專題02求最值中的幾何模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

專題02求最值中的幾何模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）專題02求最值中的幾何模型題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練模型01將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，該題型綜合考查學(xué)生的理解和數(shù)形結(jié)合能力具有一定的難度，也是學(xué)生感覺有難度的題型.在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①將軍飲馬作對稱點(diǎn)；②兩點(diǎn)之間，線段最短；=3\*GB3③垂線段最短，涉及的基本知識點(diǎn)還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認(rèn)識.模型02建橋選址模型建橋選址模型，即沿一個方向平移的定長線段兩端到兩個定點(diǎn)距離和最小，解題時需要理清楚是否含有定長平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．求解長度時若有特殊角，通常采用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解的方法.該題型主要考查了在最短路徑問題中的應(yīng)用，涉及到的主要知識點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于如何利用軸對稱找到最短路徑.模型03胡不歸模型胡不歸PA+k·PB”型的最值問題：當(dāng)k等于1時，即為“PA+PB”之和最短問題，可用我們常見的“將軍飲馬”問題模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理.當(dāng)k不等于1時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路.此類問題的處理通常以動點(diǎn)P所在圖象的不同來分類，一般分為兩類研究.即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動.其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動的類型通常為“胡不歸”問題.模型01將軍飲馬模型考｜向｜預(yù)｜測將軍飲馬模型問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，綜合性大題中的其中一問，難度系數(shù)較大，在各類考試中都以中高檔題為主.本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察所求為橫向還是縱向的線段長度（定長），將線段按照長度方向平移第二步：同側(cè)做對稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線第三步：結(jié)合兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊等常考知識點(diǎn)第四步：利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)兩點(diǎn)連線，線段最短例1．（2023·四川）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】6【詳解】解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)例2.（2022·安徽）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P，Q分別是BD，AB上的動點(diǎn)，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【詳解】解：如圖，在BC上取E，使BE＝BQ，連接PE，過A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，當(dāng)AP＋PE＝AH時最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝，∴AP＋PQ的最小為，故選：D．模型02建橋選址模型考｜向｜預(yù)｜測建橋選址模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查軸對稱－－－最短路徑問題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”等，但許多實(shí)際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化．答｜題｜技｜巧第一步：觀察點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律求出已知關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步：分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）第三步：周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運(yùn)動時間登，確定要求的點(diǎn)與哪個點(diǎn)重合或在同一象限，或與哪個關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等；第四步：利用有理數(shù)的運(yùn)算解題（1）兩個點(diǎn)都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.例1．（2022·湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動點(diǎn)．求PD+PQ+QE的最小值為．【答案】4．【詳解】如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時，取得最小值，故的最小值為4．（2）一個點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個點(diǎn)在外側(cè)：輔助線：過點(diǎn)B作關(guān)于定直線n的對稱點(diǎn)B’，連接AB’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.例2．（2023·山東）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動點(diǎn)，則的周長的最小值為_________．【答案】【詳解】解：∵直線m垂直平分BC，∴B、C關(guān)于直線m對稱，設(shè)直線m交AB于D，∴當(dāng)P和D重合時，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的長，∴△APC周長的最小值是6＋4＝10．故答案為：10．（3）如圖3，兩個點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過點(diǎn)A、B作關(guān)于定直線m、n的對稱點(diǎn)A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.例3．（2023.浙江）如圖所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．點(diǎn)P、Q分別是OA、OB上動點(diǎn)，則MQ+PQ+NP的最小值是．【答案】4【詳解】解：如圖，作點(diǎn)N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，則NP＝N′P，作點(diǎn)M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，則MQ＝M′Q，∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，當(dāng)N′M′在同一條直線上時取最小值，連接ON′，OM′，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°則∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∠BOM′＝∠BOA＝50°，∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，先作射線ON'與射線ON關(guān)于OA對稱，由對稱的性質(zhì)可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，同理作射線OM'與射線OM關(guān)于OB對稱，同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，當(dāng)N'、P、Q、M'四點(diǎn)共線時，MQ+PQ+NP最小，則∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，作N'垂直O(jiān)M'的延長線交于點(diǎn)E，∴∠EON'＝60°，∴ON'＝ON＝4，在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半可知OE＝2，則EN'＝2，OM＝OM'＝12，∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，則N′M＝＝＝4．故答案為：4．模型03胡不歸模型考｜向｜預(yù)｜測胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握.本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握.在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短.答｜題｜技｜巧第一步：構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型；第二步：借助三角函數(shù)，構(gòu)造銳角α，將另一個系數(shù)也化為1；第三步：利用“垂線段最短”原理構(gòu)造最短距離；第四步：數(shù)形結(jié)合解題例1．（2023·江蘇）如圖，中，，，，P為邊上一動點(diǎn)，則的最小值等于．【答案】【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，∵，∴∠EDP=∠DAB=45°，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E三點(diǎn)共線且BE⊥AD時，PB+PE有最小值，即最小值為BE，∵，∴，故答案為：．1．（2023·江蘇揚(yáng)州）如圖所示，軍官從軍營C出發(fā)先到河邊（河流用表示）飲馬，再去同側(cè)的D地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個著名的“將軍飲馬”問題嗎?下列給出了四個圖形，你認(rèn)為符合要求的圖形是（

