云南省三校2023屆高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題（八）（含答案解析）

云南省三校2023屆高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題(A)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

7

1?設(shè)p：x2-x-12<0,q：----^21,則p是夕的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.(cos75°+isin75°)x—i=()

'422J

百

A61.1.

A.—+-i---------1

2222

C.-+^i16

---------1

2222

4.已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，且弓=2,5*-3"見+|=5〃(5〃+2-3"),則￡。23=

()

o20231

A.32023-1B.-~—

2

32。23+132022+1

C.

-2~-2-

5.2023年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費旅游.除

常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則甲、

乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有()

A.1800B.1080C.720D.360

6.己矢口函數(shù)/(x)=sin(2x+e)+l(O<e<7r)滿足+,一x1=2,若0<%<馬<兀,

9

且/(無1)="%)=,，則si"%-玉)的值為()

A./B.一述C.迷D.i

5555

7.已知向量6、c和單位向量a滿足|"b|=洲，卜-小卜+。|=4,則c的最大值為

()

A.逑B.JlC.2D.好

32

22

8.設(shè)。為坐標(biāo)原點,月，尸2是雙曲線C.―￡=1（?！?/〉0）的左、右焦點，過片

作圓O：爐+產(chǎn)=〃的一條切線耳丁，切點為T.線段耳T交。于點尸，若，OPT的面積

4

為g，且sinNKPB=y，則。的方程為（)

22

A.土-匕=1

22

2

2V

C.-1

16

二、多選題

9.已矢口（1一2%）2°23=%+4%+2％2+,+，則（）

A.展開式中所有項的系數(shù)和為-1B.展開式中二項系數(shù)最大項為第1012項

C.4+窖+4++甯=一1D.q+2Q2+3q+L+2023%。23=2023

10.已知點旬,N在圓。：木+y=1上運動,點且|PM「+|PN『=10,。為線

段M,N的中點，則（）

A.過點P有且只有一條直線與圓。相切

B.\QM^+\OQ\"=1

C?點0在直線尤+2y+l=o上運動

D.|MN|的最大值為0

11.在棱長為2的正方體ABC。-AAGA中，P,E,尸分別為棱他，CG，BC的中點，

。1為側(cè)面98出的中心，貝I（）

A.直線AB〃平面PEF

B.直線AC〃平面。了尸

C.三棱錐?！甘诺捏w積為:

D.三棱錐尸-3CE的外接球表面積9兀

12.已知x>0時，（e*-or-6-c）（ov+6-lnx）20,貝!］（）

A.當(dāng)。<2時，b+c>\,a+b>QB.當(dāng)。<2時，tz+lna>2c-3

C.當(dāng)c〉3時，a+ln〃<cD.當(dāng)c>3時，a+ln〃v2c—3

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

13.2023年國家公務(wù)員考試筆試于1月8日結(jié)束，公共科目包括行政職業(yè)能力測驗和

申論兩科,滿分均為100分，行政職業(yè)能力測驗中，考生成績X服從正態(tài)分N(80,b2).若

P(75<x<85)=|,則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，恰有2名考生的成

績高于85的概率為.

14.已知定義域為R的偶函數(shù)〃力滿足/(1-2x)=/(l+2x),且當(dāng)xe［0,l］時,/(x)=x,

若將方程"x)=log“Mx|(〃eN*)實數(shù)解的個數(shù)記為，則

111

----1-----1---1------=

15.在二ABC中，若sinA=2cos3cosc,則cos?5+cos2c的最大值為.

16.斜三棱柱ABC-A用G中，平面平面若45=3?,AC=BC=3f

sinZAAB=1,在三棱柱ABC-A再G內(nèi)放置兩個半徑相等的球，使這兩個球相切，且

每個球都與三棱柱的三個側(cè)面及一個底面相切，則三棱柱ABC-A/。］的高為.

四、解答題

17.已知ABC中，sinC=—,tanA+tanB=-^,

23

⑴求tanA；

⑵若點D為BC邊上靠近點B的三等分點，求—ADC的余弦值.

