2024年高考數(shù)學(xué)：在網(wǎng)格背景下的面積和周長計算

高考復(fù)習(xí)材料

在網(wǎng)格背景下的面積和周長計算

修煉內(nèi)功

網(wǎng)格背景格點和圓心建立關(guān)系

化普通為特殊

y

1.如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,點4B,C,E,尸在同一條圓弧上,

且點C,E,尸在格點（小正方形的頂點）上，若/B/C=15。,44c8=45。，則陰影部分的

面積為.

【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點找到過點C,尸,E的圓的圓心，進而根據(jù)已知條件與圓周角定理求得

ZCOB,ZAOB,關(guān)于陰影部分面積面積等于S扇形-凡函+S扇形"B即可求解.

【詳解】如圖，

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根據(jù)網(wǎng)格的特點找到C尸的垂直平分線與E尸的垂直平分線，交于點。，連接。

OC=Vl2+32=Vio，

■：NBAC=15。,乙4cB=45。,

ZBOC=30°,ZAOB=90°,

陰影部分面積面積等于S扇形-Sv。"+S扇形0cB-S70CB

=--(?SxOCxsin30°--xOAxOB

360'2360>2

生田方二

故答案為：1015.

【我思故我在】本題考查了圓周角定理，求扇形面積公式，確定圓心是解題的關(guān)鍵.

2.如圖是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1,10上的點4B,C,

。均為格點，加上有一點E,且NC/E=15。，則圖中陰影部分的面積為.

【分析】線段和線段8c的垂直平分線相交于點。，則點。即為力。所在的圓得的圓心,

連接。C,OE,由圓周角定理得NCOE=2NC4E=30。，過點C作CH1OE于點H,則N0TC

=90°,在RtAOCH中，求得CH=goC=6,利用S陰影部分=$扇形3一$根改即可求出圖中

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陰影部分的面積.

【詳解】解：如圖，線段48和線段8C的垂直平分線相交于點O,則點。即為力。所在的

圓得的圓心，連接OC,0E,

■.■ZCAE=15°,

：.^COE=2^CAE=30°,

過點C作CHLOE于點H,貝ikO〃C=90。，

由勾股定理得OC=0E=V42+22=a=2右，

在上△OC"中，ZO//C=90",乙COH=30。,OC=275,

：.CH=y0C=45，

S陰影部分=S扇形COE-S&COE

30^x(275)

——xOExCH

2

_30^-x(2V5)21

故答案為：y-5

【我思故我在】此題考查了圓周角定理、判斷三角形外接圓的圓心位置、扇形的面積公式、

勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，利用圓周角定理得到NCO￡=2NC/￡=30。是解題的

關(guān)鍵.

3.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,V/8C的三個頂點均在格點上，點。

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是邊的中點，格點￡在紅）上，則圖中陰影部分的面積為

【答案】3+好萬

24

【分析】取8。中點尸，連接DR由中位線的性質(zhì)得到。/〃/C,Ob=g/C,

SVBDF：SV,4BC=1:4,利用勾股定理分別解得/C,BC,N2的長，證明VNBC為等腰直角三角

形，繼而得到V2Z）尸也是等腰直角三角形，解得V/8C的面積及扇形CD尸的面積即可解

答.

【詳解】解：如圖，連接

B

是邊的中點，尸是邊5c的中點，

:.DF//AC,DF=-AC

2

-S\!BDF：S'ABC=1：4

CMC=722+42=V20,BC=V22+42=720,AB=A/22+62=屈

AB2=AC2+BC2

：MABC是等腰直角三角形，

.23〃尸也是等腰直角三角形，

ZDFC=90°

7r

，扇形的=M2+2?)=9n

QSv/BC=gX回義回=10

=W=5

一\BDF42

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?二s陰影部分=]"+一"萬

故答案為：-+—7T.

24

【我思故我在】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、扇形的面積、中位線性質(zhì)、勾股定理的逆定理等

知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

4.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,點B,C均為小正方形的頂點，且點

3在無C上，則陰影部分的面積為

【分析】點。為過2點的縱軸和過C點的橫軸的交點，連接。4,根據(jù)題意求出04,0B,

0c的長，確定圓心和半徑，從而求出弓形8c的面積，進而解答；

【詳解】解：如圖，點。為過8點的縱軸和過C點的橫軸的交點，連接。點為小正

方形的頂點，

根據(jù)題意由圖可得：CM=,32+42=5，OB=OC=5,

-.O為\1ABC的外接圓的圓心，

AD為底邊，則VABC的面積=gx40x(1+4)=10,

■.OCLOB,圓的半徑為5,則扇形3c的面積為!外接圓的面積,

4

112525

二弓形BC的面積=7^x5?--x5x5=----,

4242

■，口r八上心一、t,25萬2525萬5

???陰影部分的面積為：10+-------—-->

4242

故答案為：.

