江西省南昌市2024屆高三第一次模擬測試數(shù)學(xué)試題含答案

2024屆江西省南昌市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)

2024年HGT第一次模擬測試

10.已知圓。：，+/=4與直線/:工=皎+6交于45兩點，設(shè)△045的面積為S(m),

數(shù)學(xué)則下列說法正確的是

A.5(⑼有最大值2B.S(m)無最小值

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

一、單項選擇題：共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個C.若叫*%，則S(/M1)wS(加2)D.若S(m])08(%)，則嗎

選項是符合題目要求的.11.某環(huán)保局對轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督導(dǎo)，若連續(xù)10天，每天空

1.已知集合/={xwR|/-2x-4<0},8={xeN+|%<10},則4n5=氣質(zhì)量指數(shù)(單位：pg/n?)不超過100,則認為該地區(qū)環(huán)境治理達標，否則認為該地區(qū)環(huán)

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3)D.{1,2,3,4)境治理不達標.已知甲乙兩地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)特征是：甲地區(qū)平均數(shù)為80,方差為

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z—2i=zi+4,則|z|二40,乙地區(qū)平均數(shù)為70,方差為90.則下列推斷一定正確的是

A.3B.VlOC.4D.10A.甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是75

B.甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的方差是65

12…

3.已知等差數(shù)列{4}的前〃項和為S.，若。3=§，4=§，貝(IS[7=C.甲地區(qū)環(huán)境治理達標D.乙地區(qū)環(huán)境治理達標

12.已知直線4是曲線〃x)=lnx上任一點4(%,必)處的切線，直線4是曲線g(x)=e"上

A.51B.34C.17D.1

點8(%,占)處的切線，則下列結(jié)論中正確的是

V24.1

4.已知p:ln(a-l)>0,q:3x>0,----<a,則p是1的

xA.當X]+必=1時，/[〃，2B.存在玉，使得

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.若'與4交于點。時，且三角形43c為等邊三角形，則玉=2+6

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

D.若4與曲線g(x)相切，切點為C(w，%)，貝以跖=1

5.已知拋物線C:，=4〉的焦點為F,A是拋物線C在第一象限部分上一點，若14尸|=4,

三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.

則拋物線C在點A處的切線方程為

13.已知向量滿足|Z|=2，S=(1,2A/2)?且￡工=一1，則向量夾角的余弦值為

A.>/3x-y-3=0B.2x-y-\=Q

C.x-y-\=0D.V2x_y_2=014.(%-2歹)6(1—幻的展開式中的系數(shù)是.

2

15.“南昌之星”摩天輪半徑為80米，建成時為世界第一高摩天輪，成為南昌地標建筑之一.

6.6知。=log25,b=log52,c=e"則

已知摩天輪轉(zhuǎn)一圈的時間為30分鐘，甲乙兩人相差10分鐘坐上摩天輪，那么在摩天輪上，

A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a他們離地面高度差的絕對值的取值范圍是.

16.用平面截圓錐面，可以截出橢圓、雙曲線、拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義

7.已知函數(shù)/(x)=sin(x-xe[-2,-1]U[1,2],則下列結(jié)論中惜誤的是

X呢？比利時數(shù)學(xué)家旦德林用一個雙球模型給出了證明.如圖1,在一個圓錐中放入兩個球，

使得它們都與圓錐面相切，一個平面過圓錐母線上的點尸且與兩個球都相切，切點分別記為

A.f(x)是奇函數(shù)B./(x)=1

J\/maxF\,F「這個平面截圓錐面得到交線C,M是C上任意一點，過點M的母線與兩個球分別

c./(x)在[一2,-1]上遞增D./(X)在[1,2]上遞增

相切于點G,4,因此有孫+M6=MG+M〃=G",而G”是圖中兩個圓錐母線長的

8.木桶效應(yīng)，也可稱為短板效應(yīng)，是說一只水桶能裝多少水

取決于它最短的那塊木板.如果一只桶的木板中有一塊不齊差，是一個定值，因此曲線。是一個橢圓.如圖2,兩個對頂圓錐中，各有一個球，這兩個

4

或者某塊木板有破洞，這只桶就無法盛滿水，此時我們可以球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個圓錐的母線與軸夾角的正切值為一，球的半徑為

傾斜木桶，設(shè)法讓桶裝水更多.如圖，棱長為2的正方體容3

器，在頂點G和棱的中點〃■處各有一個小洞(小洞面積4,平面。與圓錐的軸平行，且與這兩個球相切于48兩點，記平面a與圓錐側(cè)面相交所

忽略不計)，為了保持平衡，以80為軸轉(zhuǎn)動正方體，則用此得曲線為C,則曲線C的離心率為.

