廣東省梅州市2023-2024學(xué)年高一年級下冊月考（一）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省梅州市梅縣東山中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期月考

(一)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.集合M={xeN|O<尤<3}的子集的個數(shù)是()

A.16B.8C.7D.4

【答案】D

【分析】

首先判斷出集合“有2個元素，再求子集個數(shù)即可.

【詳解】易知集合河=口€可0<%<3}={1,2}有2個元素，

所以集合M的子集個數(shù)是22=4.

故選：D.

2.下列函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.4x)=x,g(x)=>/?B./(x)=lgx2,g(x)=21gr

C./(x)=lnel,g(x)=xD./(x)=sinx,g(x)=cos

【答案】C

【分析】

從函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則兩個方面是否都相同考查函數(shù)即得.

【詳解】

對于A項，g(x)=|x|,與"尤)的對應(yīng)法則不同，故不是同一函數(shù)，A項錯誤；

對于B項,的定義域為{乂x#0},g(x)的定義域為{Xx>0},

故兩函數(shù)定義域不同，故/⑺與g(x)不是同一函數(shù)，B項錯誤；

對于C項，/(x)=lne￡=x與8(工)=了的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，C項正確；

對于D項，尤)=sinx,g(尤)=-sim,與g(x)的對應(yīng)法則不同，故不是同一函數(shù)，

D項錯誤.

故選:C.

3.函數(shù)/(x)=x+lnx-5的零點所在的一個區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)表達式，結(jié)合零點定理即可得出零點所在的一個區(qū)間.

【詳解】由題意，尤＞0,函數(shù)/(x)=x+lnx-5在定義域上單調(diào)遞增，

=5=T<0,〃2)=2+ln2-5<2+lne—5=—2<0,

/(3)=3+ln3-5<3+lne2-5=0,/(4)=4+ln4-5>4+lne-5=0,

...零點所在的一個區(qū)間是(3,4),

故選：D.

.45

4.已知。，夕都是銳角，sina=—,cos(a+#=二-----,則siM=()

13

416-3656

A.—B.C.—D.——

13656565

【答案】B

【分析】

利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到sin(a+⑶=［和cosa=；,再利用湊角法，正弦和角公式

求出答案.

【詳解】因為夕都是銳角，所以&+/e(0,7r),

故sin(a+￡)="-cos2(a+y?)=

又sina=±所以cosa=Jl--3

5V255

所以5反/?=5111[(1+/7)—0]=5111(&+,/051-(：05(2+/7卜1110

1235416

二一x---------x—=——.

13513565

故選：B

5.在△A5C中，AD為邊上的中線，石為AD的中點，則防=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得

試卷第2頁，共14頁

=之后應(yīng)用向量的加法運算法則——三角形法則，得到8c=BA+AC，

3131

之后將其合并，得到3E=：8A+：AC,下一步應(yīng)用相反向量，^EB=-AB--AC,

4444

從而求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC]

222424、>

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

31

所以￡B=—AB--AC,故選A.

44

【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的

中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過

程中，需要認真對待每一步運算.

6.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL

血液中酒精含量達到20Q79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車,

都屬于違法駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

Img/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時25%的速度減少，要保證

他不違法駕車，則他至少要休息(其中取lg2=0.30,lg3=0.48)()

A.7小時B.6小時C.5小時D.4小時

【答案】B

【分析】

根據(jù)已知條件列不等式，由此求得正確答案.

【詳解】設(shè)需要休息x小時，依題意，100x(1-25%y=100x][]<20,

232

<-,-兩邊取以1。為底的對數(shù)得會

10

坨2-坨10坨2-10.3-1

所以

炮3—lg4Ig3-21g20.48-2x0.30.12

所以至少需要6小時.

故選：B

s—：卜口＞0）,xwR.若/（九）在區(qū)間（兀,2兀）內(nèi)沒有零點，則

7.已知函數(shù)/（尤）=----sin

2

。的取值范圍是（

0,：°

A.B.

