山東省淄博市臨淄區(qū)（五四制）2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

山東省淄博市臨淄區(qū)（五四制）2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題。（本題共io小題，在每小題所給出的四個選項中，評價評卷人只有一個是正確的，請把正確

的選項填在下面的表中，每小題4分，滿分40分，錯選、不選或選出的答案超過一個，均記0分。）

1.若二次根式向三在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)尤的取值范圍是（）

A.x<3B.尤>3C.尤W3D.尤W3

2.下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.Vx2+1B.V12C.^2x3

3.跳水是一項難度很大又極具觀賞性的運(yùn)動，我國跳水隊多次在國際跳水賽上摘金奪銀，被譽(yù)為跳水

“夢之隊”.為了方便研究，跳水運(yùn)動員在開始下落至入水前可近似看作自由落體運(yùn)動，其下落高度h

（單位：m）與下落時間t（單位：s）滿足的關(guān)系，g（單位：m/?）為重力加速度，計算時取

2

10,若運(yùn)動員從10加高的跳臺，不做動作，直接跳入水中，則他在空中運(yùn)動的時間是（）

A.IsB.y/2sC.VS-vD.2s

4.一元二次方程x2-9=0的解是（）

A.x=3B.X1—X2—3

,D.xi—3,xi--3

Cxj=V3X2=-V3

5.下列說法正確的是（）

A.方程8/-7=0的一次項系數(shù)為-7

B.一元二次方程的一般形式是o?+6x+c=o

C.當(dāng)。=3且6W-1且cWO時，方程（°-3）x?+（b+1）無+c=0是關(guān)于x的一元二次方程

D.當(dāng)初取所有實數(shù)時，關(guān)于x的方程（相2+1）7Hx-3=0為一元二次方程

6.如圖，已知A8〃C￡）〃EF,它們依次交直線A,/2于點A,D,尸和點B,C,E,如果A￡）=6,DF=3,

BC=5,那么BE的值為（）

C.9D.11

7.2022年卡塔爾世界杯足球賽掀起校園足球熱，某市青少年校園足球聯(lián)賽采用單循環(huán)賽，每支球隊都要

跟其他各支球隊進(jìn)行一場比賽，整個單循環(huán)比賽共計進(jìn)行28場，則參加校園足球聯(lián)賽的隊伍共有

()支.

A.7B.8C.9D.10

8.若方程：+4x+a=0無實根，化簡Ji6_8a+a2等于()

A.4-aB.a-4C.-(a+4)D.無法確定

9.十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會UCME-14)會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的

文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3745.八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基

數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0?7共8個基本數(shù)字.八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3X83+7X82+4X81+5X8°

=2021,表示/CME-14的舉辦年份.小華設(shè)計了一個〃進(jìn)制數(shù)143,換算成十進(jìn)制數(shù)是120,〃的值為

()

A.7B.8C.9D.10

10.已知A=X2+6X+/,B=2x2+4x+2n2+3,下列結(jié)論正確的個數(shù)為()

①若4=尤2+6了+層是完全平方式，則〃=±3；

②B-A的最小值是2；

③若n是A+B=0的一個根，則12/+20〃=-3；

④若(2023-A)(A-2020)=2,貝!](2023-A)2+(A-2020)2=4.

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題。(每小題4分，共20分)

11.已知兔=￡_=且=2,B.b+d+f^Q,則a+c+e=

bdfb+d+f

12.最簡二次根式心近與3遍是同類二次根式，則°=.

13.某種童鞋原價為100元，由于店面轉(zhuǎn)讓要清倉，現(xiàn)連續(xù)兩次降價處理，共降價64元后出售，已知兩次

降價的百分率相同，則每次降價的百分率為.

14.如圖，△ABC中，AD：0c=1：4,AE=EF,貝！|B八FC=

15.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0的實數(shù)根xi,尤2滿足3尤1尤2-xi-X2>2,則m的取值范圍

是.

