江蘇省泰州市2024屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省泰州市2024屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知單位向量W的夾角為120。，則（2柒—￡）￡=（)

A.-2B.0C.1D.2

2.在正方體中，下列關(guān)系正確的是（）

A.AD1BtCB.AXD1BDC.AC.1AXCD.AC.1CD,

3.一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：10,21,25,35,36,40.若這兩組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則刪除的數(shù)為（）

A.25B.30C.35D.40

2x+2-x,x<3

4.已知函數(shù)/（%）=<,則〃噫9）=（）

8B.Wc心c82

A.-D.—

3399

則的最小值為（）

5.設(shè)x〉0,y〉0,l+2y=2,x

Ry

33

A.-B.2^2C.—+V2D.3

2

6.若函數(shù)〃x）=e"+2x有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為（）

1

A.a>—2B.a>—C.ci<-2D.a<——

22

7.設(shè)拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為RC的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)/,過/的直線與c在第一

象限的交點(diǎn)為N且|『M|=3|FN|,則直線九W的斜率為()

A..B.|C.—D-1

223

8.若cosa,cos(a-7)，cos(a+—)成等比數(shù)列,則sin2a=()

63

A.21

B.--C.-D.——

4634

二、多選題

22

9.已知雙曲線C:3-}=13>0）的右焦點(diǎn)為R直線/：x+6y=0是C的一條漸近線,

產(chǎn)是/上一點(diǎn)，則（）

試卷第1頁，共4頁

A.C的虛軸長為28B.C的離心率為八

C.|尸尸|的最小值為2D.直線PF的斜率不等于-亨

10.已知尸(/)=！，P(N|/)=1.若隨機(jī)事件4,2相互獨(dú)立，貝!I()

54

11-4-4

A.P(S)=-B.P(AB)=—C.P(A\B)=-D.P(A+B)=-

11.已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，g(0)=g(2)=l,

g(x+y)+g(x-y)=g(x)/(y),貝I()

A.y(x)為偶函數(shù)B.g(x)為偶函數(shù)

C.g(-l-x)=-g(-l+x)

D.g(l-x)=g(l+x)

三、填空題

12.設(shè)“eR,i為虛數(shù)單位.若集合/={1,2加+(m-l)i},5={-2i,l,2},且4=2,則加

13.在“3C中，AB=41,4C=1,M為5C的中點(diǎn)，/AWC=60。，貝|.

14.若正四棱錐的棱長均為2,則以所有棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的十面體的體積為,

該十面體的外接球的表面積為.

四、解答題

15.甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機(jī)調(diào)查了

1000名消費(fèi)者,得到下表：

滿意不滿意

男44060

女46040

(1)能否有95%的把握認(rèn)為消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)；

(2)若用頻率估計概率，從該地區(qū)消費(fèi)者中隨機(jī)選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X

的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n(ad―尻丫

附：K=---------------------------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

試卷第2頁，共4頁

P(K2>k)0.10.050.01

k2.7063.8416.635

16.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(0x+p)(0>O,O<p<兀).已知/(x)的圖象的兩條相鄰對稱軸間的

-_^、r兀n兀、1

距nr禺為大，且/(一:)=一；.

242

⑴若“X)在區(qū)間(0,加)上有最大值無最小值，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍；

⑵設(shè)/為曲線了=/(無)在處的切線，證明：/與曲線了=/(尤)有唯一的公共點(diǎn).

0

17.如圖，邊長為4的兩個正三角形4BC,BCD所在平面互相垂直，E,F分別為BC,

CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱/。上，AG=2GD,直線與平面E尸G相交于點(diǎn)"

(1)從下面兩個結(jié)論中選一個證明：①)BD//GH；②直線/ffi,GF,/C相交于一點(diǎn)；

注：若兩個問題均作答，則按第一個計分.

(2)求直線BD與平面EFG的距離.

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，S”=a“-4a,+i，%=-1.

⑴證明：數(shù)列｛2。向-。"｝為等比數(shù)列；

⑵設(shè)b?=,求數(shù)列他,｝的前n項(xiàng)和；

(3)是否存在正整數(shù)2，q(p<6<q),使得邑，S6,邑成等差數(shù)列？若存在，求p,q.

若不存在，說明理由.

