2024年新高考數(shù)學模擬試題8（含詳細解析）

2024年新高考數(shù)學模擬試題8

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

2.若橢圓C：蘭+^=l的離心率為如，則橢圓C的長軸長為（）

m23

A.6B.當~或2&C.2&D.2四或2而

3.記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若+%=1。,。5。6=35,則$6=（）

A.20B.16C.14D.12

4.已知機、九是兩條不同直線，a、/3、/是三個不同平面，則下列命題中正確的是（）

A.若加〃a,n//a,則相〃〃B.若a_L尸，B＞丫，則?！?

C.若機〃a,m//p,則。〃/D.若機_La,n±a,則m〃幾

5.2023年10月23口，杭州亞運會歷時16天圓滿結束.亞運會結束后，甲、乙、丙、丁、戊五名同學排成一排合影留

念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

6.若。是,ABC所在平面內的一點，且滿足-。C|=|O2+OC-2OA|,貝|ABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

cc-B

7.-tan.......-1+tan（cr一夕）tan=6,tanatan----戶=3,貝|cos（4a+4/?）=（

a-/32

2

79n79-49-49

A.——B.—C.——D.——

81818181

22

8.已知耳、工分別為雙曲線當-二=1（。＞0,6＞0）的兩個焦點，雙曲線上的點尸到原點的距離為6,且

ab

sin?P/J；3sin?尸耳心，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=士顯xB.y=±旦

C.y=±^2xD.y=+A/3X

22

二、多選題

9.函數(shù)/。）=2$山128+小（0＜。＜1）的圖象如圖所示，將其向左平移四個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，則下

B.函數(shù)的圖象關于點卜?0）對稱

C.函數(shù)y=g（x）的圖象關于直線無4對稱D.函數(shù)y=g2x+g在一葭上單調遞減

6I〃一V九

10.歐拉是科學史上最多才的一位杰出的數(shù)學家，他發(fā)明的公式為e"=cosx+isin無，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義

域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，這個公式也被譽為“數(shù)學中的天橋”(e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為

虛數(shù)單位)，依據(jù)上述公式，則下列結論中正確的是()

A.復數(shù)e弓為純虛數(shù)

B.復數(shù)e，3對應的點位于第二象限

C.復數(shù)胃的共軌復數(shù)為匕

e22

D.復數(shù)eROe?兀])在復平面內對應的點的軌跡是半圓

11.已知函數(shù)“X)定義域為R,滿足〃尤+2)=：〃X),當時，=W.若函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)

g⑴=QJ(-2023<x<2023)的圖象的交點為(汽,兀)，億,%),(%,％),(其中國表示不超過x的最大整數(shù)),

則()

A.g(x)是偶函數(shù)B.〃=2024C.￡x,=0D.y,.=22012-2-1011

Z=1Z=1

三、填空題

12.已知/(x)=77二I的定義域為A,集合2={尤?：?|1<依<2},若8=則實數(shù)。的取值范圍是.

13.已知四面體A—BCD,其中AZ)=3C=2,CD=AB=非,AC=BD=5,E為8的中點，則直線與8E

所成角的余弦值為;四面體A-BCD外接球的表面積為.

14.在同一平面直角坐標系中,P,Q分別是函數(shù)/(x)=axex-ln(ax)和g(x)=迦匚且圖象上的動點，若對任意a>0,

有忸。|2加恒成立，則實數(shù)相的最大值為.

四、解答題

15.已知函數(shù)f(x)=lnx+0,aeR.

⑴討論了⑺的單調性；

(2)若a=(,尤>1,證明：f[x)<ax.

試卷第2頁，共6頁

16.多項選擇題是標準化考試中常見題型，從A,B,C,。四個選項中選出所有正確的答案(四個選項中至少有

兩個選項是正確的)，其評分標準為全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

(1)甲同學有一道多項選擇題不會做，他隨機選擇至少兩個選項，求他猜對本題得5分的概率；

(2)現(xiàn)有2道多項選擇題，根據(jù)訓練經(jīng)驗，每道題乙同學得5分的概率為:，得2分的概率為J；丙同學得5分的概

24

率為：，得2分的概率為;.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項選擇題乙比丙總

分剛好多得5分的概率.

,二面角A-3耳-G的大小為60。.

⑴求四邊形ACGA的面積；

(2)在棱A片上是否存在點M,使得直線CM與平面ABC所成的角的正弦值為?若存在，求出A"的長；若不

存在，說明理由.

