2024年新高考九省聯(lián)考新題型-綜合能力題（解析版）

2024年新高考九省聯(lián)考新題型--綜合能力題

題目工(2024.全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若項(xiàng)數(shù)為％(%eN*,A;>3)的有窮數(shù)列｛冊(cè)｝滿(mǎn)足：0W的<a2Va3<-

<@,且對(duì)任意的1,41414，&“)，?或%—魚(yú)是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列｛@｝具有性質(zhì)P

(1)判斷數(shù)列0,1,2是否具有性質(zhì)P并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)數(shù)列｛an｝具有性質(zhì)P,Q4i=l,2,???,■)是｛%｝中的任意一項(xiàng)，證明：應(yīng)一定是｛a/中的項(xiàng)；

(3)若數(shù)列｛aj具有性質(zhì)P,證明：當(dāng)k>5時(shí)，數(shù)列｛aJ是等差數(shù)列.

【答案】(1)數(shù)列0,1,2具有性質(zhì)P,理由見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】⑴由數(shù)列0,1,2中，得到Q廠Q”一定是數(shù)列｛冊(cè)｝中的項(xiàng)，即可求解；

⑵根據(jù)題意，得到Cbk+di一^不是數(shù)列｛Q/中的項(xiàng)，進(jìn)而證得以一Qe一是數(shù)列｛QJ中的項(xiàng)；

(3)根據(jù)題意得到ak+aki｛冊(cè)｝,且見(jiàn)一。代｛Q/,進(jìn)而得到。產(chǎn)0,得到｛an｝,當(dāng)2<i&k,證得&

—叫_尸ai+1，當(dāng)3&i&k-2,得到Qj—@_尸,由k>5時(shí)，得到Qj—Qj=a2(l&i<k—1),兩式相減得

出耿一Qk_i=ai+1—az-(l&iWk-1),結(jié)合等差中項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】(1)解:數(shù)列0,1,2具有性質(zhì)P.

a

理由：根據(jù)有窮數(shù)列｛aJ滿(mǎn)足：0&ai<Q2VQ3<…Vk，且對(duì)任意的i,/(l<i<k),Q/+Q0或a廠包是數(shù)

列｛aj中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列｛冊(cè)｝具有性質(zhì)P,

對(duì)于數(shù)列0,1,2中，若對(duì)任意的ij(l&iW勸，可得a-a-?；?或2,

可得知—為一定是數(shù)列｛aj中的項(xiàng)，所以數(shù)列0,1,2具有性質(zhì)P.

⑵證明:由a%(i=1,2,…,k)是數(shù)列｛an｝中的任意一,項(xiàng),

因?yàn)閿?shù)列｛Qj具有性質(zhì)P,即Q/+Q,或%—Q,是數(shù)列｛Q』中的項(xiàng)，

令/=k，可得耿+應(yīng)或ak—ai是數(shù)歹4｛an｝中的項(xiàng)，

又因?yàn)?4。1<02V^^〈0和可得。計(jì)應(yīng)一定不是數(shù)列｛。九｝中的項(xiàng)，

所以ak—ai一定是數(shù)列｛QJ中的項(xiàng).

(3)解：由數(shù)列｛QJ具有性質(zhì)P,可得耿+Q*｛QJ,所以Q「Q代M，

則0E｛an｝,且Q產(chǎn)0,

又由dk+a任｛aj,所以ak-aiE｛an｝,

又由0=(1卜一(1卜<CLk-Qk—[V延一a-2V.,,V耿_a2V以一電，

①設(shè)24i&k,因?yàn)?&Q]V。2<…V耿

可付ak~ak~0,ak~ak-l~。2,ak~ak-2~。3,…，牝―。2=ak-Vak~al~ak，

當(dāng)k>5時(shí)，可得ak-ak^i=ai+i(l—1),(*)

②設(shè)3Wi&k-2,則afc_1+a2=&,所以恁_1+。顯｛an｝,

由0=Qk-l—Qk-1<%-廠。卜-2V…V網(wǎng)-1-Q3V。卜一。3=ak-2,

又由04QiVa2V…VQ"3Vak-2，

可付ak-l~ak-l~al^ak-l~ak-2~。2…Vak-l~ak-3=。3,ak-l~a3~ak-3，

所以dfc-i-dfc-i=Q41<i<k—3),

=

因?yàn)閗>5,由以上可知：QkT—&_1=Qi且ak_1—ak_2電，

所以QkT-Qi=a—且ak_1-a2=ak.2,所以。一一味ka^l&i<k-1),(**)

由(*)知，ak-ak_i=Q計(jì)i(l

兩式相減，可得出—<4.1=ai+1—ai(l&i&k-1),

所以當(dāng)k>5時(shí)，數(shù)列｛aj為等差數(shù)列.

版目可(2024?全國(guó).校聯(lián)考一模)關(guān)于x的函數(shù)/(,)=Ins+2x-b(b>2)，我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過(guò)“二分

法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法--“牛頓切線(xiàn)法”.

(1)證明：/(，)有唯一零點(diǎn)a,且aC(1,6)；

(2)現(xiàn)在,我們?nèi)稳‰奺(l,a)開(kāi)始,實(shí)施如下步驟：

在(力1JQ1))處作曲線(xiàn)/(力)的切線(xiàn)，交力軸于點(diǎn)(/2,。)；

在(/2,/(62))處作曲線(xiàn)/(力)的切線(xiàn)，交/軸于點(diǎn)(g,0)；

在(力九,/(繪))處作曲線(xiàn)/(力)的切線(xiàn)，交力軸于點(diǎn)(Tn+1,0)；

可以得到一個(gè)數(shù)列｛g｝，它的各項(xiàng)都是/(力)不同程度的零點(diǎn)近似值.

