天津市九校2024屆高三年級下冊聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學試卷（含答案解析）

天津市九校2024屆高三下學期聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學試卷

學校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知全集。={-1,0,1,2,3}，集合/={0,1,2},5={-1,0,1},貝I](為=

B.{°』}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3)

2.設〃：x>0,q：2、〉2，則。是夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

3.

4.已知2"=5,log83=6,則)

255

A.25B.5C.D.

~93

5.設"logo」0.2,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

6.利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生的寫作水平與喜好閱讀是否有關(guān),通過隨機詢問120

名高中生是否喜好閱讀，利用2x2列聯(lián)表，由計算可得/=4.236.

試卷第1頁，共4頁

p（r>*）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

參照附表，可得正確的結(jié)論是()

A.有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”

B.有99%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”

C.有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”

D.有99%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”

7.如圖，在正四棱柱/BCD-/4GA中，P是側(cè)棱cq上一點，且￡尸=2尸C.設三棱錐

尸-*8的體積為匕，正四棱柱/BCD-4片CQ的體積為匕則也的值為()

8.已知雙曲線方=1(°>0,6>0)的左頂點與拋物線/=2°x(p>0)的焦點的距離為4,

過雙曲線的右頂點且與漸近線平行的直線與拋物線的準線的交點坐標(-2,2),則雙曲線的焦

星巨為()

A.百B.273C.V5D.2石

9.將函數(shù)/(x)=2sin(2x-：］的圖像上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到

函數(shù)g(尤)的圖像，有下述四個結(jié)論：

①g(x)=2sin

②函數(shù)g(x)在［ogj上單調(diào)遞增

③點,0)是函數(shù)g(x)圖像的一個對稱中心

試卷第2頁，共4頁

④當xe時，函數(shù)g(x)的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②③B.②③C.①③④D.②④

二、填空題

10.設2=上」+2，，則|z|=______.

1+z

11.已知卜+於:的展開式中各項系數(shù)和為243,則展開式中常數(shù)項為.

12.圓/+/一4x+4、-12=0與圓/+/=4的公共弦所在的直線方程為.

13.某批產(chǎn)品共10件，其中含有2件次品，若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，則取出的3件

產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為;取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)x的期望是.

14.在梯形48CD中，ABHCD,豆AB=2CD,M,N分別為線段。C和的中點，若萬=1,

后=石,用限分表示赤=,若而工反,則NTU2余弦值的最小值

為.

,、lx2+x|,x<0..

15.函數(shù)/(x)=?/I、，關(guān)于x的方程/(力="有2個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)。

ln(x+l),x>0

的取值范圍是.

三、解答題

16.已知"BC的內(nèi)角48,C的對邊分別為a,6,c,且b=3,c=1,4=2瓦

(1)求。的值；

⑵求cos'/+胃的值.

17.如圖，邊長為2的等邊△尸CD所在的平面垂直于矩形N2C。所在的平面，BC=2也，

〃為8C的中點.

試卷第3頁，共4頁

p

AB

(1)證明：AMLPM；

⑵求平面弘M與平面45C。的夾角的大小;

⑶求點D到平面AMP的距離.

(Q6fT)J

18.已知｛叫為等差數(shù)列，"，=74偶以，記S”，北分別為數(shù)列仇｝，也,｝的前〃項

和，S4=32,T3=16.

(1)求｛4｝的通項公式;

(2)證明:當〃>5時,Tn>Sn.

22

19.已知橢圓C：W+《=1(a>方>0)的長軸長為4,離心率為;.

a2b22

(I)求橢圓C的方程；

(II)設橢圓C的左焦點為尸，右頂點為G,過點G的直線與了軸正半軸交于點S,與橢圓

交于點H,且〃F_Lx軸，過點S的另一直線與橢圓交于M,N兩點，若邑SMG=6S?sffiv，求

直線的方程.

20.已知函數(shù)/(x)=xe"*-e*.

⑴當a=1時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當尤>0時，f(x)<-l,求。的取值范圍；

,111,,,、

(3)設“eN",證明：/,+/,+…+/,>皿"+D.