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓廠1+與=1伍>6>0)的離心率為逅，直

ab3

線/與「相切，與圓。：/+/=3。2相交于/,8兩點(diǎn).當(dāng)/垂直于X軸時，|48|=2幾.

⑴求「的方程；

(2)對于給定的點(diǎn)集M,N,若M中的每個點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小

距離的最大值存在，則記此最大值為或M,N).

(i)若M,N分別為線段48與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓。上一點(diǎn)，當(dāng)△尸48的面積最

試卷第3頁，共4頁

大時，求d(M,N)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在，記兩者中的較大者為已知8(X,y),

H(Y,Z),〃(x,z)均存在，證明：〃(x,z)+“(y,z)2"(x,y).

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律整理式子，結(jié)合數(shù)量積的定義，可得答案.

［詳解］(29_02"2=2弓q_022=2,歸,120。-耳『=2x1!^-1=-2.

故選：A.

2.D

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以/(1,0,0),。(0,0,0),3(,1,0),c(o,i,o),4(1,0,1)4(0,0,1)用(1,1,1)6(0,1,1),

AD=(-1,0,0),麻=(-1,0-1)，麗=(-1,0,-1),^5(-1-1,0),

布=(-1,1,1),“=(-1,1,-1),西=@,-1,1)

對于A,而?麻=-lx(_l)=l20,故A錯誤；

對于B,麗?麗=-1X(-1)=1N0,故B錯誤；

對于C,^Q-4C=-lx(-l)+lxl+lx)=1^0,故C錯誤；

對于D,布?西=-lx0+lx(-l)+lx&1)=0,故D正確.

3.B

【分析】

根據(jù)給定條件，利用中位數(shù)的定義求解即得.

答案第1頁，共14頁

25+35

【詳解】依題意，新數(shù)據(jù)組有6個數(shù)，其中位數(shù)是工一=30,

顯然原數(shù)據(jù)組有7個數(shù)，因此刪除的數(shù)是中位數(shù)30.

故選：B

4.B

【詳解】

2x+2-x,x<3

因?yàn)樾?：0,x>3

由于log29>3,則/(log29)=〃；log29)=f(log23)=2嘀心擊=3+1=y.

故選：B

5.C

【分析】

由不等式“1”的代換求解即可.

【詳解】因?yàn)槭?,所以二+二1,

因?yàn)椋?gt;0,y>0,所以、+—=FL=——FXVH--------4

y22xy

也-3-+2

2x——=

2+業(yè)

x---------

當(dāng)且僅當(dāng)4時取等.

y=2M-46

故選：C.

6.C

【分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，利用極值點(diǎn)大于0,求出。的范圍.

【詳解】

函數(shù)〃x)=e"+2x,

可得/''a)=aem+2,

若aN0J'(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，

答案第2頁，共14頁

i7

故Q〈0,令/'(%)=枇次+2=0,解得％=一山(一一),

aa

當(dāng)x，ln(-2)時，f^(x\>0,當(dāng)x<11n(-2)時，f'(x]<0,

aaaa

1?

故x=-ln(-)是=e"+2x的極值點(diǎn)

aa

由于函數(shù)/(x)=e"+2x有大于零的極值點(diǎn),

—ln(--)>0=>ln(--)<0=>0<<1,解得a<-2.

aaaa

故選：C.

7.A

【分析】

根據(jù)題意可設(shè)MN直線方程為了=Mx+l)，左＞0,聯(lián)立直線與拋物線方程，通過根與系數(shù)的

關(guān)系及拋物線的焦半徑公式，建立方程，即可求解,

【詳解】根據(jù)題意可得拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

則有N(T,0),設(shè)MV直線方程為了=左卜+1),左＞0,

1=4(x+l),可得上2x+(2左2_4)x+k2=0,

聯(lián)立

y=4x'7

貝l|A=(242一4)2—4肚2.r=一16(左一1)(左+1)>0,得一1〈左<1,故0<左<1,

西工2二1，

又|r⑷=3|四|,有1MM[=3|MV[,即1+西=3(1+%)，得西=2+3尤2,

/.xrx2=(2+3X2)X2=1,又。<X2<玉,解得/=g，M=3,

4一2左2=3+L,又上＞0,解得左=噂

?,?3+馬=后2

32

答案第3頁，共14頁

故選：A

8.B

【分析】

利用等比中項(xiàng)，結(jié)合三角恒等變換求解即得.

