2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題演練之三角形四 (解析)

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)真題演練

三角形（4）

一、選擇題

1.（2023?荊州）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（AC）,點(diǎn)0是這段弧所在

圓的圓心，B為此1上一點(diǎn)，OBLAC于D.若AC=300V^n,BD=150m,則Af的長為

A.300mliB.2007mC.150mnD.100V37rm

【答案】B

【解析】【解答】解：:OBLAC,AC=300V3,

.*.AD=-AC=150V3.

設(shè)OB=r,則0D=r-150.

,.,OD2+AD2=OA2,

A(r-150.)2+(150V3)=r2,

解得r=300,

.,.sinZA0D=—=竺％=氾

AO3002

Z.ZA0D=60°,

，ZAOC=2ZAOB=120

1207TX300

品1的長為=200Ji.

180

故答案為：B.

__1

【分析】由垂徑定理可得AD=5AC=150g,設(shè)OB=r,則0D=rT50,在Rt^AOD

中，利用勾股定理可得r的值，然后求出sinNAOD的值，得到NA0D的度數(shù)，進(jìn)

1

而求出NAOC的度數(shù)，然后由弧長公式進(jìn)行計(jì)算.

2.（2023?聊城）如圖，該幾何體是由一個(gè)大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部

分.若該幾何體上、下兩個(gè)圓的半徑分別為1和2,原大圓錐高的剩余部分。。1為

企,則其側(cè)面展開圖的面積為（）

2V37TC.3V37TD.4V3TT

【答案】C

【解析】【解答】解:

由題意得OiB=l,C0=2,AAOC^AAOiB,

.OrA_BOr

9*OA-CO9

OrA—。。1=V2?

由勾股定理得4B=CB=W，

...其側(cè)面展開圖的面積為27TX2V^-7TX舊=3遮7T,

故答案為：C

【分析】先根據(jù)題意結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)即可得到。14==VL進(jìn)

2

而根據(jù)勾股定理得到4B=CB=W，再運(yùn)用扇形的面積即可求解。

3.（2023?濱州）已知點(diǎn)尸是等邊△4BC的邊BC上的一點(diǎn)，若/4PC=104。，則

在以線段ZP,BP,CP為邊的三角形中，最小內(nèi)角的大小為（）

A.14°B.16°C.24°D.26°

【答案】B

【解析】【解答】解：將4PBA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到4QCA,如圖所示：

.?.ZQAP=60°,PB=QC,QA=PA,ZBPA=ZCQA,

.,.△QPA為等邊三角形，

.\PA=PQ,

???最小銳角為NCQP,

,/NAPC=104°,

：.ZBPA=76°,

.?.ZCQA=ZBPA=76°,

.,.ZCQP=16°,

故答案為：B

【分析】將APBA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△QCA,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到/

QAP=60°,PB=QC,QA=PA,NBPA=NCQA,進(jìn)而得到AQPA為等邊三角形，再根據(jù)

等邊三角形的性質(zhì)即可得到PA=PQ,從而得到最小銳角為NCQP,再結(jié)合題意即可

求解。

4.（2023?濱州）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為1cm的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)

3

等圓。。1，。。2，。。3相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和

12八122

C.一71cm乙D.71cm

32

【答案】c

【解析】【解答】解：由題意得圖中三部分陰影面積相等,

連接AOi,AO2,O1O2,如圖所示:

由題意得△AOQ為等邊三角形,

.,.NO201A=60°,且弓形AOi,A02,0@的面積相等,

'S陰影A0I02=S扇形人。1。2=:7rczn2'

???圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為稱ncm2-,

故答案為：C

【分析】先根據(jù)圓的對稱性即可得到圖中三部分陰影面積相等，連接AO1，AO2,

0A,進(jìn)而得到△AO。為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到N

020^=60°,且弓形AO1，A02,OQ2的面積相等，然后運(yùn)用扇形的面積公式結(jié)合題意

即可求解。

5.（2023?綏化）如圖，在菱形4BCD中，4=60。，AB=4,動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)

4

從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長度沿折線A-B-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N以每秒1

個(gè)單位長度沿線段4。向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止

運(yùn)動(dòng)?設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，AAMN的面積為y個(gè)平方單位，則下列正確表示y與x

函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

4

A」二

4x

7號-

1

c，］

4%

【答案】A

【解析】【解答】解：連接BD,過B作BE_LAD于點(diǎn)E,當(dāng)0<t<4時(shí)，點(diǎn)M在AB

上，

AB*___/__________C

ANED

?.?菱形ABCD中,ZA=60°,AB=4,

.\AB=AD,

/.△ABD為等邊三角形，

5

-1

.?.AE=DE=^AD=2,BE=V3AE=2V3.

VAM=2x,AN=x,

.AMAB

..—=——=2o.

ANAE

,/ZA=ZA,

Z.AAMN^AABN,

Z.ZANM=ZAEB=90°,

：.MN=VXM2-AN2=y/3x,

/.y=-xXV3x=—x2.