VI2+1V22+2sjn2+n

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【解析】本題根據(jù)交集、補集的定義可得.容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.

【詳解】cj={-i,3},則(”)n八{f

故選：A

【點睛】易于理解集補集的概念、交集概念有誤.

2.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡命題4,再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】因函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，即有2工＞2?！罚?,則命題0：x＞l,

而命題尤＞0,顯然，q=p,且。&q,

所以。是夕的必要不充分條件.

故選：B

3.D

【分析】先判斷函數(shù)”X)是奇函數(shù)，排除A,C,再排除選項B,即得解.

【詳解】解：因為〃x)=yV+-,所以=+3*-二3-4*+83*=-〃x).

X(-X)X

所以函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，排除選項A,c.

曰小,c、32+3-24134+3^81+3^1毋及江,否c

因為/(2)=——--=一，/(4)=——--=---------=6--5--6-2--＞4—=/(2),所以排除選項B.

233643646436

故選:D

4.C

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，幕的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出.

14。(2"Y^225

【詳解】因為2a=5,6=log83=-log23,即2?=3,所以4y=/=—=轉(zhuǎn)==.

54(2ibI3y

故選：C.

5.C

【分析】根據(jù)幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較判斷.

【詳解】：6=e°3>2°3=c>l,0<a=logM0.2<logM0.1?1,：.b>c>a.

故選：C.

6.A

答案第1頁，共13頁

【分析】根據(jù)觀測值對照卡方表判定即可.

【詳解】由題意及表格知，觀測值三=4.236>3.841,所以有95%的把握認為“寫作水平與喜

好閱讀有關(guān)”.

故選：A

7.C

【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用等體積法及錐體體積、柱體體積公式計算作答.

【詳解】在正四棱柱9co-/4GA中，p是側(cè)棱CG上一點，

則匕=VP-DlDB=VB-DlDP=|S.DQP-BC=^-DDcCDBC=^V,

所以也的值為J.

/6

故選：c

8.D

【分析】首先根據(jù)過雙曲線的右頂點且與漸近線平行的直線與拋物線的準線的交點坐標，求

得。=2,接著根據(jù)平行線斜率相等求出6=1,最后求出焦距即可.

【詳解】因為過雙曲線的右頂點且與漸近線平行的直線與拋物線的準線的交點坐標（-2,2）,

所以拋物線的準線方程為尤=-2,從而拋物線丁=2/（p>0）的焦點坐標為（2,0）,

22

因為雙曲線5十=1（°>0,6>0）的左頂點為（-。,0）,所以2+。=4,解得a=2,

22

所以雙曲線※-/=1（〃>0,6>0）的左頂點為（2,0）,

又因為過雙曲線的右頂點且與漸近線平行的直線與拋物線的準線的交點坐標（-2,2）,

所以2=2=,，即6=1,

a42

所以c=y/a2+b2=垂>,

雙曲線的焦距為2c=2石，

故選：D

22L

【點睛】雙曲線、-齊=1（。>01>0）的漸近線方程為y=±1x,而雙曲線

22卜

￡=1（。>0,6>0）的漸近線方程為〉=士￡》（即》=±?>）,應注意其區(qū)別與聯(lián)系.

9.B

答案第2頁，共13頁

【分析】根據(jù)圖象變換可得g(x)=2sin[x-gj,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷.

【詳解】由題意可得：g(x)=2sin^-^,故①錯誤；

因為則,且了=sinx在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g(x)在(o,j上單調(diào)遞增，故②正確；

、1(4兀、_.f4TITI\_.?

因為g[丁J=2sm[----l=2smn=0,

所以點(7,0)是函數(shù)g(x)圖像的一個對稱中心，故③正確；

Li、r「兀1nl兀「4兀兀

因為-71,-,貝!|%―彳￡--，

_2」3|_3o_

所以當x-：=T，即》=-兀時，函數(shù)g(x)的最大值為g(-兀)=2sin(-f|=G,故④錯

誤；

故選：B.

