高考沖刺《數(shù)學(xué)》考前中檔保分專題沖刺練習(xí)（6+2+2+3）（17-18）教師版

第頁高考考前最后沖刺系列中檔保分（6+2+2+3）（本練習(xí)主要以模考題中的基礎(chǔ)中檔題為主，旨在為學(xué)生高考考前鞏固基礎(chǔ)，查缺補漏）（十七）一、單選題1、（2024·福建漳州·三模）已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)乘除法以及復(fù)數(shù)模的運算公式即可求解.【詳解】，所以故選：B2、（2024·山西臨汾·三模）已知等差數(shù)列的首項為2，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的前6項和為（

）A． B． C．3 D．8【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，列出關(guān)于公差的方程，求出即可求出的前6項和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，而，解得，所以的前6項和為.故選：B3、（2024·山東威?！ざ＃┮阎獟佄锞€C：的焦點為F，斜率為的直線過點F，且與C在第一象限的交點為A，若，則p=（

）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【分析】過點A作x軸的垂線，垂足為H，利用斜率求出點A的坐標(biāo)，然后代入拋物線方程即可得解.【詳解】過點A作x軸的垂線，垂足為H，因為直線AF的斜率為，所以，則，所以，點A坐標(biāo)為，代入得，整理得，解得或（舍去）.故選：B

4、（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，根據(jù)選項代特值檢驗即可.【詳解】設(shè)題設(shè)函數(shù)為，由選項可知：ABCD中的函數(shù)定義域均為，對于選項D：若，但此時，矛盾，故可排除D；對于選項C：若，但此時，矛盾，故可排除C；對于選項B：若，但此時，矛盾，故可排除B.故選：A.5、（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知雙曲線的方程為，則不因m的變化而變化的是（

）A．頂點坐標(biāo) B．漸近線方程 C．焦距 D．離心率【答案】B【分析】根據(jù)題意，分與討論，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程代入計算，即可判斷.【詳解】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式可得，當(dāng)時，雙曲線表示焦點在軸的雙曲線，且，此時頂點坐標(biāo)為，漸近線方程為，焦距，離心率；當(dāng)時，雙曲線表示焦點在軸的雙曲線，且，此時頂點坐標(biāo)為，漸近線方程為，焦距，離心率；綜上可得，不因m的變化而變化的是漸近線方程.故選：B6、（2024·江西·二模）已知正方體的棱長為4，點滿足，若在正方形內(nèi)有一動點滿足平面，則動點的軌跡長為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】C【分析】在棱上分別取點，使得，，連接，證明平面平面即可得點的軌跡為線段，再計算長度即可.【詳解】如圖，在棱上分別取點，使得，，連接，因為，，所以，，因為平面，平面，所以平面，因為，所以，又，正方體的棱長為4，所以，，，在棱上取點,使得，則且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又且，則四邊形是平行四邊形，所以，所以，因為，所以，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以，平面，因為，平面，所以平面平面，因為平面平面，所以，在正方形內(nèi)有一動點滿足平面時，點的軌跡為線段，因為，所以，動點的軌跡長為.故選：C.二、多選題7、（2024·遼寧丹東·一模）已知甲乙兩人進行射擊訓(xùn)練，兩人各試射次，具體命中環(huán)數(shù)如下表（最高環(huán)數(shù)為環(huán)），從甲試射命中的環(huán)數(shù)中任取個，設(shè)事件表示“至多個超過平均環(huán)數(shù)”，事件表示“恰有個超過平均環(huán)數(shù)”，則下列說法正確的是（

）人員甲乙命中環(huán)數(shù)A．甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)小于乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)B．甲試射命中環(huán)數(shù)的方差大于乙試射命中環(huán)數(shù)的方差C．乙試射命中環(huán)數(shù)的的分位數(shù)是D．事件，互為對立事件【答案】BCD【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式直接求解判斷選項AB，利用分位數(shù)的定義判斷選項C，結(jié)合對立事件分析兩事件的意義即可直接判斷選項D.【詳解】對于A，甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，故A錯誤；對于B，甲試射命中環(huán)數(shù)相比乙試射命中環(huán)數(shù)，更為分散，則甲對應(yīng)的方差更大，故B正確；對于C，乙試射命中環(huán)數(shù)排序為，因為，所以分位數(shù)為，故C正確；對于D，因為甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，且甲試射命中的環(huán)數(shù)中有兩個超過平均數(shù)的，則任取個的情況為：“沒有個超過平均環(huán)數(shù)”、“有個超過平均環(huán)數(shù)”和“有個超過平均環(huán)數(shù)”，而事件表示“沒有個超過平均環(huán)數(shù)”或“有個超過平均環(huán)數(shù)”，事件事件表示“恰有個超過平均環(huán)數(shù)”，所以事件，互為對立事件，D正確.故選：BCD8、（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，又，，且直線，的斜率之積為，則（