22

當(dāng)4Wt〈8時(shí)，點(diǎn)M在BC上，

y=-AN,BE=-x,2A/3=V3X.

故答案為：A.

【分析】連接BD,過B作BELAD于點(diǎn)E,當(dāng)0〈t〈4時(shí)，點(diǎn)M在AB上，由菱形的

_1

性質(zhì)可得AB=AD,則4ABD為等邊三角形，AE=DE=-AD=2,BE=V3AE=2V3,根據(jù)對應(yīng)

邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似可得△AMNS^ABN,由相似三角形的性質(zhì)

可得NANM=NAEB=90°,利用勾股定理表示出MN,然后根據(jù)三角形的面積公式可

得y與x的關(guān)系式；當(dāng)4Wt〈8時(shí)，點(diǎn)M在BC上，根據(jù)三角形的面積公式可得y

與x的關(guān)系式，據(jù)此判斷.

6.（2023?綏化）如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，連接ZE,過點(diǎn)

B作于點(diǎn)F,連接BD交4E于點(diǎn)G,FH平分/BFG交BD于點(diǎn)H.則下列結(jié)論

中，正確的個(gè)數(shù)為（）

6

①AB2=BF-AE②SABGF：S^AF=2：3③當(dāng)ZB=a時(shí)，BD2-BD-HD=a2

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【解析】【解答】解：二?四邊形ABCD為正方形,

Z.ZBAD=ZADE=90°，AB=AD.

VBF±AE,

ZABF=90°-ZBAF=ZDAE,

/.cosZABF=cosZEAD,

.BF_AD

**AB~AE'

VAB=AD,

.-.AB2=BF?AE,故①正確;

設(shè)正方形的邊長為a,

為CD的中點(diǎn),

1

ADE=-a,

2

1

/.tanZABF=tanZEAD=-.

2

,/AB=V^F2+BF2=V5AF=a，

*爭

,/AE=VXZ)2+DE2=—a，

2

EF=AE-AFqa-&二嗎.

2510

7

VAB//DE,

.,.△GAB^AGED,

?.?一AG=—AB=2，

AEDE

.*.GE=-AE=^a,

36

Z.FG=AE-AF-GE=叱a-&*a=*a,

25615

V5

.AF__Ya-3

,'FG=港G

15

=

SABGF：SAABF2：3,故②正確；

過H分別作BF、AE的垂線，垂足分別為M、N,則四邊形FMHN為矩形.

：FH為NBFG的平分線，

二?四邊形FMHN為正方形，

.?.FN=HM=HN,

，BF=2AF=^a,FG=嗎，

515

.MH_FG_1

99BM~BF~3"

設(shè)MH=b,貝！JBF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b,BH=VBM2+M/f2=V10b.

?；BF二嗎，

5

.-.^a=4b,

5

8

.?.BH=V10X^a=^a,

102

Z.BD-BD?HD=2a2-V2aX^a=a1,故④正確.

2

故答案為：D.

【分析】由正方形的性質(zhì)可得NBAD=NADE=90°,AB=AD,根據(jù)同角的余角相等

可得NABF=NDAE,結(jié)合三角函數(shù)的概念以及AB=AD即可判斷①；設(shè)正方形的邊長

為a,貝DE」a,tanZABF=tanZEAD=-,由勾股定理可得AB=V^AF=a,貝AF=^a,

225

然后表示出AE、EF,根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與

原三角形相似可得△GABs^GED,由相似三角形的性質(zhì)可得GE[AE=叱a,然后表

示出FG,得到號的值，利用三角形的面積公式即可判斷②；過H分別作BF、AE的

FG

垂線，垂足分別為瓜N,則四邊形FMHN為正方形，F(xiàn)N=HM=HN,普=答=上設(shè)

BMBF3

MH=b,則BF=4b,BH=V10b,據(jù)此不難求出b與a的關(guān)系，然后表示出BH,據(jù)此判

斷④.

7.（2023?聊城）如圖，已知等腰直角△ABC,ZACB=90°,AB=?，點(diǎn)C

是矩形ECGF與△ABC的公共頂點(diǎn)，且CE=1,CG=3；點(diǎn)D是C8延長線上一點(diǎn)，

且CD=2.連接BG,DF,在矩形ECGR繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，

當(dāng)線段BG達(dá)到最長和最短時(shí)，線段。尸對應(yīng)的長度分別為m和n,則;的值為

C.V10D.V13

【答案】D

9

【解析】【解答】解：

?「△ABC為等腰直角三角形，AB=V2,

.*.CB=CA=1,

當(dāng)BG達(dá)到最短時(shí)，點(diǎn)G在點(diǎn)C上方，B,G,C共線，如圖所示:

.*.GB=2,GD=1,

由勾股定理得DF=Vl+1=V2>

**.n=V2,

當(dāng)BG達(dá)到最長時(shí)，點(diǎn)G位于點(diǎn)C的下方，B,G,C共線，如圖所示:

.*.GB=4,GD=5,

由勾股定理得DF=V52+1=岳,

m=V26，

n

10

故答案為：D

【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到CB=CA=1,進(jìn)而分類討

論：當(dāng)BG達(dá)到最短時(shí)，點(diǎn)G在點(diǎn)C上方，B,G,C共線；當(dāng)BG達(dá)到最長時(shí)，點(diǎn)G

位于點(diǎn)C的下方，B,G,C共線；再結(jié)合題意運(yùn)用勾股定理求出m和n即可求解。

二、填空題

8.（2023?吉林）如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理

是.