10.1.

【詳解】分析：首先求得復數(shù)z,然后求解其模即可.

詳解：由復數(shù)的運算法則有：

(l-z)(l-z)-2/

z="+2/=工——含一'-+2=―F21=

1+z(1+0G-02

則：|z|=|z|=l.

點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則，復數(shù)模的計算等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計

算求解能力.

11.80

【分析】根據(jù)題意，由各項系數(shù)之和可得〃，再由二項式展開式的通項公式即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意，令x=l,則3"=243,解得〃=5,

3

的展開式第『+1項&i=C；(xp2rC1X154廠

415-5r=0,解得r=3,所以C；2=10x8=80.

故答案為：80

12.x—y+2=0

答案第3頁，共13頁

【分析】兩式相減，即可得到兩圓公共弦所在的直線方程.

fx2+y2—4x+4y—12=0

【詳解】聯(lián)立2I，，兩式相減得無一了+2=0.

[x-+/=4

故答案為：尤-了+2=0

73

13.——

155

【分析】(1)先計算所有抽取產(chǎn)品的可能，再計算3件產(chǎn)品中且有一件次品的可能，用古典

概型的概率計算公式即可求得；

(2)先求得x的分布列，再求其期望即可.

【詳解】(1)從10件產(chǎn)品中，抽取3件，有喘=120種可能；

若取出的3件中恰有1件是次品，有C[C；=56種可能；

故滿足題意的概率P=2=A；

(2)根據(jù)題意，x=0,1,2,

7仆C：567?八Cl-Cl567?、、C'.C381

尸(x=0)=J=一=—；尸(x=l)=^~~-=——=—；尸(x=2)=-§~-=——=—,

''12012015'712012015\'12012015

故/)=31=|.

73

故答案為：—;—■

【點睛】本題考查超幾何分布中概率的計算，以及期望的求解，屬中檔題.

,.1-r2V2

14.-a-b——

43

【分析】空(1)使用向量線性運算求解即可；

空(2)以往與彼為基底，用數(shù)量積的形式表示出加，瑟，再由基本不等式求解即可.

【詳解】

如圖，由已知，MN=AN—AM=-4B-(AD+DM)=—AB—ADDC

2,722

1—,—?11—?1―?―?1一

=-AB-AD——x-AB=-AB-AD=-a-b.

22244

答案第4頁，共13頁

??MN-~a~b.

4

設/D4B=e,即萬與B的夾角為。，

5C=&4+AD+DC=-AB+AD+-AB=--AB+AD=--a+b,

..............................222

若而jL反,則加.就^O，

［］一看）［1+〃=-92+%;-廬=-?司2+割歸卜058-Fl=0,

又?.?同>0,W>0,.?.由基本不等式，

同'8|印_」司、2同8y2也

6同同6^|6a~,6問6g3

\a\8b

當且僅當飛即同=2回回時，等號成立.

6M6a

1一2V2

故答案為：-a-b,

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題第2空的關(guān)鍵，是用以為夾角的兩個向量作為基底,

將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的形式，再借助基本不等式求解.

15.。4一1或

【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與直線＞=依的圖象有2個交點，畫出函數(shù)“X)的圖象，分

0=0、°＞0、°＜。討論，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】/'3="有2個不相等的實數(shù)根,即函數(shù)了=/(力與直線尸數(shù)的圖象有2個交點,

當。=0時，函數(shù)了=/(力與直線＞=0的圖象有2個交點，符合題意；

當。＞0時，由x=0是函數(shù)了=/(x)與直線＞=磔的圖象的1個交點，

只需函數(shù)/(x)=ln(x+D(x＞0)與直線＞=如有i個交點即可，

當直線片中與函數(shù)J(x)=ln(x+D(x＞0)相切時,

設切點為(尤o,%),可得/'(%)==7=。，且%=ln(x0+l),y0=ax0,

可得。一l=ln”,

因為y=x-l與y=lnx的圖象只有1個交點(1,0),

答案第5頁，共13頁

yt

y=x-y/

=InX

可得。=1是a-l=ln。的解，

所以0＜。41時直線V="與＞=/(x)的圖象有2個交點，符合題意;

當4＜0時，由Il(xVO),可得了2(%2+2x+l—〃2)=0,

y=ax

要使〉=/(力與＞="的圖象有2個交點，

只需/+2工+1-。2=0在》＜0只有一解即可，

可得0+0+1-/W0,解得aV-1.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是aV-1或0V。VI.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為函數(shù)了=/(力與直線＞=磔的圖象交點個數(shù)問

題，考查了學生的抽象思維能力.