18.在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”的中國男足U23代表隊打出了中國男足

在世界舞臺上的最好表現(xiàn).球隊的戰(zhàn)術(shù)核心，來自沈陽的陳濤入選了賽事最佳陣容.世

青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個階段.小組賽中，每個小組4支球隊，按照單循環(huán)

賽制選出兩支球隊進(jìn)入淘汰賽.淘汰賽中16支球隊逐隊廝殺，通過4輪比賽決出最后

的冠軍.

(1)己知在小組賽中，每贏一場記3分，打平一場記1分，輸一場記。分，小組賽階段中

國隊與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊分在同一組.首戰(zhàn)中中國隊驚險戰(zhàn)勝了歐洲亞

軍土耳其隊，在小組賽占據(jù)了優(yōu)勢.面對后兩場比賽的對手烏克蘭隊和巴拿馬隊，根據(jù)

賽前球探報告分析，可以近似認(rèn)為后兩場比賽中國的獲勝的概率都為0.5,打平的概率

都為02,輸球的概率都為0.3.中國隊三場小組賽之后的總積分為隨機變量X,求出其

分布列和期望.

（2）10號隊員陳濤作為中國隊的進(jìn)攻核心，他的表現(xiàn)對中國隊而言舉足輕重.過往數(shù)據(jù)

表示，在所有陳濤出場并且有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國隊贏得了其中80%的場次,

在所有陳濤沒有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國隊贏得了其中20%的場次，陳濤在其代表

中國隊出場的40場比賽中，有30場比賽完成了進(jìn)球或者助攻.在本屆比賽中，中國隊

在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對陣世界足壇的傳統(tǒng)強隊德國隊.已知在淘汰賽對

陣德國隊的比賽中，陳濤代表中國隊出場比賽，雖然經(jīng)過全隊不懈努力，仍然不敵強大

的德國隊，若以過往的數(shù)據(jù)估計概率，請估計陳濤在本場比賽貢獻(xiàn)進(jìn)球或者助攻的概率.

19.已知數(shù)列｛%｝滿足。用=亍彳，?,=1.

⑴計算：%,%，%，生，猜想數(shù)列｛4｝的通項公式，并證明你的結(jié)論；

⑵若V〃eN+，1.加（2-《）＞左,求左的取值范圍.

20.已知直角梯形形狀如下，其中AB_LAD,DC=2AB=6AE，AB=6,AD=2.

⑴在線段CO上找出點R將四邊形AD/右沿E尸翻折，形成幾何體ABE-D'b.若

無論二面角A'-3多大，都能夠使得幾何體ABE-DCF為棱臺，請指出點尸的具

體位置（無需給出證明過程）.

（2）在（1）的條件下，若二面角A'-跖-B為直二面角，求棱臺ABE-DCF的體積，

并求出此時二面角3-AD-E1的余弦值.

22

21.已知橢圓C：上+與=1e＞0）與＞軸交于4（0力），3（0,詢兩點，橢圓上異于4,

2兩點的動點。到A,2兩點的斜率分別為K,k2,已知上他=-\.

⑴求橢圓C的方程；

⑵過定點G（-l,-l）與動點。的直線，與橢圓交于另外一點“，若A”的斜率為勺，求

心+質(zhì)的取值范圍.

22.已知"了）=必+依，g（x）=lnx有且僅有一條公切線/,

⑴求“X）的解析式，并比較“X）與g（x）的大小關(guān)系.

〃z+1

⑵證明：X-5-＞ln（n+1）＞〃eN*.

Z=11

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】解一元二次不等式、分式不等式求對應(yīng)尤的范圍，根據(jù)充分、必要性定義判斷公

q的關(guān)系.

【詳解】由f一x-12=(x-4)(x+3)V0,則—3WxW4,

77二2即(x—4)(x+3)W0

由一->h貝(J］--------故-3<x?4,

x+3x+3x+3wO

所以p是q的必要不充分條件.

故選：B

2.B

【分析】根據(jù)回歸直線過樣本中心點求解即可.