￡5

C.D.

458

【答案】D

【分析】

利用三角函數(shù)性質(zhì),再進行分情況討論，最后對得出的不同取值范圍取并集即可.

/(K)./(2K)>071

sins。一-sin2K6?-->0

【詳解】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，貝UT兀、小=,I44

—=—>271-71

2coCD<\

sinneo-->02k-\—V。V2k-\—

I4j44

此時需要分情況討論：當(dāng)時,解得

sinf271(7?--^-j>0k+—<a)<k+—

88

又因為。所以當(dāng)％=。時，可得上。二

7131

sin71—<02k—4①W2kH—

44

當(dāng)、時,解得

731

sin12兀。一；卜0k——<a><k7+—

88

又因為所以當(dāng)左=0時，可得

8

的取值范圍為[o]j_5

綜上可知，⑷

4?8

故選：D.

【點睛】

8.己知函數(shù)“X）的定義域為R,且〃尤+y）+〃x—尤）〃y）=o,/（-i）=h

則（）

A./(O)=oB.為奇函數(shù)

C.〃8)=-1D.〃力的周期為3

【答案】c

試卷第4頁，共14頁

【分析】

令x=y=O,則得『(0)=2,再令x=0即可得到奇偶性,再令》=-1則得到其周期性，

最后根據(jù)其周期性和奇偶性則得到/(8)的值.

【詳解】令x=y=0,得2/(O)-/2(0)=o得/(0)=0或/(0)=2,

當(dāng)/(0)=0時，令y=0得/W=0不合題意，故"0)=2,所以A錯誤；

令x=0得/(y)=/(-y),且“X)的定義域為R,故/(X)為偶函數(shù)，所以B錯

誤；

令y=T,得f(無一l)+f(x+D=f。)，所以/(x)+/(x+2)=/(x+l),

所以/(x+2)=-/(x-l),則/(x+3)=-〃x),貝l]/(x+6)=-/(x+3)=〃x),

所以fM的周期為6,所以D錯誤；

令x=y=l,得/(2)+/(0)=f2(l),因為/(T)=〃l)=l

所以〃2)=-1,所以八8)=八2)=—1,故C正確.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用賦值法得到其奇偶性和周期性，并依此性質(zhì)求

出函數(shù)值即可.

二、多選題

9.下列命題正確的是()

A.0,tz=0

B.若QWO，則對任一非零向量b都有QIWO

C.若向量滿足W=3,且〃與z,夾角為:，與b同方向的單位向量為e，貝U“在

b方向上的投影向量為

D.若向量AB,CO共線，則點A,民必在同一直線上

【答案】AC

【分析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積、向量的投影、共線向量等知識，對選項中的命題進行逐個分析，

判斷正誤即可.

【詳解】對于A,由向量數(shù)量積和零向量的運算性質(zhì)得0”=(),故A正確，

對于B,當(dāng)非零向量a時，必有分6=0，故B錯誤.

對于C,由向量投影的定義得，投影長度為|小《?5=3'!=1，

11322

3

由投影向量公式得投影向量為=e,故C正確，

2

對于D,若向量AB,CD共線，則CD,

顯然點A,民C,。不在同一直線上，故D錯誤，

故選：AC

10.函數(shù)/(x)=Asin(8+e)［A>O,0>O,|d<3的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正

確的是()

A71

A.'

B.函數(shù)/(a)的周期為g

C.函數(shù)/a)的圖象關(guān)于點(go1對稱

D.將函數(shù)/⑺的圖象向右平移聯(lián)個單位得到函數(shù)g(x)=sin,+力的圖象

【答案】ACD

【分析】根據(jù)圖象，求出/⑺的周期，即可判斷出選項B的正誤，利用圖象過點(J,T),

可求得。值，從而可判斷出選項A的正誤，利用》=sinx的圖象與性質(zhì)，求出/(元)的對

稱中心，即可判斷出選項C的正誤，再利用圖象的平移，即可判斷出選項D的正誤,

從而求出結(jié)果.