16.(1)2A/3;

4血-76

18

【分析】(1)由/=25得siib4=sin2b再利用正弦定理和余弦定理角化邊即可求解；

(2)利用余弦定理可求cosZ,從而可求sirU及cos24、sin24,結(jié)合兩角和差的余弦公式進行

求解即可.

【詳解】(1)由4=25,知sin/=sin2＞=2sin8cos8,

答案第6頁，共13頁

22_i2

由正、余弦定理得a=26"°一”

2ac

,:b=3,c=l,a2=12貝!Ja=2百；

(、、i+tA口六^工用4日Ab2+c2-a29+1—121

(2)由余弦定理得cos/=----------=--------=--

2bc63

\*0<A<n,sin^=Vl-cos2A=「1=逑

93

故sin2A=2sin4cosA=_生旦，cos24=2cos2A-\=~

99

兀兀兀4也-7出

cos(27l+—)=cos224cos——sin24sin—=

66618

17.（1）證明見解析

(2)45°

⑶平

【分析】（1）以。為原點，0/為X軸，DC為夕軸，過。作平面48co的垂線為z軸，建

立空間直角坐標系，利用向量法能證明/MLP"；

（2）求出平面/BCD的法向量和平面*W的法向量，利用向量法能求出平面尸與平面

48co夾角的大?。?/p>

（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出點。到平面的距離.

【詳解】（1）證明：等邊APCD所在的平面垂直于矩形/BCD所在的平面，

以。點為原點，分別以直線D4,。。為x軸、了軸，過。作平面48CD的垂線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，（其他建系方法按步驟給分）

依題意，可得。（0,0,0）,尸（0,1,6）,C（0,2,0）,/（2也,0,0）,“（四,2,0）

PA?=（V2,1,-73）,AM=（-72,2,0）,

:.PM-AM=（⑨,-百）.（-72,2,0）=0,

即PM1U7，AM1PM；

答案第7頁，共13頁

y

（2）解：設力=（X，%Z）為平面口〃的法向量,

n-PM=O也x+y-jz-0

則一

n-AM=O—x/2x+2y=0

取y=l,得五=(￡1,■')，

取力=（0。1）,顯然萬為平面的一個法向量,

,‘一一、n-p百41

.?吟"尸麗=TT3'

故平面以M與平面ABCD的夾角的大小為45。；

（3）解：設點。到平面的距離為心

由⑵可知n=（61,6）與平面B4M垂直，

(2V2,0,0).(V2,LV3)|2屈

貝ijd=

1?1

即點D到平面NVP的距離為亞1.

3

18.(1)?！?2〃+3；

（2）證明見解析.

【分析】（1）設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,用q,d表示S“及北，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S.，b?,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出北，并與S”作

差比較作答；方法2,利用（1）的結(jié)論求出S,,bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項和公式

求出（，并與S“作差比較作答.

答案第8頁，共13頁

?—6,〃=2左一1*

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛?！埃墓顬閐,而，=〃，左EN*,

2an,n-2k

則bx=ax-6,b2=2a2=24+2d,b3=a3-6=ax+2d-6,

S=4a,+6d=32

于是44=4%+4d-12=16'解得4=%=2,+3,

所以數(shù)列｛??｝的通項公式是=2〃+3.

2n—3,n=2k—1.