,、*“rir~0+2+4+6+8—1+/77+1+2m+1+3m+3+11

［詳解］彳=-------------=4,y=--------------------------------------=1.2/77+3.4,

又回歸直線方程為y=1.6x+0.6,

所以1.2m+3.4=1.6X4+0.6,解得〃?=3.

故選：B.

3.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運算以及其三角形式的運算即可得到答案.

2

rV272.Y(60.)

【詳解】------------------1------------------1X------------------1x----------1

2222)(2222J

V2后.

X-----------------1------------------1

2222

+isin75")xf---i

(cos75

,122J

二(cos75。+isin750)x(cos315+isin315)

=cos(75+315)+isin(75+315)

=cos390+isin390=cos30+isin30=—+-i

22

故選：A.

4.C

答案第1頁，共22頁

【分析】由%,5“關(guān)系且S”>0可得S.H-S“=3",利用累加法、等比數(shù)列前n項和公式求52023.

【詳解】由題設(shè)S；+「3"(S角-,)=S?(S“+2-3”),則=3"(5?+1+S“),

又｛4｝都為正項，貝|S“>0,故5m-5"=3",

所以邑023一2022313)

S2022+...+S3-S2+S2-St=3+...+32+3=。

32°23_332023+1

所以S嫻—S|=S2023-2=，故$2023

2~2~

故選：C

5.B

【分析】分成恰有2個部門所選的旅游地相同、4個部門所選的旅游地全不相同兩類，再應(yīng)

用分步計數(shù)及排列、組合數(shù)求至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù).

【詳解】①恰有2個部門所選的旅游地相同，

第一步，先將選相同的2個部門取出，有C；=6種;

第二步，從6個旅游地中選出3個排序，有A：=120種,

根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有6x120=720種;

②4個部門所選的旅游地都不相同的方法有A：=360種,

根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同

的方法種數(shù)共有720+360=1080種.

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)/（町+/［費-1=2,可得函數(shù)”尤）關(guān)于對稱，從而可求出函數(shù)的解

析式，再由三角恒等變換計算sin（9-%）的值.

5兀H-1，

【詳解】因為/（x）+/--%=2,所以〃尤）-1=一

*對稱,

所以函數(shù)/（X）關(guān)于

Sir

所以一+0=析，貝=E------GZ,

66

JT

又0</<無，所以夕=：,

6

答案第2頁，共22頁

所以〃x)=sin[2x+己),

7

COS[2(X2=COS

25

所以sin（%-與）=尸嗎EZ6=1.

因為0<%2一%1〈兀

故選：D.

7.C

【分析】設(shè)。=。,0），再分別設(shè)。=（無,V），）=（%,%），根據(jù)題意可得軌跡方程，再根據(jù)數(shù)

量積公式數(shù)形結(jié)合分析即可.

【詳解】設(shè)2=（1,0）,6=（x,y）,由,_0=2忖可得（無一,+>2=4任+力,

化簡可得3/+3產(chǎn)+2工一1=0,即（x+g）+y2=1.

設(shè)0=（尤0，%）,貝!］由卜-（7|+/+°|=4,

可得JE—Ip+尤+,伉+以+尤=4,

22

故（不，%）的軌跡為以（-1，。），（1，。）為焦點，2。=4的橢圓，其方程為亍+q_=l.

設(shè)反c夾角為。，則6-c=W.|c|cos。，

由圓與橢圓的性質(zhì)可得，忖*+；=1,歸|<2,cos'Wl,

故當(dāng)6,c同向，均與無軸負(fù)同向時，6.c取得最大值2.

故選：C.

答案第3頁，共22頁

8.A

【分析】由雙曲線定義，OPT的面積，直角△。歷中的銳角三角函數(shù)和△耳尸此中的正弦

定理、余弦定理建立。，b,。之間的關(guān)系方程，再求解即可.

［詳解］

/負(fù)謂F2x

由圓。的方程/+/=〃知，|OT|=b,

又OT工KT,在直角△。巧中，山T|二J|O珊-|OT「=〃2_骨=q,

OTb

且sin/坐。二同二

在AOPT中OTLPT,則50心」°斗附=四±=［,故歸外=：.

