2020年中考數學必考34個考點25 圓的問題

圓的問題

專題知識回顧

一、與圓有關的概念與規(guī)律

1.圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。圓的半

徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。

2.圓的性質：（1）圓具有旋轉不變性；（2）圓具有軸對稱性；（3）圓具有中心對稱性。

3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

4.推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

5.圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。圓心角的度數等于它所對弧的度數。

6.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也

相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也

相等。

7.圓周角：頂點在圓周上，并且兩邊分別與圓相交的角叫做圓周角。

8.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

9.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

10.點和圓的位置關系：

①點在圓內0點到圓心的距離小于半徑

②點在圓上0點到圓心的距離等于半徑

③點在圓外0點到圓心的距離大于半徑

11.過三點的圓：不在同一直線上的三個點確定一個圓。

12.外接圓和外心：經過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心是三角形三條邊垂直平分線的交點。外心到三角形三個頂點的距

離相等。

13.若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接

圓。

14.圓內接四邊形的特征：

①圓內接四邊形的對角互補；

②圓內接四邊形任意一個外角等于它的內對角。

15.直線與圓有3種位置關系：

如果。。的半徑為r,圓心。到直線1的距離為d,那么

①直線’和。0相交od<r.

②直線,和。0相切od=r.

d>r

③直線,和。0相離=o

16.和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。內心是三角形三個角的角

平分線的交點。內心到三角形三邊的距離相等。

17.切線的性質

(1)經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

(2)經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。

(3)圓的切線垂直于經過切點的半徑。

18.切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

19.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，并且圓心和這一點的連線平分兩條切

線的夾角。

20.設圓。的半徑為廣，圓。的半徑為廣，兩個圓的圓心距d=l。。I,則：

112212

兩圓外離=d〉廠+廠；

12

兩圓外切=d=廠+廠；

12

兩圓相交=1/一廠\<d<r；

1212

兩圓內切=d=1廠一廠I；

12

兩圓內含<=>t/<1r-rI

12

21.圓中幾個關鍵元素之間的相互轉化

弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉化這在圓中的證明和計算中經常用到.

22.與圓有關的公式

設圓的周長為r,貝

(1)求圓的直徑公式d=2r

(2)求圓的周長公式C=2Jtr

(3)求圓的面積公式S=“r2

二、解題要領

1.判定切線的方法：

(1)若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有

時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；

(2)若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平

分線；

總而言之，要完成兩個層次的證明：

①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；

②直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化要善于進行由此

及彼的聯(lián)想、要總結常添加的輔助線.

2.與圓有關的計算：

計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結合，形式

復雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是

要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為己

知，解決問題。其中重要而常見的數學思想方法有：

（1）構造思想：①構建矩形轉化線段；②構建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它

所有線段長）；③構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構造勾股定理模型；⑤構造三角函數

（2）方程思想：設出未知數表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發(fā)現其中的相等關系建立方程，

解決問題。

（3）建模思想：借助基本圖形的結論發(fā)現問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基

本圖形的解題模型快速發(fā)現圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數量關系。

專題典型題考法及解析

【例題1】（2019?山東省濱州市）如圖，AB為。。的直徑，C,D為。。上兩點，若/BCD=40°,則/ABD

的大小為（）

A.60°B.50°C.40°D.20°

【答案】B

【解析】考點是圓周角定理。本題考查的是圓周角定理，根據題意作出輔助線，構造出圓周角是解答此題

的關鍵.連接AD,先根據圓周角定理得出/A及NADB的度數，再由直角三角形的性質即可得出結論.

連接AD,

：AB為。。的直徑，AZADB=90°.

VZBCD=40°,AZA=ZBCD=40°,

.\ZABD=90°-40°=50°.

【例題2】(2019?南京)如圖，PA.PB是。。的切線，A.B為切點，點C.D在。。上.若NP=102°,則/A+

【答案】219°.

【解析】連接AB,根據切線的性質得到PA=PB,根據等腰三角形的性質得到/PAB=/PBA得(180°-

102°)=39°,由圓內接四邊形的性質得到/DAB+NC=180。，于是得到結論.

