2024年重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附中中考數(shù)學(xué)一診試卷

第1頁（共1頁）2024年重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附中中考數(shù)學(xué)一診試卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.請將答題卡上對應(yīng)題目的正確答案序號涂黑。1．（4分）下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．2 B．π C． D．3.141592．（4分）下列四個(gè)勞動(dòng)工具的圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，3），則k的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．34．（4分）若兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，則這兩個(gè)三角形的面積之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：165．（4分）如圖，若AB∥CD，CE⊥AF，則∠C的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（4分）估計(jì)的值應(yīng)在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間7．（4分）如圖，第①個(gè)圖案中有2個(gè)黑色正方形，第②個(gè)圖案中有4個(gè)黑色正方形，第④個(gè)圖案中有12個(gè)黑色正方形，……，第⑧個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)是（）A．20 B．30 C．40 D．508．（4分）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BO的延長線于點(diǎn)D，則OD的長為（）A．2 B．3 C． D．9．（4分）如圖，將正方形ABCD的邊BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CE，連接AE，連接FE，F(xiàn)B（0＜α＜90°），則∠ABF的大小為（）A． B．α﹣30° C． D．2α10．（4分）將代數(shù)式a+（b+c+d）+（e+f）中的任意兩個(gè)加號變?yōu)闇p號，然后再去掉括號，例如：a﹣（b﹣c+d）+（e+f）＝a﹣b+c﹣d+e+f．下列說法：①不存在兩個(gè)“雙減運(yùn)算”的結(jié)果和為0；②所有可能的“雙減運(yùn)算”共有10種不同的運(yùn)算結(jié)果；③所有可能的“雙減運(yùn)算”結(jié)果中只含有兩個(gè)減號的有5種．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本大題共有8個(gè)小題，每小題4分，共32分.請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）＝．12．（4分）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和恰好是其外角和的4倍，則該正多邊形的每一個(gè)外角是．13．（4分）不透明袋子里有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，2個(gè)藍(lán)球（這些球除顏色外完全相同），抽取后不放回，則小明和小紅都沒有抽到藍(lán)球的概率為．14．（4分）“閱百十風(fēng)華，致生涯廣大”——附中將迎來辦學(xué)110周年系列慶祝活動(dòng)，文創(chuàng)產(chǎn)品深受校友們的喜愛，2月份銷售數(shù)量是1700把，4月份銷售數(shù)量是2871把，根據(jù)題意，可列方程為．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以點(diǎn)B為圓心，線段BA的長為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)E．若AB＝2，則圖中陰影部分面積為.（結(jié)果保留π）16．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則EF的長為.17．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組有解且至多有5個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．18．（4分）如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，并且滿足a+d＝，因?yàn)?+7＝12，所以5127是“加和數(shù)”，因?yàn)?+8≠23，所以6238不是“加和數(shù)”．若M是“加和數(shù)”（M）＝a﹣b+c﹣d，若F（M），則d﹣c＝；記，若“加和數(shù)”能被7整除（M）的和為．三、解答題：本大題共8小題，共78分.解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，請將解答過程寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（8分）計(jì)算：（1）（x+y）2﹣x（x+2y）；（2）．20．（10分）某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了正方形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)：正方形對角線上任意一點(diǎn)與正方形其他兩個(gè)頂點(diǎn)相連形成的線段一定相等．該學(xué)習(xí)小組進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：若過該點(diǎn)作其中一條線段的垂線與正方形的兩邊相交形成的較長線段和前面形成的兩條線段也有關(guān)系．