【答案】三角形具有穩(wěn)定性

【解析】【解答】解：由題意得鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理

是三角形具有穩(wěn)定性，

故答案為：三角形具有穩(wěn)定性

【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角形的穩(wěn)定性即可求解。

9.（2023?吉林）如圖，在△ABC中，AB=AC,分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于

?BC的長為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)D,作直線4D交于點(diǎn)E.若=110°,

則ZBAE的大小為度.

【答案】55

11

【解析】【解答】解：由題意得AD為NBAC的角平分線,

/.ZBAE=55°,

故答案為：55

【分析】根據(jù)題意即可得到AD為NBAC的角平分線，進(jìn)而根據(jù)角平分線的性質(zhì)即

可求解。

10.（2023?吉林）如圖，在RtzXABC中，NC=90。，點(diǎn)D,E分別

在邊4B,BC上，連接DE,將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'.若點(diǎn)B'剛

好落在邊4C上，ZCB'E=30。，CE=3,則BC的長為.

【解析】【解答】解：二?將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'.若點(diǎn)B'剛好

落在邊ZC上，/CB'E=30。，CE=3,

.,.BE=B,E=2CE=6,

，BC=6+3=9,

故答案為：9

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求出BE的長，進(jìn)

而即可求解。

11.（2023?包頭）如圖，在RtAABC中，^ACB=90°,AC=3,BC=1，將4

ABC繞點(diǎn)4逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到△AB'C'.連接'，交AC于點(diǎn)D,則黑的

值為.

12

【答案】5

【解析】【解答】解：如圖，作DELAB于點(diǎn)E,

VZACB=90°,AC=3,BC=L

?".AB=y/AC2+BC2=V10,

?「△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,

：.ABz=AB=V10,NBAB'=90°,

ZABB)=45°,

VDE±AB,ZDEB=45°,

/.ADFB是等腰直角三角形，

.'.DE二BE,

VZEAD=ZCAB,ZDEA=ZBCA=90°,

，AADE^AABC,

?.?DE_—BC_——1，

AEAC3

.*.AE=3DE=3BE,

.?.AB=4DE,

：.DE=—,

4

?人口3V10

??AE=-----，

4

：.AD=VXE2+DE2=

2

13

1

：.DC=AC-AD=-,

2

...—AD=5_.

DC

故答案為：5.

【分析】作DELAB于點(diǎn)E,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出ADEB是等腰直角三角形，再證

明△ADES/^ABC,進(jìn)而得出AE=3DE,AB=4DE,求出DE的長，結(jié)合勾股定理得出

AD,從而得到"=5.

12.（2023?深圳）如圖，/^△。48與a4。8。位于平面直角坐標(biāo)系中，NAOB=

ZBOC=30°,BA1OA,CB1OB,若4B=B，反比例函數(shù)y=g（k。0）恰好

經(jīng)過點(diǎn)C,則k=.

【答案】4V3

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD_1于x軸于點(diǎn)D,

在RtZkAOB中，ZA0B=30o,AB=V3,

Z.0B=2AB=2V3,

在RtZkOBC中，VZB0C=30o,0B=2A/3,

.?.cosZB0C=cos30°二”=2=比，

OCOC2

???004,

VZC0D=90°-ZA0B-ZB0C=30°,

14

又在RtZkOCD中，ZCD0=90°,

1

.,.CD=-OC=2,0D=V3CD=2V3,

AC（2^3,2）,

/.k=2X2V3=4V3.

故答案為：4-\/3.

【分析】在RtZ^AOB中，由含30°角直角三角形的性質(zhì)得0B=2AB=2舊，在RtA

OBC中，由NB0C的余弦函數(shù)可求出0C=4,在RtZkOCD中，由含30°角直角三角

形的性質(zhì)得CD=OC=2,0D=V3CD=2V3,從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)反比例函

數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的乘積都等于k即可得出答案.

13.（2023?陜西）如圖，正八邊形的邊長為2,對角線48、CD相交于點(diǎn)￡則線段

BE的長為.