OPT222''b

b

在^耳尸工中，sin/PFXF2=sinZZT^O=—,

|f；F,|sinZPf；fi2cx~5b

由正弦定理,I*，則|叫=

~sinZF.PF,-4-T

sinZfJPf；smZPFtF2

5

.?.由雙曲線定義，|尸國=|「周一2a=”一2a,又由刀=a,|PT|=g,貝”P￡|=a-g,

43

,.,"TO為直角，易知“尸鳥為鈍角，由sinN耳尸6=］知，cosZFiPF2=--,

在AKPE中，由余弦定理，忸月「=歸耳「+歸月「一2歸耳卜「閭＜0$/甲犯，

答案第4頁，共22頁

5b3

4a2+4b2=號二10M+4/+與，乎—整理得層-"=6僅-。)=0,

?*.b=a.

1

又3a=9+；,將6=。代入，解得°=b=亞.

2b

22

.??雙曲線C的方程：上-匕=1.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：建立起。，b,c之間的關(guān)系，通過方程組進(jìn)行求解.作為選擇題，可

以適當(dāng)運用1解題技巧：當(dāng)?shù)玫?。，b之間的第一個關(guān)系為=5￥b+=1時，可通過將選項中的。，

力依次代入檢驗，快速選出正確選項.

9.AC

【分析】選項A,令x=l,由此即可求解；選項B,根據(jù)〃的值以及二項式系數(shù)的性質(zhì)即可

求解；選項C,分別令x=0,x=l,建立方程即可求解；選項D,先對己知關(guān)系式求導(dǎo)，

然后令x=l,即可求解.

【詳解】選項A,令x=l,則展開式的各項系數(shù)和為(1-2)2儂=-1,A選項正確；

選項B,因為〃=2023,所以展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項與第1013項，B選項

錯誤；

選項c,令A(yù)。，則%”令、，則％+A*L+簧

所以?+?+....+翳=。-1=一1,C選項正確；

222

2022

選項D,已知關(guān)系式兩邊同時取導(dǎo)，貝1]2023(1-2了)2°22、(一2)=4+2。2了+1+2023a2023x,

令x=l,貝iJq+2%+......+2023叼023=2023x(1-2)2°22*(-2)=T046,口選項錯誤；

故選：AC.

10.BD

【分析】首先判斷P與圓0的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合判斷A、B；再應(yīng)用兩點距離、中點公式

及已知求得。在直線無+y+l=0上判斷C；由幾何法求得|MN|=2-1OQ『,結(jié)合點線距

答案第5頁，共22頁

離求|MN|的最大值.

【詳解】由F+12=2>1，故P（U）在圓。外，故過點尸有兩條直線與圓。相切，A錯;

由。為線段MN的中點，MN為圓。的弦，故|。河「+|?！恪?1,B對；

由「〃「+忖22=（而一1）2+（加-1）2+（樂一1）2+（后—1）2=10,又M,N都在圓上，

所以6-2（如+加+/+%）=10,即為+坊+/+后=-2,而a=99，兀=電2k

所以%+為=-1,即點。在直線x+y+l=O上，C錯；

Efe\MN\=2^\OM^-\OQ^-271-10212，當(dāng)IOQI最小時，|??V|最大，

9=孝，止匕時。在圓的內(nèi)部,

而I。。I最小值為。至!J尤+y+l=o的是巨離為d=

所以同。皿=2J1-1=夜，D對.