⑴設(shè)為+產(chǎn)g(跳)，求g(*n)的解析式(用為表示xn+1)；

(n)證明：當(dāng)/尺(L。)，總有^n<^n+i</

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

=山喂袈匹；證明見(jiàn)解析.

1+2”

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；

(2)(i)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線(xiàn)/(力)在(維,/(力九))處的切線(xiàn)方程為g=1+2"、力+lnxn—b—1,進(jìn)而得

Xn

一為In/九+(b+l)為

。(…-----彳豆一；

(n)令h(x)——+2,人力+lnxn—b—1,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)F｛x)=/(a?)—h｛x)—In力..—x—In為+1,結(jié)合函數(shù)

柒%力71

單調(diào)性證明力九+1VQ,再根據(jù)『3/>0,/(xn)</(a)=0證明xn+1=6rl_1y>為即可得答案.

【詳解】(1)證明:f(x)=Inx+2%一b(b>2),定義域?yàn)?0,+oo),

所以,f(x)—~~+2>0在(0,+8)上恒成工，

x

所以函數(shù)/(力)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(l)=lnl+2—b=2—bV0(b>2),/(b)=lnb+2b—b=lnb+b>0(b>2),

所以,存在唯一aE(l,b)，使得f(a)=0,即：f(x)有唯一，零點(diǎn)a,且aG(l,b).

(2)解：⑴由(1)知/(,)=《+2,

所以，曲線(xiàn)f(x)在處的切線(xiàn)斜率為鼠=」-+2,

%

所以，曲線(xiàn)/(2)在(4，/(4))處的切線(xiàn)方程為y一/(3)=『(4)3—4),即夕="當(dāng)2+lnzn-b-l

人C月-xjnx+(^b+l)x

令"二°侍/-----午n高-----n

所以，切線(xiàn)與2軸的交點(diǎn)(f吁+，+1)%,0)，即工二一吁+，+:?,

\1+2xn/1+2xn

—￡ClllT+(6+l)X

所以，g(%)=nnn

1+2xn

(譏)對(duì)任意的XnE(0,+OO)，由⑴知，曲線(xiàn)/⑺在(力”/(%))處的切線(xiàn)方程為：

y—1++inxn—b—1,故令h(x)—土匕力+In力n一b—1,

XnXn

令F(rc)=/(力)—h[x)—Inx-x—In力九+1.

hn

所以，F(xiàn)'(x)=2—工=2二二,

Xxnxnx

所以，當(dāng)力e(0,4)時(shí)，F(xiàn)\x)>0,F(力)單調(diào)遞增，當(dāng)力G(xn,+00)時(shí)，F(xiàn)\x)<0,尸Q)單調(diào)遞減;

所以，恒有F[x｝WF(Xn)=0,即/(力)4九(力)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)力二為時(shí)等號(hào)成立，

、f(x)

n

另一方面，由⑴知，xn+1=xn--..,且當(dāng)為#a時(shí)，/+1Wxn,

J\xn)

(若xn=a,則J(xn)=/(a)=0,故任意xn+1=4九=...=/I=Q，顯然矛盾)

因?yàn)閤n+1是h｛x｝的零點(diǎn)，

所以/(4+i)<"為+i)=/(a)=0,

因?yàn)?(力)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以，對(duì)任意的力九WQ時(shí)，總有力九+iVa.

又因?yàn)閄i<a,

所以，對(duì)于任意nGN*,均有xn<a,

所以,/(xn)>0J(xn)</(a)=0.

所以xn+1=XL>xn,

綜上，當(dāng)x1E(l,a),總有xn<xn+1<a

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第

二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于結(jié)合切線(xiàn)方程，構(gòu)造函數(shù)F(rc)=于(X)—h｛x｝—Inx-x—lnx-\-1,進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的

%n

單調(diào)性證明不等式.

題目團(tuán)(2024.全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))“讓式子丟掉次數(shù)”:伯努利不等式

伯努利不等式(Berno加加syneqaa她/),又稱(chēng)貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見(jiàn)的一種不

等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)力6(—1,+8),在九e[l,+8)時(shí)，有不等式(1+<>

1+九2成立；在ne(0,1)時(shí)，有不等式(1+,)”<1+九2成立.

(1)猜想伯努利不等式等號(hào)成立的條件；

(2)當(dāng)九>1時(shí),對(duì)伯努利不等式進(jìn)行證明；

(3)考慮對(duì)多個(gè)變量的不等式問(wèn)題.已知5,電，…,a“SeN*)是大于一1的實(shí)數(shù)(全部同號(hào))，證明

a

(1+di)(1+02)…(1+n)>1+cti+a2+—\-an

【答案】(1)n=0,1,或2=0

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)不等式特征猜想出等號(hào)成立的條件；

⑵設(shè)/(rc)=(1+2)”—na;—1(/<—l,a>1),注意到/(0)=0,求導(dǎo)得到『(0)=0,二次求導(dǎo)，得到函數(shù)

的單調(diào)性和極值最值情況，證明出結(jié)論；

⑶當(dāng)九=1時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造數(shù)列｛跳｝:xn—(1+?1)(1+a2)?■?(1+an)—

(1+ai+a2+—Fa。，作差法得到｛g｝是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列(n>2),結(jié)合g〉。，得到xn>x^>

0(\/n>2),證明出結(jié)論.

