角坐標系設拋物線解析式為頂點式，代入A點坐標求出a的值即可得到函數(shù)表達式，再把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，與球門高度比較即可得到結論；（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律，設出平移后的解析式，然后將點代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點坐標為，設拋物線解析式為，把點代入，得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為，當時，，∴球不能射進球門；（2）設小明帶球向正后方移動米，則移動后的拋物線為，把點代入得，解得（舍去），，∴當時他應該帶球向正后方移動1米射門．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移等知識，讀懂題意，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．3．（2022·浙江金華·中考真題）“八婺”菜場指導菜農生產和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計售價與需求量的數(shù)據(jù)，通過描點（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量（噸）關于售價x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達式為，部分對應值如表：售價x（元/千克）…2.533.54…需求量（噸）…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量（噸）關于售價x（元/千克）的函數(shù)表達式為，函數(shù)圖象見圖1．③1~7月份該蔬菜售價（元/千克），成本（元/千克）關于月份t的函數(shù)表達式分別為，，函數(shù)圖象見圖2．請解答下列問題：(1)求a，c的值．(2)根據(jù)圖2，哪個月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．(3)求該蔬菜供給量與需求量相等時的售價，以及按此價格出售獲得的總利潤．【答案】(1)(2)在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大，見解析(3)該蔬菜供給量與需求量相等時的售價為5元/千克，按此價格出售獲得的總利潤為8000元【分析】（1）運用待定系數(shù)法求解即可；（2）設這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)列出函數(shù)關系式，由二次函數(shù)的性質可得結論；（3）根據(jù)題意列出方程，求出x的值，再求出總利潤即可．【詳解】（1）把，代入可得②-①，得，解得，把代入①，得，∴．（2）設這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)題意，有，化簡，得，∵在的范圍內，∴當時，w有最大值．答：在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大．（3）由，得，化簡，得，解得（舍去），∴售價為5元/千克．此時，（噸）（千克），把代入，得，把代入，得，∴總利潤（元）．答：該蔬菜供給量與需求量相等時的售價為5元/千克，按此價格出售獲得的總利潤為8000元．【點睛】此題主要考查了函數(shù)的綜合應用，結合函數(shù)圖象得出各點的坐標，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關鍵．4．（2021·浙江紹興·中考真題）小聰設計獎杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標系中畫出截面示意圖，如圖1，杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點C在y軸上，杯口直徑，且點A，B關于y軸對稱，杯腳高，杯高，杯底MN在x軸上．（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達式（不必寫出x的取值范圍）．（2）為使獎杯更加美觀，小敏提出了改進方案，如圖2，杯體所在拋物線形狀不變，杯口直徑，杯腳高CO不變，杯深與杯高之比為0.6，求的長．【答案】（1）；（2）【分析】（1）確定B點坐標后，設出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用杯深CD′與杯高OD′之比為0.6，求出OD′，接著利用拋物線解析式求出B'或A'橫坐標即可完成求解．【詳解】解：（1）設，∵杯口直徑AB=4，杯高DO=8，∴將，代入，得，．（2），，，，當時，，或，，即杯口直徑的長為．【點睛】本題考查了拋物線的應用，涉及到待定系數(shù)法求拋物線解析式、求拋物線上的點的坐標等內容，解決本題的關鍵是讀懂題意，找出相等關系列出等式等．5．（2017·浙江湖州·中考真題）湖州素有魚米之鄉(xiāng)之稱，某水產養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術優(yōu)勢，一次性收購了淡水魚，計劃養(yǎng)殖一段時間后再出售．已知每天放養(yǎng)的費用相同，放養(yǎng)天的總成本為萬元；放養(yǎng)天的總成本為萬元（總成本=放養(yǎng)總費用+收購成本）．（1）設每天的放養(yǎng)費用是萬元，收購成本為萬元，求和的值；（2）設這批淡水魚放養(yǎng)天后的質量為（），銷售單價為元/．根據(jù)以往經驗可知：與的函數(shù)關系為；與的函數(shù)關系如圖所示．①分別求出當和時，與的函數(shù)關系式；②設將這批淡水魚放養(yǎng)天后一次性出售所得利潤為元，求當為何值時，最大？并求出最大值．（利潤=銷售總額-總成本）【答案】（1）a的值為0.04，b的值為30（2）①y=t+15，y=t+30②當t為55天時，W最大，最大值為180250元【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意，列方程組求解即可；（2）①通過圖像找到相應的點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法分類列方程組求解即可得到函數(shù)的解析式；然后根據(jù)利潤=銷售總額-總成本可列式=銷售單價×銷售天數(shù)-（放養(yǎng)總費用+收購成本），然后根據(jù)一次函數(shù)的特點和二次函數(shù)的最值求解即可.試題解析：（1）由題意得解得答：a的值為0.04，b的值為30.（2）①當0≤t≤50時，設y與t的函數(shù)關系式為y=k1t+n1把點（0，15）和（50，25）的坐標分別代入y=k1t+n1，得解得∴y與t的函數(shù)關系式為y=t+15當50＜t≤100時，設y與t的函數(shù)關系式為y=k2t+n2把點（50，25）和（100，20）的坐標分別代入y=k2t+n2，得解得∴y與t的函數(shù)關系式為y=t+30②由題意得，當0≤t≤50時，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t∵3600＞0，∴當t=50時，W最大值=180000（元）當50＜t≤100時，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250∵-10＜0，∴當t=55時，W最大值=180250綜上所述，當t為55天時，W最大，最大值為180250元.考點：1、解二元一次方程組，2、一次函數(shù)，3、二次函數(shù)6．（2021·浙江·中考真題）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．（1）求四月和五月這兩個月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；（2）若該景區(qū)僅有兩個景點，售票處出示的三種購票方式如表所示：購票方式甲乙丙可游玩景點和門票價格100元/人80元/人160元/人據(jù)預測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬．并且當甲、乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票．①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？【答案】（1）20%；（2）①798萬元，②當丙種門票價格降低24元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，為817.6萬元【分析】（1）設四月和五月這兩個月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，則四月份的游客為人，五月份的游客為人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分別計算購買甲，乙，丙種門票的人數(shù)，再計算門票收入即可得到答案；②設丙種門票價格降低元，景區(qū)六月份的門票總收入為萬元，再列出與的二次函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質求解最大利潤即可得到答案．【詳解】解：（1）設四月和五月這兩個月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，由題意，得解這個方程，得（舍去）答：四月和五月這兩個月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長20%．（2）①由題意，丙種門票價格下降10元，得：購買丙種門票的人數(shù)增加：（萬人），購買甲種門票的人數(shù)為：（萬人），購買乙種門票的人數(shù)為：（萬人），所以：門票收入問；（萬元）答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元．②設丙種門票價格降低元，景區(qū)六月份的門票總收入為萬元，由題意，得化簡，得，，∴當時，取最大值，為817.6萬元．答：當丙種門票價格降低24元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，為817.6萬元．【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，二次函數(shù)的實際應用，掌握利用二次函數(shù)的性質求解利潤的最大值是解題的關鍵．7．（2023·浙江衢州·中考真題）某龍舟隊進行500米直道訓練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程與時間的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達式為；途中階段勻速劃行，函數(shù)圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程與時間的函數(shù)表達式為．