【答案】2+V2

【解析】【解答】解：連接GH,

???正八邊形的邊長為2,

:.AC=CH=HB=2,AB||CH,CD||HG,AB1CD,NEAC=/ECA,

???四邊形CEF"是平行四邊形，^AEC=/CEF=90°,

：,EF=CH=2,ZEAC=ZECA=45°,

15

AE=^AC=也

同理可得=42,

BE=EF+BF=2+42,

故答案為：2+四.

【分析】本題考查的是正八邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)，利用線

段之間的數(shù)量關(guān)系求出BE的長.

14.（2023?深圳）如圖，在△48C中，AB=AC,tcmB=4-，點(diǎn)D為上一動(dòng)

點(diǎn)，連接4D,將△4BD沿4D翻折得至IhADE,DE交ZC于點(diǎn)G,GE<DG,且

C

三角松GE

AG：CG=3：1,-------

、三角形ADG

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AMLDE于點(diǎn)M,

由折疊可得AE=AB,又AB=AC,

.*.AB=AC=AE,

設(shè)AB=AC=AE=20,

VAG:CG=3：1,

/.AG=15,CG=5,

由折疊知：ZE=ZB,

16

?+D+I?/M3

..tanB=tanE=—=

EM4

設(shè)AM=3x,EM=4x,

在RtAAME中，由勾股定理得AM2+ME2=AE2,

即(3x)2+(4x)2=202,

解得x=4,

.\AM=12,EM=16,

在RtAAMG中，由勾股定理得AM2+MG2=AG2,

即122+MG2=152,

解得MG=9,

.*.GE=ME-MG=7,

VAB=AC,

ZB=ZC,

又NB=NE,

：.ZC=ZE,

又NAGE=NDGC,

AAEG^ADCG,

.AGGE157

??一=—,即Rn一=

DGCGDG5

75

：.DG=

7'

1

-EG-AMGE749

2----------—

75

S?ADG-DG-AMDG75

27

故答案為：?

【分析】過點(diǎn)A作AM,DE于點(diǎn)M,易得AB=AC=AE,設(shè)AB=AC=AE=20,則AG=15,

CG=5,由折疊性質(zhì)及等角的同名三角函數(shù)值相等得tanB=tanE=翳=[,設(shè)

AM=3x,EM=4x,在RtZkAME中，由勾股定理建立方程可求出x的值，從而得到

17

AM、EM的長，在RtZkAMG中，由勾股定理可算出MG的長，由有兩組角對應(yīng)相等的

兩個(gè)三角形相似得△AEGs/\DCG,由相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程可求出DG

的長，最后根據(jù)同高三角形的面積之比等于底之比即可求出答案.

15.（2023?綏化）如圖，。。的半徑為2cm,48為。。的弦，點(diǎn)C為河上的一

點(diǎn)，將”沿弦翻折，使點(diǎn)C與圓心0重合，則陰影部分的面積

為_______________.（結(jié)果保留口與根號）

【答案】《兀―四）。租2

【解析】【解答】解：連接OA、OC,OC交AB于點(diǎn)M,

由折疊可得OA=AC,AB±OC,

.*.OA=OC=AC=2cm,

.?.OM=CM=-OC=lcm,ZA0C=60°.

VZAMO=90°，

/.AM=VOX2-OM2=V3cm,

故答案為：（;-V3）cm2.

18

【分析】連接OA、OC,0C交AB于點(diǎn)M,由折疊可得OA=AC,AB±OC,則△AOC為

等邊三角形，0A=0C=AC=2cm,OM=CMg1OC=lcm,ZA0C=60°,由勾股定理可得AM的

值，然后根據(jù)S陰影二S扇形AOC—S/\AOC進(jìn)行計(jì)算.

16.（2023?綏化）已知等腰△4BC,4=120。，4B=2.現(xiàn)將△以點(diǎn)B為

旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)45°,得到延長C，4/交直線BC于點(diǎn)D.則4/￡＞的長

度為.

【答案】4+28或4-2V3

【解析】【解答】解：①當(dāng)^ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到AA，BC，，過B作

BE±AZD于點(diǎn)E,作BD的垂直平分線HF交DB于點(diǎn)H,交A'D于點(diǎn)F,連接BF,

:△ABC為等腰三角形，ZA=120°,AB=2,

.'.NBA'C=ZA=120°,A'B=AB=2,ZABC=30°,

ZDAZB=60°.

由旋轉(zhuǎn)可得NA，BA=45°,

.'.NA'BC=NA'BA+ZABC=75°.

?「NA'BC=NDA'B+ZD,

.*.60°+ZD=75°,

.,.ZD=15°.

VZDAZB=60°,A'B=2,

.'.NA'BE=30°,

1

1?A'E=-AB=L

2

19

，BE=A'B2-A7E2=V3.

：HF為BD的垂直平分線，

，DF=BF,

Z.ZD=ZFBD=15°,

Z.ZEFB=ZD+ZFBD=30°,

.,.BF==2BE=2V3,

.,.DF=BF=2V3,

.?.EF=VBF2-BE2=3,

二.A'D=AE+EF+DF=4+2V3.