42

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【我思故我在】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，勾股定理，三角形外接圓的性質(zhì)，扇形面

積的計算；找出圓心的位置是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一條弧經(jīng)過格點（網(wǎng)格線的交點），，

B,D,點C為弧BD上一點.若/C4D=30。，則弧。的長為.

【答案】叵兀

3

【分析】作線段40和線段/C的垂直平分線交于點。，即格點。為弧4D所在圓的圓心,

連接0C、0D,根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得出的長，再根據(jù)圓周角定理，得出

ZCOD=2NCAD=60°,再根據(jù)弧長公式進行計算即可.

【詳解】解：如圖，作線段和線段NC的垂直平分線交于點O,即格點。為弧所在

圓的圓心，連接OC、OD,

根據(jù)題意，可得：OD=V22+32=V13，

ZCOD=2ZCAD=60°,

??.弧CD的長為：60兀乂5=叵加.

1803

故答案為：邊^(qū)乃

3

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【我思故我在】本題考查了線段的垂直平分線、勾股定理、圓周角定理、弧長公式，根據(jù)題

意并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵.圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所

對的圓心的角的一半；弧長公式：/=覆(〃為弧所對的圓心角的度數(shù)；7?為半徑)

loO

6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一段弧，弧上三點，，B,C均在格點上.則為C的長為

【答案】巫乃

2

【分析】直接利用圓的性質(zhì)得出圓心位置進而利用勾股定理以及勾股定理逆定理得出

ZAPC=90°；再利用弧長公式計算得出答案.

【詳解】解：如圖所示：圓心P的坐標(biāo)為：(-2,1),

?.?AP=PC=Vi0,AC=2逐，

.?.AP2+PC2=AC2,

??.△APC是等腰直角三角形,

??.ZAPC=90°,

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的長度為：90—廂=叵一

1802

故答案為邊^(qū)■萬

2

【我思故我在】此題主要考查了弧長的計算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正確得出圓

心位置是解題關(guān)鍵.

7.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點/、B、C、D、E、尸均在小正方形

的頂點上，且弦2G上有4個正方形的格點（包括端點），則陰影部分的面積為

【分析】連接BE、C尸交于點O,連接OG,由圓周角定理可得BE,CF是圓的直徑，。為

圓的圓心，由勾股定理可得圓的半徑為由NC2M=45?？傻蒙刃螆A心角為90。，再由陰影

面積=扇形COG面積-aCOG面積計算求值即可；

【詳解】解：如圖，連接3￡、C尸交于點O,連接OG,設(shè)BG、CE交于格點

B、C、E、尸均在小正方形的頂點上，則EC8尸是矩形，

???Z5C￡=9O°,乙CBF=9。。,

.■.BE,C尸是圓的直徑，O為圓的圓心，

BC=3,BF=4,則尸0=,32+42=5,圓的半徑為

■：BC=CM=3,ZJBCM=90°,

.?ZCW=45°,即NC5G=45°,

??ZCOG=90°,

900，八2i

???陰影面積二扇形COG面積-△COG面積=士-gOC?OG

360°12)2

2525

=---71------,

168

2525

故答案為：-;

16X

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【我思故我在】本題考查了圓周角定理，勾股定理，扇形面積計算等知識；正確作出輔助線

是解題關(guān)鍵.

8.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.點aB,C均在小正方形的頂點上,

且點4B,C在同一條弧上，則陰影部分的周長為

【答案】y+5V2

【分析】設(shè)施C的圓心為。，DC的中點為河，與2C的交點為N,根據(jù)表格得出

BC=6,MN=1,CN=；BC=3,設(shè)圓。的半徑為R,利用勾股定理得出R=5,由勾股定理逆

定理得出440C為直角三角形，NCO4=90。，結(jié)合圖形應(yīng)用弧長公式及勾股定理即可得出結(jié)

果.