試卷第4頁，共6頁

18.已知拋物線。:/=2Q(0>0)的焦點為尸，過P的直線/交于AB兩點，過尸與/垂直的直線交于2E兩點,

其中昆。在>軸左側，","分別為43,。￡的中點，且直線過定點(0,3).

(1)求拋物線C:x2=2py(p>0)的方程；

(2)設G為直線AE與直線BD的交點；

(i)證明G在定直線上；

(ii)求MGN面積的最小值.

19.若數(shù)列｛%｝滿足：%w｛O,l｝,〃eN*,且4=1,則稱｛可｝為一個X數(shù)列.對于一個X數(shù)列｛%｝,若數(shù)列也｝滿

足：4=1,且6鵬=%-爭b”,”eN*,則稱也｝為｛%｝的伴隨數(shù)列.

⑴若X數(shù)列｛4"｝中，2=1,%=。嗎=1，寫出其伴隨數(shù)列帆｝中與也也的值；

⑵若｛??）為一個X數(shù)列，｛b,,｝為｛%｝的伴隨數(shù)列

①證明："｛%｝為常數(shù)歹小是“｛bn｝為等比數(shù)列的充要條件；

②求多）23的最大值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.B

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)離心率的計算公式，分焦點的位置，討論即可求解.

瓜_y/l-m7

【詳解】當焦點在了軸時，由0=，解得加=（，符合題意，此時橢圓C的長軸長為20;

當焦點在x軸時，由e="=必"1,解得，及=6,符合題意，此時橢圓C的長軸長為2詬=2".

3sjm

故選：D.

3.D

【分析】由等差數(shù)列的性質求得〃5,然后依次求得。6,公差，最后求得§6.

【詳解】,??{%}是等差數(shù)列,

a3+a-j=2a5=10,a5=5,所以〃6二$$=7,

???公差1=。6-。5=2，

%%—4d=-3,

6xS

Ss=6x(—3)+——x2=12,

2

故選：D.

4.D

【分析】利用長方體中線面的關系，逐一確定各選項.

A選項：令平面ABCD為平面a,AlBi為直線m,B?為直線n,

有：m//a,n//a,{Hmr>n=B1,A錯誤；

B選項：令平面ABCD為平面夕，令平面目為平面a,

令平面4AB旦為平面有：a±j3,2,而a，/,B錯誤；

C選項：令平面ABCD為平面a,令平面AABB］為平面夕，CR為直線機,

有：m//a,m///3,則a〃分，而<z_L6,C錯誤；

D選項：垂直與同一平面的兩直線一定平行，D正確.

故選：D

5.C

【分析】分類當丙站在左端時及丙不站在左端時的情況計算即可得.

【詳解】由題意可知，當丙站在左端時，有A；=6種站法；

當丙不站在左端時，有C；A；A；=24種站法.

由分類加法計數(shù)原理可得，一共有6+24=30種不同的站法.

故選：C.

6.D

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可以得出|AB+A4=|AB-AC|,進而得到ABLAC,由此可判斷出的形狀.

答案第1頁，共10頁

【詳解】VOB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC，OB—OC=CB=AB—AC，

：.|AS+Ac|=|AB-Ac|,兩邊平方，化簡得AB.AC=0,AB_LAC.

.ABC為直角三角形.

因為AB不一定等于AC,所以oASC不一定為等腰直角三角形.

故選：D.

7.A

【分析】結合二倍角公式和兩角和差公式化簡即可求得.

/\Jan2fl2tan2i]

【詳解】——_tanl+tan(?-g)tana=6,________2_1+2=6.

B、夕j

cc—(3y2a-B

tan------L-tan———1-tan"———

I2)212)

y2a—B八2a—B

2cos(a-6)l-tan--+2tan--

=6,

sin("01-tan2

I2)

2cos(a—01+tan---2cos(a—尸)1

=6,

sin(f)Jan2fsin(cr-y5)cos(6Z-/?)

I2)

11

sin(cr-/?)=—,sinacos[3-cosasin/3=-,

又因為tanatan]/-/)=3,所以sinacos/?=3cosasin力,

112

貝！Jcosasin'=sinacos'=5，所以sin(a+尸)=sinacos(3+cosasin/3=—

41

cos(2cr+2/?)=l-2sin2(cr+；0)=l-2x—=—.