容器裝水，最多能裝水的體積P=

二、多項選擇題：共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知空間中兩條不同的直線掰,〃和兩個不同的平面夕，則下列說法正確的是

A.若m“n,mua,則〃〃aB.若a〃4，mua,則相〃萬

C.若mA,0,nuP,則機_L〃D.若a_L,,nu。,則〃_La

圖1圖2

一高三數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)一一高三數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)一

四、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.TT

21.(本小題12分)如圖,四棱錐尸-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形，乙4BC=

17.(本小題10分)已知函數(shù)/a)=(2+ln2)x-xlnx.

(1)求/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間；已知E為棱3的中點，尸在底面的投影”為線段EC的中點，M是棱PC上一點.

(2)求/(%)的最大值.(1)若CM=2MP,求證：PE〃平面及田￡)；

(2)若PB工EM,PC=EC,確定點〃的位置，并求二面角8-瓦0-。的余弦值.

18.(本小題12分)對于各項均不為零的數(shù)列｛cj,我們定義：數(shù)列｛X｝為數(shù)列｛cj的

“無一比分數(shù)列”,已知數(shù)列｛%｝,｛4｝滿足q=4=1,且｛a?］的“1一比分數(shù)列”與也｝的

“2-比分數(shù)列”是同一個數(shù)列.

(1)若也,｝是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的前〃項和S.；

(2)若也,｝是公差為2的等差數(shù)列，求

密

19.(本小題12分)如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊ZC=10,

冗7E

ZBAC=-fNDACjBD交AC于點E.

3422.(本小題12分)已知橢圓E：=l(a>b>0)的離心率為T左右兩頂點分別

(1)求心；S4

為4,4,過點C(l,0)作斜率為尤(左￥0)的動直線與橢圓E相交于M,N兩點,當尢=1

(2)求4E.

時，點4到直線的距離為孚.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設(shè)點M關(guān)于原點的對稱點為尸，設(shè)直線4P與直線4N相交于點。，設(shè)直線00的

斜率為質(zhì),是否為定值，若為定值，求出定值并說明理由.

20.(本小題12分)甲公司現(xiàn)有資金200萬元，考慮一項投資計劃，假定影響投資收益的唯

一因素是投資期間的經(jīng)濟形勢，若投資期間經(jīng)濟形勢好，投資有25%的收益率，若投資期

間經(jīng)濟形勢不好，投資有10%的損益率；如果不執(zhí)行該投資計劃，損失為1萬元.現(xiàn)有兩個

方案，方案一：執(zhí)行投資計劃；方案二：聘請投資咨詢公司乙分析投資期間的經(jīng)濟形勢，聘

紛

請費用為5000元，若投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢好，則執(zhí)行投資計劃；若投資

咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢不好，則不執(zhí)行該計劃.根據(jù)以往的資料表明，投資咨詢

公司乙預(yù)測不一定正確，投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢好的概率是0.8；

投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可

以確定，投資期間經(jīng)濟形勢好的概率是40%,經(jīng)濟形勢不好的概率是60%.

(1)求投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢好的概率；

(2)根據(jù)獲得利潤的期望值的大小，甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個方案？說明理由.

一高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)一一高三數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)一

.【解析】(由已知，

2024年HGT第一次模擬測試191)^5=^C-cosZ^C=10xl=5,

2

數(shù)學(xué)參考答案及評分意見J￡)=JC-cosZPJC=10x蟲=5&,.....................2分

一、單項選擇題：共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個2

選項是符合題目要求的.因為/BAD=Z.BAC+ADAC=60°+45°,

題號12345678

所以cos/.BAD-cos60°cos45°-sin60°sin45°=—xx——，

答案CBCAADBC22224

二、多項選擇題：共4小題，每題5分，共20分.在每/'題給出的四個選項中，有多項符.....................4分

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

所以在中，222

題號9101112\ABDBD=AB+AD-2AB?ADcosABAD

答案BCABDACDACD

=25+50—2x5x5。血一迷

三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.

13.一、14.16015.[0,80A/3]16.14

分

四、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟=50+2573......................6

17.【解析】(1)f\x)=1+In2-Inx=In—,.....................2分/TB

x(2)【解法1】因為sinNA41=sin(600+45°)=Wt±,..................8分

令/'(x)<0,得0(至<1,即x>2e,.....................4分4

X

又因為二SMBE+SMDE，

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2e,+8).5分

所以』?N87Q?sinABAD=--AB^AEsin^BAE+-AE-ADsin^EAD,

當時,/單調(diào)遞增;

(2)xe(0,2e)'(x)>0,/(x)222

分

當x￡(2e,+oo)時,/'(x)v0,/(x)單調(diào)遞減，............8分.....................10

BP—x5x55/2x+-J-x5xJEx—+—xAEx5\f2x^-,

所以/(x)W/(2e)=2e,即的最大值為2e.10分

242222

18.【解析】由題意知巴坦■=媼，............2分

解得“石=56—5......................12分

a?b?