(1)求出啟航階段關于的函數(shù)表達式（寫出自變量的取值范圍），(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s．①當時，求出此時龍舟劃行的總路程，②在距離終點125米處設置計時點，龍舟到達時，視為達標，請說明該龍舟隊能否達標；(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓練所需時間（精確到0.01s）．【答案】(1)(2)①龍舟劃行的總路程為；②該龍舟隊能達標．(3)該龍舟隊完成訓練所需時間為【分析】（1）把代入得出的值，則可得出答案；（2）①設，把代入，得出，求得，當時，求出，則可得出答案；②把代入，求得，則可得出答案；（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，則可得出答案．【詳解】（1）把代入得，解得，啟航階段總路程關于時間的函數(shù)表達式為；（2）①設，把代入，得，解得，．當時，．當時，龍舟劃行的總路程為．②，把代入，得．，該龍舟隊能達標．（3）加速期：由（1）可知，把代入，得．函數(shù)表達式為，把代入，解得．，．答：該龍舟隊完成訓練所需時間為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的應用，一次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法，根據(jù)條件準確得到表達式是解題關鍵．考點一二次函數(shù)的應用題型01二次函數(shù)的應用-運功類（1）落地模型最值模型1．（2023·浙江臺州·一模）如圖，不考慮空氣阻力，以一定的速度將小球沿斜上方擊出時，小球飛行的高度是飛行時間的二次函數(shù)．現(xiàn)以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次擊出三個質地一樣的小球，小球在各自擊出后1秒到達相同的最大飛行高度，若整個過程中同時出現(xiàn)在空中的小球個數(shù)最大值為2（不考慮小球落地后再彈起），則t的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意建立直角坐標系，再分析二次函數(shù)的性質即可．【詳解】以球出發(fā)的地方為原點建立直角坐標系，由題意得，二次函數(shù)過原點且對稱軸為直線，∴設二次函數(shù)解析式為，代入原點得，解得，∴，令得，解得∴一個球從出發(fā)到落地用時2秒，∵整個過程中同時出現(xiàn)在空中的小球個數(shù)最大值為2（不考慮小球落地后再彈起），∴，解得，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，根據(jù)題意建立方程是解決問題的關鍵．2．（2022·浙江衢州·二模）教練對小明投擲實心球的訓練錄像進行了技術分析，發(fā)現(xiàn)實心球在行進過程中高度y（m）與水平距離x（m）之間的關系為，由此可知小明此次投擲的成績是m．【答案】9【分析】要求鉛球推出的距離，實際上是求鉛球的落腳點與坐標原點的距離，故可直接令，求出x的值，則x的正值即為所求．【詳解】在函數(shù)式，令，則，解得：（舍），∴鉛球推出的距離是．故答案為：9．【點睛】本題是二次函數(shù)的實際應用題．理解當時，x的正值代表的是鉛球的落腳點離原點的距離是解題關鍵．3．（2023·浙江·一模）根據(jù)我市體育中考排球墊球考試要求，女生受試者需在3米×3米的正方形區(qū)域內原地將球墊起，球在運動中的最高點離地面至少為2米．某女生在測試區(qū)域中心離地面1米的P處第一次將球墊偏，之后又先后在A，B兩處將球救起，球沿拋物線運動（假設拋物線在同一平面內），最終球正好回到P處墊起．如圖所示，已知點A，B均位于邊界正上方，且離地面高度分別為米、米．現(xiàn)以圖示地面所在直線為x軸且P的坐標為，建立平面直角坐標系．