②當(dāng)AABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到AA，BC‘，過D作DMLA，D于點(diǎn)。作AD

的垂直平分線PQ交A，B于點(diǎn)Q,

由旋轉(zhuǎn)可得NABA'=45°,NBA'Cz=ZA=120°,A'B=AB=2,

.'.NA'BD=NABA'-ZABC=15°,NBA'D=60°.

?.?DM±AZD,

.'.NA'DM=30°.

設(shè)NA'M=x,貝"A'D=2A'M=2x,DM=V3x.

：PQ為BD的垂直平分線，

；.BQ=DQ,

20

.'.NA'BD=ZQDB=15°,

.?.ZDQM=ZAZBD+ZQDB=30°,

.,.DQ=BQ=2DM=2V3X,

.?.QM力Q￡>2_￡）M2=3X.

YA'M+QM+BQ二A'B,

x+3x+2gx=2,

x=2-V^,

：.N'D=2X=4-2V3.

綜上可得：AzD=4+2g或4-2班.

故答案為：4+2g或4-2班.

【分析】①當(dāng)^ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到AA，BC',過B作BE_LA，D于

點(diǎn)E,作BD的垂直平分線HF交DB于點(diǎn)H,交A'D于點(diǎn)F,連接BF,由旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)可得NBA'C-ZA=120°,A'B=AB=2,NA'BA=45°,則NA'BC二NA'BA+

ZABC=75°,然后求出ND的度數(shù)，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得A'

E,由勾股定理求出BE,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得ND=NFBD=15°,則NEFB=N

D+NFBD=30°,BF==2BE=2g,由勾股定理求出EF,然后根據(jù)A，D=AE+EF+DF進(jìn)

行計(jì)算；②當(dāng)AABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到AA，BC',過D作DMJ_A，D于

點(diǎn)。作AD的垂直平分線PQ交A'B于點(diǎn)Q,由旋轉(zhuǎn)可得NABA'=45°,NBA'C'

=ZA=120°,A'B=AB=2,設(shè)NA'M=x,貝ljA'D=2A'M=2x,DM=V3x,

DQ=BQ=2DM=2V3X,QM=3X,根據(jù)A'M+QM+BQ=A'B可得x的值，進(jìn)而可得A'D.

17.（2023?綏化）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高8。上的動(dòng)

點(diǎn).連接CE,將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF.連接4F,EF,DF,則△CDF周

長的最小值是.

21

A

【解析】【解答】解：?:△ABC為等邊三角形，

.?.AC=BC=6,NABC=NBCA=60°.

VZECF=60°,

ZBCE=ZACF.

VCE=CF,

Z.ABCE^AACF(SAS),

ZCAF=ZCBE.

)?△ABC是等邊三角形，BD是高，

11

.,.ZCBE=-2ZABC=302°,CD=AC=3.

過C作CGLAF,交AF的延長線于點(diǎn)G,延長CG到H,使得GH=CG,連接DH、AH,

-1

DH與AG交于點(diǎn)I,連接FH、CI,則NACG=60。，CG=GH=AC=3,

，CH=AC=6,

...△ACH為等邊三角形，

/.DH=CD?tan60°=3叫,AG垂直平分CH,

AOHLCF=FH,

.,.CI+DI=HI+DI=DH=3V3,CF+DF=HF+DF2DH,

22

，當(dāng)F與I重合，即D、F、H共線時(shí)，CF+DF取得最小值，最小值為

CF+DF=DH=3V3,

/.△CDF周長的最小值為3+3V3.

故答案為：3+3V3.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得NCBEgNABC=30°,CD弓AC=3,AC=BC=6,Z

ABC=ZBCA=60°,根據(jù)角的和差關(guān)系可得NBCE二NACF,利用SAS證明△BCE^A

ACF,得至IJ/CAF=NCBE,過C作CGLAF,交AF的延長線于點(diǎn)G,延長CG到H,使

得GH=CG,連接DH、AH,DH與AG交于點(diǎn)I,連接FH、CI,易得AACH為等邊三角

形，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得DH,由垂直平分線的性質(zhì)可得CI=HLCF=FH,則

CI+DI=HI+DI=DH,CF+DF=HF+DF2DH,據(jù)此求解.

三、解答題

18.（2023?廣東）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3

名航天員順利進(jìn)駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種

工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂AC=BC=10租，兩臂夾角4CB=100°時(shí)，求A,B兩點(diǎn)間

的距離.（結(jié)果精確到0.17H,參考數(shù)據(jù)sin50°?0.766,cos50°?0.643,

tan50°?1.192）

D

"：AC=BC,CD1AB,

.,.CD是邊48邊上的中線，也是4cB的角平分線,

23

1

：

.AB=2AD,NACD=-2ZACB=50°,

在出△中，

4CDAC=10m,ZACD=50°,sin^ACD=—AC

?,rn°4。，

..sin50=—io

：.AD=10sin50"10x0.766=7.66

：.AB=2AD、2x7.66=15.32x15.3(m)

答：A,B兩點(diǎn)間的距離為15.3m.