三、解答題。（第16,17,18,19題每題10分；第20,21題每題12分，第22,23題每題13分：滿分

90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（10分）計算：

（1）VT2+V27+718-V32；

（2）XV6-Vs；

（3）解方程：（尤-3）2-6（x-3）+8=0.

17.（10分）閱讀材料：古希臘數(shù)學(xué)家海倫利用三角形三條邊的邊長直接求出了三角形的面積.如果一個

三角形的三邊長分別為a,b,c,記p上*,那么這個三角形的面積（p-b）（p-c）

?2

（海倫公式）.中國古代數(shù)學(xué)家秦九韶也得出了類似的公式，稱之為“三斜求積術(shù)”，三角形面積為S

I222

=槎［a2b2-（且二當(dāng)口二產(chǎn)］（秦九韶公式）.故由三角形三邊求面積的公式又被稱為“海倫一一

秦九韶公式”.請完成下列問題：

（1）一個三角形的三邊長依次為7,8,9,任選以上一個公式求這個三角形的面積；

（2）一個三角形的三邊長依次為代，巫,任選以上一個公式求這個三角形的面積.

18.（10分）如圖，利用22米長的墻為一邊，用籬笆圍成一個長方形倉庫ABC。，中間用籬笆分割出兩個

小長方形，在與墻平行的一邊要開兩扇1米寬的門，總共用去籬笆34米，為了使這個長方形ABC。的面

積為96平方米，求A8和8c的長.

AED

BT\~J_1rc

19.（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程：J?-（7/7-3）x-m=0.

（1）證明：無論機(jī)為何值，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）當(dāng)方程有一根為1時，求根的值及方程的另一根.

20.（12分）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題.

角平分線分線段成比例定理：如圖①，在△ABC中，4。平分NBAC,則坐型_.

ACCD

下面是這個定理的部分證明過程.

證明：如圖②，過點C作CE〃/M,交8A的延長線于點E……

任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；

（2）如圖③，在△ABC中，AD是角平分線，AB^5cm,AC^4cm,BC=】cm.求的長.

E

21.（12分）知識回顧:

（1）對于一元二次方程a^+bx+c=0（aWO）,當(dāng)b2-\ac20時，它的求根公式

為,求根公式不僅可以由方程的系數(shù)求出方程的根，而且反映了根與系數(shù)之

間的關(guān)系.若方程的兩個根為XI,XI,則滿足：①尤1+尤2=；②X1X2

=.（這也稱作韋達(dá)定理，是由16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的）.請利用一元二

次方程的求根公式證明韋達(dá)定理；

知識應(yīng)用：

（2）已知一元二次方程2?-3x-1=0的兩根分別為機(jī)，n,求根2〃+7""2的值.

22.（13分）為積極響應(yīng)新舊動能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，

每臺設(shè)備成本價為30萬元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺；每臺售價

為45萬元時，年銷售量為550臺.假定該設(shè)備的年銷售量y（單位：臺）和銷售單價無（單位：萬元）

成一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求年銷售量y與銷售單價尤的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，則

該設(shè)備的銷售單價應(yīng)是多少萬元？

23.（13分）如圖，一艘輪船以30bw/a的速度沿既定航線由南向北航行，途中接到臺風(fēng)警報，某臺風(fēng)中心

正以10hw//z的速度由東向西移動，距臺風(fēng)中心2006的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風(fēng)影響區(qū)，當(dāng)這艘

輪船接到臺風(fēng)警報時，它與臺風(fēng)中心的距離8c=500初7,此時臺風(fēng)中心與輪船既定航線的最近距離AB

=300km.