【詳解】(1)猜想：伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是n=0,1,或x=0.

當(dāng)n=0時(shí)，(1+2)°=1+02,當(dāng)71=1時(shí)，(1+X)1—1+X,

當(dāng)力=0時(shí)，（1+0）"=1+0",其他值均不能保證等號(hào)成立，

猜想，伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是n=0,1,或力=0;

（2）當(dāng)n>1時(shí)，我們需證（1+力廠>1+口力，

設(shè)/（/）=（1+力廠一儂:一1（/v—I,Q>1）,注意到y(tǒng)（o）=o,

f（x）=n（l+a?）n-1—n=n[（l+力廠——1],令（1+a;）n-1—1=0得T=0,

即/'（0）=0,x=0是/（力）的一個(gè)極值點(diǎn).

令g（x）=f（x），則g'（N）=n（n—1）（1+x）n~2>0,

所以f（T）單調(diào)遞增.

當(dāng)一1vnvo時(shí)，/'⑺<y（o）=o,當(dāng)x>o時(shí)，/'（力）>y（o）=0,

故/⑺在（—1,0）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增.

所以在力=0處/（劣）取得極小值/（0）=0,

即/（2）>。恒成立，（1+0廠>九力+1.

伯努利不等式對(duì)口>1得證.

（3）當(dāng)71=1時(shí)，原不等式即1+Q1>1+Q1,顯然成立.

當(dāng)九>2時(shí)，構(gòu)造數(shù)列｛xn｝:4=（1+電）（1+電）…（1+」n）—（1+。1+。2+l~Q九），

則xn+1-xn=an+i[（1+aO（1+a2）…（1+七）-1],

若Q>0（i=1,2,…，九+1）,由上式易得力九+1一力九>0,即xn+1>xn;

若一1VaW0（i=l,2,…，九+1）,則0V1+Q.V1,所以（1+電）（1+電）…（1+冊(cè)）-1V0,

故xn+1—xn=an+i[（l+a）（1+。2）…（1+。九）-1]>。，

即此時(shí)xn+i>xn也成立.

所以｛4｝是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列（n>2）,

由于力2=（l+ai）（l+a2）—（1+。1+電）=。1電>。，所以Xn>x2>0（Vn>2）,

故原不等式成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)新定義問(wèn)題，命題新穎，常常考慮函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性,值域等，且存

在知識(shí)點(diǎn)交叉，會(huì)和導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列等知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題,

一定要解讀出題干中的信息，正確理解問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.

Qi,i?1,2,,7n

。2,2,*。2,771

^■1〕（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知>U=電」（nz>2）是m2個(gè)正整數(shù)組成的m行

I。館,1Q?n,2°?Qyng/

館列的數(shù)表，當(dāng)l&iVs&m,l&/V力時(shí)，記d（血,力Q&J=\aitj—asj\+\asj—aStt\.設(shè)TIGN*,若4n滿(mǎn)

足如下兩個(gè)性質(zhì)：

②對(duì)任意kE{1,2,3,…,?i},存在iEE{1,2,…,m},使得Q*尸k,則稱(chēng)4n為葭數(shù)表.

（123）

⑴判斷4=231是否為「3數(shù)表，并求d（Qi,i，Q2,2）+火電,2，。3,3）的值;

、312,

（2）若「2數(shù)表4滿(mǎn)足“處,力生+1,計(jì)1）=l（i=1,2,3;/=1,2,3）,求入4中各數(shù)之和的最小值;

（3）證明:對(duì)任意「4數(shù)表4o,存在l&i<s<10,110,使得d（Q2Q&J=O.

【答案】（1）是；5

（2）22

(3)證明見(jiàn)詳解

【分析】⑴根據(jù)題中條件可判斷結(jié)果，根據(jù)題中公式進(jìn)行計(jì)算即可；

⑵根據(jù)條件討論現(xiàn)”的值，根據(jù)43力。取)=\aij—aSfj\+鼠「Qs/,得到相關(guān)的值，

進(jìn)行最小值求和即可；

⑶當(dāng)心>2時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)k用從左向右的有向線(xiàn)段連接,則該行有二一1條有向線(xiàn)段,得到橫向有向

線(xiàn)段的起點(diǎn)總數(shù)，同樣的方法得到縱向有向線(xiàn)段的起點(diǎn)總數(shù)，根據(jù)條件建立不等關(guān)系，即可證明.

(123)

【詳解】⑴4=231是上數(shù)表，

、312>

+4(。2,2,03,3)=2+3=5.

(2)由題可知或。切,4工)=\aiyj-aStj\+\aStj-aStt\=l(i=1,2,3;j=1,2,3).

當(dāng)ai+l,j~1時(shí)，有d(Q*/,Qw+i,/+i)—(Q/+ij+i—1)=1,

所以?！?/+。計(jì)1,/+1=3.

當(dāng)ai+i,j~2時(shí)，有d(Q,‘,a計(jì)I,*)—(2—(2—Q-i+ij+i)—1,

所以見(jiàn),,+。計(jì)1,/+1=3.

所以。2,/+。計(jì)1,)+產(chǎn)3(i=1,2,3;j—1,2,3).

所以的,1+。2,2+。3,3+。4,4=3+3=6,。1,3+電,4=3,。3,1+。4,2=3.