【解析】【分析】連接AB,過點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)D,利用等腰三角形的性質(zhì)可證

得AB=2CD,同時(shí)可求出NACD的度數(shù)；再在Rt^ACD中，利用解直角三角形求出

AD的長，據(jù)此可求出AB的長.

四、作圖題

19.(2023?郴州)如圖,四邊形4BCD是平行四邊形.

(1)尺規(guī)作圖；作對角線4C的垂直平分線MN(保留作圖痕跡)；

(2)若直線MN分別交ZD,BC于E,F兩點(diǎn)，求證：四邊形4FCE是菱形

【答案】(1)解：如圖所示，MN即為所求；

(2)證明：?.?四邊形48CD是平行四邊形,

24

：.AD||BC,

/.ZCAE=ZACF,

如圖：設(shè)EF與AC交于點(diǎn)

?「EF是ZC的垂直平分線，

：.A0=OC,EFLAC,

*.?ZAOE=ZCOF,

：.△AOECOF（ASA）,

：.OE=OF,

???四邊形4FCE為平行四邊形，

,：EF1AC,

四邊形4FCE為菱形.

【解析】【分析】（1）根據(jù)作圖-垂直平分線即可求解；

（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得到/C4E=4C凡設(shè)EF

與4C交于點(diǎn)。，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到4。=OC,EFLAC,再根據(jù)三角

形全等的判定與性質(zhì)即可得到。E=OF,再運(yùn)用平行四邊形的判定與菱形的判定

即可求解。

五、綜合題

20.（2023?黃岡）如圖，一次函數(shù)、1=/^+5（女工0）與函數(shù)為丫2=疊（%＞。）的

25

_1___

圖象交于4(4,1),BQ-,a)兩點(diǎn).

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足力-了2>0時(shí)x的取值范圍；

(3)點(diǎn)P在線段48上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M,交函數(shù)為的圖象于點(diǎn)

Q,若APOQ面積為3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)解：將4(4,1)代入為=?(%>0)，可得1二/，

解得771=4,

???反比例函數(shù)解析式為%=-(x>0)；

1

■:叱，a)在丁2=-(%>。)圖象上,

4

-8

1-

???a=-

2

8)

將4(4,1),5(-,8)代入%=k%+b,得：

"4k+b=1

-k+b=8?

12

解得憶/

???一次函數(shù)解析式為%=-2x+9；

1

(2)解：-<x<4,理由如下：

由(1)可知4(4,1),B(|,8),

當(dāng)月-yi>。時(shí)，%>%，

此時(shí)直線48在反比例函數(shù)圖象上方，此部分對應(yīng)的X的取值范圍為1<%<4,

26

即滿足力-了2＞。時(shí)，X的取值范圍為］＜%＜4；

(3)解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p,

將％=p代入%=—2x+9,可得力=—2p+9,

???P(p,-2p+9).

AA.

將％=p代入為=:(%＞。)，可得力=

4

:.PQ=-2p+9-

SRPOQ=^PQ-Xp=|X(—2p+9-?p=3,

整理得2P2-9p+10=0,

解得Pi=2,p2=I，

當(dāng)p=2時(shí)，—2p+9=—2x2+9=5,

當(dāng)p=|時(shí)，—2p+9=—2X|+9=4,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,5)或G，4).

【解析】【分析】(1)將A(4,1)代入y2=?中求出m的值，然后將B(1,a)代

入求出a的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，將A、B的坐標(biāo)代入yi=kx+b中求出k、b的值，

據(jù)此可得反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象，找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方部分所對應(yīng)的x的范圍

即可；

4

(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p,則P(p,-2p+9),Q(p,表示出PQ,根據(jù)三角形

的面積公式可得P的值，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

21.(2023?深圳)如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)0,A,B均在格點(diǎn)上，

。4=3,AB=2,以。為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答

問題：

27

①過點(diǎn)A作切線4C,且AC=4(點(diǎn)C在A的上方);

②連接0C,交。。于點(diǎn)D；

③連接BD,與4C交于點(diǎn)E.

(1)求證：BD為。。的切線；

(2)求4E的長度.

【答案】(1)證明：如圖,

：AC是圓。的切線,

.\AC±OA,

在RtZ^AOC中，由勾股定理得0C=5,

在Z^AOC與ADOB中，

VOC=OB=5,ZC0A=ZB0D,OA=OD,

Z.AAOC^ADOB(SAS),

.?.Z0DB=Z0AC=90°,

...BD是圓0的切線;

28

(2)角軍：VAAOC^ADOB,

/.AC=BD=4,

VZB=ZB,ZEAB=ZBDO,

/.△AEB^ADOB,

,AB_AE

'"BD~OD，

nn2AE

43

解得:AE=I，

【解析】【分析】(l)由切線的性質(zhì)得ACJ_OA,在RtZkAOC中，由勾股定理得

0C=5,從而由SAS判斷出△AOC0ZXDOB,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得N0DB=

Z0AC=90°,從而根據(jù)切線的判定定理(垂直于半徑外端點(diǎn)的直線是圓的切線)，

可得結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AC=BD=4,根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)

三角形相似可得△AEBS/\D0B,由相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程可求出AE的

長.

