第七章 平面圖形的認(rèn)識（二）單元測試卷（解析版）

2022-2023學(xué)年第二學(xué)期七年級下冊第七章單元測試卷姓名班級得分一．選擇題（共8小題）1．如圖，與∠1成同位角的角共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角，由此即可判斷．【解答】解：與∠1成同位角的角有∠DAB，∠EBH，∠FGH，共3個，故選：C．2．在下列長度的各組線段中，能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，3，6 D．3，4，5【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷，兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．【解答】解：A、1+2＝3，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、2+3＜6，不能組成三角形，故此選不項(xiàng)符合題意；C、3+3＝6，不能組成三角形，故此選不項(xiàng)符合題意；D、4+3＞5，能組成三角形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．3．過多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將這個多邊形分成8個三角形，這個多邊形的邊數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】n邊形從一個頂點(diǎn)引出的對角線把n邊形分成（n﹣2）個三角形，由此即可得到答案．【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，由題意得：n﹣2＝8，∴n＝10，故選：C．4．下列說法錯誤的是（）A．AB∥CD，EF∥CD，則AB∥EF B．平行于同一條直線的兩條直線互相平行 C．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 D．同一平面內(nèi)，若一條直線與兩平行線中的一條相交，那么它也和另一條相交【分析】根據(jù)平行公理及推論、平行線的判定與性質(zhì)解答即可得解．【解答】解：根據(jù)平行公理的推論，平行于同一條直線的兩條直線平行，故A說法正確，不符合題意；根據(jù)平行公理的推論，平行于同一條直線的兩條直線平行，故B說法正確，不符合題意；根據(jù)平行公理知，經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故C說法錯誤，符合題意；在同一平面內(nèi)，若一條直線與兩平行線中的一條相交，那么它也和另一條相交，故D說法正確，不符合題意；故選：C．5．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則∠A＝（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，即可解得∠A的度數(shù)．【解答】解：∵三角形的內(nèi)角和為180°∴∠A+∠B+∠C＝180°∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3∴∠故答案為：A．6．如圖，在七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線相交于點(diǎn)O，若圖中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和為230°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°【分析】根據(jù)外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五邊形內(nèi)角和可求得五邊形OAGFE的內(nèi)角和，則可求得∠BOD．【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為230°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+230°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝490°，∵五邊形OAGFE內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣490°＝50°，故選：C．7．如圖，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分線，BD和CD是△ABC兩個外角的平分線，D、C、H三點(diǎn)在一條直線上，下列結(jié)論中：①DB⊥BH；②∠D=90°-12∠A；③DH∥AB；④∠H=1A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【分析】①根據(jù)BH、BD是∠ABC與∠CBE的平分線，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得①正確；②根據(jù)BD和CD是△ABC兩個外角的平分線，可得∠D=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)，可得②正確；③根據(jù)∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正確；④根據(jù)∠D=90°-12∠A，∠DBH=90°，可得④正確；⑤根據(jù)∠ABC+∠CBE＝180【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC與∠CBE的平分線，∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，∴DB⊥BH，故①正確；②∵BD和CD是△ABC兩個外角的平分線，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°-=180°-=1=1=90°-12③∵∠A＝∠ABC，∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，∵CD是∠BCF的平分線，∴∠BCD=∴DH∥AB，故③正確；④∵∠D=90∴∠H=90°-∠D=⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，∴∠CBD=∵∠A＝∠ABC，∴∠CBD=90∵∠D=90∴∠CBD＝∠D，故⑤正確．綜上所述，正確的有①②③④⑤．故選：D．8．如圖，已知射線OP∥AE，∠A＝α，依次作出∠AOP的角平分線OB，∠BOP的角平分線OB1，∠B1OP的角平分線OB2，…，∠Bn﹣1OP的角平分線OBn，其中點(diǎn)B，B1，B2，…，Bn都在射線AE上，則∠ABnO的度數(shù)為（）A．180°-α2n B．C．180°-α2n+1 D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到規(guī)律，即可求得∠ABnO的度數(shù)．