【詳解】解：設(shè)施C的圓心為。，DC的中點為M,（W與2c的交點為N,

由圖可知，BC=6,MN=1,CN=~BC=3,

2

設(shè)圓。的半徑為A,

由圖可得：OC2=CN2+ON2,即笈=32+（尺一1）2,

解得：R=5,

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-'-OC=OA=5f

"AC=V72+l2=5V2，

■■OC2+OA2+AC2,

.?.A40C為直角三角形，NCCM=90。，

陰影部分的周長為：豈密+4。=苧+5后，

1o(J2

故答案為：-^-+5^2.

【我思故我在】題目主要考查不規(guī)則圖形的周長，包括扇形弧長、勾股定理及其逆定理，理

解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵.

9.如圖，在每個小正方形的邊長均為1的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點4,B,C,格點

。的連線交圓弧于點E,則圖中陰影部分面積為一.

【分析】連接/C,取NC中點尸，連接斯，可得NC為直徑，尸為圓心，再由勾股定理逆

定理可得/尸=所=」/，△NCD是等腰直角三角形，且乙48=90。，從而得到

2

NAFE=90。,結(jié)合圖形利用三角形面積與扇形面積之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】解：如圖，連接/C,取NC中點凡連接ER

?，8C=90°,

:/C為直徑，尸為圓心,

AF=EF=-AC,

2

；"AE=dEA,即NC4￡)=ZFE4,

網(wǎng)格中，由勾股定理得：

AC2=AB2+CB2=22+32=13,0c2一守+必=22+32=13,協(xié)=5?+F=26,

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???ZC=CD=屈，AC2+CD2=AD2=26,

；.AF=EF=L用,A4CQ是等腰直角三角形，且乙4CD=90。,

2

???乙C4D=45°,

???4。。="￡/=45°,

???ZAFE=180°-ACAD-ZFEA=90°，

???S陰影=SnACD-SnAFE-S扇形EFC

90%戶

=-ACCD--AFEF-

22360

78—13萬

-16

391371

39137

故答案為:

TIT

【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理，求扇形面積，勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌

握圓周角定理，扇形面積，勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.

10.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點/,C均在小正方形的頂點上，點

8在弧NC上，且々C8=15。，則陰影部分的周長為.

【答案】6+6A/2+7i

【分析】先確定出圓心位置根據(jù)弧長公式求出弧的長度，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得2C的

長度，再利用勾股定理求出線段/C的長度，即得答案.

【詳解】解：由題意知圓心。位置如圖所示，

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???乙4C5=15°,

.-.ZL4O5=30O,

.“0060°,

即△50。為等邊三角形，OC=BC=OB=6,

???弧43的長度為："容乃=%,

IOU

由勾股定理得："=46+62=6人,

陰影部分的周長為6+6痣+萬，

故答案為：6+6A/2+7i-

【我思故我在】本題考查了弧長的計算公式、勾股定理求格點中線段的長度、等邊三角形的

判定等知識點.解題關(guān)鍵是：確定出弧所在圓的圓心位置.

11.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點/,B,C,。均在小正方形的頂點

上，且點C在28上，與40交于點H,則在5的長為.

【答案】子

4

【分析】連接NC、BC、AB、BD、取N8的中點O,連接。打，首先利用A48。求出

4BAD=45。,結(jié)合△CM"求出圓心角的度數(shù)和半徑長，再求出45。〃=90。，繼而利用弧長公

式即可求出弧長.

【詳解】解：連接ZC、BC、AB、BD、取48的中點。，連接0H,

?■?ZJC5=90°,

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■.AB為圓O的直徑,0是圓心,

?■AB=yjAC2+BC1=V32+42=5,

同理50=5,

3=々+72=5也，

???AB2+BD2=AD2,

.*.Z^5Z)=90o,

又,；AB=BD,

；ZBAD=45°,

又???OA=OH,

.*.^40/7=90°,

9OH=9b,

的長為川萬!一5,

------——71

1804

【我思故我在】本題考查弧長公式、圓周角定理以及勾股定理以及逆定理，解決問題的關(guān)鍵

是求出圓心角和半徑.

12.如圖，在5x4的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1點/,B,C,。均在格點上，

點。在28上線段8c與方8交于點￡，則圖中陰影部分的周長為.（結(jié)果保留萬）

【答案】字+用

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【分析】先連接/c,AE,可說明"8C是等腰直角三角形，進而得出乙8D4=90。，得出N8

是圓的直徑及A48E是等腰直角三角形，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出再根據(jù)弧長公

式求出弧長，即可得出答案.

