第四章一元二次方程教材解讀

第四章一元二次方程教材解讀歡口育英初級(jí)中學(xué)：彭亞利教材內(nèi)容本章共三節(jié)內(nèi)容，主要介紹了一元二次方程的概念、一般形式、解法、根的判別式定理及其應(yīng)用.課標(biāo)要求1。理解配方法，會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2。會(huì)用一元二次方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理。4.1一元二次方程對(duì)于一元二次方程的概念,教學(xué)中要注意兩種形式概念的教學(xué)（1）文字語言：讓學(xué)生理解一元二次方程的三個(gè)條件:①整式方程②含有一個(gè)未知數(shù)，③未知數(shù)的最高次數(shù)是2。結(jié)合定義比較,討論像xy+x2=51/x2+x-2=0X3-1=0的方程就不是一元二次方程。（2)符號(hào)語言：一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）、①讓學(xué)生理解a≠0的意義,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)像x（x+2）=x2+6這樣的方程就不是一元二次方程。強(qiáng)調(diào)判斷是不是一元二次方程要先化簡(jiǎn)，②關(guān)于x的一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0)要讓學(xué)生能準(zhǔn)確指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。為后面學(xué)習(xí)公式法解方程做好鋪墊。4。2一元二次方程的解法直接開平方法直接開平方法比較簡(jiǎn)單，教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生觀察：?jiǎn)栴}變化方程形式變化解方程x2-4=0求平方根x2＝4學(xué)生很容易理解就是將方程變形為x2＝a(a≥0）求平方根。配方法1.首先引導(dǎo)學(xué)生：將方程x2+6x+4=0轉(zhuǎn)化為（x+3）2=5的形式.讓學(xué)生體會(huì)將未知轉(zhuǎn)化成已知的思想。2。教學(xué)中配方是重點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)照完全平方公式，理解兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,目的是使方程左邊成為完全平方式，化成（x+h)2=k的形式。3.學(xué)習(xí)配方法解方程的過程中，易于出錯(cuò)，教學(xué)中要注意解題格式的規(guī)范性.4。配方法解方程過程中，配方的條件：有：二次項(xiàng)（系數(shù)為1)、一次項(xiàng)。缺：常數(shù)項(xiàng)配方的方法：補(bǔ)：常數(shù)項(xiàng)（加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）公式法1.利用學(xué)生已有的配方法解方程的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自己用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0），通過探索去發(fā)現(xiàn)求根公式和公式的條件。2。教學(xué)中,要淡化的化簡(jiǎn)，以免增加學(xué)生學(xué)習(xí)的困難。3.運(yùn)用公式解方程前，可讓學(xué)生先熟悉記憶公式，及公式的條件，這樣更有利于用公式法解方程的教學(xué)。4.公式法解方程簡(jiǎn)單易學(xué),解題正確率高，幾乎適用于所有的方程,因而教學(xué)中要讓學(xué)生熟悉、規(guī)范解題步驟：①化成一般形式②確定a、b、c值③計(jì)算b2-4ac的值，并判斷其符號(hào)④代入求根公式求解一元二次方程根的判別式1.在掌握公式法解方程的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生動(dòng)手解方程①x2+x-1=0②x2—6x+9=0③2x2—2x+1=0引導(dǎo)學(xué)生觀察各方程根的情況，及b2—4ac的符號(hào)，歸納：當(dāng)b2-4ac〉0時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)b2—4ac=0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)b2-4ac〈0時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根2。利用一元二次方程的根的判別式定理不解方程,判別方程根的情況較為容易,這部分知識(shí)也是下學(xué)期學(xué)習(xí)中,判斷二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)基礎(chǔ)。3.補(bǔ)充例題：k取什么值時(shí)，方程x2—kx+4=0兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?并求這時(shí)方程的根。4。該部分內(nèi)容在教學(xué)時(shí)難度控制在與課本相當(dāng)?shù)乃缴喜槐刈鲞^多的拓展和引申。因式分解法1.因式分解法解方程的教學(xué)過程中，因式分解反而成為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的障礙，建議先復(fù)習(xí)因式分解，（可以將本節(jié)課所解方程中的要分解的式子作為復(fù)習(xí)練習(xí)題.