。1,2+。2,3+。3,4=3+1=4或者電,2+。2,3+。3,4=3+2=5,

。2,1+。3,2+。4,3=3+1=4或者。2,1+。3,2+。4,3=3+2=5,

。1,4=1或。1,4=2,。4,1=1或。4,1=2,

故各數(shù)之和>6+3+3+4+4+1+1=22,

,41222L

當(dāng)月4=時(shí)，

1211

、1212,

各數(shù)之和取得最小值22.

(3)由于「4數(shù)表Ao中共10。個(gè)數(shù)字，

必然存在ke{1,2,3,4},使得數(shù)表中k的個(gè)數(shù)滿(mǎn)足T>25.

設(shè)第i行中k的個(gè)數(shù)為n(i=1,2,…,10).

當(dāng)r注2時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)k用從左向右的有向線(xiàn)段連接，

則該行有心一1條有向線(xiàn)段，

所以橫向有向線(xiàn)段的起點(diǎn)總數(shù)7?=E(r-1)(r-1)=T-10.

設(shè)第4列中k的個(gè)數(shù)為eg=1,2,…,10).

當(dāng)q>2時(shí)，將縱向相鄰兩個(gè)k用從上到下的有向線(xiàn)段連接，

則該列有與一1條有向線(xiàn)段，

所以縱向有向線(xiàn)段的起點(diǎn)總數(shù)C=E(與-1)=T-10.

與〉210

所以R+O2T—20,

因?yàn)門(mén)>25,所以A+C-T>2T—20-T=T—20>0.

所以必存在某個(gè)k既是橫向有向線(xiàn)段的起點(diǎn)，又是縱向有向線(xiàn)段的終點(diǎn),

即存在1VUVO<10,lVpVq410,

使得au,p=CLv,p—CLv,q~k,

所以d（Q“Q%q）=|a*p-^v,p|+\a-v,p—av,q\=0,

則命題得證.

題目回（2024.全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正整數(shù)數(shù)列A?，…,a^N>3）滿(mǎn)足a?%,其中1Wi</WN.

如果存在ke{2,3,…，N},使得數(shù)列A中任意k項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱(chēng)A為”階平衡數(shù)列”

⑴判斷數(shù)列2,4,6,8,10和數(shù)列1,5,9,13,17是否為“4階平衡數(shù)列”？

（2）若N為偶數(shù)，證明:數(shù)列A1,2,3,…，N不是”階平衡數(shù)列”，其中AW{2,3,…,N}

（3）如果aN<2019,且對(duì)于任意AG{2,3,…,N},數(shù)列A均為”階平衡數(shù)列"，求數(shù)列A中所有元素之和的

最大值.

【答案】（1）2,4,6,8,10不是4階平衡數(shù)列；1,5,9,13,17是4階平衡數(shù)列；

（2）證明見(jiàn)解析

（3）12873.

【分析】（1）由不為整數(shù)，數(shù)列1,5,9,13,17為等差數(shù)列，結(jié)合新定義即可得到結(jié)論；

（2）討論七為偶數(shù)或奇數(shù)，結(jié)合新定義即可得證；

（3）在數(shù)列A中任意兩項(xiàng)久，如，（s2。，作差可得數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差都是k的倍數(shù)，A€{2,3,…,N-1},

討論數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)超過(guò)8,推得數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)至多7項(xiàng).討論數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)為7,數(shù)列的項(xiàng)數(shù)小于或等于6,

奇數(shù)可得所求最大值.

【詳解】（1）由2+6；8+10不為整數(shù)，

可得數(shù)列2,4,6,8,10不是4階平衡數(shù)列；

數(shù)列1,5,9,13,17為首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列，

則數(shù)列1,5,9,13,17是4階平衡數(shù)列;

（2）證明：若N為偶數(shù)，設(shè)k=2m（mCAT）,

考慮1,2,3,???,看這A:項(xiàng)，其和為S=D.

S_k±l

所以這A;項(xiàng)的算術(shù)平均值為:=2小、+1,此數(shù)不是整數(shù);

~k~2

若k為奇數(shù)，設(shè)k=2m+1,mGN*,考慮1,2,3,4,5,???fc—2,fc—1,fc+1;

這用項(xiàng)，其和為S'=楸”+1,

所以這％項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)為：學(xué)="1+4=巾+1+丁\

K2K2m+1

此數(shù)不是整數(shù)；

故數(shù)列A：1,2,3,4,…，N不是”階平衡數(shù)列”，其中A€{2,3,4,…N}:

（3）在數(shù)列A中任意兩項(xiàng)as,at,（st）,

對(duì)于任意*€{2,3,45,…,N},在A中任意取兩項(xiàng)鬼，出，相異的k—1項(xiàng)，

并設(shè)這k—1項(xiàng)和為S~由題意可得見(jiàn)+痣，S”+價(jià)都是出的倍數(shù)，

即S?+as=pk,S0+a產(chǎn)冰，（p,q為整數(shù)），可得as-at=（p-q）k,

即數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差都是k的倍數(shù)，M€{2,3,…,N—1},

因此所求數(shù)列A的任意兩項(xiàng)之差都是2,3,…，N—1的倍數(shù)，

如果數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)超過(guò)8,

那么a2—ai,a3—a2，…,ag—a7均為2,3,4,5,6,7的倍數(shù),

即a2—fli,&3—a2，…，ag—a7均為420的倍數(shù),

（420為2,3,4,5,6,7的最小公倍數(shù)）,

tZg—的=o>2—5+a3-0&2+..+口8—a：>420X7—2940,

即a8>2940+ai>2940,這與aN^2019矛盾，

故數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)至多7項(xiàng).

