2023年高考考前信息必刷數(shù)學(xué)試卷4（上海專用）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷4（上海專用）一、填空題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，，故〖答案〗為：.2．若向量，，且，則與的夾角大小是__________.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∵，∴，∴，∴與的夾角大小為，故〖答案〗為：.3．函數(shù)的定義域?yàn)開__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，而以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，因此，求解可得或．故〖答案〗為：．4．某種食鹽的袋裝質(zhì)量服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取10000袋，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有______袋．（質(zhì)量單位：g）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．〖答案〗8186〖解析〗由題意知，，所以，得，所以袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋.故〖答案〗為：8186.5．已知，則___________.〖答案〗〖解析〗等式，兩邊同時(shí)平方得，，兩式相加，得，，整理得，即，因?yàn)椋?，得，代入，得，即，則，則.故〖答案〗為：.6．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗的展開式通項(xiàng)，令，得；令，得，故的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為：.7．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且，的平分線交BC于D．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，AD的長(zhǎng)為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，即，在中，由余弦定理可得，所以，且，所以，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，此時(shí)，，在中，，由正弦定理可得，故〖答案〗為:8．有窮數(shù)列共有k項(xiàng)，滿足，，且當(dāng)，時(shí)，，則項(xiàng)數(shù)k的最大值為______________．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛懈F數(shù)列，，，所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)最大時(shí)，，則，，，將以上各式相加得，即，，即，則.故〖答案〗為：9．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其外接球半徑為2，則的最大值為____________．〖答案〗8〖解析〗設(shè)，因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以由長(zhǎng)方體模型可知，，即.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).即的最大值為.故〖答案〗為：10．已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過作的角平分線的垂線，垂足為，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為______〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，，所以是等腰三角形，，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)在雙曲線的右支上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支上時(shí)，，所以，即，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故〖答案〗為：.11．設(shè)函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使成立，則a的取值范圍是______．〖答案〗．〖解析〗由曲線上存在點(diǎn)，使得，即，下面證明，因?yàn)樵诙x域上嚴(yán)格遞增，假設(shè)，則，不滿足，同理，不滿足，所以，那么函數(shù)，即函數(shù)在有解，所以，即，，令，則，，，單調(diào)遞增，又，所以，所以a的取值范圍是．故〖答案〗為：12．已知函數(shù)（且a為常數(shù)）和（且k為常數(shù)），有以下命題:①當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，若恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則；③對(duì)任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且成等比數(shù)列.其中的真命題是_____（寫出所有真命題的序號(hào)）〖答案〗②〖解析〗①因?yàn)?，，由得，函?shù)的零點(diǎn)，即是函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以時(shí)，函數(shù)顯然沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得，即，即，因?yàn)?，所以恒成立，若時(shí)，函數(shù)可能有零點(diǎn)；若，函數(shù)沒有零點(diǎn)；故①錯(cuò)；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍∮袀€(gè)不同零點(diǎn)，令，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，記作，不妨令；做出函數(shù)的圖像如下：由圖像可得：當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)；因?yàn)楹瘮?shù)恰有個(gè)不同零點(diǎn)，則有個(gè)根，記作；有個(gè)根，記作（不妨令）；所以只需，，因此，，所以；，，因此；故②正確；③由，得；所以函數(shù)與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；由②中圖像可知：當(dāng)時(shí)，與在上有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)與在上最多只有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上最多只有個(gè)零點(diǎn)；不滿足存在實(shí)數(shù)，使得有4個(gè)不同的零點(diǎn)；若，由基本不等式可得：，即時(shí)，；若，則函數(shù)與在上最多只有個(gè)交點(diǎn)，也不滿足對(duì)任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得有4個(gè)不同的零點(diǎn).故③錯(cuò).故〖答案〗為：②.二、單選題13．已知直線，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)兩直線不重合，當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)兩直線不重合，即或時(shí)，，故是的充分不必要條件.故選：A.14．已知兩組數(shù)據(jù)和的中位數(shù)?方差均相同，則兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，（