(1)請直接寫出A，B的坐標．(2)排球第一次被墊起后，在區(qū)域內側離邊界水平距離米處達到最高，則該女生此次墊球是否達標，請說明理由．(3)第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度恰好達標，求拋物線的解析式．【答案】(1)，(2)該女生此次墊球不達標．理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)受試者需在3米米的正方形區(qū)域內原地將球墊起，某女生在測試區(qū)域中心且A，B均位于邊界正上方，寫出坐標即可；（2）求出拋物線的解析式，求出最高點縱坐標，比較即可；（3）設出拋物線的頂點式，求出解析式即可．【詳解】（1）解：根據(jù)受試者需在3米米的正方形區(qū)域內原地將球墊起，某女生在測試區(qū)域中心且A，B均位于邊界正上方，則點A坐標為；點B坐標為．（2）解：該女生此次墊球不達標．排球第一次被墊起后，在區(qū)域內側離邊界水平距離米處達到最高，則拋物線的對稱軸為直線，設拋物線解析式為，把，代入得，，解得，，拋物線解析式為，最高點離地面米，該女生此次墊球不達標．（3）解：第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度恰好達標，則頂點縱坐標為，設拋物線解析式為，把，代入得，，解得，，（舍去）拋物線解析式為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題關鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)解析式．4．（2023·浙江紹興·三模）根據(jù)以下素材，探索完成任務如何調整電梯球、落葉球的發(fā)球方向素材1：如圖是某足球場的一部分，球門寬，高．小梅站在A處向門柱一側發(fā)球，點A正對門柱（即），，足球運動的路線是拋物線的一部分．