【詳解】連接NC,AE,如圖所示，

丁AC—陽=V22+32=Vl3，BC=Ji?+52=V26，

.??AB2+AC2=BC2,

??.A45C是等腰直角三角形，

;BC=^ACB=45°.

?4DA=90°,

是直徑，

???乙甌4=90°,

.??ZU5E為等腰直角三角形，

：.BE=也AB=返,乙BAE=45°,

22

???跖所對的圓心角度數(shù)為90°,

???M的長為907rx工=幽，

180-4

???陰影部分的周長是生+生=，電+逅.

42

故答案為：晅+叵.

42

【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理及推論，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定

理，弧長公式等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

13.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點/、B、。均在小正方形的頂點上,

且點8、C在/。上，乙B4c=25°,則51c的長為.（結(jié)果保留乃）

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【分析】如圖，圓心為O,連接ON,OB,OC,0D.利用弧長公式求解即可.

【詳解】解：如圖，圓心為。，連接。1,OB,OC,0D.

0

■.OA=OB=OD=5,ABOC=2^BAC=50°,

故答案為：--71.

18

【我思故我在】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是正確尋找圓心。的位置，屬于中考?？碱}型.

14.如圖，在5x7的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,。三點都在格點上,

線段NC與2c交于點則圖中紅）的長度為.（結(jié)果保留萬）

【分析】連接AD,由網(wǎng)格圖得到5D=CD和8c長，再利用圓周角定理得到D8所對的圓心

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角，最后利用弧長公式代值求解即可.

【詳解】解：連接AD,如圖所示：

由圖可知和8。均是2x3的網(wǎng)格構(gòu)成的矩形的對角線，則BD=CD,

BC是半圓的直徑，

由圓周角定理可知/3DC=90。，

，ASS是等腰直角三角形，

NBCD=45。,

￡)B=￡)B，

，由圓周角定理可知DB所對的圓心角為2ZBCD=90°,

90。4

DB的長度為C,

在網(wǎng)格中，5C=V12+52=V26>

.?.小8的長度為叵力，

4

故答案為：也^%.

4

【我思故我在】本題考查網(wǎng)格中線段長求解及弧長求解，通過網(wǎng)格找到線段關(guān)系及相應(yīng)線段

長度、角度是解決問題的關(guān)鍵.

15.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點4,B,C均在小正方形的頂點上,

且點。在為8上，480=30。，則力。的長為.

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r答案】

6

【分析】連接NC,確定弧所對的圓心O,可知/C為直徑，連接。8、OD,利用勾股定理

求得NC=2右，AB=BC=M,則O3L/C,根據(jù)圓周角定理可得/3。。=60。，從而求得

ZAOD=30°,即可求解.

【詳解】解：連接NC,確定弧所對的圓心O,連接08、OD,如下圖：

由勾股定理可得：/C=也一?=2右，BC=AB=Vl2+32=V10>

■-BC1+AB2=AC2

??.V48c為直角三角形，ZABC=90°

.BC為直徑，OB工AC,OA=-AC=4i,

2

；.NAOB=9(T

■：ZBCD=30°

ZBOD=60°,

ZAOD=30°,

3OXTTXyfS#!兀

所以2。的長為

故答案為：工”

【我思故我在】此題考查了弧長的計算，涉及了勾股定理，圓周角定理等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是確定圓心的位置，正確求得半徑以及圓心角，熟記弧長公式.

16.如圖，A42C的三個頂點都在5x5的網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）的

格點上，將△4BC繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，且點4、。仍落在格點上，則圖中

陰影部分的面積是.

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【答案】丁13萬一3

【分析】首先求得扇形的半徑和圓心角，然后根據(jù)扇形面積公式求得扇形的面積，然后計算

出V4O2的面積，相減即可得出陰影部分面積.

【詳解】解：由題意得，

A'B=AB=M+22=岳，

旋轉(zhuǎn)角NHBA=ZC'BC^90°,

.90。%（后＞_13

,扇形z'3/360°4萬，

??.Sv=9'C"C'=gx3x2=3,

13

S陰影=S扇形⑷BX-Sv/BC=I萬-3.

13

故答案為：-3.

4

【我思故我在】本題主要考查了扇形面積的計算、勾股定理等，牢固掌握扇形面積公式是做

出本題的關(guān)鍵.

17.如圖，在4x5的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1