數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)為7,

—a—a

那么a2i,032，…，a7—a6均為2,3,4,5,6的倍數(shù),

即a-2—a，i,ag-，…,cz7—均為60的倍數(shù)，

（60為2,3,4,5,6的最小公倍數(shù)），

又（Z7W2019,且ai<a20”<a7,

所以<16&2019-60,a542019—2X60,…，出<2019-6X60,

所以aj+a2+?-?+a7<2019+（2019-60）+-??+（2019-6X60）=12873,

當(dāng)且僅當(dāng)a尸2019-60（7-i）=1599+60i（i=1,2■-?,7）,ai+a2+…+@7取得最大值12873;

驗(yàn)證可得此數(shù)列為”階平衡數(shù)列"，上€{2,3,…,N},

如果數(shù)列的項(xiàng)數(shù)小于或等于6,由aN<2019,

可得數(shù)列中所有項(xiàng)的之和小于或等于2019x6=12114,

綜上可得數(shù)列A中所有元素之和的最大值為12873.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查分類(lèi)討論思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力推理能力，屬于難題.

、題目回（2024?江蘇彳余州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦

有應(yīng)用.設(shè)是直線(xiàn)，上互異且非無(wú)窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱(chēng)普■?黑（分式中各項(xiàng)均為有向線(xiàn)段長(zhǎng)

度，例如AB=—BA）為A,B,C,。四點(diǎn)的交比，記為（4B；C,D）.

⑴證明—（。,8。,4）=展而；

（2）若L〃為平面上過(guò)定點(diǎn)P且互異的四條直線(xiàn)，〃，〃為不過(guò)點(diǎn)P且互異的兩條直線(xiàn)，乙1與心3

13,。的交點(diǎn)分別為4,&,G，。1，七與。，。，%3/4的交點(diǎn)分別為4,B”G，。2,證明：（4，B1；G,DJ=

（4,5；。2,。2）；

（3）已知第（2）問(wèn)的逆命題成立，證明:若AEFG與△E'F'G'的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)交于同一點(diǎn),

則AEFG與AE'F'G'對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

（3）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題干所給交比的定義即可證;

（2）把交比轉(zhuǎn)化成面積之比，在利用面積公式把面積之比轉(zhuǎn)化為邊之比;

（3）把三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)點(diǎn)在另外兩個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的直線(xiàn)上.再利用第（2）問(wèn)的結(jié)論得到兩組交

比相等，根據(jù)逆命題也成立即可證明三點(diǎn)共線(xiàn).

BC-AD+DC-BABC-(AC+CD)+CD-AB

【詳解】⑴1一（RBQ,⑷=1-=

BC-AD—BC-AD

BO4C+BC-CD+CD-AB=BCYC+AOCD=AC-BD=1

BC-AD—BC-AD—BC-AD~[B,A-,C,D)

4G,BQl_S5Ag；

⑵(4,W)

S^PA1D1

1-PB「PC?sin/BFG-j--PA.-PD.sin/4PAsin/BFG，sin/APA

sin/242P2,sin/JB2P?2_S；AoCi'BJD?

。"AR^^PB2D2

=（4出2；。2,。2）；

sin/BzPCz，sin/AzPOzPBC9APAW

^^22S??B2G?42。2

⑶設(shè)EF與E'F'交于X,FG與F'G'交于V,EG與E'G'交于Z,

連接X(jué)V,FF'與XY交于"EE'與XY交于河，GG'與XY交手N,

欲證x,y,z三點(diǎn)共線(xiàn)，只需證z在直線(xiàn)xy上.

考慮線(xiàn)束XP,XE,XM,XE',由第⑵問(wèn)知（P,F-,L,F'）=（P,E;M,E'）,

再考慮線(xiàn)束YP,YF,YL,VF',由第（2）問(wèn)知（P,F;L,F'）=（P,G;N,G'）,

從而得到（P,E;M,E'）=（P,G-,N,G'）,

于是由第（2）問(wèn)的逆命題知，EG,朋N,E'G'交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)Z,

從而AW過(guò)點(diǎn)Z,故Z在直線(xiàn)XV上，X,y,z三點(diǎn)共線(xiàn).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查射影幾何中交比的性質(zhì)，屬新定義題型，難度較大.

第一問(wèn)直接根據(jù)交比的定義證明即可；

第二問(wèn)首先要理解交比的本質(zhì)就是兩組邊比值的乘積，而邊的比值可以根據(jù)圖形（高相同）轉(zhuǎn)化為面積之

比，而面積之比又可以通過(guò)面積公式轉(zhuǎn)化為邊的比值，從而使得問(wèn)題得證.其核心思想是利用三角形面積

計(jì)算的兩個(gè)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

第三問(wèn)需要根據(jù)第二問(wèn)的結(jié)論以及其逆命題是真命題來(lái)證明，第二問(wèn)是由線(xiàn)共點(diǎn)導(dǎo)出交比相等，第三問(wèn)是

由交比相等導(dǎo)出線(xiàn)共點(diǎn)，所以要想證明第三問(wèn)，必須先導(dǎo)出交比相等，而使用第二問(wèn)的結(jié)論恰好可以導(dǎo)出

兩組交比相等，進(jìn)而根據(jù)傳遞性得到想要證的一組交比相等，從而證明出三線(xiàn)共點(diǎn)，進(jìn)而再說(shuō)明三點(diǎn)共線(xiàn).