179

cos(4^+4y0)=2cos2(26Z+2^)-l=2x—-1=--.

故選：A

8.A

【分析】本題首先可以結合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)sin?為謫3sin?產(chǎn)片后得出|尸娟=3|尸閶，根據(jù)雙曲

線的定義得出|尸閶=。，再然后根據(jù)歸付+「0「=|0段2得出？。尸耳90以及|打|=/,根據(jù)|"。「+回斤=|。斤

h2V2丫2

得出“0="，最后將P點坐標代入雙曲線與-鼻=1中，通過化簡即可得出結果.

cab

【詳解】設K為雙曲線的下焦點，工為雙曲線的上焦點，繪出雙曲線的圖像,

如圖，過點夕作耳&于點H,

因為sin?PF2FX3sin?PFXF2,

PHPH,,,,

所以荏=3?西，|P￡|=3|P閶，

因為|尸￡卜|尸周=2a,所以|P6|=a,

答案第2頁，共10頁

因為雙曲線上的點P到原點的距離為方，即|尸。=6,且用=c,

所以|PR「+|po「=a2+b2=c2=|og「，?op%90,

故)到OP||尸引=)倉回目,內尸|='，

因為|HO「+|期2=|。葉，所以匠0|=',Pgg：，

將P齡,9代入雙曲線雙中,

即B7][-7)_，化簡得/-優(yōu)=/°2,/_/=6(/+/)，

b^=1

7//,2S,2?2

"2凡2a4=o,2=0,：fc-2京+1=0,

解得耳=2或T(舍去)，-=A/2,3=1，

aabl

則該雙曲線的漸近線方程為>=±@尤=土三X,

b2

故選：A.

【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，考查雙曲線定義以及等面積法的靈活應用，考查計算能力，考查化

歸與轉化思想，考查數(shù)形結合思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.

9.ABD

【分析】首先化簡函數(shù)/■(》)，再根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式，結合三角函數(shù)的性質，即可判斷A,B；利用圖

象平移求函數(shù)g(x)的解析式，再結合函數(shù)的性質，即可判斷C,D.

【詳解】函數(shù)〃尤)=2sin(2°x+g),當尼)=2sin(等+今)=2,

,?.(tm兀兀-1~1

止t匕時*---1------F2&7T,左￡Z,CD----\-6k,左￡Z,

3322

因為0<°<1,所以0=；,所以〃x)=2sin[x+m],故A正確；

/^-jL2sin^-|+^=2sinO=O,所以/⑺關于點對稱，故B正確；

函數(shù)圖象向左平移B個單位長度后得到g(x)=2sin+:=2cosx,

6IA6/3_

g(x)=2cosx,當彳=弓時，g(x)=2cos^=V3,所以函數(shù)y=g(x)的圖象不關于直線尤=￡對稱，故C錯誤；

g[2j；+?)=2COS(2j；+0當X，一屋時，2x+Je40"]，

所以函數(shù)g12x+"在上單調遞減，故D正確.

故選：ABD

10.ABD

【分析】根據(jù)給定的公式，結合復數(shù)的相關概念逐項分析判斷即得.

【詳解】對于A,e^=cos-+isin-=i,貝I/為純虛數(shù)，A正確；

22°

對于B,ei3=cos3+isin3,而17T<3<兀，即cos3<0,sin3>0,則復數(shù)產(chǎn)對應的點位于第二象限，B正確；

對于C,eI3=cos-+isin-=-+^i,復數(shù)eg的共輾復數(shù)為1-3i，C錯誤;

3322e22

答案第3頁，共10頁

對于D,s'0=cos6*+isin0,\^°|=|cosg+isin。|=1,

復數(shù)小(。e[0,IT])在復平面內對應的點的軌跡是半徑為1的半圓，D正確.

故選：ABD

11.BC

【分析】舉例說明判斷A；分析函數(shù)/(盼與g(x)的性質，作出部分函數(shù)圖象，結合圖象與性質推理、計算判斷BCD.