如:x2-xx2+4xx+3—x(x+3)（2x-1)2-x22（x—1)+x(x—1）9t2—（t-1)2等。2.解形如(x+2）2=4(x+2)的方程易發(fā)生失根的錯(cuò)誤，可讓學(xué)生討論，不必拓展.3.因式分解法解方程時(shí),要讓學(xué)生充分把握該方法的條件：①方程一邊為0②另一邊你會(huì)分解因式選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠獭魧W(xué)完四種解法后,要讓學(xué)生明白：四種解方程的方法各有特點(diǎn)：直接開平方法比較簡(jiǎn)便，但只有易化成（x+h)2=k(k≥0）型的方程才適用；配方法適用于幾乎所有方程，但使用時(shí)麻煩、易錯(cuò);公式法簡(jiǎn)單、易學(xué),解題正確率高,適用于幾乎所有的方程,但解題時(shí)要化為一般形式；因式分解法快捷、不易出錯(cuò)，但只有少數(shù)方程適用.所以在選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼鈺r(shí)，要認(rèn)真觀察方程的特征,可先選用直接開平方法或因式分解法，其次選用公式法，配方法在規(guī)定時(shí)才使用。但配方法在其他數(shù)學(xué)知識(shí)（推導(dǎo)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式等）中有著廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的幾種重要的數(shù)學(xué)方法之一。4。3用一元二次方程解決問題（1)用一元二次方程解決問題的關(guān)鍵是找出問題中的相等關(guān)系,列出方程。（2)用一元二次方程解決問題時(shí)，通常要經(jīng)歷以下過程：列一元二次方程解方程實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題（方程）方程的解檢驗(yàn)課時(shí)整合章節(jié) 教材課時(shí)整合課時(shí)4.1一元二次方程1課時(shí)1課時(shí)4.2一元二次方程的解法6課時(shí)4+2（習(xí)題課）課時(shí)4.3用一元二次方程解決問題4課時(shí)3+1（習(xí)題課）課時(shí)小結(jié)2課時(shí)1（習(xí)題課）課時(shí)中考命題趨勢(shì)及教學(xué)對(duì)策◆一元二次方程的解法是初中數(shù)學(xué)中主要的工具之一,是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，各地從不同側(cè)面,不同角度對(duì)一元二次方程知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)考查，大部分試題通過直接考查一元二次解的意義及解法突出對(duì)一元二次方程基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的考查；各地普遍采用設(shè)置符合學(xué)生認(rèn)知的實(shí)際問題情景的方式,考查學(xué)生列一元二次方程解決實(shí)際問題的能力，突出對(duì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查.特別突出的是，部分試題注重利用方程的結(jié)果,對(duì)實(shí)際問題作出判斷與預(yù)測(cè)，或?qū)?shí)際問題設(shè)計(jì)實(shí)施方案等，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用本質(zhì)的考查。◆在實(shí)際教學(xué)中，要緊緊抓住一元二次方程中的幾大考點(diǎn):①一元二次方程的概念及一般形式②一元二次方程的四種解法③一元二次方程根的判別式④一元二次方程的應(yīng)用附:一元二次方程試題（2份） 一元二次方程試題（一）一、選擇題（每題3分，計(jì)24分）1.(2011甘肅蘭州）下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A.x2+1/x2=0B。ax2+bx+c=0C．(x—1)(x+2）=0D．x2—2xy—5y2=02。（2011四川南充市)方程(x+1）(x－2）=x+1的解是（）（A）2（B）3（C）－1，2（D）－1，33.（2011甘肅蘭州）用配方法解方程x2-2x—5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為()A．(x+1)2=6 B．(x+2)2=9 C．（x—1)2=6 D．(x-2）2=94.(2011江蘇泰州）一元二次方程x2=2x的根是(）A．x=2B．x=0C．x1=0,x2=2D．x1=0,x2=－25.（2011江蘇南通)已知3是關(guān)于x的方程x2－5x＋c＝0的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是（)A.－2 B。2 C。5 D.66。(2011山東威海）關(guān)于x的一元二次方程x2+（m—2)x+m+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（）A．0 B．8 C． D．0或87．（2011重慶江津）已知關(guān)于x的一元二次方程（a－1）x2－2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A.a<2B,a〉2C.a〈2且a≠1D.a〈－2·8.(2011四川涼山州）某品牌服裝原價(jià)173元，連續(xù)兩次降價(jià)x%后售價(jià)價(jià)為127元，下面所列方程中正確的是()A．173（1-x%）2=127B．