）A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大B．中位數(shù)一定不變，方差可能變小C．中位數(shù)可能改變，方差可能變大D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小〖答案〗A〖解析〗對(duì)于中位數(shù)：不妨設(shè)，則兩組數(shù)據(jù)和的中位數(shù)分別為，則，兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，則中位數(shù)為，故中位數(shù)一定不變；對(duì)于方差：設(shè)的平均數(shù)為，方差為，的平均數(shù)為，方差為，則，可得，則兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故方差可能變大，一定不會(huì)變?。还蔬x：A.15．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（在的左邊），且．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)使得B．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)使得C．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的最大值為D．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角為定值〖答案〗C〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．因?yàn)樵谏?，且，，可設(shè)，則，則，所以，故恒為正，故A正確．若，則四點(diǎn)共面，與和是異面直線矛盾，故B正確．設(shè)平面的法向量為，又，所以，即，取，則，平面的法向量為，所以．設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取最小值，故C錯(cuò)誤．連接．平面即為平面，而平面即為平面，故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小保持不變，故D正確．故選：C16．已知點(diǎn)集，且，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①區(qū)域Q為軸對(duì)稱圖形；②區(qū)域Q的面積大于；③M是直線上的一點(diǎn)，.A．0 B．1 C．2 D．3〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，且，即，顯然當(dāng)時(shí)，滿足條件限制；當(dāng)時(shí)，兩邊平方化簡(jiǎn)可得：，其表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓在第一象限和第三象限上及其內(nèi)部的點(diǎn)；繪制點(diǎn)集表示的圖形如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，①錯(cuò)；陰影部分的面積，②對(duì)；對(duì)③：設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得：，若與橢圓相切，則，解得，故當(dāng)時(shí)，直線與直線的距離即為的最小值，故，故，③正確.故正確的是②③.故選：C.三、解答題17．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點(diǎn).（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正切值.（1）證明：由題設(shè)知，平面平面，交線為.因?yàn)椋矫?，所以平面，平面，?因?yàn)槭巧袭愑?，的點(diǎn)，且為直徑，所以，又，平面，所以平面，而平面，故平面平面；（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量，則即，可取，又是平面的一個(gè)法向量，因此，，得，所以，，所以面與面所成二面角的正切值是.18．如圖，已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求B；（2）若，，點(diǎn)D在邊AC上，且在和上的投影向量的模相等，求線段BD的長(zhǎng)．解：（1）∵，∴由正弦定理可，由余弦定理可得，∴即，∵，∴．（2）由（1）知，∴又，∴，解得．∵，∴，可得，由可得，解得．∵在和上的投影向量的模相等，∴BD為的平分線，由角平分線的性質(zhì)知，即，解得，在中，由正弦定理可得，∴，在中，，由正弦定理可得，即，解得．19．某市為調(diào)研本市學(xué)生體質(zhì)情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到體質(zhì)測(cè)試樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：人）如表：優(yōu)秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷：能否有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)測(cè)試是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（注：體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀?良好或及格則體質(zhì)達(dá)標(biāo)，否則不達(dá)標(biāo)）達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生女生合計(jì)其中；（2）體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀或良好則稱體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)良，以樣本數(shù)據(jù)中男?女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的頻率視為該市男?女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的概率，在該市學(xué)生中隨機(jī)選取1名男生，1名女生，設(shè)所選2人中體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差.解：（1）由題得列聯(lián)表如下：達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生10801201200女生840120960合計(jì)19202402160所以沒有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（2）由題意男生體質(zhì)測(cè)試優(yōu)良率，女生體質(zhì)測(cè)試優(yōu)良率.