【解答】解：由圖形可知，∠ABO=12（180°﹣α），∠AB1O=12（180°﹣∠OBB1）=12∠ABO=14（180°﹣α），∠AB則∠ABnO=180°-α故選：C．二．填空題（共8小題）9．如圖，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，則∠ADE＝60°．【分析】直接利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠ADB＝∠BDE，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB＝∠BDE=12∠∵∠B＝30°，∴∠ADB＝∠BDE＝30°，則∠ADE的度數(shù)為：60°．故答案為：60°．10．一個n邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，則n＝6．【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式180°（n﹣2）和外角和為360°可得方程180°（n﹣2）＝360×2，再解方程即可．【解答】解：由題意得：（n﹣2）×180°＝360°×2，解得：n＝6，故答案為：6．11．如圖，直線l∥m，∠1＝45°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)為80°．【分析】反向延長∠3的一邊與直線m相交，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2＝∠4，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠3＝∠1+∠4，以此即可求解．【解答】解：如圖，反向延長∠3的一邊與直線m相交，∵直線l∥m，∠1＝45°，∠2＝35°，∴∠2＝∠4＝35°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，∠3＝∠1+∠4＝45°+35°＝80°．故答案為：80°．12．一個多邊形剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2700°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為16，17或18．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式先求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個角的情況進(jìn)行討論．【解答】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°＝2700°，解得n＝17，①若截去一個角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為16，②若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為17，③若截去一個角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為18，所以多邊形的邊數(shù)可以為16，17或18．故答案為：16，17或18．13．如圖，已知三角形ABC中，∠ABC＝90°，邊BC＝6，把三角形ABC沿射線AB方向平移至三角形DEF后，平移距離為2，GC＝3，則圖中陰影部分的面積為9．【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)和梯形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵把三角形ABC沿射線AB方向平移至三角形DEF后，平移距離為2，∠ABC＝90°，邊BC＝6，∴EF＝BC＝6，BE＝2，∵GC＝3，∴BG＝3，∴圖中陰影部分的面積=12×（3+6）×2故答案為：9．14．如圖由內(nèi)角分別相等的四邊形、五邊形、六邊形組合而成的圖形中，∠1＝30°，則∠2+∠3的度數(shù)為102度．【分析】由多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）定理，求出內(nèi)角分別相等的四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角度數(shù)即可求解．【解答】解：如圖：∵四邊形、五邊形、六邊形的各內(nèi)角相等，∴四邊形的每個內(nèi)角是90°，五邊形的每個內(nèi)角是108°，六邊形的每個內(nèi)角是120°，∴∠2+∠BAC＝90°，∠3+∠BCA＝90°，∠1+∠ABC＝360°﹣108°﹣120°＝132°，∵∠1＝30°，∴∠ABC＝132°﹣30°＝102°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣102°＝78°，∵∠2+∠BAC+∠3+∠BCA＝90°+90°＝180°，∴∠2+∠3＝180°﹣78°＝102°，故答案為：102．15．如圖a，已知長方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b，若∠DEF＝72°，則∠GMN＝72°．【分析】先根據(jù)∠DEF＝72°求出∠EFC的度數(shù)，進(jìn)可得出∠EFB和∠BFH的度數(shù)，根據(jù)∠H＝90°和三角形的內(nèi)角和可得∠HMF的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)可得∠GMN．【解答】解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折疊可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案為：72．16．如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線，若∠A1＝α，則∠A2021為α22020【分析】根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，可得∠A1=12∠A，∠A2=12【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=1又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴12（∠A+∠ABC）=12∠ABC+∠∴∠A1=12∠同理理可得∠A2=12∠A1，∠A3=12則∠A2021=122020∠A故答案為：α2三．解答題（共11小題）17．如圖，△ABC，△A1B1C1的頂點(diǎn)都在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格線交點(diǎn)上．（1）將△ABC向右平移4個單位得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2．（2）試描述△A1B1C1經(jīng)過怎樣的平移可得到△A2B2C2．【分析】（1）利用平移的性質(zhì)可畫出△A2B2C2；（2）根據(jù)平移的特征可得答案．