連接AB,

???PA.PB是。。的切線，.\PA=PB,

VZP=102",AZPAB=ZPBA=—(180°-102°)=39°,

2

VZDAB+ZC=180°,

AZPAD4-ZC=ZPABI-ZDAA-ZC=180°+39°=219°

【例題3】(2019?甘肅武威)如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,點D在BC邊上，OD經過點A和

點B且與BC邊相交于點E.

(1)求證：AC是。D的切線；

(2)若CE=2?,求。D的半徑.

【答案】見解析。

【解析】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的作出輔助

線是解題的關鍵.

(1)連接AD,根據等腰三角形的性質得到NB=/C=30。，ZBAD=ZB=30°,求得/ADC=60°,根據

三角形的內角和得到/DAC=180。-60°-30°=90°,于是得到AC是。D的切線；

證明：連接AD,

VAB=AC,ZBAC=120°,

.".ZB=ZC=30O,

VAD=BD,AZBAD=ZB=30°,：.ZADC=60°,

.\ZDAC=180°-60°-30°=90°,

.?.AC是。D的切線；

(2)連接AE,推出4ADE是等邊三角形，得到AE=DE,ZAED=60°,求得/EAC=/AED-/C=30°,得

至|JAE=CE=26,于是得到結論.

連接AE,

VAD=DE,NADE=60°,

.'.△ADE是等邊三角形，.?.AE=DE,NAED=60°,

???NEAC=ZAED-ZC=30°,NEAC=ZC,

,-.AE=CE=2V3，?D的半徑AD=2V3.

【例題4】(2019?江蘇蘇州)如圖，AE為e。的直徑，D是弧BC的中點BC與AD,OD分別交于點E,F.

(1)求證：DO//AC；

(2)求證：DEDA=DC2;

(3)若tanACAD=1,求sinZCDA的值.

2

【答案】見解析。

【解析】（1）證明：：D為弧BC的中點，0D為e。的半徑

/.ODLBC

又為eO的直徑

/.ZACB=90°/.AC//OD

（2）證明：:D為弧BC的中點

，&D=*D：.NDCB=ADAC：.NDCE^/^DAC

.DCDE

即DE-DA=DC2

'DA-DC

⑶解：VADCE^ADAC,tanZCA￡>=-

2

.CDDECE1

"DA-5c-AC-2

設CD=2a,則DE=a,DA=4a

又?:AC//OD：.KXEC^DEF

—=3所以=

EFDE3

5LAC=2CEAAB=—CE

，3

3

即sinZCDA=sinZCBA=—=-

AB5

專題典型訓練題

一、選擇題

1.（2019甘肅隴南）如圖，點A,B,S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的血倍，則/ASB的度數是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案】C.

【解析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

設圓心為0,連接0A.0B,如圖，先證明MAB為等腰直角三角形得到NA0B=90°,然后根據圓周角定理確

定/ASB的度數.

設圓心為0,連接0A.0B,如圖，

???弦AB的長度等于圓半徑的6倍，

即AB=6OA,

/.0A2+0B2=AB2,

???△0AB為等腰直角三角形，NA0B=90。，

AZASB=—ZA0B=45°.

2

2.（2019?山東省聊城市）如圖，BC是半圓。的直徑，D,E是BC上兩點，連接BD,CE并延長交于點A,連

接0D,0E.如果/A=70°,那么/DOE的度數為（）

A.35°B.38°C.40°D.42°

【答案】C.

【解析】考點是圓周角定理、直角三角形的性質。連接CD,由圓周角定理得出NBDC=90°,求出/ACD=

90°-ZA=20°,再由圓周角定理得出ND0E=2NACD=40°即可，

連接CD,如圖所示：

「BC是半圓0的直徑，AZBDC=90°,：.ZADC=90°,

.,.ZACD=90°-ZA=20°,AZD0E=2ZACD=40°

3.（2019?廣西貴港）如圖，AD是。。的直徑，物CD若/A0B=40°,則圓周角/BPC的度數是（）

【答案】B.