【詳解】由COSa,cos(a-,cos(a+q)成等比數(shù)列，得cos2(a<)=cosacos(a+g),

6363

日n1兀1V3.1l+cos2a百.o

即—[1+cos(2a-y)J=cos?(—cosa一一—sina)=~------------sin2a,

1,1o,^3.0110VJ.grpi.0G

—+—cos2a+——sm2a=—+—cos2a----sm2a,所以sin2a=----.

2444446

故選：B

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于

用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、

兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問題的關(guān)鍵，明

確角的范圍，對開方時正負(fù)取舍是解題正確的保證.

9.AD

【分析】

根據(jù)給定條件，求出雙曲線的漸近線方程，求出6,再逐項(xiàng)判斷即得.

221L

【詳解】雙曲線C:土-4=1的漸近線方程為"±2尸0,依題意，解得6=收,

4b2b2

對于A,C的虛軸長26=2及，A正確；

對于B,C的離心率6='/+"=旦,B錯誤;

a2

=6,即忸刊的最小值為百

對于C,點(diǎn)F函,0)到直線I:x+42y=0的距離C

心+(后了

錯誤；

對于D,直線/:x+缶=0的斜率為-手，而點(diǎn)尸不在/上，點(diǎn)P在/上，則直線尸尸的斜

率不等于一"，D正確.

2

故選：AD

10.BCD

【分析】

答案第4頁，共14頁

根據(jù)條件概率公式和獨(dú)立事件乘法公式即可判斷ABC,再根據(jù)

P{A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)即可判斷D.

\-更坦-竺絲1=L.-L

【詳解】對BP,(⑷B)A一)PQ)一1一4…P(AB})一20，B正確；

5

對A,P(AB)=P(A)P(B)=-P(S),P(B)=-,A錯誤；

54

對C,P(AB)=P(2)P(S)=7X1=1P(刁5)==A±,c正確；

545P(B)，5

4

對D,尸(4+分)=尸(4)+尸(團(tuán)—尸(40

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=g}j=g，D正確.

故選：BCD.

11.ACD

【分析】

由賦值法，函數(shù)奇偶性，對稱性對選項(xiàng)一-判斷即可得出答案.

【詳解】令＞=一九則8(》一〉)+8(》+〉)=8(》)/(一〉),注意到g(x)不恒為0,

故/⑺卜/^一了)，故A正確；

因?yàn)?(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱,所以"2)=0,

令x=0/=2,得g(2)+g(-2)=g(0)/(2)=0,

故g(-2)=-l/g(2),故B錯誤；

令x=y=T,得g(-2)+g(0)=g(-l)/(-l)=0,

令x=〉=l，得g(2)+g(0)=g(l)/⑴=2,故g⑴J50,

從而f(-1)片0,故g(-D=o,

令x=-l,得g(-l+y)+g(-「y)=0,化簡得g(T-y)=-g(-l+V),故C正確;

令P=2,得g(x+2)+g(x-2)=0,而g(l-x)=-g(x-3)=g(l+x),故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的對稱性常有以下結(jié)論

答案第5頁，共14頁

(1)/(工+。)=/僅-工)=>/(尤)關(guān)于龍=巴9軸對稱，

(2)/(%+0)+/(6-月=2C=/(%)關(guān)于112,“中心對稱，

12.1

【分析】

由集合的包含關(guān)系得兩個集合中元素的關(guān)系，由復(fù)數(shù)的相等解加的值.

【詳解】集合/={12〃+(〃-)},5={-2i,l,2},且/=

則有2加+O—l)i=—2i或2加+(加一l)i=2,解得冽=1.

故答案為：1

13.3

2

【分析】

根據(jù)給定條件，取/C的中點(diǎn)N,利用余弦定理求解即得.

【詳解】在“3C中，取NC的中點(diǎn)N,連接MN,由M為3C的中點(diǎn)，得MN，AB=^~,

22

在A/ACV中，由余弦定理得何2=/四？+/"2-2,AM-ANcosZCAM,

貝！]]=/Af2+。/A/,gpAM2--AM--=0,而/M>0,所以=

442222

3

故答案為：—

2

【分析】

根據(jù)給定條件，利用割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積公式計算體積；建立空間直角坐標(biāo)系，求出外接

球半徑即可求出表面積.