（1）如果這艘輪船不改變航向，經(jīng)過10小時，輪船與臺風(fēng)中心相距多遠(yuǎn)？它此時是否受到臺風(fēng)影響？

(2)如果這艘船不改變航向，那么它會不會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)？請說明理由；

(3)如果你認(rèn)為這艘輪船會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)，那么從接到警報開始，經(jīng)過多長時間它就會進(jìn)入臺風(fēng)影響

區(qū)？

(4)假設(shè)輪船航向不變，輪船航行速度不變，求受到臺風(fēng)影響的時間為多少小時？

北

山東省淄博市臨淄區(qū)（五四制）2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

試題

參考答案與試題解析

一、選擇題。（本題共10小題，在每小題所給出的四個選項中，評價評卷人只有一個是正確的，請把正確

的選項填在下面的表中，每小題4分，滿分40分，錯選、不選或選出的答案超過一個，均記0分。）

1.若二次根式我三在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)尤的取值范圍是（）

A.x<3B.x>3C.xW3D.xW3

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由題意得：3-x^O,

解得：啟3,

故選：C.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.Vx2+1B.V12C.^2x3

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可.

【解答】解：A.是最簡二次根式，故本選項符合題意；

B.被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

C.被開方數(shù)中含有能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

D.被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：滿足下

列兩個條件的二次根式叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含

有能開得盡方的因數(shù)和因式.

3.跳水是一項難度很大又極具觀賞性的運(yùn)動，我國跳水隊多次在國際跳水賽上摘金奪銀，被譽(yù)為跳水

“夢之隊”.為了方便研究，跳水運(yùn)動員在開始下落至入水前可近似看作自由落體運(yùn)動，其下落高度h

（單位：m）與下落時間t（單位：s）滿足的關(guān)系，g（單位：mis1｝為重力加速度，計算時取

2

10,若運(yùn)動員從10機(jī)高的跳臺，不做動作，直接跳入水中，則他在空中運(yùn)動的時間是（)

A.IsB.C.D.2s

【分析】根據(jù)下落高度/，（單位：相）與下落時間f（單位：s）滿足的關(guān)系，結(jié)合跳臺的高度為

2

10%即可得出關(guān)于r的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：依題意得工X10/2=10,

2

解得：/1=&,/2=-（不符合題意，舍去），

.??他在空中運(yùn)動的時間是Ms.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

4.一元二次方程9=0的解是（）

A.x=3B.XI=X2=3

=_

C,X1=向'X2V3D.XI=3,X2=~3

【分析】利用直接開平方法解出方程.

【解答】解：7-9=0,

則/=9,

.?.尤=±3,

??Xi=3,X2==-3,

故選：D.

【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，熟記直接開平方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)

鍵.

5.下列說法正確的是（）

A.方程87-7=0的一次項系數(shù)為-7

B.一元二次方程的一般形式是a/+6x+c=（）

C.當(dāng)a—3且6W-1且cWO時，方程（a-3）/+（b+1）x+c=O是關(guān)于尤的一元二次方程

D.當(dāng)機(jī)取所有實數(shù)時，關(guān)于尤的方程（加2+1）7nx-3=0為一元二次方程

【分析】根據(jù)一元二次方程的一次項系數(shù)的定義對A選項進(jìn)行判斷；根據(jù)一元二次方程的定義對反C、

。選項進(jìn)行判斷.

【解答】解：A、方程8?-7=0的一次項系數(shù)為0,所以A選項不符合題意；

B、一元二次方程的一般形式是a^+bx+c—0（aWO）,所以B選項不符合題意；

C、當(dāng)a=3且bW-1,cWO時，方程（a-3）/+（b+1）x+c=O可化為（6+1）x+c=0為一元一

次方程，所以C選項不符合題意；

D、當(dāng)m取所有實數(shù)時，關(guān)于x的方程（機(jī)2+1）/-g-3=0為一元二次方程，所以。選項符合題

意.

故答案為：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的一般式：要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元

二次方程化成一般形式.也考查了一元二次方程的定義.

6.如圖，已知〃斯，它們依次交直線A,/2于點A,D,尸和點B,C,E,如果4D=6,DF=3,

BC=5,那么BE的值為（）

A.7.5B.8.5C.9D.11

【分析】由A。，。歹的長，可求出AF的長，由再利用“三條平行線截兩條直線，所得

的對應(yīng)線段成比例”，即可求出的長.