【解析】根據圓周角定理即可求出答案.

;疝=而，ZA0B=40°,

ZC0D=ZA0B=40°,

VZA0BI-ZB0C+ZC0D=180O,

.\ZB0C=100°,

AZBPC=-=-ZB0C=50°

2

4.（2019?湖北天門）如圖，AB為。。的直徑，BC為。。的切線，弦AD〃OC,直線CD交BA的延長線于點E,

連接BD.下列結論：①CD是。。的切線；②COLDB；③△EDAS^EBD；（4）ED-BC=BO-BE.其中正確結論的

個數有（）

【答案】A

【解析】本題主要考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質，注意掌握

輔助線的作法，注意數形結合思想的應用是解答此題的關鍵.

連結DO.

?；AB為。。的直徑，BC為。。的切線，.?./CB0=90°,

AD//OC,NDAO=NCOB,NADO=NCOD.

又VOA=OD,NDA0=NADO,NC0D=NCOB.

CO二DO

在△COD和△COB中,ZCOD=ZCOB,

OD=OB

.".△COD^ACOB(SAS),

.,.ZCD0=ZCB0=90°.

又?.?點D在。。上，

，CD是。。的切線；故①正確，

VACOD^ACOB,ACD=CB,

VOD=OB,.x。垂直平分DB,

即COLDB,故②正確；

???AB為。。的直徑，DC為。。的切線，.?.NED0=/ADB=90°,

NEDA+NADO=NBD(KNAD0=90°,NADE=NBDO,

OD=OB,NODB=NOBD,:.NEDA=NDBE,

VZE=ZE,/.AEDA^AEBD,故③正確；

NEDO=NEBC=90°,NE=NE,

ZkEODsAECB,

,EDOP

??一，

BEBC

VOD=OB,

.\ED-BC=BO-BE,故④正確.

5.（2019?山東省德州市）如圖，點。為線段BC的中點，點A,C,D到點0的距離相等，若/ABC=40°,

則/ADC的度數是（）

【答案】B.

【解析】根據題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內接四邊形對角互補即可求出所求角的度數.由題意得到

OA=OB=OC=OD,作出圓0,如圖所示，

四邊形ABCD為圓0的內接四邊形，

ZABC+ZADC=180°,

?：ZABC=40°,AZADC=140°

6.（2019湖南益陽）如圖，PA、PB為圓。的切線，切點分別為A、B,P0交AB于點C,P0的延長線交圓0

于點D,下列結論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

【答案】D.

【解析】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.也考查了切線長定理、垂徑定理和等

腰三角形的性質.

先根據切線長定理得到PA=PB,ZAPD=ZBPD；再根據等腰三角形的性質得0P_LAB,根據菱形的性質，只

有當AD〃PB,BD〃PA時，AB平分PD,由此可判斷D不一定成立.

VPA,PB是。。的切線，

.".PA=PB,所以A成立；

ZBPD=ZAPD,所以B成立；

.,.ABXPD,所以C成立；

VPA,PB是。。的切線，

.\AB±PD,且AC=BC,

只有當AD〃PB,BD〃PA時，AB平分PD,所以D不一定成立.

7.（2019?廣東廣州）平面內，。。的半徑為1,點P到。的距離為2,過點P可作。。的切線條數為（）

A.0條B.1條C.2條D.無數條

【答案】C.

【解析】此題主要考查了對點與圓的位置關系，切線的定義，切線就是與圓有且只有1個公共點的直線，

理解定義是關鍵.

先確定點與圓的位置關系，再根據切線的定義即可直接得出答案.

????0的半徑為1,點P到圓心0的距離為2,

.\d>r,

.?.點P與。。的位置關系是：P在。。外，

,??過圓外一點可以作圓的2條切線。

8.（2019?山東泰安）如圖，AABC是。。的內接三角形，ZA=119°,過點C的圓的切線交B0于點P,則

ZP的度數為（）

A.32°B.31°C.29°D.61°

【答案】A.