22.(2023?陜西)如圖，△ABC內(nèi)接于。。，ZBAC=45°,過點(diǎn)8作的垂

線，交。。于點(diǎn)并與C4的延長線交于點(diǎn)以作垂足為M,交。。于

點(diǎn)F.

(1)求證：BD=BC；

(2)若。。的半徑r=3,BE=6,求線段BF的長.

29

【答案】（1）證明：如圖，連接DC,

則/BDC=NBAC=45

vBD1BC,

/BCD=90°-/BDC=45

:./BCD=/BDC.

BD=BC；

(2)解：如圖，???ZDBC=90°,

CD為。。的直徑，

CD=2r=6.

：,BC=CD-sin/BDC=6x—=3四，

2

???EC=y/BE2+BC2=^62+(3A/2)2=3A/6^

???BF1AC,

???/BMC=/EBC=90°,/BCM=/BCM,

???△BCMs公ECB.

BC_BM_CM

EC~EB~CB

nn“BCEB3^2x6c/7T.BC2

???BM=----=-p-=2,3,CMB=—喂=A

EC3V6EC

連接CF,則/F=/BDC=45。，ZMCF=45

MF=MC=V6,

30

:.BF=BM+MF=2V3+V6.

【解析】【分析】(1)本題主要考查的是圓周角定理，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和可以

得到△BCD是等腰直角三角形.

⑵本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，先通過圓周角定理求出△BCD的邊

長，再利用相似得到BM、CM的邊長，然后根據(jù)圓周角關(guān)系得到是等腰直角

三角形，即可得到BF的長.

23.(2023?荊州)如圖1,點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A,點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，在

AB的同側(cè)分別以A,P,B為頂點(diǎn)作Z1=Z2=Z3,其中N1與N3的一邊分別是射

線AB和射線BA,N2的兩邊不在直線AB上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)P

為等聯(lián)點(diǎn)，線段AB為等聯(lián)線.

(1)如圖2,在5X3個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長均為1,AB

為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段.請用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線段AB為等聯(lián)

線、某格點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；

(2)如圖3,在Rt^APC中，ZA=90°,AC>AP,延長AP至點(diǎn)B,使

AB=AC,作NA的等聯(lián)角NCPD和NPBD.將AAPC沿PC折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，

得到△MPC,再延長PM交BD的延長線于E,連接CE并延長交PD的延長線于F,

連接BF.

①確定4PCF的形狀，并說明理由;

31

②若AP：PB=1：2,BF=V2k,求等聯(lián)線AB和線段PE的長(用含k的式子表

示).

【答案】(1)解：作圖

方法1方法2方法3

r

I________

方法4方法5方法6

方法7方法8方法9

(2)解：①4PCF是等腰直角三角形.理由為:

如圖，過點(diǎn)C作CNLBE交BE的延長線于N.

由折疊得AC=CM,ZCMP=ZCME=ZA=90°,Z1=Z2

vAC=AB,NA二NPBD=NN=90°.?.四邊形ABNC為正方形??.CN=AC=CM

又?.(￡不￡.-.RtACME^RtACNE(HL)

.??N3=/4而Nl+N2+N3+N4=90°,ZCPF=90°

32

.-.ZPCF=Z2+Z3=ZCFP=45°

??.△PCF是等腰直角三角形.

②過點(diǎn)F作FQ_LBE于Q,FRJ_PB交PB的延長線于R,則NR=NA=90°.

vZl+Z5=Z5+Z6=90°.-.Z1=Z6

由APCF是等腰直角三角形知：PC=PF.-.AAPC^ARFP(AAS)

.?.AP=FR,AC=PR,而AC=AB.?.AP=BR=FR

在RtZ^BRF中，BR2+FR2=BF2,BF=V^k

??.AP=BR=FR=k.-.PB=2AP=2k.-.AB=AP+PB=BN=3k

由BR=FR,NQBR=NR=NFQB=90°知：四邊形BRFQ為正方形，BQ=QF=k

由FQLBN,CN_LBN得：FQ//CN

.?塔=留，而QE=BN-NE-BQ=3k-NE-k=2k-NE

pti-t2/c—7VFk.1ATJZRML3

即----=—=-，解得：NE=-k7

NE3k32

ooc.

由①知：PM=AP=k,ME=NE=jk.-.PE=PM+ME=/c+|k=^k.