【解答】W：'：AD=6,DF=3,

：.AF=AD+DF=6+3=9.

'：AB//CD//EF,

???BE-A―F,aPn?|-JB-E_9?iiiy

BCAD56

：.BE=7.5.

故選：A.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例”是

解題的關(guān)鍵.

7.2022年卡塔爾世界杯足球賽掀起校園足球熱，某市青少年校園足球聯(lián)賽采用單循環(huán)賽，每支球隊都要

跟其他各支球隊進(jìn)行一場比賽，整個單循環(huán)比賽共計進(jìn)行28場，則參加校園足球聯(lián)賽的隊伍共有

）支.

A.7B.8C.9D.10

【分析】設(shè)共有X支隊伍，根據(jù)單循環(huán)比賽規(guī)則，每支隊伍需比賽/(X-1)場，由此列一元二次方程，

即可求解.

【解答】解：設(shè)共有X支隊伍，由題意知：

yx(x-1)=2小

解得：x=8或x=-7(舍去)，

即參加校園足球聯(lián)賽的隊伍共有8支.

故選:B.

【點評】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)單循環(huán)比賽規(guī)則列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

8.若方程^+以+^二。無實根，化簡416-8a+a2等于()

A.4-flB.a-4C.-(a+4)D.無法確定

【分析】先根據(jù)方程無實根判斷出。的取值范圍，再代入原代數(shù)式計算即可.

【解答】解：?.?方程/+4尤+。=0無實根，,A=42-4a<0,?">4.

V16-8a+a2=V(a-4)2=|fl-4l,

V?>4,/.\a-4|=〃-4.

故選：B.

【點評】本題主要考查了根據(jù)二次根式的意義化簡.

二次根式規(guī)律總結(jié)：當(dāng)時，當(dāng)aWO時，

9.十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會UCME-14)會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的

文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3745.八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基

數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0?7共8個基本數(shù)字.八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3X83+7X82+4X81+5X8°

=2021,表示/CME-14的舉辦年份.小華設(shè)計了一個“進(jìn)制數(shù)143,換算成十進(jìn)制數(shù)是120,〃的值為

()

A.7B.8C.9D.10

【分析】根據(jù)題意，可以得到1義層+4乂儲+3乂〃0=120,然后求解即可.

【解答】解：由題意可得，

lXn2+4XM1+3X?°=120,

解得m=9,〃2=-11(不合題意，舍去)，

故選：C.

【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程.

10.已知A=/+6無+//，B=2x2+4x+2n2+3,下列結(jié)論正確的個數(shù)為()

①若A=/+6x+〃2是完全平方式，則〃=土3；

②B-A的最小值是2；

③若n是A+B=0的一個根，則12層+20w=-3；

④若(2023-A)(A-2020)=2,貝!|(2023-A)2+(A-2020)2=4.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①利用完全平方公式即可求出”的值；

②先利用整式的加減求出B-A,再利用配方法即可求出B-A的最小值；

③先利用整式的加減求出A+B,根據(jù)n是4+2=0的一個根，代入方程后即可求出答案；

④先設(shè)Af=2023-A,N=A-2020,求出M+N=3,再利用完全平方式求出研+砰=5即可判斷.

【解答】解：①：A=d+6x+后是完全平方式，

n2=9,即〃=±3,故①正確；

②；B-A—2X2+4X+2W2+3-(x2+6x+w2)

=/-2尤+扇+3

—(x-1)^+n~+2,

,:(%-1)W^O,

.?.B-A的最小值是2,故②正確；

③根據(jù)題意知，A+B=J?+6x+〃~+2尤2+4x+2〃~+3=3/+10尤+3”2+3,

?.,“是4+2=0的一個根，

??.把代入3X2+1Ox+3M2+3=0可得：3/+10〃+3/+3=0,即6/+10〃+3=0,

.?.6〃2+10”=-3,故③錯誤；

④令M=2023-A,N=A-2020,

則MN=2,M+N=3,

：.(M+N)2=9,即M2+2MN+N2=9,

：.M2+N2=5,即(2023-A)2+(A-2020)2=5,故④錯誤；

綜上所述，正確的個數(shù)有2個；

故答案選：B.