【解答】解：（1）如圖，△A2B2C2即為所求；（2）將△A1B1C1向左平移2個單位，再向下平移4個單位可得到△A2B2C2．18．在正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點(diǎn)均在“格點(diǎn)”處．（1）在給定方格紙中，點(diǎn)B與點(diǎn)B'對應(yīng)，請畫出平移后的△A'B'C'；（2）線段AA'與線段CC'的關(guān)系是平行且相等；（3）求平移過程中，線段BC掃過的面積．【分析】（1）分別作出各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可；（2）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)即可而出結(jié)論；（3）根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求；（2）線段AA'與線段CC'平行且相等．故答案為：平行且相等；（3）線段BC掃過的面積＝S平行四邊形BCC′B′＝5×3＝15．19．如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，試說明：BE∥CF．完善下面的解答過程，并填寫理由或數(shù)學(xué)式：解：∵∠3＝∠4（已知）∴AE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠EDC＝∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠5＝∠A（已知）∴∠EDC＝∠A（等量代換）∴DC∥AB（同位角相等，兩直線平行）∴∠5+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）即∠5+∠2+∠3＝180°∵∠1＝∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代換）即∠BCF+∠3＝180°∴BE∥CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【分析】按照所給的證明思路，利用平行線的判定與性質(zhì)定理，完善證明過程即可．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），∴AE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠EDC＝∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝∠A（等量代換），∴DC∥AB（同位角相等，兩直線平行），∴∠5+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代換），即∠BCF+∠3＝180°，∴BE∥CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：BC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠A；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．20．如圖，AF分別與BD、CE交于點(diǎn)G、H，AC分別與BD、CE交于點(diǎn)B、C，DF分別與BD、CE交于點(diǎn)D、E，∠1＝55°．若∠A＝∠F，∠C＝∠D，求∠2的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【解答】解：∵∠A＝∠F，∴AC∥DF，∴∠C＝∠CEF，∵∠C＝∠D，∴∠CEF＝∠D，∴BD∥CE，∴∠1＝∠AHC＝55°，∴∠2＝180°﹣∠AHC＝125°．21．如圖，AB∥CD，連結(jié)CA并延長至點(diǎn)H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°．（1）求證AG∥CE；（2）若∠GAF＝120°，求∠AFC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AFC＝∠DCF，根據(jù)角平分線的定義可得∠ACF＝∠DCF，進(jìn)而得出∠AFC＝∠ACF，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ECH＝∠GAH，從而得出AG∥CE；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ECD＝∠GAF，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝40°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∵CF平分∠ACD，∴∠AFC＝∠ACF，∴∠AFC＝∠ACF，又∵CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°，∴∠ECH＝∠GAH，∴AG∥CE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠GAF＝120°，又∵CE⊥CF，∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝120°﹣90°＝30°，∴∠AFC＝∠DCF＝30°．22．如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠ABC的角平分線與外角∠EAC的角平分線交于點(diǎn)D．（1）求證：AD∥BC；（2）若∠BAC＝36°，求∠ADB的度數(shù)．【分析】（1）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的概念得到∠B+∠C＝∠CAD+∠EAD，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的概念得到∠C＝∠CAD，最后根據(jù)平行線的判定定理求解即可；（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠C＝72°，然后根據(jù)角平分線的概念得到∠CBD＝36°，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠CAD+∠EAD+∠BAC＝180°，∴∠B+∠C＝∠CAD+∠EAD，∵∠ABC＝∠C，∠CAD＝∠EAD，∴∠C＝∠CAD，∴AD∥BC；（2）解：∵∠BAC＝36°，∴∠ABC=∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD＝36°．23．如圖，AD為△ABC的高，AE，BF為△ABC的角平分線，若∠CBF＝32°，∠AFB＝72°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）若點(diǎn)G為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)△GFC為直角三角形時，求∠BFG的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，求出∠BAE即可解決問題．