故選：BD

11.BCD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，得出各直線的方向向量和平面的法向量,

求出相應(yīng)三棱錐的體積和外接球的表面積，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，

在正方體ABC。-44GA中，棱長為2,P,E,尸分別為棱A4，CG,BC的中點，為

側(cè)面A448的中心，

建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,

答案第6頁，共22頁

則A（2,0,2）,3（2,2,2）,C（0,2,2）,。（0,0,2）,A（2,0,0）,4（2,2,0）,￡（0,2,0）,

q（0,0,0）,?（2,1,1）,尸（2,0,1）,E（0,2,1）,1（1,2,2）,

A5=（O,2,O）,EF=（2,-2,O）,EF=（l,O,l）,

設(shè)面尸EF的法向量為“1=（者,％，4）,

當(dāng)士=1時，721=（1,1,—1）,

*.*AB?%=0+2+0=2w0,

直線AB與面PEF不平行，A錯誤;

B項，

答案第7頁，共22頁

AC=(-2,2,2),EO,=(2,-1,o),跖=(L0,1)

設(shè)面尸EF的法向量為%=（X2，%，Z2），

n2-EO]=02x-y,=02%=%

！11

則.，即n解得:

%+Z[=。

n2-EF=0

當(dāng)為=1時，n2=(1,2,-1),

AC〃2=-2X1+2X2+2X(-1)=0,

???直線4。與平面O1所平行，B正確;

答案第8頁，共22頁

如圖，三棱錐尸-3CE恰好在長方體XBCD-PGEH上，且CP為體對角線,

，CP為三棱錐P-3CE外接球的直徑,

由幾何知識得CP=J(2_0『+(0—2)2+(「2)2=3,

，三棱錐P-3CE的外接球表面積為S=47i[q[=9兀，D正確;

故選：BCD.

12.BCD

【分析】本題考慮到不等式可以用〃x)=e*-c,g(x)=]nx,6(力=奴+6這3個函數(shù)進(jìn)行

表示，可將不等式轉(zhuǎn)化為這三個函數(shù)在x>0時的大小位置關(guān)系.可結(jié)合e，>x+l,x-l>lnx

進(jìn)行初步判斷函數(shù)的大小關(guān)系，結(jié)合。的變化對“X),g(x)的相對位置的變化影響可解得

本題.

【詳解】設(shè)〃x)=e"-c,g(x)=lnx,h(x)=ax+b,

由-ax—b—c^ax+b-lnx^>0^|^/(x)——>0,

所以尤>0時，f(x)>h(x)>g(x)^f(x)<h(x)<g(x).

A和B選項：

當(dāng)c<2時，/(x)=e*-c>e'-2,

設(shè)t(x)=e*-x-l,貝！|，(x)=e*-1,

當(dāng)x>0時，")=寸一1>0,所以《x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以0=6，-*-1>40)=0,

即當(dāng)x>0時，e*>x+l,

答案第9頁，共22頁

故/(力=。，一。>6，一2>X-1.

設(shè)〃(x)=x-l-lnx,貝|u\x)=l~~,

當(dāng)Ov尤vl時，/(九)<0,則〃⑺在(。,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)%>1時，沅'(％)>0,則4%)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

故〃⑺之〃⑴=0,即x-l>lnx,

所以有/(x)=ex-c>ex-2>x-i>lnx=,

即Vx>0,/(x)>/z(x)>g(x).

設(shè)s(x)=/z(x)-g(x)=av+b-lnx,由題意可知s(x)NO,a>0,

S'(％)=Q,

X

當(dāng)xe(0,￡|時，s'(x)<0,s(￡)在［J上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，/(x)>0,s(x)在(：,+(?)單調(diào)遞增，

所以s(x)Ns(J=l+6+lna20,得心門,

由一b,a+lna^Q—b—1之一2b—1,

當(dāng)x30時，由/(x)2/z(x)得6<1-C，

貝lja+lna>-2(1-c)-1=2c-3,故B正確，

取c=l,a=l,b=-l,貝!Ja+ln〃=c,故A錯誤；

C和D選項：

當(dāng)c>3時，/(l)=e-c<e-3<l=/z(l)