1呂1

【詳解】函數(shù)g(x)=(±)2」(_20234X42023),顯然g(-l)=l,而g6=^,即g(-l)wg⑴，因此g(無)不是偶函數(shù)，

22

A錯誤；

函數(shù)/⑺定義域為R,滿足f(x+2)=g/(x),當時，尤)=可，

當l〈x<3時，-iWx-2<1,f(x)=-y(.X—2)=—|X—21,

當2左一14尤<2左+1,左eN時，-l<x-2k<l,/(無)=g/(x-2)==L—2左)=：|無一2左|,

當一34％<—1時，-I<x+2<1,/(x)=2/(x+2)=2|x+2|,

當一2左一1W%<—2左+1#EN時，一lWx+2左<1,/(x)=2/(%+2)=22/(%+4)=L=2kf(x+2k)=2k\x+2k\,

因此當xe[2j-l,2/+l),/eZ時，函數(shù)/(尤)=±|x-2)|在[2)-1,2八jeZ上遞減，

在[2/2/+1)"€2上遞增，當x=2/-l,/eZ時，/⑺取得最大值?，

Y+[Y+]

當一1WX<1時，[-r]=0七(無)=1,

Y-L1y-L11

當2Z—1<兀<2左+1,女cN時，k<^<k+l,[q]=左,雙幻=力，

222

Y-1_1Y_1_1

當一2無一l4x<-2左+1,左eN時，-k<—<-k+\,[―]=-^,g(x)=2\

因此當xe[2J-L2/+l),/eZ時，函數(shù)g(x)=],

在同一坐標平面內作出函數(shù)y=f(x),y=g(x)的部分圖象，如圖，

當xe[2J-1,2J+1),jwZ時，函數(shù)y=/(x),y=g(x)的圖象有唯一公共點jeZ,

2

-2013<x<2013,因此Jmin=T011，Jmax=1012,而滿足-10114,41012的整數(shù)有2024個，即〃=2024,B

正確；

顯然占=2/-l,i=j+1012,-10114/V1012"eZ,

2024

所以?>,?=(-2013)+(-2011)++(-2)+(-1)+1+2++2011+2013=0,C正確；

1=1

%=9=)+1012,-1011<j<1012,jeZ,數(shù)列{^-}(-1011<j<1012,jeZ)是首項為*"，公比為《的等比數(shù)列,

202422叫1-&嚴]4

所以之y=-----------r—=21012-27°“，D錯誤.

T1--

2

故選：BC

答案第4頁，共10頁

【點睛】關鍵點睛：求兩個分段函數(shù)的公共點的坐標，確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，再代入該段的解析式

求值是關鍵.

12.[-1,1]

【分析】先求出/（x）的定義域得到集合4再根據(jù)子集的定義即可求得。的取值范圍.

【詳解】x2-l>0,則或xV—1,即4=以以21或xW—l}.

①當。=0時，8=0,滿足BgA,符合題意；

②當。>0時，B={xeR|-<x<-）,所以若8=4,

aa

1?1

則有—之1或—<-1（舍），解得0<。（1；

aa

21

③當。<0時，B={xeR|-<x<-},所以若

aa

1?

則有人<-1或（舍），解得一IKQVO.

aa

綜上所述，tZG[-l,l].

故答案為：[-1』

13.紐Z/WjFf8兀

3434

【分析】將四面體A-BCD補成長方體4WCN-P8QD,根據(jù)勾股定理求出A"、AN、AP的長，以點A為坐標原

點，AM.AN、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求出直線AD與8E所成

角的余弦值，求出四面體A-3CD外接球的半徑，結合球體表面積公式可求得結果.

【詳解】在四面體A-3CD中，AD=BC=2,CD=AB=5AC=BD=用,

將四面體A-BCD補成長方體AMCN-PBQD,

AD2=AP2+AE2=4\AP=\

貝I]，AB?=A尸2+AA/2=5,解得{AM=2,

AC2=AM2+AN2=7AN=6

以點A為坐標原點，AM.AN、AP所在直線分別為無、,、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則A（0,0,0）、D（0,若』）、3（2，?！唬?、《1，若，J，

所以，AD=（O,A1）,=

5

ADBE_&_5岳

則cosAD,BE=

2

所以，直線AO與世所成角的余弦值為也,

34

長方體AMCN-PBQD的體對角線長為AQ=y]AM2+AN2+AP2=J4+3+1=2叵，

所以，四面體A-BCD外接球半徑為0,故四面體A-BCD外接球的表面積為47rx=8兀.

答案第5頁，共10頁

故答案為:

14.還

2

【分析】利用同構思想構造w(x)=e%-],得到其單調性，得到以e-In(斕-北1,再構造/(%)=%-

求導得到其單調性及其最小值，設設P(W,即e"-In(即)),Q[嗎二D),利用基本不等式得到|尸02孚，求出答

案.