【詳解】正四棱錐尸-/BCD的所有棱長為2,點(diǎn)4,兄。,。'禺尸,W,N是所在棱的中點(diǎn)，

如圖，

答案第6頁，共14頁

p

顯然尸打2+尸￡)2=8=5￡>2,即有尸8_L尸。，則正四棱錐P-/BCD的高為0,

于是PpTBCD=1X4xV2=,Vp_A'B'CD'=；義1、豐=?'

33326

也

S.M=；X1X1=；,到平面/MV的距離"=?，心加=99

-，

2

/1232

正

55正

所以所求十面體的體積為憶=V_-V_..,-叱7=孚-

PABCDPABcvMv-

6-21-6

令4CCBD=O,以直線。4。民。尸分別為x),z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

,B'

■C

幺//--二6、、、丫\/1

――M5SK

Xy

則/(&,0,0)尸(0,0,⑨爾0,e0),。(0,,則),8'(0,：,f),

M吟，冬0),N(拒

0)，設(shè)外接球球心O'(x,y,z),半徑火

￡

22

+2-

爭Xo

O'A'=R22

2+-o

x歹

』.

得

O'B'=R解

.

則,，因此＜ZO

O'M=R「22.

-

V2一

OfN=R

V2『22

+-

所以十面體的外接球的表面積為S=4兀.

故答案為：等4兀

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的體積，將給定的幾何體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指睿D(zhuǎn)化為可求體積的

幾何體求解是關(guān)鍵.

15.⑴有95%的把握認(rèn)為消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)

3

(2)分布列見解析，期望￡(》)=1；

答案第7頁，共14頁

【分析】

(1)先利用所給數(shù)據(jù)表完善2x2列聯(lián)表，再利用K2公式求出K2,利用臨界值表進(jìn)行判定;

(2)先求出不滿意的概率為由二項(xiàng)分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式進(jìn)

行求解一

【詳解】⑴

補(bǔ)全2x2列聯(lián)表如圖所示：

滿意不滿意總計

男44060500

女46040500

總計9001001000

片=100曹424M6：：601咚A444>3.841,故有95%的把握認(rèn)為消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿

500x500x900x1009

意度與性別有關(guān).

(2)

由題知，從該地區(qū)的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取1人，不滿意的概率為」7，X的所有可能取值為0,

1,2,3,

且尸—。)嗚*濡'尸-i)=C帝哈

o17711

P(Jf=2)=C^x-x(-y=—,P(^=3)=^)3_,

所以X的分布列為:

X0123

72924327]

P

1000100010001000

729243c27cl3“八、兀，7兀

所以E(X)=0x——+lxF2xF3x=—.16.(1)—<加W—

10001000-------1000-------100010v71212

(2)證明見解析

【分析】

答案第8頁，共14頁

(1)根據(jù)周期以及/(1)=-可求解〃x)=sin[2x+；J,進(jìn)而根據(jù)整體法即可求解，

(2)求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)8口11+今卜出"；],利用

導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】(1)由題意可得周期7=生=2*弓，故。=2,

co2

11

/(一：)=sin[-尹力-c°s0=_一ncos(p=—.

22

由于°€(0,兀)，故0=g,

故/(%)=sin2x+-\,

I3j

兀c兀)

當(dāng)XE(0,加)時，+于2加+力

由于/(X)在區(qū)間(0,〃2)上有最大值無最小值，故3＜2加+]＜斗，解得￡〈根

Ji,7兀

故——<m<——

1212

(2)/(%)=2COSf2x+yj,f

7171

sin——+—=0,

33,

故直線/方程為＞=2x

7171

令g(x)=2尤+2[一sin[2x+g),則g'(x)=2—2cosf2x+y1>0,

33

故g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又g0,

因此g(x)有唯一的的零點(diǎn)弋,

故/與曲線了=/(x)有唯一的交點(diǎn)，得證.

17.(1)證明見解析;

⑵當(dāng)

【分析】

(1)選擇條件①，利用線面平行的判定性質(zhì)推理即得；選擇條件②，利用平面的基本事實(shí)

推理即得.