【解析】連接OC、CD,由切線的性質得出/0CP=90°,由圓內接四邊形的性質得出N0DC=180。-ZA=

61°,由等腰三角形的性質得出/0CD=/0DC=61°,求出/D0C=58°,由直角三角形的性質即可得出結

果.

如圖所示：連接OC、CD,

；PC是。。的切線，；.PC_LOC,AZ0CP=90°,

VZA=119°,Z0DC=180°-ZA=61°,

V0C=0D,.\Z0CD=Z0DC=61o,

.".ZD0C=180°-2X61°=58°,

：.ZP=90°-ZD0C=32°

9.（2019?湖南益陽）如圖，PA、PB為圓。的切線，切點分別為A、B,P0交AB于點C,P0的延長線交圓0

于點D,下列結論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

【答案】D

【解析】先根據切線長定理得到PA=PB,ZAPD=ZBPD；再根據等腰三角形的性質得OP,AB,根據菱形的

性質，只有當AD〃PB,BD〃PA時，AB平分PD,由此可判斷D不一定成立.

VPA,PB是。。的切線，，PA=PB,所以A成立；

/BPD=NAPD,所以B成立；

.\AB±PD,所以C成立；

VPA,PB是。。的切線，.'ABUD,且AC=BC,

只有當AD〃PB,BD〃PA時，AB平分PD,所以D不一定成立.故選D.

10.（2019湖北荊門）如圖，4ABC內心為I,連接AI并延長交AABC的外接圓于D,則線段DI與DB的關系

是（）

A.DI=DBB.DI>DBC.DI<DBD.不確定

【答案】A.

【解析】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三

角形頂點的連線平分這個內角.也考查了三角形的外接圓和圓周角定理.

連接BI,如圖，根據三角形內心的性質得/1=/2,Z5=Z6,再根據圓周角定理得到N3=/l,然后利

用三角形外角性質和角度的代換證明/4=/DBI,從而可判斷DI=DB.

連接BI,如圖，

:△ABC內心為I,AZ1=Z2,Z5=Z6,

VZ3=ZL.\Z3=Z2,

VZ4=Z2+Z6=Z3+Z5,

即/4=/DBI,.-.DI=DB.

D

二、填空題

11.（2019廣西北部灣）《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學專著，與古希臘的《幾

何原本》并稱現代數學的兩大源泉.在《九章算術》中記載有一問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小。以

鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學根據原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：

鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為寸.

【答案】26.

【解析】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，設。。的半徑為r.在RtZSADO中，AD=5,0D=r-l,0A=r,

則有r2=5z+（r-l）2,解方程即可.

設。。的半徑為r.

在RtZ\ADO中,AD=5,0D=r-l,0A=r,

則有r2=5a+（r-l）2,

解得廠13,

，。0的直徑為26寸。

12.（2019黑龍江綏化）半徑為5的00是銳角三角形ABC的外接圓,AB=AC,連接OB,0C,延長C0交弦AB于

點D.若aOBD是直角三角形,則弦BC的長為.

【答案】5/或5萬

【解析】:△OBD為直角三角形，，分類討論:如圖，當/B0D=90°時，/B0C=90°,在Rt^BOC中，BO=OC

=5,...BC=5x/I;當/0DB=90°時，：OB=OC,設N0BC=N0CB=x,/B0D=2x,ZB0C=180°-2x,AZ

ABO=90°-2x,ZABC=ZACB=90°—x,/A=2x,：/B0C=2/A,即180—2x=2X2x,，x=30°,AZ

B0C=120°,：0B=0C=5,；.BC=5".綜上所述,BC的長度為5百或5點

13.（2019山東東營）如圖，AC是。0的弦，AC=5,點B是。。上的一個動點，且/ABCM5。，若點M、N

分別是AC、BC的中點，則MN的最大值是.

▼冰田155/2

【答案】—

【解析】；MN是AABC的中位線，...MN=gAB.

當AB為。0的直徑時，AB有最大值，則MN有最大值.

當AB為直徑時，ZACB=90°,

VZABO450,AC=5,:.這=58,

14.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在00中，半徑0A垂直于弦BC,點D在圓上，且/ADC=30°,則/

AOB的度數為.