［題目Q0（2024?河北?校聯(lián)考一模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)伙土）滿(mǎn)足:對(duì)于任意的，eR,都有h（x+2兀）=

h{x）+無(wú)（2兀），則稱(chēng)函數(shù)人（劣）具有性質(zhì)P.

（1）判斷函數(shù)/（劣）=2/,g（c）=cosc是否具有性質(zhì)P；（直接寫(xiě)出結(jié)論）

（2）已知函數(shù)/（力）=sin（5；+0乂,＜口C1,101V判斷是否存在0,0,使函數(shù)/（6）具有性質(zhì)F?若存

在,求出以0的值;若不存在，說(shuō)明理由；

（3）設(shè)函數(shù)/（0具有性質(zhì)P,且在區(qū)間［0,2汨上的值域?yàn)椋?（0）,/（2兀）］.函數(shù)gQ）=sin（/Q））,滿(mǎn)足

g（力+2兀）—g{x），且在區(qū)間（0,2兀）上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求證：/（2兀）=2兀.

【答案】（1）函數(shù)/（力）=2x具有性質(zhì)F;g（力）=cos/不具有性質(zhì)P.

（2質(zhì)=2,0=0

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用定義判斷即可；

（2）假設(shè)函數(shù)/（/）具有性質(zhì)P,可求出0=0,進(jìn)而可得0=2,從而可得/（劣）=sin2/,再根據(jù)定義進(jìn)行驗(yàn)

證，即可得到答案；

⑶由函數(shù)/（力）具有性質(zhì)P及（2）可知，/（0）=0,進(jìn)而可得/（力）在［0,2兀］的值域?yàn)椋?,麻］,keZ且k>0,

由g（c）在區(qū)間（0,2兀）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)可證明當(dāng)k>2時(shí)不符合題意，再求解當(dāng)k=1時(shí)與。（⑼是以

2兀為周期的周期函數(shù)矛盾，從而可得k=2,即可證明.

【詳解】（1）因?yàn)?（力）—2力，貝1f（x+2兀）=2（6+2兀）=2力+4兀，又/（2兀）=4兀，

所以/（力+2兀）=/（力）+/（2兀），故函數(shù)/（力）=2/具有性質(zhì)P;

因?yàn)間（6）=cos力,貝1Jg（x+2兀）=cos（6+2兀）=COST,又g（27r）=cos2兀=1,

g（G+g（2兀）=COST+1Wg（x+2兀），故g（x）=cosx不具有性質(zhì)P.

（2）若函數(shù)/（力）具有性質(zhì)P,則/（0+2兀）=f（0）+/（2兀），即/（0）=sin=0,

因?yàn)?01V￡■,所以0=0,所以/（力）=sin（0i）;

若*2兀）W0,不妨設(shè)/（2兀）>0,由/（力+27T）=f（x）+/（2兀）,

</（2fc7U）=/（0）+行（2兀）=行（2兀）（k6Z）（*）,

只要k充分大時(shí)，行（2兀）將大于1,而/（力）的值域?yàn)椋?1,1］,

故等式（*）不可能成立，所以必有/（2兀）=0成立，

QR

即sin（2o）7r）=0,因?yàn)橛阉?兀V2s兀<57r,

所以2①兀=4兀，則0=2,此時(shí)/（力）=sin2x,

則/（力+2兀）=sin2（a+2兀）=sin2x,

而/（T）+/（2兀）=sin2x+sir147r=sin2rc，即有/（力+2兀）=/（力）+/（2兀）成立,

所以存在0=2,0=0使函數(shù)/（/）具有性質(zhì)P.

⑶證明：由函數(shù)f（R）具有性質(zhì)P及（2）可知,/（0）=0,

由g（力+2兀）=g（力）可知函數(shù)g（力）是以27r為周期的周期函數(shù)，則§（2兀）=g（0）,

即sin（y（27u））=sin（/（0））=0,所以/（2兀）—ku,kEZ;

由f（0）=0,/（2TT）=kx以及題設(shè)可知,

函數(shù)f（6）在［0,2兀］的值域?yàn)椋?,k兀］，所以keZ且%>0;

當(dāng)k>2,/（力）=K及于（x）=2兀時(shí)，均有g(shù)（力）=sin（y（x））=0,

這與g{x}在區(qū)間（0,2兀）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)矛盾，因此k=l或k=2;

當(dāng)k=l時(shí)，/（2兀）=兀,函數(shù)/（力）在［0,2兀］的值域?yàn)椋?,7r］,

此時(shí)函數(shù)g（力）的值域?yàn)椋?,1］,

而于（x+2兀）=f（G+兀，于是函數(shù)/Q）在［2兀,4兀］的值域?yàn)椋圬?2兀］,

此時(shí)函數(shù)g（力）的值域?yàn)椋邸?,0］,

函數(shù)g（/）=sin（f（x））在當(dāng)力G［0,2兀］時(shí)和力E［2兀,4兀］時(shí)的取值范圍不同,

與函數(shù)g（x）是以2兀為周期的周期函數(shù)矛盾，

故k=2,即/(2兀)=2兀,命題得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)新定義問(wèn)題,解決此類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新

情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

題目回(2024.江西吉安?吉安一中?？家荒?對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛冊(cè)｝,“若存在am-ak=t(m,kEN*,m>k),必有

n

am+1—ak+1—t,則稱(chēng)數(shù)列｛an)具有P(t)性質(zhì).