(2)以點(diǎn)￡為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離公式求解即得.

答案第9頁，共14頁

【詳解】（1）

選擇條件①，由E,尸分別為3C,C。的中點(diǎn)，得EF//BD,

又BDU平面EFG,EFu平面EFG,則50〃平面EFG,

又3_Du平面N8Z）,平面/BOc平面EFG=GH,所以BD//GH.

選擇條件②，在A/CD中，/6=26。,尸為。。中點(diǎn)，則G尸與/C不平行，

設(shè)GFnNC=K,則KeNC,KeGF,又4Cu平面48。,尸6u平面E尸G,

于是Ke平面48C,Ke平面EFG,又平面/3Cc平面EFG=HE,因此KeHE,

所以成，G廠，/C相交于一點(diǎn).

(2)

若第（1）問中選①，由（1）知，助〃平面ENG,

則點(diǎn)B到平面EFG的距離即為BD與平面EFG的距離，

若第⑴問中選②，由￡,尸分別為3C,C。的中點(diǎn)，則M//8D,

又AD<Z平面￡尸G,￡Fu平面EFG,于是8。//平面EFG,

因此點(diǎn)3到平面E尸G的距離即為8。與平面E尸G的距離，

連接區(qū)4,口）,由均為正三角形，E為8c的中點(diǎn)，彳導(dǎo)EALBC,EDLBC,

又平面ABC1平面BCD,平面平面BCD=BC,AEu平面ABC,

于是/E_L平面BCD,又瓦）u平面3cD,則E4_L￡D,

以點(diǎn)￡為原點(diǎn)，直線EB,ED,EA分別為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則8（2,0,0），/（一1,G,0）,G（0,孚,孚），麗=（2,0,0）,麗=（一1,且0），函=（0，羊，子）,

EF?萬=-工+聒y=0

設(shè)平面EFG的一個法向量為n=（xj,z）,則,__,_4^/32G，令V=1，得

EG?h=---yH--------2=0

[33

答案第10頁，共14頁

1(百,1,-2),

設(shè)點(diǎn)B到平面EA3的距離為d,則"=醫(yī)竺包=華=整

\n\V82

18.(1)證明見解析;

11

(2)8-2"+3(?+1)：

(3)存在，p=5,q=8.

【分析】

（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合?！?5”-S,T，心2及等比數(shù)列定義推理即得.

（2）由⑴求出見也,再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

（3）由（1）求出S“，由己知建立等式，驗(yàn)證計算出再分析求解9即可.

【詳解】（1）

?eN*,=a?-4a?+1,當(dāng)〃22時，=an_x-4an,

兩式相減得%=a“-%-4aM+4。“,即4a?+1=4an-%,

則有2（2a“+i-a”）=2a“,當(dāng)篦=1時,-4a2,則的=0,gp2a2-a；=10,

所以數(shù)列｛24用-%｝是以1為首項(xiàng)，|■為公比的等比數(shù)列.

（2）

由（1）得，2%一?！?擊,則2"%-2"%=1,數(shù)列｛2"一）“｝是等差數(shù)列，

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77_2—〃+2_1r-11-I

于是2"4=〃-2,解得?！?2"T，人"-2n+3n(n+l)~8L2n-1n~2n(n+l)f

所以｛4｝的前〃項(xiàng)和

一六)+(.六)]1

-)+???+(—^-----------4-----2-(?+1)-

2"-72777+1)

(3)

,zx「n—2An—1n

由(1)知，5?^^zr-4x—,

由S〃，S6，Sg成等差數(shù)列，得一||=-3一奈，整理得(+譽(yù)=］，

乙乙乙乙乙1U

由(+1=焉，得(</，又lWp<6,peN",；=。=5不等式成立,

2"2"162”16222216

因止匕即著令d"=《，則4,+1-d"°，

322lo23222

從而4=4>4>4>4>…，顯然德=上，即q=8,

所以存在P=5應(yīng)=8,使得邑,$6,Sg成等差數(shù)歹!J.

【點(diǎn)睛】

易錯點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未

被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.

r2

19.(1)—+/=1；

3

(2)(i)-；(ii)證明見解析.