由題意，4(%)=依+1恰為/(元)=廿一4,g(%)=lnx兩交點”(五,ln石),N(w，ln九2)所在

答案第10頁，共22頁

直線,

,Inx.=eX1-c=ax,+b,,、

則，.(0<占<1<々

2

[lnx2=e-c=ax2+b

則“43eX1-eX2

x1—x2

e百十e巧Inx+lnx_e*+e%2

12—In&1%2,

222

下列證明對均不等式:

r-ra—ba+b,八

7abe--------<-----,a,b>Q,

Ina-lnb2

不妨設(shè)a>b>0,先證而<,,即證InMp-p,

Ina-lnbbybya

令=/?>1),設(shè)/?)=21n,->1),

Vbt

則/?)=2一i_』=衛(wèi)Ri<o,所以/⑺在(i,+8)遞減，

trr

而/⑴=。，因此當(dāng),>1時,/?)=21n/T+；v0恒成立，

即—成立.

bVbva

木、丁a-ba+b何、十1a

再證;----「■＜一「，即證山一＜於

ina-Inb2b

b

令：=lQ>l),g?)=lnl—2"

bt+1

則g'?)=l-二==；S>。,所以g⑺在(i，y)遞增，而g(i)=o,

因此當(dāng)cl時,inf一笆？>0恒成立，即、a：,<空^成立.

t+1Ina-lnb2

由對數(shù)平均不等式知,

答案第11頁，共22頁

已畫一2

9+e“2/-----e^x]—xi?1

c=------------InJx{x2>------------In--------------=a-ln—=a+lna.

2%_%2Inj^-lnx2a

故a+ln〃<c<2c—3,

故CD正確

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考察用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題，本題解題的關(guān)鍵是從不等式中能抽

象出來/(x)=e*-c,g(x)=lnx,/?(x)=or+b這三個函數(shù)，然后根據(jù)不等式得到三個函數(shù)

的圖象在不同位置時的聯(lián)系進(jìn)而去解決問題.

13.—/0.288

125

【分析】先根據(jù)正態(tài)分布求考生的成績高于85的概率，再根據(jù)獨立事件求恰有2名考生的

成績高于85的概率即可.

19

【詳解】由正態(tài)分布可得:考生的成績高于85的概率P(X>85)=-[1-P(75<x<85)]=-,

所以恰有2名考生的成績高于85的概率P=C；xx1-1]=含

故答案為：需.

n

14-4(7+1)

【分析】由條件分析得函數(shù)的周期性，結(jié)合對稱性作出草圖，分析兩函數(shù)的交點個數(shù)，得出

數(shù)列通項，裂項相消求和即可.

【詳解】因為定義域為R的偶函數(shù)"X)滿足"1-2X)=/(1+2X),

所以/(-x)"(x)J(l-x)=/(l+x),則/(-x)=/(2+x)=/(x),

所以函數(shù)/(尤)是以2為周期得周期函數(shù)，

方程"X)=log“M尤I(〃€N*)的實數(shù)解個數(shù)，

即函數(shù)、=/(》),、=108a+1國("€河)的交點個數(shù)，

不難發(fā)現(xiàn)y=iog“+iW也是偶函數(shù)，所以兩函數(shù)的交點是關(guān)于縱軸對稱的,

這里只分析x>0的情況.

結(jié)合條件作出兩函數(shù)簡要圖象如下：

答案第12頁，共22頁

當(dāng)〃=1時,

當(dāng)〃=2時,

此時有4個交點，即4=4,

可知an=2n,

?1111）”

+

所以---+----aa41n+lj4（n+l）

Cl?d~2^^3nn+l

n

故答案為：4(^i)-

15—+1

,2

【分析】先由題證明得cos?A+cos?B+cos?C+2cosAcosBcosC=1,再化簡得

COS2B+cos2C=1-^1sin(2A+-),再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出最大值.

224

【詳解】首先證明：在△A8c中，有cos?A+cos?B+cos?C+2cosAcosJ5cosc=1,

在aABC中，由余弦定理得a?+Z?2—c2-2abcosC=0，

由正弦定理得sinA2+sinB2-sinC2-2sinAsinBcosC=0,

令cos?A+cos2B+cos2C+2cosAcos5cosc-M,

答案第13頁，共22頁

上述兩式相加得M=2+cos2C—sin2C+2(cosAcosB-sinAsinB)cosC

=2+cos2C-sin2C+2cos(A+B)cosC

=2+cos2C—sin2C—2cos2C=2—(cos?C+sin2C)=1

所以cos2B+cos2C=1-cos2A-2cosAcosBcosC

1l+cos2A..4II/.4CA、

=l-----------smAcosA=—-—(sin2A+cos2A)

=J__也sin(2A+；卜A/2+1

"2--r2

當(dāng)sin2A+：=-1即A兀時取等.