T7兀717T

【詳解】由圖知所以7=兀，故選項B錯誤，

41234

2兀

又由7=同=兀，得至?d=2，又。>0，所以0=2,

77177t37r

由圖易知，A=l,且圖象過點(已,-D,所以2、］+。=彳+2析,AeZ,

得至IJe=g+2析,ZeZ,又|d<g,所以夕=g,所以選項A正確，

?J乙3

TTTTTTKTT

因為/(%)=sin(2x+—),由2%+—=foi,A￡Z,得至(jx=---1,keZ

3362

令k=。,得到x=-e，即〃x)的一個對稱中心為［-2,。］,所以選項C正確,

試卷第6頁，共14頁

又將函數(shù)八力的圖象向右平移三個單位得到函數(shù)g(x)=Sin(2x-2+W)=sin(2x+F)的

12636

圖象，所以選項D正確，

故選：ACD.

11.一般地，若函數(shù)“力的定義域為。，可，值域為[她煙,則稱可為函數(shù)“力的

“左倍伴隨區(qū)間”，另函數(shù)/(x)的定義域為目，值域也為目，則稱0為"%)的"伴

隨區(qū)間”，下列結(jié)論正確的是()

A.若[2,可為函數(shù)=好+6的“伴隨區(qū)間”，則6=3

2

B.函數(shù)〃x)=l+—存在“伴隨區(qū)間”

尤

c.若函數(shù)"存在“伴隨區(qū)間”，則機e-%。

D.二次函數(shù)〃x)=-g尤2+x存在“3倍伴隨區(qū)間，，

【答案】AD

【分析】

對于ABC：利用伴隨區(qū)間的定義來判斷；對于D：不妨取xe[“,O],則ye[3砌,列

方程求解即可.

【詳解】對于A.7(尤)=1-4x+6在xe[2,可上單調(diào)遞增,又/⑵=2?—4x2+6=2

.??/伍)=匕即"2一4人+6=/?,：.b=2(舍)或〃=3,A正確；

對于B.〃尤)=1+、在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減，若存在“伴隨區(qū)間”[。,國則

f(a)=b,f(b)=a,

即1+72」+12，解得t(〃=22或\ci—-—11,與…矛盾’B錯誤;

對于C.〃1)=根-而T在上X￡[-l,+8)單調(diào)遞減，假設(shè)存在“伴隨區(qū)間”,

［。,可口［—L+8),則m-y/b+1=a且加一\/a+l=b，

??YYi—Ja+1+Z?=+1+a,+1-+1=b-a—(Z?+1)-+1)，

??\］b+1+Ja+1—1即［b+1=1—yja+1或iJa+1-1-\/Z?+1，

m=l-J〃+l+a

因此＜

m=l—y/b+1+b

***m=1-Jx+1+x在[-L+°°）內(nèi)有兩個不同根，

令1t—Jx+1,r二x+l,x=—1,m=t2—1—?+1：=，2—t,

???加（一；,0,C錯誤；

對于D.不妨取xe[a,O],則ye[3a,0],

所以一：/+。=3"，解得q=T,故存在xe[-4,0],ye[-12,0],所以D正確.

故選：AD.

三、填空題

12.若奇函數(shù)/（x）=x3+辦2+x,貝|]〃1）=.

【答案】2

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到方程，求出。=0,再代入求值即可.

【詳解】/⑺=丁+6,+》為奇函數(shù)，故了（一彳"一八彳），

即（一x）3+。（一無）~—x=—/一依2_尤，解得q=0,

f（x）=x3+x,/（I）=1+1=2

故答案為：2

13.已知兩個單位向量滿足卜卜如，則a力的夾角為

2兀

【答案】y

【分析】

|4a+q=如兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積運算公式得到方程，求出夾角.