素材2：如圖，當足球運動到最高點Q時，高度為，即，此時水平距離，以點A為原點，直線為x軸，建立平面直角坐標系．

(1)求足球運動的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關系式，此時足球能否入網？(2)小梅改變發(fā)球方向，發(fā)球時起點不變，運動路線的形狀不變，足球是否能打到遠角E處再入網？（上述（1），（2）中球落在門柱邊線視同球入網）【答案】(1)，足球不能進入球網(2)能【分析】（1）由題意知拋物線的頂點坐標為，設拋物線解析式的頂點式為，由拋物線過原點即可求出a的值，從而確定拋物線的解析式；求出當時的函數(shù)值，與球門高對比即可作出判斷；（2）原點不變，所在直線為x軸，函數(shù)解析式不變，求出的長，計算當，對應的函數(shù)值并與比較，即可判斷足球是否入門．【詳解】（1）解：由題得拋物線頂點坐標為，設∵拋物線經過點A（0，0），∴，∴，∴足球運動軌跡拋物線的函數(shù)表達式為；當時，，，∴足球不能進入球網．（2）解：∵足球運動軌跡拋物線形狀不變，此時以點A為原點，所在直線為x軸，∴拋物線的函數(shù)表達式仍為∵，∴由勾股定理得：，當，，∴能打到遠角E處入網．【點睛】本題是二次函數(shù)的應用問題，考查了求二次函數(shù)的解析式，求函數(shù)值，勾股定理等知識，正確理解題意，把實際問題轉化為數(shù)學問題是解題的關鍵．5．（2023·浙江金華·三模）如圖所示，取某一位置的水平線為軸，建立了平面坐標系后，小山坡可以近似看成拋物線．小明在離點的樓頂拋出一球，其運動軌跡為拋物線，落在山坡的點處，測得點離軸的距離為．