8

故答案為：立擔(dān)

2

41

16.-/I-

33

【分析】根據(jù)給定條件，探求兩個球的球心在平面A3瓦A上的投影確定的直線平行于直線

A%,再建立空間直角坐標(biāo)系，求出球的半徑即可作答.

【詳解】在斜三棱柱A5C-4耳如中，與平面A5C相切的球的球心為與平面A與G相

切的球的球心為。2，

因為球0、球。2與平面4B百A都相切，令切點分別這QE,有。。JIDE,

又球球。2與平面ACGA都相切，則。02〃平面ACGA，又。平面AC￡A，

于是OE//平面ACGA,而。Eu平面AB與A，平面回耳4）平面ACGA=AA，因此

DE//AA,,且

在平面ABC內(nèi)過點A作Ay_LAB,在平面ABB^過點A作&_LAB,

因為平面ABCJ?平面,平面ABCc平面ABB/=A8，則Az_L平面ABC,

以點A作原點，射線AB,Ay,Az的方向分別為無,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

答案第14頁，共22頁

在.ABC中，AB=3>5,AC=BC=3,則ZBAC=/ABC=30,

AC的方向向量a=(A/3,1,0),BC的方向向量6=(-A/3,1,0),

由sinZAAB=g,得的方向向量c=(2五,0』)，

n-a=yJ3x+y,=0

設(shè)平面ACQA的法向量〃=(HM，zJ,則py，令占=-l,得

[ri-C=2V2%+Z[=0

?=(-1,A/3,2A/2),

m-b=-A/3X9+%=0

設(shè)平面BCG用的法向量機=(%,%*,),則L,令馬=1，得

m-c=2V2X2+z2=0

m=(1,有,-2五),

令球。1的半徑為r,設(shè)點。1(x,r,r),則AQ=(x,r,r),BOX=(x-373,r,r),

由四1辿=一坨四，得|T+3+20）川=26=月3相+（%-2揚川，

\>i\\m\

33

顯然點C到平面A8gA的距離等于等腰ABC底邊AB上的高即有0<1萬，

由|-x+（白+20）r|=|x-3也+（6-2應(yīng)）川，^x=—+2y/2r,代入

2

|一X+（6+20?|=2A/^,解得r=g,

DE=On=2r=1,線段上在z軸上的投影為DEsinZAAB=1-2r=1,

顯然三棱柱ABC-A4a的高等于點01到平面ABC的距離,，。2到平面A耳G的距離r與

OE在z軸上的投影的和，

所以三棱柱ABC-4與G的高為2r+：=鼻.

4

故答案為：—

答案第15頁，共22頁

【點睛】方法點睛：求點到平面的距離可以利用幾何法，作出點到平面的垂線段求解；也可

以用向量法，求出平面的法向量，再求出這一點與平面內(nèi)任意一點確定的向量在法向量的投

影即可.

17.(l)tanA=—

3

⑵晅

38

【分析】(1)由商數(shù)關(guān)系、和角正弦公式及三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得ST0君，進(jìn)而

cosAcos83

33

有cosAcos8=：,由和差角余弦公式得cos(A-8)-cosC=；,同角平方關(guān)系及三角形內(nèi)角

42

性質(zhì)求各角大小，即可得結(jié)果；

(2)取AC=BC=3,應(yīng)用余弦定理求AD,進(jìn)而求上WC的余弦值.