肥1%3九CN*),判斷數(shù)列仇"｝是否具有？⑴性質(zhì)？是否具有「⑷性

(1)若數(shù)列｛“｝滿(mǎn)足an=

質(zhì)？

(2)對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛冊(cè)｝,設(shè)T=｛x\x=%—“i<外,求證:若數(shù)列｛斯｝具有P(O)性質(zhì),則T必為有限集；

(3)已知｛冊(cè)｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列,且｛an｝既具有P(2)性質(zhì),又具有P(3)性質(zhì),是否存在正整數(shù)N,

鼠使得amaN+i，aw+2,…，aN+2…成等差數(shù)列.若存在,請(qǐng)加以證明；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)見(jiàn)解析；

(3)見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)題中所給的條件，利用定義判斷可得數(shù)列｛冊(cè)｝不具有性質(zhì)P(l),具有性質(zhì)P(4);

(2)根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)P(O),得到數(shù)列｛an｝元素個(gè)數(shù)，從而證得結(jié)果；

⑶依題意，數(shù)列｛廝｝是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，且｛aj既具有P(2)性質(zhì)，又具有P(3)性質(zhì)，可證得存在整數(shù)

N,使仔a^,(1N+I,&N+2,…，aN+k>'''是等差數(shù)列.

2n(n=1,2)

【詳解】⑴因?yàn)閮?cè)=

2n—5(n>3,nEN*)'

&5-a?=5—4=1,13.a6—a3—7—1=6W1,所以數(shù)列｛aj不具有性質(zhì)F(l),

同理可得數(shù)列｛aj具有性質(zhì)F(4);

(2)因?yàn)閿?shù)列｛斯｝具有性質(zhì)P(O),

所以一定存在一■組最小的且k,滿(mǎn)足am—ak—0,即am—ak,

==aa=a

由性質(zhì)P(0)的含義可行a”+產(chǎn)am+2O,k+2,?,1,Ct.2m-k-lm-l^2m-km>

所以數(shù)列｛④｝中，從第k項(xiàng)開(kāi)始的各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性規(guī)律：

恁,&+1,…,為一個(gè)周期中的各項(xiàng)，

所以數(shù)列｛aj中最多有m—1個(gè)不同的項(xiàng)，

所以T最多有個(gè)元素，即T為有限集；

(3)因?yàn)閿?shù)列｛斯｝具有P(2)性質(zhì)，又具有P(3)性質(zhì)，

所以存在7W',N'，使仔a.+p—a“=2,av+g—CLN=3,

其中p,q分別是滿(mǎn)足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù)，

由性質(zhì)P(2),P(3)的含義可得a.，+p+A—a,取=2,aN'+q+k~aN'+k=3，

若TITVN',則?。?M—可得QN，+P—QM=2,

若M>N',則取k=AT-M,可得4，+「0.=3,

,

記7W=max｛M\7V｝,則對(duì)于aM,

有aM+p~aM=2,a^+q—a“=3,顯然pWq,

由性質(zhì)P(2),P(3)的含義可得：aM+p+k—aM+k=2,3,

aa—ttaa

所以dM+pq—aM=(cbM+pq~M+(q-l')p)+(M+(q-l)pM+(Q-2)p)(M+p~M)

aaaaa—aaa

~^QM+pq~M~(M+pq~M+(p-l)g)+(Af+(p-l)gM+(p-2)g)(M+q~M)~3P,

所以2q=3p,

又p,q滿(mǎn)足aM+p—aM—2,aM+q—aM=3的最小的正整數(shù),

所以q=3,p=2,CLM+2—2,(^M+3-^M~3,

aaa

所以aM+2+k~M+k~^iM+3+k~M+k~3,

所以CbM+2k~aM+2(fc-l)+2~aM~^^^aM+3k~aM+3(fc-l)+3~aM~^3卜,

取N=M+3,所以，若k是偶數(shù),則aN+k=aN-\-k,

若k是奇數(shù)，

貝寸aN+k=QN+3+G.3)=QN+3+(k—3)=QN+3+(k—3)=aN+k,

=

所以，aN+ka^-\-k,

所以GN，QN+I，QN+2,…,Q'+k，…是公差為1的等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)與數(shù)列相關(guān)的創(chuàng)新題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)新定義的理解，屬于難題.

題目可(2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知有窮數(shù)列AQI，a2,-,an(n>3)中的每一項(xiàng)都是不大于n的正整

數(shù).對(duì)于滿(mǎn)足1&館&九的整數(shù)?n,令集合4叫={k除=館，k=1,2,…，九}.記集合4mo中元素的個(gè)

數(shù)為s(m)(約定空集的元素個(gè)數(shù)為0).

⑴若A6,3,2,5,3,7,5,5,求。⑸及s⑸;

(2)若JH—^―-+…H--J、=n，求證：電,。2,…，冊(cè)互不相同；

s(?)s(a2)s(an)

(3)已知Qi=a,Q2=b,若對(duì)任意的正整數(shù)i,，(i#，，i+都有i+jE或i+[e4%),求的+電

+—\-dn的值.

【答案】⑴45)={4,7,8},S⑸=3.

(2)證明見(jiàn)解析

(3)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)觀察數(shù)列,結(jié)合題意得到4(5)及s(5);

(2)先得至IJ&1,故J+J+…H&九，再由J-+.J+…H--=n得至〔JS(Q)=

S(Q°)S(Q1)s(02)s(QjS(Q1)5(a2)S(QJ

1,從而證明出結(jié)論；

(3)由題意得ai+-Q°或ai+-%,令/=1,得到。3=。2或。3=的，當(dāng)Q=b時(shí)得到ai+a2+???+。九=na,當(dāng)aW

b時(shí)，考慮。3=a或a3=b兩種情況，求出答案.