【詳解】k。+6卜如兩邊平方得161+8a.b+/=13，

設(shè)〃,/?的夾角為e,

即16忖+8上|.卜卜0$6+忖=13,

因為。力為單位向量，所以16+8cos9+l=13,解得cos6=-g,

因為。?0,兀],所以。=].

2兀

故答案為：y

試卷第8頁，共14頁

14.若%N0(i=l,2,3,4,5),xz.=1,則min{max{玉十々,%+電，電+%4，%+毛}}=.

Z=1

【答案】I

【分析】由X+X2和演+飛的地位上相同，同時馬+鼻和鼻+尤4的地位上也相同，分類

討論，即可求解.

【詳解】由題意知，項+%和乙+%的地位上相同，類似的：馬+尤3和忍+匕的地位上

也相同，

(1)^=T+工3邱ix?+三=a,

要使得。最小，則其余的數(shù)盡可能的大，其中玉+苫2最大取a,此時百=退，

剩下匕+者也要盡可能大，取尤4+尤5=。，則。+鼻+。=1,

因為％+三=0,要使得與盡可能大，則工3=。，尤2=°，

止匕時a+a+a=l,解得0=^；

3

(2)若占+%最大，設(shè)玉+z=a,

與(1)中類似，鼻=芯,匕+%=。時，”最小，

同樣2°+西=1,要使得。最小，則4最大，此時%=°,々=。,

可得2a+a=l,解得a=g.

綜上可得min{max{%+無2,無2+W，龍3+-%，匕+%}}=1

3

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了多項式的和的應(yīng)用，以及不等式和函數(shù)的最值問題，著重考查

了分類討論，轉(zhuǎn)化與回歸思想，以及推理與運算能力.

四、解答題

Q

15.(1)已知。是第二象限的角，若cos1=-萬，求sina,tana的值.

/八「八一43sincr-cosa

(2)已知tana=2,求二----z-----的值.

2sina+3cos1

【答案】(1)sinCL=—,tancc=---；(2)—

1787

【分析】

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合a是第二象限的角，求出正弦值和正切值;

(2)化弦為切，代入求值.

Q

【詳解】(1)cos6z=——,。是第二象限的角，故sina>0,

因為sin2a+cos2a=l,所以sina=A/1-COS2a=Jl-------=一

V28917

15

15

~8

17

3sina—cosa3tancif-l_3x2-1_5

(2)因為tana=2,所以

2sina+3cosa2tana+32x2+37

16.已知二次函數(shù)"力=加+法+0("0,反注2滿足條件：①/(x)>0的解集為

{x|-l<x<3}；②/(x)的最大值為4.

⑴求a,b,c的值；

(2)在區(qū)間上，二次函數(shù)〃x)的圖象恒在一次函數(shù)y=4x+機圖象的下方(無公共

點)，求實數(shù)相的取值范圍.

【答案】(l)a=-1,b=2,c=3

(2)m>4

【分析】

(1)根據(jù)不等式解集的端點即為對應(yīng)方程的根，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再由最大值可

得出a,4c；

(2)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，分離參數(shù)后，由二次函數(shù)求區(qū)間上的最大值即可得解.

【詳解】(1)因為不等式)(x)>0的解集為"。1一<3},

所以-1,3是方程g?+笈+°=0的兩根，

bc[b=_2a

所以_]+3=2=—,-1x3=—3=—,即4,

a〃[c=-3a

函數(shù)/(1)=辦2+公+。的對稱軸為1=1,

且函數(shù)〃%)=加+區(qū)+。在％=1處取得最大值4,即有a+b+c=Ya=4,

所以〃=—1,因止匕〃=—1,b=2,c=3.

(2)依題意，/(%)=—無?+2x+3<4%+根在[—1,1]上恒成立，

即有—%2_2%+3<根在龍上恒成立，

試卷第10頁，共14頁

而g(x)=-x?-2尤+3=-(尤+1)~+4在［-1」］上單調(diào)遞減,

所以g(x)1mx=g(T)=4，因此加>4.