173(1-2x％）2=127C．173(1+x%)2=127D．127(1+x%）2=173二、填空題（每題3分，計(jì)24分）9。(2011廣東株洲）孔明同學(xué)在解一元二次方程x2-3x+c=0時(shí)，正確解得x1=1，x2=2，則c的值為．10。（2011江蘇揚(yáng)州)某公司4月份的利潤為160萬元,要使6月份的利潤達(dá)到250萬元，則平均每月增長的百分率是—--———11.（2011淮安）一元二次方程x2—4=0的解是.12。（2011上海）如果關(guān)于x的方程x2—2x+m=0(m為常數(shù))有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,那么m＝_____．13。（2011江蘇鎮(zhèn)江)已知關(guān)于x的方程x2+mx—6=0的一個(gè)根為2，則方程的另一根是___，14。（2010福建德化)已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，寫出一個(gè)符合條件的方程:．15.2011山東泰安）方程2x2+5x—3=0的解是。16。（2011山東濱州）若x=2是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則a的值為______.三、解答題（17、18每題各5分.19、20題每題6分，計(jì)22分)17.（2011江蘇無錫）解方程:x2+4x?2=0；18。(2011江蘇南京)解方程x2－4x＋1=019.（2010北京）已知關(guān)于x的一元二次方程x2—4x+m-1=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，求的m值及方程的根．20.(2010廣東佛山）教材或資料會(huì)出現(xiàn)這樣的題目：把方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出他的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個(gè)小題，請(qǐng)解答。（1）下列式子中，有哪幾個(gè)是方程所化的一元二次方程的一般形式？（答案只寫序號(hào)）。①②③④⑤（2）方程化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間具有什么關(guān)系？四、解答題（21、22、23、24、25每題各10分，計(jì)50分）21.（2010天津)注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你可以依照這個(gè)思路按下面的要求填空，完成本題的解答．也可以選用其他的解題方案,此時(shí)不必填空，只需按照解答題的一般要求進(jìn)行解答．青山村種的水稻2007年平均每公頃產(chǎn)8000kg,2009年平均每公頃產(chǎn)9680kg,求該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率。解題方案：設(shè)該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為。（Ⅰ）用含的代數(shù)式表示:①2008年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為；②2009年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為；（Ⅱ）根據(jù)題意，列出相應(yīng)方程；（Ⅲ)解這個(gè)方程,得；（Ⅳ)檢驗(yàn)：；(Ⅴ）答：該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為％.22。（2011山東日照）為落實(shí)國務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使“居者有其屋"，某市加快了廉租房的建設(shè)力度．2010年市政府共投資2億元人民幣建設(shè)了廉租房8萬平方米，預(yù)計(jì)到2012年底三年共累計(jì)投資9。5億元人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同．（1)求每年市政府投資的增長率;（2)若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變，求到2012年底共建設(shè)了多少萬平方米廉租房．23.（2011浙江義烏)商場(chǎng)某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元。為了盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．設(shè)每件商品降價(jià)x元。據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答：（1）商場(chǎng)日銷售量增加▲件，每件商品盈利▲元(用含x的代數(shù)式表示）；（2）在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元？24.（2011四川廣安）廣安市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望,房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn),對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價(jià)開盤銷售。（1)求平均每次下調(diào)的百分率.（2)某人準(zhǔn)備以開盤價(jià)均價(jià)購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇:①打9。