的所有可能取值為.所以的分布列為012，20．已知橢圓過點(diǎn)，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且.（1）求橢圓C的方程；（2）過P點(diǎn)的直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線平行于OP（O為原點(diǎn)），且與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)M（M介于A、B兩點(diǎn)之間）.（i）當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程；（ii）求證：，并判斷，的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列.解：（1）設(shè)，，則，.，.又在橢圓上，故，又，解得，，故所求方程為.（2）（i）由于，設(shè)方程為，.由，消y整理得，，則.又點(diǎn)P到的距離,.當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立.故直線AB的方程為：.（ⅱ）要證結(jié)論成立，只須證明：，由角平分線性質(zhì)即證：直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：.因?yàn)橐虼私Y(jié)論成立.又與C有一個(gè)公共點(diǎn)，即為橢圓的切線，由得令，，則，所以，所以，故所研究的4條直線的斜率分別為，，，，若這四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且其公比記為q，則應(yīng)有或，或.因?yàn)椴怀闪?，所以，而?dāng)時(shí)，，，此時(shí)直線PB與重合，不合題意，故，，PA，PB的斜率無論怎樣排序都不可能構(gòu)成等比數(shù)列.21．考慮下面兩個(gè)定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）的集合：對(duì)任何不同的兩個(gè)正數(shù)，都有，=對(duì)任何不同的兩個(gè)正數(shù)，都有（1）已知，若，且，求實(shí)數(shù)和的取值范圍（2）已知，且的部分函數(shù)值由下表給出：4比較與4的大小關(guān)系（3）對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在常數(shù)，使得不等式對(duì)任何都成立，則稱為的上界，將中所有存在上界的函數(shù)組成的集合記作，判斷是否存在常數(shù)，使得對(duì)任何和，都有，若存在，求出的最小值，若不存在，說明理由解：（1）由：對(duì)任何不同的兩個(gè)正數(shù)，都有，=對(duì)任何不同的兩個(gè)正數(shù)，都有，可得函數(shù)y，y在（0，+∞）為增函數(shù)，y2x2+2ax+b，若f（x）∈Ω1，則0，即a≥0y2x+a，y′＝2，當(dāng)b≥0，x＞0時(shí)，y′＞0，此時(shí)f（x）∈Ω2，不符合題意，舍去；當(dāng)b＜0時(shí)，令y′＝0，解得x，此時(shí)函數(shù)在x∈（0，+∞）有極值點(diǎn)，因此f（x）?Ω2．綜上可得：當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）∈Ω1且f（x）?Ω2．（2）由f（x）∈Ω1，若取0＜x1＜x2，則．由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，∵0＜a＜b＜c＜a+b+c，∴，∴d＜0，d，d，t，∴2d+t=4.（3）∵對(duì)任何f（x）∈T和x∈（0，+∞），都有f（x）＜M，先證明f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．假設(shè)存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，記m＞0∵y是增函數(shù)．∴當(dāng)x＞x0時(shí)，m＞0，∴f（x）＞mx2，∴一定可以找到一個(gè)x1＞x0，使得f（x1）＞mx12＞k，這與f（x）＜k對(duì)x∈（0，+∞）成立矛盾．即f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．∴存在f（x）∈T，f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．下面證明f（x）＝0在（0，+∞）上無解．假設(shè)存在x2＞0，使得f（x2）＝0，∵y是增函數(shù)．一定存在x3＞x2＞0，使0，這與上面證明的結(jié)果矛盾．∴f（x）＝0在（0，+∞）上無解．綜上，我們得到存在f（x）∈T，f（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立．∴存在常數(shù)M≥0，使得存在f（x）∈T，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立．又令f（x）（x＞0），則f（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立，又有在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）∈T，而任取常數(shù)k＜0，總可以找到一個(gè)xn＞0，使得x＞xn時(shí)，有f（x）＞k．∴M的最小值為0．2023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷4（上海專用）一、填空題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，，故〖答案〗為：.2．若向量，，且，則與的夾角大小是__________.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∵，∴，∴，∴與的夾角大小為，故〖答案〗為：.3．函數(shù)的定義域?yàn)開__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，而以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，因此，求解可得或．故〖答案〗為：．4．某種食鹽的袋裝質(zhì)量服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取10000袋，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有______袋．（質(zhì)量單位：g）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．〖答案〗8186〖解析〗由題意知，，所以，得，所以袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋.故〖答案〗為：8186.5．已知，則___________.〖答案〗〖解析〗等式，兩邊同時(shí)平方得，，兩式相加，得，，整理得，即，因?yàn)椋?，得，代入，得，即，則，則.故〖答案〗為：.6．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗的展開式通項(xiàng)，令，得；令，得，故的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為：.7．