【點評】本題主要考查了完全平方公式和配方法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵：熟練掌握完全平方公式以及公式的

應(yīng)用.

二、填空題。(每小題4分，共20分)

11.已知包=￡=且=2,且6+方后0,則a+c+e=2.

bdfb+d+f

【分析】根據(jù)已知條件得出。=26,c=2d,e=2f,再代入要求的式子進(jìn)行計算即可得出答案.

【解答】解：..?包=￡=且=2,

bdf

??ct~~2Z?jc='2d,e'='2f,

...a+c+巳—2b+2d+2f_?

??b+d+fb+d+f-

故答案為：2.

【點評】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.最簡二次根式J“工與3遙是同類二次根式，則。=3.

【分析】根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程求解.

【解答】解：???最簡二次根式心近與3泥是同類二次根式，

/.?+2=5,

解得a=3.

故答案為：3.

【點評】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二

次根式叫做同類二次根式.

13.某種童鞋原價為100元，由于店面轉(zhuǎn)讓要清倉，現(xiàn)連續(xù)兩次降價處理，共降價64元后出售，己知兩次

降價的百分率相同，則每次降價的百分率為40%.

【分析】設(shè)每次降價的百分率為x,第一次降價后價格變?yōu)?00(1-%),第二次在第一次降價后的基礎(chǔ)

上再降，變?yōu)?00(1-x)(1-%),即100(1-X)2元，從而列出方程，求出答案.

【解答】解:設(shè)每次降價的百分率為無，第二次降價后價格變?yōu)?00(1-x)2元，根據(jù)題意，得

100(1-X)2=100-64

即(1-%)2=0.36

解之，得xi=1.6,X2—0.4.

因x=1.6不合題意，故舍去，所以x=0.4.

即每次降價的百分率為04即40%.

故答案為：40%.

【點評】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于分析降價后的價格，要注意降價的基

礎(chǔ)，另外還要注意解的取舍，難度一般.

14.如圖，△ABC中，AD-.。。=1：4,AE=EF,貝l|BEFC=-1.

一3一

A

【分析】過點尸作FH〃8。交AC于“，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AD=Z）H,求出』旦=』，根

HC3

據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可.

【解答】解：過點F作FH//BD交AC于H,

則AD=AE=1,

DHEF

：.AD=DH,

'：AD：DC=l：4,

?DH=2,

"HCT

\'FH//BD,

?BF_DH_1

FCHC3

故答案為：1.

3

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.已知關(guān)于尤的一元二次方程X?-4尤+優(yōu)=0的實數(shù)根xi,X2滿足3XIX2-xi-尤2>2,則機(jī)的取值范圍是

2<mW4.

【分析】根據(jù)題意可知：△20且3龍1尤2-（X1+X2）>2,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和ANO,可以列出關(guān)

于機(jī)的不等式組，從而可以求得機(jī)的取值范圍.

【解答】解：依題意得，

（-4）2-4ID00

3m-4>2

解得2<MIW4,

故答案為：2<mW4.

【點評】本題考查了一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是得出關(guān)于”的不等式，注意：

一元二次方程辦（a、b、c為常數(shù)，aWO）①當(dāng)d-4ac>0時，一元二次方程有兩個不相等的

實數(shù)根；②當(dāng)臣-4也=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)/-4砒<0時，一元二次方程

沒有實數(shù)根.

三、解答題。(第16,17,18,19題每題10分；第20,21題每題12分，第22,23題每題13分：滿分

90分)解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(10分)計算：

(1)712+727+718-732；

(2)xV6W8;

(3)解方程：(x-3)2-6(x-3)+8=0.