請根據(jù)下列探究思路完成作圖和填空：（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)E作EF⊥AE，分別交邊AD、BC于點(diǎn)G、F．（2）已知：在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線BD上一點(diǎn)，EF⊥AE證明：∵四邊形ABCD是正方形∴BD平分∠ADC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝CD．∴．在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE（SAS）．∴∠DAE＝∠DCE，AE＝CE，又∵∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE∴∠BAE＝∠BCE，∵EF⊥AE，∴．∵∠ABF+∠BFE+∠FEA+∠BAE＝360°，且∠ABF+∠FEA＝90°+90°＝180°∴∠BAE+∠BFE＝180°∵，∴∠EFC＝∠BAE．∴．∴EF＝EC＝AE．21．（10分）我校開展了“傳統(tǒng)節(jié)日”的知識競答活動(dòng)，初2024屆800名學(xué)生參與了此次競答活動(dòng)（滿分：50分）．答題完成后，對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（成績得分用x表示，其中A：0≤x≤42，B：42＜x≤44，C：44＜x≤46，D：46＜x≤48，E：48＜x≤50），并給出了下列信息：1班E等級同學(xué)的競答成績統(tǒng)計(jì)如下：50，49，50，49，50，50，502班D等級同學(xué)的競答成績統(tǒng)計(jì)如下：47，48，48，48，48．1、2兩班抽取的學(xué)生的競答成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)1班47.548.5c2班47.5b49（1）根據(jù)以上信息可以求出：a＝，b＝，c＝；（2）你認(rèn)為1、2兩個(gè)班哪個(gè)班的學(xué)生知識競答成績較好，請說明理由（理由寫出一條即可）；（3）若規(guī)定49分及以上為優(yōu)秀，請估計(jì)該校參加此次知識競答活動(dòng)的所有學(xué)生中優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？22．（10分）去年寒假，哈爾濱成為了全國的熱門旅游城市，滑雪運(yùn)動(dòng)也漸漸成為了市民們冬季運(yùn)動(dòng)的首選，可分為半盔型和全盔型兩種．某滑雪裝備專賣店第一次購進(jìn)了半盔型和全盔型共20個(gè)，半盔型進(jìn)價(jià)是180元，半盔型售價(jià)為230元，全盔型售價(jià)為250元．（1）若該店第一次購買兩種頭盔共花了3840元，則購買半盔型和全盔型各多少個(gè)？（2）第一批頭盔銷量不錯(cuò)，該店又購進(jìn)一批，第二批兩種頭盔的進(jìn)價(jià)不變．半盔型售價(jià)在第一次的基礎(chǔ)上漲了元，結(jié)果半盔型獲得265元的利潤和全盔型獲得190元的利潤時(shí)售賣數(shù)量相同，求m的值．23．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，沿折線A→B→D方向以每秒1個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D處停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）當(dāng)△BCP的面積超過3時(shí)，直接寫出x的取值范圍．（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）24．（10分）“辦學(xué)110周年慶?；顒?dòng)”籌備小組為了更好的服務(wù)校友們，特繪制了校園地圖．學(xué)校大門在點(diǎn)A處，格致樓B在學(xué)校大門的北偏西60°方向相距100米處，萬象樓D在學(xué)校大門A的正北方向80米處，在操場E的西南方向，在學(xué)校大門A的北偏東30°方向．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求DE的長度；（結(jié)果精確到1米）（2）籌備組初步擬定校慶活動(dòng)方案，校友們先在志愿者帶領(lǐng)下參觀校園，最后在操場匯合，線路一：沿A﹣B﹣C﹣E，速度預(yù)計(jì)為30米/分鐘，速度預(yù)計(jì)為20米/分鐘，若兩條線路的校友同時(shí)出發(fā)（結(jié)果精確到0.1分）25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3過點(diǎn)（2，5），交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥y軸交AC于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將原拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線y'，新拋物線y'與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)N，使得∠TNB+∠OBC＝90°？若存在，則直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo)，則說明理由．26．（10分）在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°（1）如圖1，已知AD＝，BD＝；（2）如圖2，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)R、G分別是線段BC、BD上的點(diǎn)，以RG為直角邊，構(gòu)造等腰Rt△GRH，當(dāng)∠BHE＝∠HRE，EH＝FG時(shí)BR；（3）如圖3，將△BCD沿BD所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BC′D，將△ABD沿BD所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△A′BD，連接CP，當(dāng)CP取得最小值時(shí)的值．