8折銷售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)惠？25。（2011湖北襄陽）汽車產(chǎn)業(yè)是我市支柱產(chǎn)業(yè)之一，產(chǎn)量和效益逐年增加.據(jù)統(tǒng)計(jì),2008年我市某種品牌汽車的年產(chǎn)量為6.4萬輛,到2010年，該品牌汽車的年產(chǎn)量達(dá)到10萬輛.若該品牌汽車年產(chǎn)量的年平均增長率從2008年開始五年內(nèi)保持不變，則該品牌汽車2011年的年產(chǎn)量為多少萬輛？一元二次方程試題（一）答案選擇題：1。C2。D3。C4.C5.B6.D7.C8.A填空題：9.210.25%11.±212。113.—314.答案不唯一15.x1=-3,x2=eq\f（1，2）16。解答題17.x=?2±eq\r（6)．18.x=2±19。m=5原方程的根為x1=x2=2。20。解：（1）答：①②④⑤（每個(gè)1分）（2)若說它的二次系數(shù)為a（a≠0)，則一次項(xiàng)系數(shù)為-2a、常數(shù)項(xiàng)為-4a21。解：（Ⅰ)①；②；（Ⅱ）；（Ⅲ），;（Ⅳ），都是原方程的根，但不符合題意，所以只??；（Ⅴ）10。22.（1)50％（2）3823.（1）2x50－x（2）每件商品降價(jià)20元，商場(chǎng)日盈利可達(dá)2100元.24.(1）10%（2)方案①更優(yōu)惠25。12.5萬一元二次方程試題（二）一、選擇題（每題3分，計(jì)24分)1。(2011湖南湘潭市）一元二次方程的兩根分別為(）A.3,－5B.－3，－5C.－3，5D。3,52.（2011福建福州）一元二次方程根的情況是（）A。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C。只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根3。(2011山東濱州）某商品原售價(jià)289元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程中正確的是（）A.B。C。289(1-2x)=256D。256(1—2x）=2894。（2011臺(tái)灣臺(tái)北）若一元二次方程式的兩根為0、2,則之值為（）A．2B．5C．7D．85.(2011山東濟(jì)寧）已知關(guān)于x的方程x2＋bx＋a＝0有一個(gè)根是－a（a≠0)，則a－b的值為()A．－１B．0C．1D．26.（自編題)近年來,全國房價(jià)不斷上漲，豐縣2011年4月份的房價(jià)平均每平方米為4600元，比2009年同期的房價(jià)平均每平方米上漲了2000元，假設(shè)這兩年房價(jià)的平均增長率均為，則關(guān)于的方程為()A． B．2000(1+x）2=4600C．（4600—2000）（1+x)=4600D．（4600—2000）（1+x）2=46007.（2011四川成都）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列關(guān)于判別式n2-4mk的判斷正確的是(）(A)(B)(C)（D)8.(2011江西南昌分）已知x=1是方程x2+bx—2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）A.1B。2C。-2D.-1二、填空題（每題3分,計(jì)24分）9.(2011山東濱州）若x=2是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則a的值為______。10。（2011山東泰安）方程2x2+5x-3=0的解是。11。（2011浙江衢州）方程的解為.12.（2011福建泉州）一元二次方程的解是13。(2011甘肅蘭州）關(guān)于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均為常數(shù),a≠0），則方程的解是。14.（2011四川宜賓）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到元，則該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是_______________．15。（2011上海）某小區(qū)2011年屋頂綠化面積為2000平方米,計(jì)劃2012年屋頂綠化面積要達(dá)到2880平方米．如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個(gè)增長率是_________．16．（2011江蘇宿遷,16,3分）如圖,鄰邊不等的矩形花圃ABCD，它的一邊AD利用已有的圍墻，另外三邊所圍的柵欄的總長度是6m．若矩形的面積為4m2，則AB的長度是▲m（可利用的圍墻長度超過6m)．三、解答題(17、18、1920、21每題各6分,計(jì)30分）17.（2011山東聊城）解方程:18。(2011湖北武漢市)）解方程：x2＋3x＋1=0．

19．用配方法解方程：2x2—7x+6=020.（2010廣東珠海)已知x1=—1是方程的一個(gè)根，求m的值及方程的另一根x2.21。（2010四川南充）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

(1）求k的取值范圍．

（2）請(qǐng)選擇一個(gè)k的負(fù)整數(shù)值，并求出方程的根．四、解答題（22、23、24每題10分,25題12分、計(jì)42分）22.（2011安徽蕪湖)如圖,用兩段等長的鐵絲恰好可以分別圍成一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形,其中正五邊形的邊長為（)cm，正六邊形的邊長為（）cm.求這兩段鐵絲的總長.