(1)求點的坐標．(2)求小球飛行過程中，離山坡的最大高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點在拋物線上，把代入計算出點的坐標；（2）根據(jù)題意求出點的坐標，再根據(jù)點和點在拋物線上，利用待定系數(shù)法求出，的值，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象的性質求出小球飛行過程中，離山坡的最大高度．【詳解】（1）測得點離軸的距離為，點的橫坐標為，點在拋物線上，當時，，點的坐標是．（2），當時，，，，，，點和點在拋物線上，．∴．高山坡的高度．小球飛行過程中，離山坡的最大高度為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的的實際應用，熟練掌握利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的圖象的性質求出二次函數(shù)的最大值是解本題的關鍵．題型02二次函數(shù)的應用-經濟類銷售問題常用等量關系：利潤=收入-成本；利潤=單件利潤×銷量；1．（2024·浙江寧波·一模）某款旅游紀念品很受游客喜愛，每個紀念品進價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設每天銷售量為y個，銷售單價為x元．(1)求y關于x的函數(shù)關系式；(2)將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？(3)該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，求銷售單價x的范圍．【答案】(1)；(2)紀念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元最大，最大利潤是2640元；(3)．【分析】本題考查二次函數(shù)的應用．得到銷售量以及利潤的關系式是解決本題的關鍵．（1）銷售量原來的銷售量提升的價格，把相關數(shù)值代入化簡即可；（2）利潤每件紀念品的利潤銷售量，把相關數(shù)值代入后可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)二次項系數(shù)的符號可得拋物線的開口方向，判斷出二次函數(shù)的對稱軸后，與自變量的取值范圍結合，可得相關定價和最大利潤；（3）讓（2）中的利潤得到新的利潤，根據(jù)捐款后每天剩余利潤不低于2200元，利用函數(shù)的性質、函數(shù)的開口方向及自變量的取值范圍可得銷售單價的取值范圍．【詳解】（1）解：．關于的函數(shù)關系式為：；（2）解：．拋物線的對稱軸為：．，，當時，有最大值，最大值為：；答：紀念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元最大，最大利潤是2640元；（3）解：捐款后每天剩余利潤不低于2200元，．．當時，．，．，．，，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，．答：為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，銷售單價的范圍為：．2．（2023·浙江寧波·一模）烏饅頭是江北慈城地方特色點心，用麥粉發(fā)酵，再摻以白糖黃糖，蒸制而成．因其用黃糖，顏色暗黃，所以稱之謂“烏饅頭”．某商店銷售烏饅頭，通過分析銷售情況發(fā)現(xiàn)，烏饅頭的日銷售量（盒）是銷售單價（元/盒）的一次函數(shù)，銷售單價、日銷售量的部分對應值如下表，已知銷售單價不低于成本價且不高于20元，每天銷售烏饅頭的固定損耗為20元，且銷售單價為18元/盒時，日銷售純利潤為1180元．銷售單價（元/盒）1513日銷售量（盒）500700(1)求烏饅頭的日銷售量（盒）與銷售單價（元/盒）的函數(shù)表達式；(2)“端午烏饅重陽粽”是慈城的習俗．端午節(jié)期間，商店決定采用降價促銷的方式回饋顧客．在顧客獲得最大實惠的前提下，當烏饅頭每盒降價多少元時，商店日銷售純利潤為1480元？(3)當銷售單價定為多少時，日銷售純利潤最大，并求此日銷售最大純利潤．【答案】(1)(2)當烏饅頭每盒降價3元時，商店每天獲利為1480元(3)當銷售單價定為16元/盒時，日銷售純利潤最大，最大純利潤為1580元【分析】（1）設，根據(jù)表格即可求解；（2）根據(jù)：銷售量單件利潤損耗費用銷售總利潤，列出方程即可求解；（3）設日銷售純利潤為元，根據(jù)：銷售量單件利潤損耗費用銷售總利潤，列出函數(shù)關系式，并在求最值即可．【詳解】（1）解：設，由題意得，解得，∴．（2）解：當時，，即銷售200盒的純利潤為1180元，成本價為：（元），，解得：（舍），，（元）．答：當烏饅頭每盒降價3元時，商店每天獲利為1480元．（3）解：設日銷售純利潤為元，由題意得，，，當時，有最大值1580元，答：當銷售單價定為16元/盒時，日銷售純利潤最大，最大純利潤為1580元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)，一元二次方程，二次函數(shù)在銷售利潤中的應用，掌握銷售問題中的等量關系式是解題的關鍵．3．（2023·浙江·模擬預測）2023年秋，某工業(yè)大學小組進行為期90天的三創(chuàng)賽實戰(zhàn)項目，此小組前往某農村進行產品銷售，已知該產品的每件成本為40元，組長根據(jù)市場情況列出了以下表格：①該產品90天內時間和日銷量的關系如下表：時間（第x天）13610···日銷量（a件）198194188180···②該產品90天內時間和銷售價格關系如下表：時間（第x天）銷售價格（元/件）100(1)設銷售該商品每天利潤為y元，請寫出y關于x的函數(shù)表達式，并求出90天內該產品哪天銷售利潤最大？最大利潤為多少？(2)若該比賽規(guī)定，25天銷售利潤不低于5400元即可晉級，那么該小組是否能順利晉級呢？【答案】(1)當時，的值最大，最大值是7200，即在90天內該產品第40天的銷售利潤最大，最大利潤是7200元(2)在該產品銷售的過程中，共有46天銷售利潤不低于5400元，該小組能順利晉級【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是理解題意根據(jù)銷售問題中總利潤的相等關系，結合的取值范圍列出分段函數(shù)解析式及二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質．（1）設利潤為元，則當時，；當時，，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結論；（2）根據(jù)和時，由求得的范圍，據(jù)此可得銷售利潤不低于5400元的天數(shù)．【詳解】（1）解：設銷售該產品每天利潤為元，關于的函數(shù)表達式為：，當時，，，當時，有最大值，最大值是7200；當時，，，隨增大而減小，即當時，的值最大，最大值是6000；綜上所述，當時，的值最大，最大值是7200，即在90天內該產品第40天的銷售利潤最大，最大利潤是7200元；（2）解：當時，由可得，解得：，，；當時，由可得，解得：，，，綜上，，故在該產品銷售的過程中，共有46天銷售利潤不低于5400元，該小組能順利晉級．題型03二次函數(shù)的應用-面積類1．（2024·浙江寧波·模擬預測）為了給學校的柯爾鴨過冬提供舒適的環(huán)境，飼養(yǎng)小組決定用長為米的籬笆，和一面長為6米的墻圍成如圖所示的長方形的鴨圈．整個鴨圈的正中間被籬笆隔斷成活動區(qū)和生活區(qū)，活動區(qū)和兩區(qū)中間的籬笆上分別開了一個門，兩個門的尺寸均為米，鴨圈垂直于墻的一邊的長為米．（其中籬笆全部用完，不考慮高度，籬笆占地面積忽略，門的材料另備）