）A．B． C． D．【答案】D【詳解】解：由選項(xiàng)D中圖可知：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，由對稱性可知，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，的距離最短，故選：D2．（2023.浙江）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時，則∠ECF=.【答案】∠ECF＝30o【詳解】過E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時EF＋CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.故答案為30°3．（2022·安徽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一點(diǎn)M，在OA上找一點(diǎn)N，使△PMN周長最小，則此時△PMN的周長為．【答案】5【詳解】作點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)C，作P點(diǎn)關(guān)于AO的對稱點(diǎn)D，連接CD交OA于N，交OB于M，連接MP，NP，OC，OD，∴CM＝MP，NP＝DN，∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，∴當(dāng)C、M、N、D點(diǎn)共線時，△PMN的周長最小，∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，∴∠COD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OP，∵P（5，0），∴OP＝5，∴CD＝5，∴△PMN的周長最小值為5，故答案為：5．4．（2023·廣東）如圖，在中，，，，，是的平分線，若點(diǎn)、分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于AP的對稱點(diǎn)O，則PQ=PO，所以O(shè)、P、C三點(diǎn)共線時，CO=PC+PO=PC+PQ，此時PC+PQ有可能取得最小值，∵當(dāng)CO垂直于AB即CO移到CM位置時，CO的長度最小，∴PC+PQ的最小值即為CM的長度，∵，∴CM=，即PC+PQ的最小值為，故答案為．5．（2023·江蘇）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為．

【答案】【詳解】解：如圖所示：作A點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，再連接，交直線于點(diǎn)P，

則此時最小，過點(diǎn)B作交延長線于點(diǎn)E，∵，，．∴，，∴，，在中，，則的最小值為．故答案為：．6．（2023·浙江）已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=（

）A． B． C．6 D．【答案】B【詳解】解：如圖：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，過點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，過E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°，則EM=DM=1，故cos30°=，解得：PE=PF==，則PM=，故DP=1﹣，則PD+PE+PF=2×+1﹣=．故選B．7．（2023·浙江）如圖，平行四邊形中，，，，P為邊CD上的一動點(diǎn)，則的最小值等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：延長，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)P，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，則，則，同理可得：，∴，∴當(dāng)點(diǎn)E、P、B在同一條直線上時，的值最小，∵，∴．故選：A．

8．（2023·四川）如圖，在中，，若D是邊上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【詳解】解：過點(diǎn)C作射線，使，再過動點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．9．（2023·湖南）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個定點(diǎn)A、B，在直線上存在點(diǎn)，使得的值最小．解法：如圖1，作A點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：(1)幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的一動點(diǎn)，則的最小值為；(2)幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點(diǎn)、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．【答案】(1)(2)，圖和理由見解析【詳解】（1）解：如圖2所示，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于P，此時的值最小．連接，由勾股定理得，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值．故答案為：；（2）解：如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，作于N，交于M，連接，則，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴的最小值為．10．（2023·陜西）在學(xué)習(xí)對稱的知識點(diǎn)時，我們認(rèn)識了如下圖所示的“將軍飲馬”模型求最短距離．問題提出：(1)如圖1所示，已知A，B是直線l同旁的兩個定點(diǎn)．在直線l上確定一點(diǎn)P，并連接與，使的值最小．

問題探究：(2)如圖2所示，正方形的邊長為2，E為的中點(diǎn)，P是上一動點(diǎn)．連接和，則的最小值是___________；

問題解決：(3)某地有一如圖3所示的三角形空地，已知，P是內(nèi)一點(diǎn)，連接后測得米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏刂行抟粋€三角形花壇，點(diǎn)分別是邊上的任意一點(diǎn)（不與各邊頂點(diǎn)重合），求周長的最小值．

【答案】(1)見解析(2)(3)【詳解】（1）解：如圖所示，當(dāng)P點(diǎn)在如圖所示的位置時，的值最?。?/p>

（2）解：如下圖所示，

∵四邊形是正方形，∴垂直平分，∴，由題意易得：，當(dāng)D、P、E共線時，在中，根據(jù)勾股定理得，．（3）解：如下圖所示，分別作點(diǎn)P關(guān)于，的對稱點(diǎn)，連接，交，于點(diǎn)，連接，此時周長的最小值等于．