2024年重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附中中考數(shù)學(xué)一診試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.請將答題卡上對應(yīng)題目的正確答案序號涂黑。1．（4分）下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．2 B．π C． D．3.14159【解答】解：A、2是有理數(shù)；B、π是無理數(shù)；C、是有理數(shù)；D、3.14159是有理數(shù)；故選：B．2．（4分）下列四個(gè)勞動(dòng)工具的圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；C選項(xiàng)中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．故選：C．3．（4分）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，3），則k的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，∴k＝﹣1×4＝﹣3，故選：A．4．（4分）若兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，則這兩個(gè)三角形的面積之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【解答】解：若兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，則這兩個(gè)三角形的面積之比是2：16，故選：D．5．（4分）如圖，若AB∥CD，CE⊥AF，則∠C的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠1＝130°，∵CE⊥AF，∴∠CEF＝90°，∴∠C＝∠AFD﹣∠CEF＝130°﹣90°＝40°．故選：B．6．（4分）估計(jì)的值應(yīng)在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【解答】解：原式＝2×﹣×＝2﹣＝4﹣，∵2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴3＜8﹣＜4，即5＜＜6，故選：B．7．（4分）如圖，第①個(gè)圖案中有2個(gè)黑色正方形，第②個(gè)圖案中有4個(gè)黑色正方形，第④個(gè)圖案中有12個(gè)黑色正方形，……，第⑧個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)是（）A．20 B．30 C．40 D．50【解答】解：由所給圖形可知，第①個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)是：2＝；第②個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)是：7＝；第③個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)是：8＝；第④個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)是：12＝；…，所以第n個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)是（n為正奇數(shù)），．當(dāng)n＝8時(shí)，（個(gè)），即第⑧個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)是40個(gè)．故選：C．8．（4分）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BO的延長線于點(diǎn)D，則OD的長為（）A．2 B．3 C． D．【解答】解：連接OA，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∴，∴BD⊥AC，∴∠ABD＝ABC＝30°，∵OB＝OA，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠AOD＝∠ABO+∠BAO＝60°°，∵AD是⊙O的切線，∴∠OAD＝90°，∴∠D＝30°，∴OD＝2OA＝2，故選：A．9．（4分）如圖，將正方形ABCD的邊BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CE，連接AE，連接FE，F(xiàn)B（0＜α＜90°），則∠ABF的大小為（）A． B．α﹣30° C． D．2α【解答】解：連接DE，∵將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AF，∴AF＝AE，∠FAE＝90°＝∠BAD，∴∠BAF＝∠DAE，又∵AB＝AD，∴△BAF≌△DAE（SAS），∴∠ADE＝∠ABF，∵邊BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CE，∴BC＝CE＝CD，∴∠CDE＝＝＝45°+，∴∠ADE＝45°﹣，∴∠ADE＝∠ABF＝45°﹣，故選：C．10．（4分）將代數(shù)式a+（b+c+d）+（e+f）中的任意兩個(gè)加號變?yōu)闇p號，然后再去掉括號，例如：a﹣（b﹣c+d）+（e+f）＝a﹣b+c﹣d+e+f．下列說法：①不存在兩個(gè)“雙減運(yùn)算”的結(jié)果和為0；②所有可能的“雙減運(yùn)算”共有10種不同的運(yùn)算結(jié)果；③所有可能的“雙減運(yùn)算”結(jié)果中只含有兩個(gè)減號的有5種．