【詳解】⑴因?yàn)樗?。7=。8=5,所以/⑸={4,7,8},則s⑸=3;

(2)依題意S(QJ>l,i=1,2,???,n,

則有

S(A)

因“匕—--1-------(-???-)-----Wn

S(QJs(電)s5)

又因?yàn)?+1+???-!—Y~~=n,

S(QIs[a2)s{an)

所以s(aj=1

所以電,。2,…,Q九互不相同.

(3)依題意Q產(chǎn)a,a2=b.

由i+/e4(QJ或i+/G/(a,,知&+/=m或ai+j=%.

令/=1,可得ai+1=?或ai+1=a]，對(duì)于i=2,3,…n—1成立，

故的二a2或。3=電.

①當(dāng)a=b時(shí)，

11

(Z>3=(zn^a,

所以。1+電+…+冊(cè)=na.

②當(dāng)a#b時(shí)，

。3=a。3=b.

當(dāng)。3=Q時(shí)'，由。4=。3或1。4=，有'。4=a,

同理。5=?6—???—。九=a,

所以a1+a2+???+an=(n—l)a+b.

當(dāng)。3=b時(shí)，此時(shí)有a2—。3=b,

令i=l,/=3,可得4GA(a)或4GA(b),即a4=a或a4=b.

令i=l/=4,可得564。)或5GA(b).令i=2,/=3,可得5G4b).

所以。5=b.

若。4=a,則令i=1,/=4,可得。5=a,與期=匕矛盾.

所以有的=b.

不妨設(shè)a2=a3=***=。卜=b(k>5),

令i=1,/=k+l—t(t=2,3,***,fc—1),可得k+1€A(b),因此耿+i=b.

令i=1,/=k,貝Iafc+1=a或ak+1=b.

故ak+l=b.

所以Q1+Q2+???+an=(n—l)b+a.

綜上，a=b時(shí)，電+電+??,+%=na.

03=aWb時(shí)，Q1+Q2+???+ari=(n—l)a+b.

03=bWQ時(shí)，電+。2+???+。n=(n—1)6+a.

【點(diǎn)睛】數(shù)列新定義問(wèn)題的方法和技巧：

(1)可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；

(2)可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)

上的概念，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問(wèn)題.

題目正(2024?河南鄭州?鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))記"=｛1,2,…,100｝.對(duì)數(shù)列｛飆｝(九6雙*)和。的

子集T，若T=0,定義ST=0；若T=｛。也,…,4｝，定義Sr=afl+atJ-Fa%.例如：T—｛1,3,66｝時(shí)，ST—

ai+a3+a66.現(xiàn)設(shè)｛a?｝(neN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T=｛2,4｝時(shí)，S?=30.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

⑵對(duì)任意正整數(shù)k(lWk4100),若TG｛1,2,…,胡,求證：ST<@+I；

⑶設(shè)CUU,。UU,Sc>So,求證：SC+SSD>2SD.

【答案】(1)斯=3"T⑵詳見(jiàn)解析⑶詳見(jiàn)解析

n-1

【詳解】(1)由已知得an=a「3,nGN*.

=

于是當(dāng)T=｛2,4｝時(shí)，Sr=a2+a43的+27al=30al.

又Sr=30,故30al=30,即ax=1.

所以數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=T-\neN*.

(2)因?yàn)門(mén)U｛1,2,…,冊(cè)，a?=3n-1>0,neAT',

=1=

所以S「Wcii+a2+—FGJ;1+3H---F3'。(3'—1)<3".

因此,Sr<ak+1.

.

(3)下面分三種情況證明.

①若。是。的子集，則Sc+SgD=Sc+S/So+S0=2SD.

②若。是。的子集，則Sc+ScnD=Sc+Sc=2s62SD-

③若D不是。的子集，且。不是。的子集.

令￡=。0[VD,F=DnCu。則EW0，F(xiàn)W0,EAF=0.

于是Sc=SE+SmD,SD=SF+SmD，進(jìn)而由S°>SD,得SE>SF.

設(shè)用是E中的最大數(shù)，Z為F中的最大數(shù)，則

由⑵知，SE<ak+1,于是3'T=A；<SF<SE<a*+i=3上，所以/一1V%,即Z4k.

義k不l,故l&k-l,

從而SpW01+02+—Ha尸1+3H-----F3Z1=4—%—W-—,

///

71—1

2；,71為奇數(shù)，

(2彳,九為偶數(shù)

即S0+Scnz>>2S0+1.

綜合①②③得，Sc+ScnD>2SD.

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和

【名師點(diǎn)睛】本題有三個(gè)難點(diǎn):一是數(shù)列新定義，利用新定義確定等比數(shù)列的首項(xiàng)，再代入等比數(shù)列通項(xiàng)公

式求解；二是利用放縮法求證不等式，放縮的目的是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列

的性質(zhì)，以算代征;三是結(jié)論含義的應(yīng)用，實(shí)質(zhì)又是一個(gè)新定義，只不過(guò)是新定義的性質(zhì)應(yīng)用.

題目。(2024?江西南昌?南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若存在gCD使得對(duì)任意恒成立，

則稱(chēng)3為函數(shù)/(，)在。上的最大值點(diǎn),記函數(shù)/(,)在。上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為2

(1)若/(劣)=-X2-\-2X+1,。=凡求集合7W；

(2)若/(劣)=,。=五