設計方案小成小韓小林（米的長（米）（

）（

）（

）(1)用含，的代數(shù)式表示鴨圈另一邊長米．(2)若固定不變．①若要求鴨圈面積為10平方米，求的值．②小成、小韓和小林根據(jù)的長度分別給出了3種不同的設計方案見上表，請驗算并分析誰的方案比較靠譜．③請通過上述探究，直接寫出的取值范圍，并計算鴨圈面積的最大值．(3)若籬笆最多有16米，問：鴨圈面積能否達到24平方米？【答案】(1)(2)①或；②；小成；③；(3)鴨圈面積能達到24平方米【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，列代數(shù)式和代數(shù)式求值：（1）（1）根據(jù)題意和圖形，可以用含a的代數(shù)式表示出的長即可；（2）①先求出，再利用矩形面積公式建立方程求解即可；②根據(jù)（1）所求代值計算即可；③先求出，再利用矩形面積計算公式用含a的式子表示出矩形面積，再利用二次函數(shù)的性質求解即可；（3）令時，則，再同（2）③求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：（米，故答案為：；（2）解：①由題意得，∴，解得：或；②當時，（米，同理可得：時，（米，時，（米，從上述數(shù)據(jù)看，小成的方案更為靠譜；③由題意得：，即，解得：，設鴨圈面積為平方米，則，，故有最大值，當時，的最大值為：；（3）解：當時，，設鴨圈面積為平方米，則，，當時，的最大值為：，∴鴨圈面積能達到24平方米．2．（2024·浙江臺州·一模）圖1是即將建造的“碗形”景觀池的模擬圖，設計師將它的外輪廓設計成如圖2所示的圖形．它是由線段，線段，曲線，曲線圍成的封閉圖形，且，在x軸上，曲線與曲線關于y軸對稱．已知曲線是以C為頂點的拋物線的一部分，其函數(shù)解析式為：（p為常數(shù)，）．(1)當時，求曲線的函數(shù)解析式．(2)如圖3，用三段塑料管，，圍成一個一邊靠岸的矩形荷花種植區(qū)，E，F(xiàn)分別在曲線，曲線上，G，H在x軸上．記米時所需的塑料管總長度為，米時所需的塑料管總長度為．若，求p的取值范圍．當與的差為多少時，三段塑料管總長度最大？請你求出三段塑料管總長度的最大值．【答案】(1)(2)；當與的差為時，三段塑料管總長度最大，最大值為【分析】本題考查了二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．（1）先求出點C的坐標，根據(jù)對稱性求出點A的坐標，即可求出拋物線的解析式；（2）設，，根據(jù)，得出關于p的不等式解得即可；設，三段塑料管總長度為L，根據(jù)題意得出化簡即可得出答案．【詳解】（1）解：當時，C坐標為，由對稱得點A坐標為，拋物線的解析式為：；（2）解：根據(jù)題意，設，