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且，的平分線交BC于D．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，AD的長(zhǎng)為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，即，在中，由余弦定理可得，所以，且，所以，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，此時(shí)，，在中，，由正弦定理可得，故〖答案〗為:8．有窮數(shù)列共有k項(xiàng)，滿足，，且當(dāng)，時(shí)，，則項(xiàng)數(shù)k的最大值為______________．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛懈F數(shù)列，，，所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)最大時(shí)，，則，，，將以上各式相加得，即，，即，則.故〖答案〗為：9．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其外接球半徑為2，則的最大值為____________．〖答案〗8〖解析〗設(shè)，因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以由長(zhǎng)方體模型可知，，即.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).即的最大值為.故〖答案〗為：10．已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過作的角平分線的垂線，垂足為，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為______〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，，所以是等腰三角形，，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，因?yàn)椋?dāng)點(diǎn)在雙曲線的右支上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支上時(shí)，，所以，即，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故〖答案〗為：.11．設(shè)函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使成立，則a的取值范圍是______．〖答案〗．〖解析〗由曲線上存在點(diǎn)，使得，即，下面證明，因?yàn)樵诙x域上嚴(yán)格遞增，假設(shè)，則，不滿足，同理，不滿足，所以，那么函數(shù)，即函數(shù)在有解，所以，即，，令，則，，，單調(diào)遞增，又，所以，所以a的取值范圍是．故〖答案〗為：12．已知函數(shù)（且a為常數(shù)）和（且k為常數(shù)），有以下命題:①當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，若恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則；③對(duì)任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且成等比數(shù)列.其中的真命題是_____（寫出所有真命題的序號(hào)）〖答案〗②〖解析〗①因?yàn)?，，由得，函?shù)的零點(diǎn)，即是函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以時(shí)，函數(shù)顯然沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得，即，即，因?yàn)?，所以恒成立，若時(shí)，函數(shù)可能有零點(diǎn)；若，函數(shù)沒有零點(diǎn)；故①錯(cuò)；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍∮袀€(gè)不同零點(diǎn)，令，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，記作，不妨令；做出函數(shù)的圖像如下：由圖像可得：當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)；因?yàn)楹瘮?shù)恰有個(gè)不同零點(diǎn)，則有個(gè)根，記作；有個(gè)根，記作（不妨令）；所以只需，，因此，，所以；，，因此；故②正確；③由，得；所以函數(shù)與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；由②中圖像可知：當(dāng)時(shí)，與在上有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)與在上最多只有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上最多只有個(gè)零點(diǎn)；不滿足存在實(shí)數(shù)，使得有4個(gè)不同的零點(diǎn)；若，由基本不等式可得：，即時(shí)，；若，則函數(shù)與在上最多只有個(gè)交點(diǎn)，也不滿足對(duì)任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得有4個(gè)不同的零點(diǎn).故③錯(cuò).故〖答案〗為：②.二、單選題13．已知直線，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)兩直線不重合，當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)兩直線不重合，即或時(shí)，，故是的充分不必要條件.故選：A.14．已知兩組數(shù)據(jù)和的中位數(shù)?方差均相同，則兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，（

）A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大B．中位數(shù)一定不變，方差可能變小C．中位數(shù)可能改變，方差可能變大D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小〖答案〗A〖解析〗對(duì)于中位數(shù)：不妨設(shè)，則兩組數(shù)據(jù)和的中位數(shù)分別為，則，兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，則中位數(shù)為，故中位數(shù)一定不變；對(duì)于方差：設(shè)的平均數(shù)為，方差為，的平均數(shù)為，方差為，則，可得，則兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故方差可能變大，一定不會(huì)變??；故選：A.15．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（在的左邊），且．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)使得B．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)使得C．