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：選擇改變第一和第二個(gè)加號：a﹣（b﹣c+d）+（e+f）＝a﹣b+c﹣d+c+f；選擇改變第一和第三個(gè)加號：a﹣（b+c﹣d）+（e+f）＝a﹣b﹣c+d+e+f；選擇改變第一和第四個(gè)加號：a﹣（b+c+d）﹣（e+f）＝a﹣b﹣c﹣d﹣e﹣f；選擇改變第一和第五個(gè)加號：a﹣（b+c+d）+（e﹣f）＝a﹣b﹣c﹣d+e﹣f；選擇改變第二和第三個(gè)加號：a+（b﹣c﹣d）+（e+f）＝a+b﹣c﹣d+e+f；選擇改變第二和第四個(gè)加號：a+（b﹣c+d）﹣（e+f）＝a+b﹣c+d﹣e﹣f；選擇改變第二和第五個(gè)加號：a+（b﹣c+d）+（e﹣f）＝a+b﹣c+d+e﹣f；選擇改變第三和第四個(gè)加號：a+（b+c﹣d）﹣（e+f）＝a+b+c﹣d﹣e﹣f；選擇改變第三和第五個(gè)加號：a+（b+c﹣d）+（e﹣f）＝a+b+c﹣d+e﹣f；選擇改變第四和第五個(gè)加號：a+（b+c+d）﹣（e﹣f）＝a+b+c+d﹣c+f．由上述可得，所有可能的“雙減運(yùn)算”共有10種不同的運(yùn)算結(jié)果；所有可能的“雙減運(yùn)算”結(jié)果中只含有兩個(gè)減號的有5種，故③說法正確；對于運(yùn)算結(jié)果a﹣b﹣c+d+e+f和a﹣b﹣c﹣d﹣e﹣f，兩式子相加可得2a﹣6b﹣2c，兩式相加的結(jié)果為0．故選：C．二、填空題：本大題共有8個(gè)小題，每小題4分，共32分.請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）＝3+．【解答】解：＝4+﹣1＝4+，故答案為：3+．12．（4分）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和恰好是其外角和的4倍，則該正多邊形的每一個(gè)外角是36°．【解答】解：設(shè)這個(gè)正多邊形為正n邊形，由題意得，（n﹣2）×180°＝360°×4，解得n＝10，即這個(gè)正多邊形是正十邊形，所以它的每一個(gè)外角為，故答案為：36°．13．（4分）不透明袋子里有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，2個(gè)藍(lán)球（這些球除顏色外完全相同），抽取后不放回，則小明和小紅都沒有抽到藍(lán)球的概率為．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中小明和小紅都沒有抽到藍(lán)球的結(jié)果有2種，∴小明和小紅都沒有抽到藍(lán)球的概率為＝．14．（4分）“閱百十風(fēng)華，致生涯廣大”——附中將迎來辦學(xué)110周年系列慶?；顒?dòng)，文創(chuàng)產(chǎn)品深受校友們的喜愛，2月份銷售數(shù)量是1700把，4月份銷售數(shù)量是2871把，根據(jù)題意，可列方程為1700（1+x）2＝2871．【解答】解：設(shè)3、4月份“煙雨傘”銷售數(shù)量的月平均增長率為x1700（6+x）2＝2871，故答案為：1700（1+x）8＝2871．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以點(diǎn)B為圓心，線段BA的長為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)E．若AB＝2，則圖中陰影部分面積為+.（結(jié)果保留π）【解答】解：如圖，連接BD，∵∠BAC＝60°，AB＝BD，∴△ABD是正三角形，∴AB＝BD＝AD＝2，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣60°＝30°，∴S陰影部分＝S△ABD+S扇形BDE＝×2×（＝+．故答案為：+．16．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則EF的長為.【解答】解：∵CE平分∠ACB，∴E到BC、AC的距離相等，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，DC∥AB，∵AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10，∵△ABC的面積＝△ACE的面積+△BCE的面積，∴AB?BC＝AC?x＝，∴6×8＝16x，∴x＝4，∵EB⊥BC，∴BC＝x＝3，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣3＝5，∴DE＝＝，∵AE∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴FE：FD＝AE：CD，∴EF：（﹣EF）＝5：8，∴EF＝．故答案為：．17．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組有解且至多有5個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是4．【解答】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤a，∴不等式組的解集為﹣5＜x≤a，∵關(guān)于x的一元一次不等式組有解且至多有5個(gè)整數(shù)解，∴﹣3＜a≤3，，，3y﹣a+y﹣4＝y(tǒng)﹣1，8y+y﹣y＝4﹣1+a8y＝3+a，，∵關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，∴，即4+a＝0或2或4或6…，解得：a＝﹣3或﹣4或1或3…，∵y﹣8≠0，∴3+a≠8，∴a≠﹣1，∴滿足條件的整式a的值為：3或3，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是：3+1＝6，故答案為：4．18．（4分）如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，并且滿足a+d＝，因?yàn)?+7＝12，所以5127是“加和數(shù)”，因?yàn)?+8≠23，所以6238不是“加和數(shù)”．若M是“加和數(shù)”（M）＝a﹣b+c﹣d，若F（M），則d﹣c＝4；記，若“加和數(shù)”能被7整除（M）的和為．【解答】解：∵a+d＝，∴b＝1，a+d＝10+c，∴c﹣d＝a﹣10，∵F（M）＝a﹣b+c﹣d＝a﹣1+a﹣10＝6a﹣11是一個(gè)完全平方數(shù)，且1≤a≤9，∴﹣5≤2a﹣11≤7，∴5a﹣11＝0，1，2，∵a是整數(shù)，∴a＝6，∴d﹣c＝10﹣a＝4；＝＝＝144c﹣143d+1443+∵9≤2c+8d﹣1≤33，∴2c+7d﹣1＝14（舍），21，35（舍），∴c+d＝11，∴，，（舍），，∴M＝3129，5138，∴P（M）＝21++＝．