，

，，

即：，化簡得：，

，；解：設，三段塑料管總長度為L，根據(jù)題意可得：，，化簡得：，當時，L有最大值110，

當與的差為時，三段塑料管總長度最大，最大值為．題型04二次函數(shù)的應用-拱橋類一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)將已知條件轉化為點的坐標；(3)合理地設出所求函數(shù)關系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關系式；(5)利用關系式求解問題．1．（2023·浙江金華·一模）如圖1，某公園有一個圓形噴水池，噴水池中心有一個垂直于地面自動升降的噴頭，噴出的水柱形狀呈拋物線．如圖2，以噴水池中心O為原點，水平方向為x軸，1米為1個單位長度建立平面直角坐標系，噴頭A的坐標為．設拋物線的函數(shù)表達式中二次項系數(shù)為a．(1)當水柱都滿足水平距離為4米時，達到最大高度為6米．①若時，求第一象限內水柱的函數(shù)表達式．②用含t的代數(shù)式表示a．(2)為了美化公園，對公園及噴水設備進行升級改造，a與t之間滿足，且當水平距離為6米時，水柱達到最大高度．①求改造后水柱達到的最大高度．②若水池的直徑為25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)①水柱達到的最大高度8米；②【分析】（1）①設第一象限內水柱的函數(shù)表達式為，當時，把代入函數(shù)表達式即可得解，②把代入即可得解；（2）①設第一象限內水柱的函數(shù)表達式為，利用得出a與t的關系，將代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可確定a的取值范圍，再利用等量代即可得出t的取值范圍．．【詳解】（1）①設第一象限內水柱的函數(shù)表達式為．當時，把代入函數(shù)表達式，得．第一象限內水柱的函數(shù)表達式為．②把代入，得得（2）①設第一象限內水柱的函數(shù)表達式為．．把代入，得，．水柱達到的最大高度8米．②把代入，得．要使水柱不能落在水池外，則a的取值范圍為．，，解得．．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用以及二次函數(shù)的性質，理解題意，利用數(shù)形結合思想解題是關鍵．2．（2022·浙江金華·二模）跳繩是一項很好的健身活動，如圖是小明跳繩運動時的示意圖，建立平面直角坐標系如圖所示，甩繩近似拋物線形狀，腳底、相距20cm，頭頂離地175cm，相距60cm的雙手、離地均為80cm．點、、、、在同一平面內，腳離地面的高度忽略不計．小明調節(jié)繩子，使跳動時繩子剛好經過腳底、兩點，且甩繩形狀始終保持不變．(1)求經過腳底、時繩子所在拋物線的解析式．(2)判斷小明此次跳繩能否成功，并說明理由．【答案】(1)(2)不成功，理由見解析【分析】（1）建立如圖所示的坐標系：結合題意可得：由雙手、離地均為80cm，可得C點坐標為：再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；（2）由可得跳繩不過頭頂，從而可得答案．【詳解】（1）解：建立如圖所示的坐標系：結合題意可得：雙手、離地均為80cm．C點坐標為：設拋物線為：解得：所以拋物線為（2）解：∵y=0.1x2－90，∴頂點為（0，－90）.即跳繩頂點到手的距離是90cm，跳繩不過頭頂，小明此次跳繩能不成功．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應用，理解題意，建立合適的坐標系是解本題的關鍵．3．（2024·浙江寧波·一模）根據(jù)下列素材，探索完成任務．如何設計跳繩的方案素材1參加跳長繩比賽時，各隊跳繩6人，搖繩2人，共計8人，他們在同一平面內站成一路縱隊．圖2是長繩甩到最高處時的示意圖，可以近似的看作一條拋物線．搖繩的兩名隊員水平間距為5米，他們的手到地面的高度米，繩子最高點距離地面2米．

素材2某隊的6名跳繩隊員中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人為米高，兩人都為米，為保證安全，跳繩隊員之間的距離至少米．問題解決任務1確定長繩在最高點時的形狀在圖2中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求拋物線的函數(shù)表達式．任務2探究站隊的方式若將最高的男生站在搖繩隊員的中點，長繩能否順利甩過所有隊員的頭頂？任務3設計位置方案為了更順利的完成跳繩，現(xiàn)按中間高兩邊低的方式站隊，請在你所建立的坐標系中，求出左邊第一位隊員橫坐標的取值范圍．【答案】任務一：；任務二：繩子