(2)方法1：由(1)知，S?=〃(5+；〃+3)=r+4”,b“=AeN*,

4n+6,n=2k

當n為偶數(shù)時，%+6“=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6^+1)n

7"2I▲J,

22

371

22

當〃>5時，Tn-Sn=(―A?+—H)—(n+477)=—n(n—1)>0,因此(>S”,

3735

22

當〃為奇數(shù)時，T；=^+1-^+i=-(?+l)+-(?+l)-[4(n+l)+6]=-/7+-77-5,

3s1

22

當〃>5時，Tn—Sn=(—n+—^―5)—(77+Ari)=—(w+2)(H—5)>0,因此北>S“,

所以當〃>5時，Tn>Sn.

2n—3,n=2k—1

方法2：由（1）知，S.=〃（5+｝+3）=/+而,bn=火￡N*,

4〃+6,〃=2左

當〃為偶數(shù)時,

-l+2(n-l)-3n14+477+6n

T=(b+b+---+b_)+(b+b+---+b)=

nl3nl24n2,22222

371

22

當〃〉5時，Tn—Sn={—n+—n)—(n+4/z)=—n(n—1)>0,因此<>5”,

當〃為奇數(shù)時，若〃上3,則

T/7L7XZ77—1+2n—3〃+l14+4(7?-1)+6n-\

1=(61+a+--+%)+32+“+?一+〃_1)=-----------------------------—+

22

Qsa5「

=5,顯然7；=4=-1滿足上式，因此當〃為奇數(shù)時，+-n-j,

2

351

22

當〃>5時，Tn—Sn={—n+—n—5)—(w+4AI)=—(w+2)(w—5)>0,因此

所以當〃〉5時，Tn>Sn.

答案第9頁，共13頁

19.(I)—+—=1;(II)y=^-x+1,y=-^-x+1.

4322

【分析】(I)由橢圓的長軸長為4,離心率為列方程組，解得。，b,c,進而可得答

案.

(II)由(I)知=-1,代入橢圓的方程可得為/,進而可得H點坐標，的長，又由

于箓=要，解得OS,進而可得S點坐標，推出罷=2，分兩種情況，當直線的斜

HFGFSG2

率存在時，當直線的斜率不存在時，討論直線九W的方程，利用已知條件和三角形的面

積公式，結(jié)合平面向量的坐標分別求解即可得出答案.

2a=4

c1

【詳解】(I)根據(jù)題意可得—=彳，

a2

a1=b2+c2

解得a=2,c=l,b=VJ，

22

所以橢圓。的方程為土+匕=1.

43

(II)由(I)知尸(-1,0),G(2,0),

因為尤軸，所以“=-1,

因為S在了軸的正半軸，所以“在x軸上方,

因為點H在橢圓上，所以工+兇_=1，解得力=：,

432

所以BPHF=|,

OS2

因為二即33,解得OS=1,

HFGF—

所以S(0,1),所以粵=：,

S(J2

當直線MN的斜率存在時，設直線血W的方程為＞=丘+1,

設”(再,必)，N(x2,y2),

y=kx+\

聯(lián)立；%2y2,(3+4左之+8丘-8=0,

[43

所以苞+%=一號T①'苫也=三記②,

答案第10頁，共13頁

因為S^SMG=6SASHN，

所以J?|SMHSG|?sinaMSG=6?；|依卜|耽卜sinZHSN,

所以|5A/|.|SG|=6|7/S|.|5W|,所以|S"|=3|SN|,

所以市=3而，

所以(-%,1-%)=3(々,%一1),

即項=-3工2③，

由①②③，解得左=±如，

2

所以直線跖V的方程為無+1,y=-^x+l,

當直線MN的斜率不存在時，直線九W的方程為x=0,

此時SM\蜀V=3司+1=2+反r不合題思.

綜上可得，直線初V的方程為y/x+1,y=-^-X+\.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解決本題的

關(guān)鍵點是由器=胎解得⑹進而可得s點坐標，推出ej分直線班的斜率存

在和不存在兩種情況，利用已知條件和三角形的面積公式，結(jié)合平面向量的坐標分別求解即

可，考查學生計算能力，屬于中檔題.

20.(1)/(力的減區(qū)