【詳解】辦e"—In(詞一%=e>1n◎-(x+lntzx),令w(x)=exeR,

則w'(x)=e^-l

當x￡(0,+oo)時，u/(x)>0,w(x)=e*-%單調遞增，當％?ro,0)時，vt/(x)<0,w(x)=e*-%單調遞減，

故w(x)=e“—1在x=0處取得極小值，也是最小值，故w(x"e0—0=1,

^axex-]n(ax)-x=ex+lnax-(x+lnav)>1,當且僅當元+lnov=0時，等號成立，

令X>1,

2Yc2系

21n(l)?)+2111(1)

則/⑺=1-

2x

令k(x)=x2--------F2ln(x-1),

x-\

....2x-2-2x222

貝I]k(x)=2x--(—J+=2x+(x_])2+>°在(L+<?)上恒成立,

Oy

故k(x)=x2--------1-2ln(x—1)在(l,+°o)上單調遞增，

x-l

又左(2)=0,故當xe(l,2)時，k(x)<0,當xe(2,+oo)時,又x)>0,

故x?l,2)時，/(x)<0,j(x)單調遞減,當X?2,M)時,/(x)>0,j(x)單調遞增,

故j(x)~21n(：-1)在p處取得極小值,也時最小值，最小值為人2)=2,

設尸(〃,anen-]n(Q〃)),Qt,2皿"__,

It)

由基本不等式得，|尸?！?+卜即e"21r*(：0

(21nd)”,Y

t---------------\-ane-\nan-n

々It)之(2+1)29=9,

2-22

當且僅當=(〃〃e"-In(〃叫-21n"_D,t=2,〃+lna〃=0時，等號成立，

故|PQ|N亭，則加2=乎.

故答案為：巫

2

【點睛】導函數(shù)求解取值范圍時，當函數(shù)中同時出現(xiàn)e*與Inx,通常使用同構來進行求解，本題以e「ln(以)-x變

形得到e'+1nm-(x+lnax),從而構造w(x)=e*-x進行求解.

15.(1)答案見解析

(2)證明見解析

答案第6頁，共10頁

【分析】(1)將原函數(shù)求導，就參數(shù)。進行分類討論導函數(shù)的符號，即得函數(shù)的單調性；

(2)構造函數(shù)g(x)=〃x)-依，在條件a=g,x>l下，判斷g'(x)的符號，得至Ug(x)<g⑴=0,得證.

【詳解】⑴/⑺的定義域(。,+◎，(。)=：-點=寧，

若aW0,(⑺>0,則/在(0,+8)上單調遞增；

若a>0,當x?0,a)時，尸(“<0,則〃尤)單調遞減，xe(a,+8)時,r(x)>0,則單調遞增.

綜上：當aWO時，/(元)在(。,+力)上單調遞增，無減區(qū)間；

當a>0時，〃x)在(O,a)上單調遞減，在+力)上單調遞增.

(2)因a=(,x>l,設g(x)=〃x)-說=貝！]gIx)=±?L<o,

則g(x)在(1,+8)上單調遞減,g(x)<g(l)=O,故y(x)<ax.

16.⑴：

⑵a

36

【分析】(1)求出樣本空間基本事件總數(shù)，由古典概型概率計算公式即可求解.

(2)由互斥加法以及獨立乘法公式即可求解.

【詳解】(1)甲同學所有可能的選擇答案有11種：

AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,ABD,ABCD,其中正確選項只有一個，

樣本空間C={AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,ABD,ABCD},

共11個基本事件，

所以他猜對本題得5分的概率為尸=：.

(2)由題意得乙得0分的概率為1-!-9=9,丙得0分的概率為=

244623

乙比丙剛好多得5分的情況包含：

事件3：乙得10分，丙得5分,貝"⑻=99小4+上口=5；

22^633oy36

事件C：乙得7分，丙得2分，貝++=：；

事件O：乙得5分，丙得0分，貝”(0=[9：+%：卜3：=(；

所以乙比丙總分剛好多得5分的概率P=P(8+C+O)=3+1+3=2.

36123636

17.(1)273；

⑵存在，乎.

【分析】(1)取8月的中點。，連接AOCD,由給定條件結合余弦定理求出AC,再推證CGJ_AC即可求出四邊

形面積.