）A．B．C．的離心率為D．若上的點滿足，則【答案】BCD【分析】由斜率之積為-1可得B正確；由B和橢圓的性質(zhì)可得A錯誤；由關(guān)系可得C正確；由橢圓的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式可得D正確.【詳解】B選項：因為，即，故，故B正確；A選項：由得，，為等比數(shù)列，若A成立，則為等差數(shù)列，即，，為常數(shù)列，顯然不成立，故A錯誤；C選項：因為，，所以.方程兩邊同除以得，，解得，負(fù)值舍去，故離心率為，故C正確；D選項：由橢圓定義得，，兩邊平方得，因為，由余弦定理可得，兩式相減得，所以，，又，且，所以，所以，故D正確.故選：BCD.

三、填空題9、（2024·福建漳州·三模）寫出過點且與拋物線有唯一公共點的一條直線方程.【答案】（寫對一個方程即可）【詳解】如圖，當(dāng)直線斜率為0時，與拋物線有唯一公共點，此時方程為；當(dāng)斜率不為0時，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去，整理得：，因為直線與拋物線有唯一公共點，所以，解得或，所以為或，即或.綜上，過點且與拋物線有唯一公共點的直線方程為：或或.故答案為：（或或）.

10、（2024·山東威?！ざ＃┰谥?，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則=．【答案】【分析】在中，由余弦定理可得，結(jié)合已知求得，再由正弦定理可求得.【詳解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，因為，所以，所以解得，由，可得，在中，由正弦定理可得，所以.故答案為：.四、解答題11、（2024·江西·二模）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，為下底面圓周上異于、的點．

(1)點為線段的中點，證明：直線平面；(2)若四棱錐的體積為3，求直線與平面夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)題意證明四邊形為平行四邊形，得到，利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可．【詳解】（1）取中點，連接，則有，，如圖：

在等腰梯形中，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線平面．（2）過點作于，在等腰梯形中，，所以梯形的高，所以等腰梯形面積為，所以四棱錐的體積，解得，在中，由射影定理得或，當(dāng)時，以為坐標(biāo)原點，以過點平行與的方向，所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

則有，故，，設(shè)平面的法向量，故，令，得，設(shè)直線與平面夾角的大小為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為；當(dāng)時，以為坐標(biāo)原點，以過點平行與的方向，所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

則有，故，，設(shè)平面的法向量，故，令，得，設(shè)直線與平面夾角的大小為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為，綜上所述，直線與平面夾角的正弦值為或．12、（2024·江西·二模）若數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)，使得對一切都成立，則稱數(shù)列為級等差數(shù)列．(1)若數(shù)列為2級等差數(shù)列，且前四項分別為，，，，求數(shù)列的前項和；(2)若，且是3級等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題得，分別求出，得出奇數(shù)項是常數(shù)列，偶數(shù)項是首項為0，公差為4的等差數(shù)列，根據(jù)分組求和計算即可；（2）根據(jù)定義得，再由兩角和與差的正弦公式化簡，求得，再利用分組求和及等差數(shù)列前項和公式計算即可．【詳解】（1）因為數(shù)列為2級等差數(shù)列，所以，對一切都成立，因為，，若為奇數(shù)，由可知奇數(shù)項是常數(shù)列；若為偶數(shù)，由可知偶數(shù)項是首項為0，公差為4的等差數(shù)列；所以．（2）因為是3級等差數(shù)列，所以，對一切都成立，所以，，所以或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，又因為，所以，此時由于，所以，所以．13、（2024·江西·二模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)設(shè)函數(shù)有兩個極值點，且，若恒成立，求最小值．【答案】(1)極大值；極小值(2)【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得極值.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合已知條件得方程有兩個相異的正根，利用為韋達(dá)定理求得，再結(jié)合，求出范圍，進而確定的范圍，由，得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，有，令，即，解得或，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以時，取得極大值，極大值為，時，取得極小值，極小值為.（2）因為，所以由已知函數(shù)有兩個極值點，所以方程有兩個相異的正根所以，即或，又，所以，，所以；所以對稱軸為，二次函數(shù)與軸交點為、，且，所以在對稱軸的右側(cè)，則有，因為，即，所以，其中，令，則，令，解得均不在定義域內(nèi)，所以時，，在上單調(diào)遞減，，所以，即最小值為.（十八）一、單選題1、（2024·江西·二模）若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的右焦點，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出拋物線的準(zhǔn)線方程列式運算求得的值.【詳解】雙曲線的右焦點為，所以拋物線的準(zhǔn)線為，，解得.故選：D.2、（2024·山東威?！ざ＃┰谘芯考蠒r，用來表示有限集合A中元素的個數(shù)．集合，，若，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，確定，從而求出的值.【詳解】由題：所以，故選：A.3、（2024·江西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，可得關(guān)于對稱，進一步求得，結(jié)合條件求得，可求得.【詳解】由，可知關(guān)于對稱，又，則，又，則，，.故選：A.4、（2024·江西·二模）已知，求（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由誘導(dǎo)公式將條件式化簡為，再利用兩角和與差公式化簡運算得解.【詳解】根據(jù)題意，，由誘導(dǎo)公式，可得，所以，則.故選：D.5、（2024·湖北·模擬預(yù)測）在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理可得，分析可知關(guān)于A的方程：在有兩解，結(jié)合正弦函數(shù)圖象分析求解.【詳解】由正弦定理可得，由題意可知：關(guān)于A的方程：在有兩解，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線，和水平直線，