【答案】600.

【解析】V0A±BC,：.ABAC,.,.ZA0B=2ZADC,

VZADC=30°,AZA0B=60°.

15.（2019江蘇常州）如圖，AB是。。的直徑，C、D是。。上的兩點，ZA0C=120°,則/CDB=

【答案】30

【解析】VZB0C=180°-ZA0C=180°-120°=60°，

.../CDB=1NBOC=3O°.

2

16.（2019四川省雅安市）如圖，4ABC內接于。0,BD是。0的直徑，ZCBD=21°,則ZA的度數為.

【答案】69°

【解析】?.,BD是。。的直徑，.?./BCD=90°,VZCBD=21°,AZD=69°,ZA=ZD=69°.

17.（2019安徽）如圖，AABC內接于。0,ZCAB=30°,ZCBA=45°,CD^AB于點D,若。。的半徑為2,

則CD的長為.

【答案】V2.

【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是

解題的關鍵.

連接co并延長交。。于E,連接BE,于是得到/E=/A=30°,/EBC=90°,解直角三角形即可得到結論.

連接C0并延長交。。于E,連接BE,

則/E=/A=30°,ZEBC=90°,

：。0的半徑為2,.-.CE=4,.*.BC=1-CE=2,

VCDXAB,ZCBA-450,.,.CD-除BC=6

18.（2019?江蘇泰州）如圖，。。的半徑為5,點P在。。上，點A在。。內，且AP=3,過點A作AP的垂

線交。。于點B.C.設PB=x,PC=y,則y與x的函數表達式為

【答案】y=^x.

【解析】連接PO并延長交。。于D,連接BD,根據圓周角定理得到/C=/D,ZPBD=90°,求得/PAC=

ZPBD,根據相似三角形的性質即可得到結論.

連接P。并延長交。。于D,連接BD,

則NC=ND,ZPBD=90°,

VPA±BC,ZPAC=90°,：.ZPAC=ZPBD,

.PBPC

.,.△PACc-APBD,"PA^PD

的半徑為5,AP=3,PB=X,PC=y,

19.（2019?山東省濟寧市）如圖，0為RtAABC直角邊AC上一點，以0C為半徑的。0與斜邊AB相切于

點D,交0A于點E,已知BC=J&,AC=3.則圖中陰影部分的面積是___________.

B.

【解析】本題考查了切線的性質定理、切線長定理以及勾股定理的運用，熟記和圓有關的各種性質定理是

解題的關鍵.

在RtAABC中，VBC=V3,AC=3.

AB=\/AC2+BC2=2^

VBC±OC,ABC是圓的切線，

VOO與斜邊AB相切于點D,.?.BD=BC,

.*.AD=AB-BD=2A/3-V3=V3；

在比△ABC中，'.'sinA=-^-=ZA=30°，

AB3V32

VOO與斜邊AB相切于點D,.\OD±AB,AZA0D=90°-ZA=60°,

?喘—30。‘.嗡=冬

/.0D=1,

2

兀7T

AS陰影=60X1

360T

20.(2019?湖北省鄂州市)如圖，在平面直角坐標系中，已知C(3,4),以點C為圓心的圓與y軸相切.點

A、B在x軸上，且OA=OB.點P為。C上的動點，ZAPB=90°,則AB長度的最大值為

y

【答案】16.

【解析】連接0C并延長，交。C上一點P,以。為圓心，以0P為半徑作。0,交x軸于A、B,此時AB的長

度最大，

*.,C⑶4）,/.0C=^j2,I,2=5,

..?以點C為圓心的圓與y軸相切.；.OC的半徑為3,.?.0P=0A=0B=8,

「AB是直徑，.?.NAPB=90°,；.AB長度的最大值為16。

三、解答題

21.（2019?南京）如圖，。。的弦AB.CD的延長線相交于點P,且AB=CD.求證：PA=PC.

【答案】見解析。

【解析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，等腰三角形的判定等，熟練掌握性質定理是解

題的關鍵.