【分析】(1)先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；

(2)先計算二次根式的乘法、化簡二次根式，再合并同類二次根式即可得出答案；

(3)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：⑴原式=2爪+3我+3加-4、回

=573-V2；

(2)原式=g/l_+Yl_-2&

33

='/3-2A/2；

(3),/(%-3)2-6(x-3)+8=0,

Cx-3-2)(x-3-4)=0,即(尤-5)(%-7)=0,

.,.x-5=0或尤-7=0,

貝！1x1=5,尤2=7.

【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、

公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法.

17.(10分)閱讀材料：古希臘數(shù)學(xué)家海倫利用三角形三條邊的邊長直接求出了三角形的面積.如果一個

三角形的三邊長分別為a,b,c,記p=a+b+c,那么這個三角形的面積5=Vp(p-a)(p-b)(p-c)

(海倫公式).中國古代數(shù)學(xué)家秦九韶也得出了類似的公式，稱之為“三斜求積術(shù)”，三角形面積為S

I222

22bC2

=[ab---)](秦九韶公式).故由三角形三邊求面積的公式又被稱為“海倫一一

V42

秦九韶公式”.請完成下列問題：

(1)一個三角形的三邊長依次為7,8,9,任選以上一個公式求這個三角形的面積；

(2)一個三角形的三邊長依次為畬，如,任,任選以上一個公式求這個三角形的面積.

【分析】(1)運(yùn)用三角形的面積：S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)(海倫公式)計算即可；

I222

(2)運(yùn)用三角形面積：5=｛工h2b2-(2上b=)2](秦九韶公式)，計算即可.

V42

【解答】解：(1),??一個三角形的三邊長依次為7,8,9,

?_a+b+c_7+8+9=]2

，，p=22，

???海倫公式：

S="p(p-a)(p-b)(p-c)

=V12X(12-7)X(12-8)X(12-9)

=720；

(2)c=V^，

22

a=3f序=5,C=6,

?,?秦九韶公式：

r2-2~2

一(：-c)2]

=加義5-(

V乙

=E

~2~'

【點評】本題考查的是二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的性質(zhì)與方法是解題的關(guān)鍵.

18.(10分)如圖，利用22米長的墻為一邊，用籬笆圍成一個長方形倉庫A8CQ,中間用籬笆分割出兩個

小長方形，在與墻平行的一邊要開兩扇1米寬的門，總共用去籬笆34米，為了使這個長方形ABC。的面

積為96平方米，求AB和BC的長.

AED

BT-1rc

【分析】設(shè)48為尤米，然后表示出BC的長為(36-3尤)米，利用矩形的面積計算方法列出方程求解即

可.

【解答】解:設(shè)為x米，貝為(36-3x)米，

尤(36-3尤)—96,

解得：xi=4,X2=8,

當(dāng)x=4時，

36-3x=24>22(不合題意，舍去)，

當(dāng)x—8時，

36-3x=12.

答：的長為8米，BC的長為12米.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)出一邊的長，并用未知數(shù)表示出另一邊的長是解題的關(guān)

鍵.

19.（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程：%2-（7/2-3）x-m—0.

（1）證明：無論相為何值，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）當(dāng)方程有一根為1時，求機(jī)的值及方程的另一根.

【分析】（1）只要證明△>0恒成立即可；

（2）可將該方程的已知根1代入方程，求出機(jī)的值，即可求出方程的另一根

【解答】（1）證明：△=（5-3）2-4（-“2）

=m-6m+9+4m

—m-2m+9

=（機(jī)-1）2+8,

（m-1）2>0,

（w-1）2+8>0,即A>0,

方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

（2）解：是方程/-（初-3）x-"2=0的一個根，

/.1-Cm-3）-m=0,

解得：機(jī)=2,

貝!1方程為：/+尤-2=0

解得：Xi—1,Xi--2,

方程的另一根為-2.

【點評】此題考查了一元二次方程的解和根的判別式，解決此類題目時要認(rèn)真審題，根據(jù)根的判別式列

出式子.