【解析】【分析】(1)直接根據(jù)等聯(lián)角的概念進(jìn)行作圖；

(2)①過點(diǎn)C作CN_1BE交BE的延長線于N,由折疊得AC=CM,ZCMP=ZCME=Z

A=90°,Z1=Z2,易得四邊形ABNC為正方形，則CN=AC=CM,利用HL證明RtA

CME^RtACNE,得到N3=N4,進(jìn)而得到NPCF=N2+N3=NCFP=45。，據(jù)此判斷；

②過點(diǎn)F作FQ_LBE于Q,FRLPB交PB的延長線于R,則NR=NA=90°,由同角的

余角相等可得N1=N6,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得：PC=PF,利用AAS證明△

APC^ARFP,得到AP=FR,AC=PR,進(jìn)而推出AP=BR=FR,由勾股定理可得

BF=V2k,則AP=BR=FR=k,PB=2AP=2k,AB=AP+PB=BN=3k,易得四邊形BRFQ為正

方形，則BQ=QF=k，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得案=給表示出NE,由

NECN

①知：PM=AP=k,ME=NE=-k,然后根據(jù)PE=PM+ME進(jìn)行計(jì)算.

33

24.(2023?長沙)如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上運(yùn)動(dòng)，=BC2+AC2,延

長4c至點(diǎn)D,使得NDBC=/C48,點(diǎn)E是弦4C上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)，

過點(diǎn)E作弦ZB的垂線，交4B于點(diǎn)F,交BC的延長線于點(diǎn)N,交。。于點(diǎn)M(點(diǎn)M

在劣弧配1上).

(1)BD是。。的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；

(2)記△BDC,工ABC,△ADB的面積分別為SrS2,S,若S「S=(Sz)2,

求(ttmD)2的值；

(3)若。。的半徑為1,設(shè)FM=%,FE-FN■=y,試求y關(guān)

\BCBNAE-AC)

于X的函數(shù)解析式，并寫出自變量X的取值范圍.

【答案】(1)解：BD是。。的切線.

證明：如圖，在△ABC中，AB2=BC2+AC2,

二.ZACB=90°.

又點(diǎn)A,B,C在。。上，

??.4B是。。的直徑.

,/NACB=90°,

/CAB+/ABC=90

又/DBC=/CAB,

，/DBC+ZABC=90

34

/ABD=90°.

.?.BD是。。的切線.

111

(2)解：由題意得，Si=：BC,CD,S2=^BC-AC.S=^AD-BC.

???S「S=(S2)2,

：.-BC-CD--AD-BC=(^BC-ACy.

22v27

Z.CD-AD=AC2.

CD(CD+AC)=AC2.

又+ZDBC=90°,/ABC+4=90°,/DBC=2,

:./D=NABC.

BC

；.tan/D=—=tan/zlBCAC

CDBC

：，CD=—.

AC

XCD(CD+AC)=AC2,

??黑+BC25c2.

：.BC4+AC2-BC2=AC4.

???1+(陽2=(公上

由題意，設(shè)(taziD)2=m,

送尸=m.

.,.1+m=m2.

1±%

??m

2

.m>0,

1+V5

??m

2

(tan/))2=

(3)解：設(shè)N/4=a.

35

?/ZA+ZABC=/ABC+ZDBC=/ABC+N7V=90

?*?N/4=/DBC=NN=a.

：.在Rt△OFM中，OF=>/OM2-FM2=V1-%2.

:-BF=BO+OF=1+“一/,AF=OA-OF=1-V1-%2.

.,.在Rt△AFE^p,EF=AF-tana=(1—V1—%2)-tana,AE=‘五-久

cosacosa

在At△ABC中，BC=AB-sina=2sina.(r=1,.,.AB=2)

AC=AB-cosa=2cosa.

在Rt△BFN中，BN=—=1+V1~X\FN=-=1+"一源

sinasinatanatana

"?y=FE-FN-—

21

=X乙

%2

=x2--

x

36

=X.

即y=x.

,：FM1AB,

最大值為F與。重合時(shí)，即為1.

0<%<1.

綜上，y=%(0<%<1).

【解析】【分析】(1)8。是。。的切線.證明：先根據(jù)勾股定理的逆定理得到

NACB=90。，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理結(jié)合題意得到ZC4B+NABC=90。，從而

結(jié)合題意得到=90。，再根據(jù)切線的判定即可求解；

(2)先根據(jù)三角形的面積結(jié)合題意即可得到CD(CD+4C)=4C2,進(jìn)而證明

/D=/ABC,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到tcm/D=黑=tan/4BC=

箓進(jìn)而得到CD=器，從而結(jié)合題意得到1+(另2=d)4,設(shè)已加02=加，

進(jìn)而即可得到(當(dāng)尸=rn,從而得到m的值，然后即可求解；

DC

(3)設(shè)4=a,先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化即可得到4=ZDBC=/N=a,連接

OM,