由軸對稱性質(zhì)可得，，∴，在中，即周長的最小值等于．1．（2023·山東）如圖，已知點(diǎn)，，，，為直線上一動點(diǎn)，則的對角線的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】A【詳解】解：連接，設(shè)交于點(diǎn)，如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴當(dāng)取得最小值時，取得最小值，∴當(dāng)時，取得最小值，∵，，∴，,∴是等腰直角三角形，∴此時是直角三角形，且是斜邊，∵,∴，∴的對角線的最小值是，故選：A．2．（2023·上虞市）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【詳解】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故選：B．3．（2023·山東）如圖，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個動點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動，∴當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，此時AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故選B．4．（2023·四川）如圖，點(diǎn)M是菱形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，P為對角線BD上的動點(diǎn)，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【詳解】解：連接AM、AC，AM交BD于P，此時PM+PC最小，連接CP，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A關(guān)于BD對稱，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=2，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=，∴PM+PC=AM=．故選B．5．（2023·湖北）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為．【答案】18【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC，PM=PC，∴M點(diǎn)為AB上一個固定點(diǎn)，則BM長度固定，∵△PMB周長=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴滿足PC+PB最小即可，顯然，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時，滿足PC+PB最小，如圖所示，此時，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，PC+PB=BC，∴△PMB周長最小值即為BC+BM，此時，作DS⊥AB于S點(diǎn)，DT⊥AC延長線于T點(diǎn)，AQ⊥BC延長線于Q點(diǎn)，由題意，AD為∠BAC的角平分線，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周長最小值為BC+BM=3+7+8=18，故答案為：18．6．（2023·北京）如圖，是內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動，若，，則的周長的最小值為.

【答案】3【詳解】如圖，作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．7．（2023·廣東）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠B＝120°．點(diǎn)P是對角線AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A重合），則AP+PD的最小值為_____．【答案】3【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,∵四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴當(dāng)點(diǎn)D，P，E三點(diǎn)共線且DE⊥AB時,PE+DP的值最小，最小值為DF的長,∴AP+PD的最小值為3.故答案為：3.8．（2023·廣東）如圖，在中，，，.，分別是邊，上的動點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖，作，連接，過B點(diǎn)作的延長線與G點(diǎn)，，且，，，．，∴當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時，，此時的值最小，為．，．又，，∴四邊形是矩形，，，，．故答案為：9．（2023·內(nèi)蒙古）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M是對角線AC上的一動點(diǎn)，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．【答案】【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等邊三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵M(jìn)D=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根據(jù)垂線段最短，此時DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長為8，∴DE=，∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案為：8．10．（2023·浙江）如圖，河的兩岸有，兩個水文觀測點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現(xiàn)測得，兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點(diǎn)之間的水平距離為12米，則的最小值是米．

【答案】18【詳解】作垂直于河岸，使等于河寬，連接，與靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一條河岸，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)C，則且，于是為平行四邊形，故，

當(dāng)時，最小，也就是最短，∵（米），（米），（米）∴在中，（米），∴的最小值為：（米）故答案為：18．11．（2023·廣東）如圖所示，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形（點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合）的頂點(diǎn)D、B分別在x軸、y軸上，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為，連接，將沿直線翻折至，交于點(diǎn)E．

(1)求點(diǎn)坐標(biāo)．(2)試在x軸上找點(diǎn)P，使的長度最短，請求出這個最短距離．【答案】(1)；(2)的長度的最短距離為．【詳解】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，連接，與交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，

由折疊知，，，，，，，設(shè)，則，，即，解得，，即，，；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，與軸交于點(diǎn)，則的值最小，

，，故的長度的最短距離為．12．（2023·吉林）數(shù)學(xué)興趣活動課上，小致將等腰的底邊與直線重合．（1）如圖(1)，在中，，點(diǎn)在邊所在的直線上移動，根據(jù)“直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”，小致發(fā)現(xiàn)的最小值是____________．（2）為進(jìn)一步運(yùn)用該結(jié)論，在（1）的條件下，小致發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最短時，如圖(2)，在中，作平分交于點(diǎn)點(diǎn)分別是邊上的動點(diǎn)，連結(jié)小致嘗試探索的最小值，小致在上截取使得連結(jié)易證，從而將轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化到（1）的情況，則的最小值為；（3）解決問題：如圖(3)，在中，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，連結(jié)將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段連結(jié)，求線段的最小值．【