三、解答題：本大題共8小題，共78分.解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，請將解答過程寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（8分）計(jì)算：（1）（x+y）2﹣x（x+2y）；（2）．【解答】解：（1）（x+y）2﹣x（x+2y）＝x6+y2+2xy﹣x4﹣2xy＝y(tǒng)2；（2）＝（﹣）?＝?＝﹣．20．（10分）某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了正方形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)：正方形對角線上任意一點(diǎn)與正方形其他兩個(gè)頂點(diǎn)相連形成的線段一定相等．該學(xué)習(xí)小組進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：若過該點(diǎn)作其中一條線段的垂線與正方形的兩邊相交形成的較長線段和前面形成的兩條線段也有關(guān)系．請根據(jù)下列探究思路完成作圖和填空：（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)E作EF⊥AE，分別交邊AD、BC于點(diǎn)G、F．（2）已知：在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線BD上一點(diǎn)，EF⊥AE證明：∵四邊形ABCD是正方形∴BD平分∠ADC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝CD．∴∠ADE＝∠CFE．在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE（SAS）．∴∠DAE＝∠DCE，AE＝CE，又∵∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE∴∠BAE＝∠BCE，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°．∵∠ABF+∠BFE+∠FEA+∠BAE＝360°，且∠ABF+∠FEA＝90°+90°＝180°∴∠BAE+∠BFE＝180°∵∠BFE+∠EFC＝180°，∴∠EFC＝∠BAE．∴∠ECF＝∠EFC．∴EF＝EC＝AE．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴BD平分∠ADC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°．∴∠ADE＝∠CFE，在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE（SAS）．∴∠DAE＝∠DCE，AE＝CE，又∵∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE∴∠BAE＝∠BCE，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∵∠ABF+∠BFE+∠FEA+∠BAE＝360°，且∠ABF+∠FEA＝90°+90°＝180°∴∠BAE+∠BFE＝180°∵∠BFE+∠EFC＝180°，∴∠EFC＝∠BAE．∴∠ECF＝∠EFC，∴EF＝EC＝AE．故答案為：∠ADE＝∠CFE，∠AEF＝90°，∠ECF＝∠EFC．21．（10分）我校開展了“傳統(tǒng)節(jié)日”的知識競答活動(dòng)，初2024屆800名學(xué)生參與了此次競答活動(dòng)（滿分：50分）．答題完成后，對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（成績得分用x表示，其中A：0≤x≤42，B：42＜x≤44，C：44＜x≤46，D：46＜x≤48，E：48＜x≤50），并給出了下列信息：1班E等級同學(xué)的競答成績統(tǒng)計(jì)如下：50，49，50，49，50，50，502班D等級同學(xué)的競答成績統(tǒng)計(jì)如下：47，48，48，48，48．1、2兩班抽取的學(xué)生的競答成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)1班47.548.5c2班47.5b49（1）根據(jù)以上信息可以求出：a＝30，b＝48，c＝50；（2）你認(rèn)為1、2兩個(gè)班哪個(gè)班的學(xué)生知識競答成績較好，請說明理由（理由寫出一條即可）；（3）若規(guī)定49分及以上為優(yōu)秀，請估計(jì)該校參加此次知識競答活動(dòng)的所有學(xué)生中優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？【解答】解：（1）由題意得，a%＝1﹣5%﹣4%﹣15%﹣45%＝30%；把2班20個(gè)學(xué)生的競答成績從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是48，故中位數(shù)b＝；6班20個(gè)學(xué)生的競答成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的是50，故眾數(shù)c＝50．故答案為：30，48；（2）1班的學(xué)生知識競答成績較好，理由如下：因?yàn)閮蓚€(gè)班的平均數(shù)相同，但1班的中位數(shù)比4班中位數(shù)和眾數(shù)都比2班高；（3）（+45%）÷2＝47.2%，800×47.5%＝380（人），答：該校參加此次知識競答活動(dòng)的所有學(xué)生中優(yōu)秀的學(xué)生大約有380人．22．（10分）去年寒假，哈爾濱成為了全國的熱門旅游城市，滑雪運(yùn)動(dòng)也漸漸成為了市民們冬季運(yùn)動(dòng)的首選，可分為半盔型和全盔型兩種．某滑雪裝備專賣店第一次購進(jìn)了半盔型和全盔型共20個(gè)，半盔型進(jìn)價(jià)是180元，半盔型售價(jià)為230元，全盔型售價(jià)為250元．