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的最大值為D．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角為定值〖答案〗C〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．因?yàn)樵谏希遥稍O(shè)，則，則，所以，故恒為正，故A正確．若，則四點(diǎn)共面，與和是異面直線矛盾，故B正確．設(shè)平面的法向量為，又，所以，即，取，則，平面的法向量為，所以．設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取最小值，故C錯(cuò)誤．連接．平面即為平面，而平面即為平面，故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小保持不變，故D正確．故選：C16．已知點(diǎn)集，且，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①區(qū)域Q為軸對(duì)稱圖形；②區(qū)域Q的面積大于；③M是直線上的一點(diǎn)，.A．0 B．1 C．2 D．3〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，且，即，顯然當(dāng)時(shí)，滿足條件限制；當(dāng)時(shí)，兩邊平方化簡(jiǎn)可得：，其表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓在第一象限和第三象限上及其內(nèi)部的點(diǎn)；繪制點(diǎn)集表示的圖形如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，①錯(cuò)；陰影部分的面積，②對(duì)；對(duì)③：設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得：，若與橢圓相切，則，解得，故當(dāng)時(shí)，直線與直線的距離即為的最小值，故，故，③正確.故正確的是②③.故選：C.三、解答題17．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點(diǎn).（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正切值.（1）證明：由題設(shè)知，平面平面，交線為.因?yàn)?，平面，所以平面，平面，?因?yàn)槭巧袭愑?，的點(diǎn)，且為直徑，所以，又，平面，所以平面，而平面，故平面平面；（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量，則即，可取，又是平面的一個(gè)法向量，因此，，得，所以，，所以面與面所成二面角的正切值是.18．如圖，已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求B；（2）若，，點(diǎn)D在邊AC上，且在和上的投影向量的模相等，求線段BD的長(zhǎng)．解：（1）∵，∴由正弦定理可，由余弦定理可得，∴即，∵，∴．（2）由（1）知，∴又，∴，解得．∵，∴，可得，由可得，解得．∵在和上的投影向量的模相等，∴BD為的平分線，由角平分線的性質(zhì)知，即，解得，在中，由正弦定理可得，∴，在中，，由正弦定理可得，即，解得．19．某市為調(diào)研本市學(xué)生體質(zhì)情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到體質(zhì)測(cè)試樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：人）如表：優(yōu)秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷：能否有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)測(cè)試是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（注：體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀?良好或及格則體質(zhì)達(dá)標(biāo)，否則不達(dá)標(biāo)）達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生女生合計(jì)其中；（2）體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀或良好則稱體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)良，以樣本數(shù)據(jù)中男?女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的頻率視為該市男?女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的概率，在該市學(xué)生中隨機(jī)選取1名男生，1名女生，設(shè)所選2人中體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差.解：（1）由題得列聯(lián)表如下：達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)合計(jì)男生10801201200女生840120960合計(jì)19202402160所以沒有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（2）由題意男生體質(zhì)測(cè)試優(yōu)良率，女生體質(zhì)測(cè)試優(yōu)良率.的所有可能取值為.所以的分布列為012，20．已知橢圓過點(diǎn)，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且.（1）求橢圓C的方程；（2）過P點(diǎn)的直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線平行于OP（O為原點(diǎn)），且與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)M（M介于A、B兩點(diǎn)之間）.（i）當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程；（ii）求證：，并判斷，的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列.解：（1）設(shè)，，則，.，.又在橢圓上，故，又，解得，，故所求方程為.（2）（i）由于，設(shè)方程為，.由，消y整理得，，則.又點(diǎn)P到的距離,.當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立.故直線AB的方程為：.（ⅱ）要證結(jié)論成立，只須證明：，由角平分線性質(zhì)即證：直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：.因?yàn)橐虼私Y(jié)論成立.又與C有一個(gè)公共點(diǎn)，即為橢圓的切線，由得令，，則，所以，所以，故所研究的4條直線的斜率分別為，，，，若這四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且其公比記為q，則應(yīng)有或，或.因?yàn)椴怀闪?，所以，而?dāng)時(shí)，，，此時(shí)直線PB與