?xAB-AD-sinABAD同

(1)因為4=1,且｛0｝是公比為2的等比數(shù)列，所以%L=4,

【解法2】因為為=不儂=?--------------------=*,........9分

%,

ECS^CD-xBC-CD-sinZBCD3

因為q=l,所以數(shù)列｛4｝首項為1,公比為4的等比數(shù)列，...........4分2

><

所以S,,=la-4")=J_x(4"_l)；.....................6分又因為ZC=10,所以/E+EC=10,則4E+JJ4E=10,

"1-43

因為且也,｝是公差為的等差數(shù)列，所以

(2)4=1,2a=2〃-1,所以4E=5百—5......................12分

所以巴坦_=媼=迫3,.....................8分

%,bn2120.【解析】(1)記投資期間經(jīng)濟形勢好為事件與，投資期間經(jīng)濟形勢不好為事件與，

所以2=2,也=2.......,￡1=5,.....................分

投資咨詢公司預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢好為事件Z,

an_xIn-3an_22n-5ax1

則。(層)=分

所以&=(2"+l)(2〃T).因為q=i,所以a“=J_x(4〃2_l).P(4)=0.4,0.6,.....................2

a,3x13

因此尸分

12分(4)=+5,4)=0.4x0.8+0.6x0.3=0.5；.....................5

一高三數(shù)學(xué)第1頁(共5頁)一一高三數(shù)學(xué)第2頁(共5頁)一

（2）若采取方案一，則該公司獲得的利潤值X萬元的分布列是

X50-20

P0.40.6

EX=50x0.4-20x0.6=8萬元；....7分

設(shè)〃=（x,y,z）是平面E8M的一個法向量，則

若采取方案二：設(shè)該公司獲得的利潤值為丫萬元，有以下情況，

投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢為好，丫=49.5,n■EB=0n2x-6y=0

其發(fā)生的概率為：尸（44）=0.4x0.8=0.32,，.癥=0=垣"，=0,

44

投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢為不好，r=-i.5,

其發(fā)生的概率為：尸（用力=04x0.2=0.08,令y=2,則X=Z=2A/J，即1=(6,2,2百)，...........9分

投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢為好，r=-20.5,?.?3C_L平面尸EC,

其發(fā)生的概率為：尸（層4）=0.6x0.3=0.18,二.法二(2,0,0)是平面尸￡1。的一個法向量，...........10分

投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢為不好，r=-i.5,一示〃,CB2V3y/57

cos<n,CB>=———=---f=-

其發(fā)生的概率為：P(BL4)=0.6x0.7=0.42,...........9分

2\n\-\CB\2xJ19w

因此，隨機變量丫的分布列為:因為二面角B-EM-C是一個銳角，

Y-20.5-1.549.5而

P0.180.50.32所以二面角B-EM-C的余弦值為衛(wèi)"...........12分

19

因此,Ey=—20.5x0.18—1.5x0.5+49.5x0.32=—3.69—0.75+15.84=11.4萬元,

因為EXvEY,所以甲公司應(yīng)該選擇方案二............12分

22.【解析】（1）依題意可知e=￡=N-,...........1分

CNCM

21.【解析】（1）設(shè)5OC|CE=N，則上一=J=2,...........2分a2

NEMP

MN//PE,且MNu平面A/5Z）,.?.尸E〃平面............5分

由于占=1,則直線的方程為x—y—l=0,因為點4到直線MN的距離為十.

(2)?.?P77_L平面48CQ,且BCu平面ZBCQ,

PH1BC,又：BCLCE,

所以"1=迪，解得。=2,...........3分

.?.^。，平面尸后。，且EMu平面尸EC,

BCLEM,又二PBtEM,V22

:.EMl^PBC,且尸Cu平面尸8C,所以c=g,則6=1,

.?.EA/_LPC.由已知，APEC為等邊三角形,

故M為尸。中點，所以橢圓E的標準方程匕+必=1............4分

4-

M在底面45C。上的投影為"的中點.

（2）設(shè)〃（玉,%）,%區(qū),%）,尸（-王,-%），直線/B的方程為x=/wy+l.此時尢

m

?.-CE1AD,PH=-CE=-,

22[x=my+\..