（1）若該店第一次購買兩種頭盔共花了3840元，則購買半盔型和全盔型各多少個(gè)？（2）第一批頭盔銷量不錯(cuò)，該店又購進(jìn)一批，第二批兩種頭盔的進(jìn)價(jià)不變．半盔型售價(jià)在第一次的基礎(chǔ)上漲了元，結(jié)果半盔型獲得265元的利潤和全盔型獲得190元的利潤時(shí)售賣數(shù)量相同，求m的值．【解答】解：（1）設(shè)購買半盔型x個(gè)，全盔型y個(gè)，由題意得：，解得：，答：購買半盔型12個(gè)，全盔型8個(gè)；（2）由題意得：＝，解得：m＝2，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝7是原方程的解，答：m的值為2．23．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，沿折線A→B→D方向以每秒1個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D處停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）當(dāng)△BCP的面積超過3時(shí)，直接寫出x的取值范圍．（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，∴BD＝＝5，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，∵AP＝x，∴BP＝3﹣x，∴y＝＝＝6﹣2x，當(dāng)3＜x≤8時(shí)，如圖，∴PH∥CD，∴△BPH∽△BDC，∴，∴，∴PH＝，∴y＝BC?PH＝×＝，綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝；（2）如圖所示，即為所求；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)3＜x≤5時(shí)；（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)△BCP的面積超過3時(shí)．24．（10分）“辦學(xué)110周年慶祝活動(dòng)”籌備小組為了更好的服務(wù)校友們，特繪制了校園地圖．學(xué)校大門在點(diǎn)A處，格致樓B在學(xué)校大門的北偏西60°方向相距100米處，萬象樓D在學(xué)校大門A的正北方向80米處，在操場E的西南方向，在學(xué)校大門A的北偏東30°方向．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求DE的長度；（結(jié)果精確到1米）（2）籌備組初步擬定校慶活動(dòng)方案，校友們先在志愿者帶領(lǐng)下參觀校園，最后在操場匯合，線路一：沿A﹣B﹣C﹣E，速度預(yù)計(jì)為30米/分鐘，速度預(yù)計(jì)為20米/分鐘，若兩條線路的校友同時(shí)出發(fā)（結(jié)果精確到0.1分）【解答】解：（1）延長AD交CE于點(diǎn)F，由題意得：AF⊥CE，設(shè)EF＝x米，在Rt△DEF中，∠FED＝45°，∴DF＝EF?tan45°＝x（米），在Rt△AEF中，∠FAE＝30°，∴AF＝＝＝x（米），∵AF﹣DF＝AD，∴x﹣x＝80，解得：x＝40+40，∴EF＝DF＝（40+40）米，∴DE＝＝＝40≈154（米），∴DE的長度約為154米；（2）過點(diǎn)B作BG⊥AD，垂足為G，由題意得：BG＝CF，BC＝GF，在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，∴BG＝AB?cos60°＝100×＝50（米），AG＝AB?sin60°＝100×＝50，∴CF＝BG＝50米，∴BC＝FG＝AD+DF﹣AG＝80+40+40﹣50＝（70+40，∴線路一需要的時(shí)間＝＝≈14.5（分），線路二需要的時(shí)間＝＝≈11.7（分），∵11.2分＜14.5分，∴線路二的校友先到操場．25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3過點(diǎn)（2，5），交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥y軸交AC于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將原拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線y'，新拋物線y'與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)N，使得∠TNB+∠OBC＝90°？若存在，則直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo)，則說明理由．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+6x﹣3；（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)A、B，0），5），﹣3），則直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，設(shè)點(diǎn)D（x，﹣x﹣2），x2+2x﹣2），則PD＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣5x，由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得，tan∠OCB＝，∵PD∥y，PE∥BC，則∠EPD＝∠BCO，∠PDE＝∠ACO＝45°，則tan∠EPD＝，過點(diǎn)E作EH⊥PD于點(diǎn)H，設(shè)EH＝x＝DH，則PH＝3x，則PE＝x，而PD＝DH+PH＝7x，則x＝，則PE＝x＝，則＝PD＝5﹣3x），∵﹣＜0，故存在最大值為，此時(shí)x＝﹣，點(diǎn)P（﹣，﹣）；（3）存在，理由：原拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線y'，則平移后的拋物線的表達(dá)式為：y′＝（x﹣8）2+2（x﹣2）﹣3+3＝x8﹣1，