連接AC,由圓心角、弧、弦的關系得出忘=5,進而得出俞=聲，根據等弧所對的圓周角相等得出NC

=/A,根據等角對等邊證得結論.

證明：連接AC,

?；AB=CD,AB=CD,

/.^+BD=M+CD,即金="S,

.?.NC=NA,PA=PC.

A

B

22.(2019?湖南株洲)四邊形ABCD是。。的圓內接四邊形，線段AB是。。的直徑，連結AC.BD.點H是線

段BD上的一點，連結AH、CH,且NACH=/CBD,AD=CH,BA的延長線與CD的延長線相交與點P.

(1)求證：四邊形ADCH是平行四邊形；

(2)若AC=BC,PB=/SPD,AB+CD=2(再+1)

①求證：ADHC為等腰直角三角形；

②求CH的長度.

【答案】見解析。

【解析】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質

等知識，求CD的長度是本題的關鍵.

(1)由圓周角的定理可得NDBC=/DAC=/ACH,可證AD〃CH,由一組對邊平行且相等的是四邊形是平行

四邊形可證四邊形ADCH是平行四邊形；

(2)①由平行線的性質可證NADH=NCHD=90°,由NCDB=NCAB=45°,可證ADH

為等腰直角三角形；

②通過證明△ADPs^CBP,可得絲晶，可得我"i，通過證明△CHDS/^ACB,可慮■朵T，可

BCPBBCV5ABBCV5

得AB=J兄D,可求CD=2,由等腰直角三角形的性質可求CH的長度.

證明：(1)VZDBC=ZDAC,ZACH=ZCBD

ZDAC=ZACH,AAD//CH,且AD=CH

四邊形ADCH是平行四邊形

(2)①：AB是直徑

.\ZACB=90°=ZADB,且AC=BC

NCAB=NABC=45°，.,?NCDB=NCAB=45°

；AD〃CH

,.ZADH=ZCHD=90O,且/CDB=45°

.\ZCDB=ZDCH=45°,.\CH=DH,且NCHD=90°

.??△DHC為等腰直角三角形；

②???四邊形ABCD是。。的圓內接四邊形，

?.ZADP=ZPBC,且/P=NP,AADP^ACBP

.ADPD,且PB=J^PD,

'BC

.AD_1.CH_1

.而市,AD=CH,..而市

/ZCDB=ZCAB=45°,ZCHD=ZACB=90°.,.ACHD^AACB

噌親金，AB=aCD

ADDCV5,

??AB+CD=2(a+1),.?.限D+CD=2(m+1)

?.CD=2,且為等腰直角三角形，；.CH=6

23.（2019廣西池河）如圖，五邊形ABCDE內接于。0,CF與。。相切于點C,交AB延長線于點F.

(1)若AE=DC,ZE=ZBCD,求證：DE=BC；(2)若0B=2,AB=BD=DA,ZF=45°,求CF的長.

【答案】見解析。

【解析】（1）由圓心角、弧、弦之間的關系得而二而，由圓周角定理得出/ADE=/DBC,證明△ADE^4

DBC,即可得出結論；

證明：VAE=DC,Z.AE=DC，.*.ZADE=ZDBC,

"/ADE=/DBC

在4ADE和ADBC中，■ZE=ZBCD,

,AE二DC

.".△ADE^ADBC(AAS),；.DE=BC；

（2）連接CO并延長交AB于G,作OH，AB于H,則/0HG=/0HB=90。,由切線的性質得出/FCG=90°,

得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF=CG,OG=&OH,由等邊三角形的性質得出N0BH=30°,

由直角三角形的性質得出OH=,OB=1,0G=V2,即可得出答案.

連接C0并延長交AB于G,作OHJ_AB于H,如圖所示:

則/0HG=N0HB=90°,

???CF與。。相切于點C,.?.NFCG=90°,

VZF=45°,.?.△CFG、△OGH是等腰直角三角形，；.CF=CG,OG=J^OH,

,?'AB=BD=DA,z^XABD是等邊三角形,ZABD=60°,.,?N0BH=30°,

0H=—OB=1,/.0G=^/~2，/.CF=C