17.己知函數(shù)/(x)=>/^sin2x+2cos2x+7〃在區(qū)間0,-^上的最小值為3.

(1)求常數(shù)m的值；

⑵求函數(shù)/*)單調(diào)遞減區(qū)間.

【答案】(1)皿=3

,5兀，11兀1,)

(2)kjiH-----,kuH------，女wZ

'"1212

【分析】

(1)首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的定義域求函數(shù)的最小值，即可求解加；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，代入正弦函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間，即可求解.

【詳解】(1)因為/(%)=石sinZx+Zcos?%+加

=石sin2x+cos2x+m+1

二2sin2x+—cos2x+m+l

2

7

=2sin2x+—+m+l,

I6

JTJT717兀

當(dāng)工￡0,—71時，2%+—￡

2」66，-6-

所以—；Vsin(2x+E71卜1,則相</(%)￡小+3,

6

因為/(X)的最小值為3,所以根=3；

(2)由(1)得,

/(x)=2sinf2A:+-^1+4,

^2for+—<2x--<—+2^7I,A;GZ,

232

Sir11IT

則k7i-\---<x<----\~kit,kGZ,

1212

5ITI1冗

即g(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為^+―+—,keZ,

18.如圖，有一條寬為30m的筆直的河道(假設(shè)河道足夠長)，規(guī)劃在河道內(nèi)圍出一塊

直角三角形區(qū)域(圖中.ABC)種植荷花用于觀賞，C3兩點分別在兩岸人人上,

AB1AC,頂點A到河兩岸的距離人七二麗人力二色，設(shè)NAB￡)=a.

(1)若&=30，求荷花種植面積(單位：m2)的最大值;

⑵若4=44,且荷花的種植面積為1500?,求sine.

【答案】⑴150鬲2

3、4

(2)sine或1.

【分析】

(1)表達出48=2k4。=.4，表達出SABc=1%h，結(jié)合%+色=30,4,/^2。，

由基本不等式求出最值，得到答案；

12

(2)求出％=6，為=24,根據(jù)荷花的種植面積求出sinacosa=不，結(jié)合同角三角函數(shù)

7712

關(guān)系得到sin?+cosa=-,所以sine和cosa為一元二次方程尤?-(工+石=。的兩個實

數(shù)根，求出答案.

【詳解】(1)AB=工,AC=

smacosa

當(dāng)a=30時，AB=2h2，AC,

所以SABC=QAB,AC=~^=.

又因為4+%=30,4也NO,

所以S4ABC=150A/3,當(dāng)且僅當(dāng)九二均=15時取等號.

所以荷花種植區(qū)域面積的最大值為150gm2.

(2)因為4+"=30,。=4%,所以4=6,為=24,

故=

sincrcoscr12)

i72

=-AB^AC=--------=150,

ABC2sinacosa

12

所以sinacosa=——.

試卷第12頁，共14頁

又因為sin%+cos2a=1,

又因為ae,所以sina+cosa=—

719

所以sina和cosa為一元二次方程f-=x+==0的兩個實數(shù)根,

525

解得

cosa=—

19.已知集合M是具有下列性質(zhì)的函數(shù)的全體，存在有序?qū)崝?shù)對(根,〃)，使得

/(〃2+x)-/(m-x)=〃對定義域內(nèi)任意實數(shù)尤都成立.

(1)判斷函數(shù)〃x)=2x,g(x)=2,是否屬于集合M,并說明理由：

(2)若函數(shù)=￥(而片0,a,6為常數(shù))具有反函數(shù)，且存在實數(shù)對(0㈤使

求實數(shù)a、b滿足的關(guān)系式；

(3)若定義域為R的函數(shù)“力eM,存在滿足條件的實數(shù)對(0,1)和(1,4),當(dāng)X40,1]時,

〃力值域為[1,2],求當(dāng)xe[0,2018]時函數(shù)的值域.

【答案】⑴f(x)不屬于,g(x)屬于;⑵ab