20.（12分）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題.

角平分線分線段成比例定理：如圖①，在aABC中，平分/BAC,則絲

ACCD

下面是這個定理的部分證明過程.

證明：如圖②，過點C作CE〃/交54的延長線于點E……

任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；

（2）如圖③，在△ABC中，是角平分線，AB=5cm,AC=4cm,BC=1cm.求8。的長.

DCDC

①②③

【分析】（1）過點C作CE//DA,交BA的延長線于點E,由CE//DA,可求證坨型，ZCAD=Z

CDEA

ACE,NBAD=/E,可得AE=AC,即可求解；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解.

【解答】（1）證明：如圖②，過點C作CE〃/交8A的延長線于點E,

'：CE//DA,

ZCAD=ZACE,ZBAD=ZE,

CDEA

平分NA4C,

：.ZBAD=ZCAD,

：.ZACE^ZE,

：.AE=AC,

?ABBD.

ACCD

（2）解：是角平分線，

???A-B二BD，，

ACCD

AB=5cm,AC=4cm,BC=lcm,

.5BD

"7=7-BD）

解得BD=^-cm.

9

【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，角平分線的定義，熟練掌握平行線分線段成比例定

理是解決問題的關(guān)鍵.

21.（12分）知識回顧：

（1）對于一元二次方程a^+bx+c—0（aWO）,當(dāng)b2-4ac20時，它的求根公式為x=

山士'J-4ac,求根公式不僅可以由方程的系數(shù)求出方程的根，而且反映了根與系數(shù)之間的關(guān)

2a一

系.若方程的兩個根為XI,尤2,則滿足：①Xl+X2=-±；②X1X2=_￡_.（這也稱作韋達(dá)定理，是

aa

由16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的）.請利用一元二次方程的求根公式證明韋達(dá)定理；

知識應(yīng)用：

（2）已知一元二次方程Zv2-3x-1=0的兩根分別為〃3n,求相?葉利層的值.

【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系求解；

（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系得加+w=3,-L再把加2〃+機(jī)”2變形為%〃（%+〃），然后利用整體

22

代入的方法計算.

【解答】解：（1）對于一元二次方程a^+bx+c—O（aWO）,當(dāng)b2-4czc^0時，它的求根公式為x—

-bivb^-4ac

2a

若方程的兩個根為XI,X2,則滿足①Xl+X2=-電；②X1X2=￡.

aa

證明如下：一元二次方程/+灰+°=0(〃#0),

當(dāng)層-4ac>0時，x=/±Jb2-4ac,

2a

?丫］=-b+Jb乙4ac,<2=bHb乙-4ac,

2a2a

.?.；a+x2=RWb2-4ac+-bWb2-4ac=3=_A,

2a2a2aa

-

--b+vb^~4ac?-b-vb^-4ac(b)-(vb2-4ac)乙一-b^+4acc.

2a2a4a24a2a

故答案為：尸葛士、b2-4ac,-上，義；

2aaa

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得"什〃=旦，/?〃=-2，

22

所以nrn+mn^—mnCm+n)--Ax(-3)=3.

224

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若xi,X2是一元二次方程ox2+bx+c=0(aWO)的兩根時，xi+x2

=-—,X1X2=—.也考查了公式法解一元二次方程.

aa

22.(13分)為積極響應(yīng)新舊動能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，

每臺設(shè)備成本價為30萬元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺；每臺售價

為45萬元時，年銷售量為550臺.假定該設(shè)備的年銷售量y(單位：臺)和銷售單價x(單位：萬元)

成一次函數(shù)關(guān)系.

(1)求年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，則

該設(shè)備的銷售單價應(yīng)是多少萬元？

【分析】(1)根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)此設(shè)備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設(shè)備的利潤為(尤-30)萬元，銷售數(shù)量為(-lOx+lOOO)

臺，根據(jù)總利潤=單臺利潤X銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取