因為它們有兩個不同的交點，所以，所以.故選：C.6、（2024·福建漳州·三模）已知數(shù)列是公比不為1的正項等比數(shù)列，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)判斷充分性，根據(jù)通項公式化簡可判斷必要性.【詳解】由下標(biāo)和性質(zhì)可知，若，則；記數(shù)列是公比為，若，則，即，因為數(shù)列是公比不為1的正項等比數(shù)列，所以，得.綜上，則是成立的充要條件.故選：A二、多選題7、（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知集合，，集合滿足，則（

）A．， B．集合可以為C．集合的個數(shù)為7 D．集合的個數(shù)為8【答案】AC【分析】根據(jù)題意可確定C的元素情況，由此一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】由題意得，，又.所以，，故A正確；當(dāng)時，不滿足，B錯誤，集合的個數(shù)等價于集合的非空子集的個數(shù)，所以集合的個數(shù)為，故C正確，D錯誤，故選：AC.8、（2024·廣東深圳·一模）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)動圓C與圓A和直線l都相切，分圓C與圓A相外切和圓C與圓A相內(nèi)切，分別取到A的距離為d+1，d-1，且平行于l的直線，，利用拋物線的定義求解.【詳解】解：動圓C與圓A和直線l都相切，當(dāng)圓C與圓A相外切時，取到A的距離為d+1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線；當(dāng)圓C與圓A相內(nèi)切時，取到A的距離為d-1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線；所以，當(dāng)時，拋物線不完整，所以，，，，故選：ABD三、填空題9、（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)，設(shè)為的最小正周期，若，則.【答案】/【分析】由，代入函數(shù)解析式中，結(jié)合，可得的值.【詳解】函數(shù)，最小正周期，由于，，又，可得.故答案為：.10、（2024·重慶·模擬預(yù)測）重慶位于中國西南部、長江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現(xiàn)用4種顏色標(biāo)注6個省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有種涂色方式．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，利用窮舉法，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，用4種顏色標(biāo)注6個省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，共有：{“四川和湖南”且“貴州和湖北”}、{“四川和湖南”且“貴州和陜西”}、{“四川和湖北”且“貴州和陜西”、{“四川和湖北”且“湖南和陜西”、{“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5種情況，所以不同的涂色共有種.故答案為：.四、解答題11、（2024·山東威?！ざ＃┦袌龉?yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為90%，乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為65%．現(xiàn)有某質(zhì)檢部門對該商品進行質(zhì)量檢測．(1)若質(zhì)檢部門在該市場中隨機抽取1件該商品進行檢測，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率；(2)若質(zhì)檢部門在該市場中隨機抽取4件該商品進行檢測，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達(dá)到優(yōu)秀等級的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)的分布列見解析，【分析】（1）記該事件為事件，利用，求解即可；（2）由（1）可知，根據(jù)二項分布的概率公式可求分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記質(zhì)檢部門在該市場中隨機抽取1件該商品進行檢測，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級為事件，則，（2）由（1）可知每件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率均為，故，，所