(2)由已知可得C4，C8,C4兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法求解即得.

【詳解】(1)在三棱柱ABC-ABiG中，取8月的中點D,連接AD,8,

在.AB8I中，由AB=AB]=石，2瓦=2,得4。_1_8耳，AD=2,

在。片中，由3c=4。=血，BB,=2,得CD_L網(wǎng)，CD=1,

則ZADC為二面角A-3與-G的平面角，即ZADC=60°,

在△ADC中，由余弦定理得AC2=22+F-2X2><1X；=3,解得AC=JL

答案第7頁，共10頁

又ADDC=D,AD,DCu平面ADC,則8月，平面ADC,而ACu平面ADC,于是Bg^AC,

顯然BB"/CC1,則CG^AC,

所以平行四邊形AC￡A的面積S=ACxCG=6*2=2點.

(2)由(1)知AC=6,B1C=五,AB[=#,WABf=AC2+B,C2,貝l]AC_LC81,

同理ACLCB,又BC=B、C=0,BBQ,即8以=BC?+與C?,則18cLe耳，

以C為原點，直線CB“C8,G4分別為％y,z軸，建立空間直角坐標系，

A(0,0,?8(0,也0),4(拒,0,0),G4=CB=(0,0,0),

ABt=(V2,0,-V3),BA=BA=Q,-厄6)，

假設存在點服滿足題意，不妨設4M=/L4A（owxwi），

則CM=CB"B\M=CBi+幾4A=（夜，一&,A/32）,

n-AB.=--J3z=0廣__

設平面ABC的法向量為〃=（x,y,z）,則《L,令X=5得〃=("o,m),

n?C[B]=\2y=0

設直線CM與平面ABC所成的角為，，則sin6=|cos〈〃,CM〉|=

|??|■|CM|后，5下+25

解得4=|e[0,l],止匕時中,

所以存在點M滿足題意，且A"的長為還.

5

18.（l）/=4y

⑵（i）證明見解析；（ii）8

【分析】⑴設出直線做：丫=-￡+與，和〃：丫=依+￡的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，得出“（環(huán)"+與），

k222

N從而求出直線MN為>-。笈2+§=（0:）（尤-9），再利用條件，即可求出結果；

（2）（i）根據(jù)條件得出給:y=；（無3+尤1）工-卜也和%：，=；（無4+尤2）尤-；尤2*4，聯(lián)立方程，結合（1）中的韋達定

理，即可求出結果；（ii）過點G作GQ//y軸，交直線MN于點Q,得出MGN的面積為5=：%-如卜|坨-九|，再

利用幾何關系及基本不等式即可求出結果.

【詳解】（1）易知直線48,直線DE斜率均存在，且不為0,設幾：丫=丘+￡,做：了=-：尤+與，

2k2

A（x,必）,B（X2,%）,E（X3,%）,D（X4,y4）,

,p

由，2,消y得到九一2〃丘—p2=0,由韋達定理得到X+%2=2pN%i%2=-4,

f=2py

所以必+%=%（再+%2）+夕=2p左2十夕,得到M（p￡p左2十

同理可得』+%=/,鼻z=_4'N(-/,/+

答案第8頁，共10頁

1+勺隼+夕T

所以==T

故直線MV為y-（pk2+0）=第一?（x-pk）,又直線肱V過定點（0,3）,

13

所以3-（汰?+￡n）=（左-7）（-p%）=-p%2+p,得到；p=3,故。=2,

2k2

所以拋物線C的方程為d=4y.

（2）（i）因為4（%,%）,8。2，、2），￡1（%,，3），￡）日，/），

則lAE-y=（X-占）+%,又無;=4%,后=4%,

工3—玉

%2_%2/]]

所以：y=~T7---（X—^）+—J-=—（X+%1）%一--xx,

4（%3—玉）443413

同理可得：＞=；（%4+%2）%-；%214，

1z、1

y=—（x6+x）x——xx.

J/、A+/9/AZoHYYY|YYYYYYYYY

.肖x彳p至（Jy-42人4人3人2人441人143人2人]人3人4

由，44

[,,1，.、.45-尤3+々-不）

y=~（退+玉）x——再退

—4X—4%++4M

又由⑴知.=-43=-4,所以尸4（9%f+%川=T'

故點G在定直線y=-l上,