,口4八sinAsinBsinAcosB+sinBcosAsin(A+B)

【詳解】(1)由題意tanA+tanB=-------+-------=-------------------------------=--------------

cosAcosBcosAcosBcosAcosB

=sinC

cosAcosB3

又sinC=—,故cosAcos5=2,而cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB,

24

3

A+3+C=7t且A,B,CG(0,7i),所以cos(A+3)+cos(A-B)=cos(A-3)-cosC=一,

cosC=±71-sin*23C=±-,所以cos(A-B)=l或cos(A-8)=2(舍)，

2

故cosC=-1，A-B=0,則A=_B=F，C=|■兀，故tanA=

2633

(2)不妨取AC=8C=3,貝lJCD=2,AD=VCD2+AC2-2CD-AC-cosC=719>

C

必+4。2一AC?4+19-97719

cosNADC=

2CDAD2x2xV1938

18.(1)分布列見解析，期望為6.4分;

嗎

【分析】(1)求出X的可能值，及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.

(2)利用全概率公式求出中國隊獲勝的概率，再利用條件概率公式求解.

答案第16頁，共22頁

【詳解】(1)依題意，X的可能值為3,4,5,6,7,9,

尸(X=3)=032=0.09,尸(X=4)=C；x0.3x0.2=0.12,P{X=5)=0.2x0.2=0.04,

尸(X=6)=C；x0.5x0.3=0.3,尸(X=7)=C；x0.5x0.2=0,2,尸(X=9)=0.5x0.5=0.25,

所以X的分布列如下：

X345679

P0.090.120.040.30.20.25

期望為E(X)=3x0.09+4x0.12+5x0.04+6x0.3+7x0.2+9x0.25=6.4分.

_30—

(2)若A為陳濤取得進(jìn)球或者助攻，則A為未進(jìn)球且未助攻,則P(A)=—=0.75,P(A)=0.25,

40

若B為中國隊獲勝，則P(3|A)=0.8，尸⑻否=0.2,

P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0.2x0.25+0.8x0.75=0.65,則P(B)=0.35,

P(AB)=P(B|A)P(A)=(l-0.8)x0.75=0.15,

所以尸(A|而=2^=,，即中國隊輸給德國隊的前提下，陳濤進(jìn)球或助攻的概率為

179112n+l、-rruri治4

19.(1)。2=1，。3=:，。4=三，an=證明見解析

678n+3

,17

(2)k.<—x1.1

【分析】（1）根據(jù)遞推式寫出對應(yīng)項，并猜測通項公式，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;

（2）利用作差法求2=1.1〃（2-%）的最小項，根據(jù)恒成立求參數(shù)范圍.

379

3x-+43X--F4八3X--F411

【詳解】（1）由題設(shè)%=4=1，3xl+4_7697II

7-1~6

7——/---/---

467

猜測數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

n+3

由上及已知有"=1,2,3,4,5均滿足%=出上

n+3

2Z+1

2x+1

_2k+l2%+1k+32左+32(左+1)+1

彳段設(shè)n=keN*,成立，貝ij%+i=,滿足

-k+37-2k+1左+4(左+1)+3

7-

k+3

答案第17頁，共22頁

上式;

…I2n+l*

綜上，=—且72GN.

n+3

5x1r5x1.1向5x1.F0.5x1.F.(n-7)

(2)取々=17(2—為)=——,故以「2=

〃+3〃+4幾+3(〃+3)(九+4)

x7

當(dāng)〃=1,2,3,4,5,6時a.<2，當(dāng)w=8,9,10,11,…時￡+1>bn,且％=4=|l-l為最小項,

所以W〃eN+有優(yōu)>左，則左

20.（1）。尸=4或尸為靠近點。的三等分點;

⑵然；#.

【分析】（1）延長八4,CB交于點。，連接OE并延長交8于尸，翻折后證明平面A￡B//平

面。產(chǎn)C即可推理作答.

（2）根據(jù)給定條件，證明DEL平面功C,再利用錐體的體積公式結(jié)合割補法求出體積，

建立空間直角坐標(biāo)系求出面面角的余弦作答.

【詳解】（1）在直角梯形ABC。中，延長DACB交于點0,連接OE并延長交CD于歹，如

圖，

AB//CD,DC=2AB=12,AE=2,于是一;~=——==2,貝[]_OF=4,尸為靠近點。