（2）分兩種情況：①當(dāng)∠FGC＝90°時．②當(dāng)∠GFC＝90°時，分別求解即可．【解答】解：（1）∵∠AFB＝∠FBC+∠C，∴∠C＝72°﹣32°＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣64°﹣40°＝76°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝38°﹣26°＝12°．（2）分兩種情況：①當(dāng)∠FGC＝90°時，則∠BGF＝90°，∴∠BFG＝90°﹣∠FBC＝90°﹣32°＝58°；②當(dāng)∠GFC＝90°時，則∠FGC＝90°﹣40°＝50°，∴∠BFG＝∠FGC﹣∠EBF＝50°﹣32°＝18°；綜上所述：∠BFG的度數(shù)為58°或18°．24．綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，若∠A＝50°，則∠BPC＝115°．（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC的度數(shù)（用α表示∠BEC）．（3）如圖3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．試確定∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）由角平分線得出∠ECB=12∠ACB，∠EBD=12∠ABD．由三角形外角的性質(zhì)知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根據(jù)∠EBD=12∠ABD=12（∠A+（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠QBC與∠QCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）∵PB、PC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12（180°﹣∠＝180°﹣90°+12＝90°+12＝90+＝115°．故答案為：115°；（2）∵BE是∠ABD的平分線，CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=12∠ACB，∠EBD=1∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠∴∠BEC=12∠A=（3）結(jié)論：∠BQC＝90°-12∠理由如下：∵∠CBM與∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分別是∠ABC與∠ACB外角的平分線，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，＝180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A＝180°-12∠A-12（∠A+∠ABC＝180°-12∠A﹣＝90°-12∠25．【學(xué)科融合】物理學(xué)光的反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角等于反射角．這就是光的反射定律．【問題解決】（1）利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖1是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡．已知光線經(jīng)過平面鏡反射時，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線EF為什么和離開潛望鏡的光線GH是平行的？（請把證明過程補(bǔ)充完整）理由：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠EFG＝∠FGH．∴EF∥GH（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【嘗試探究】（2）如圖2，改變兩平面鏡AB、CD之間的位置，若鏡子AB與BC的夾角∠ABC＝α，經(jīng)過兩次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光線EF與反射光線GH平行但方向相反．求α的度數(shù)．【拓展應(yīng)用】（3）兩塊平面鏡AB，BC，且∠ABC＝α，入射光線EF經(jīng)過兩次反射，得到反射光線GH，如圖3，光線EF與GH相交于點(diǎn)O，請直接寫∠FOG的度數(shù)（結(jié)果用含α的式子表示）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2＝∠3，由已知條件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，由角的和差關(guān)系可得∠EFG＝∠FGH，根據(jù)平行線的判定定理可得結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠FEG+∠EGH＝180°，根據(jù)平角的定義得出∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝180°+180°＝360°，進(jìn)而得到∠2+∠3＝90°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得解；（3）根據(jù)∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝180°﹣α，得出∠1+∠4＝180°﹣α，根據(jù)∠1+∠2+∠EFG+∠3+∠4+∠FGH＝180°+180°＝360°，證得∠EFG+∠FGH＝2α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠FOG＝180°﹣2α．【解答】解：（1）潛望鏡的光線EF和離開潛望鏡的光線GH是平行的，理由：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠EFG＝∠FGH，∴EF∥GH（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；故答案為：∠2＝∠3；∠EFG＝∠FGH；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）∵EF∥GH，∴∠FEG+∠EGH＝180°，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2（∠2+∠3）＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠ABC+∠2+∠3＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°，即α＝90°；（3）∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝180°﹣α，∴∠1+∠4＝180°﹣α，∵∠1+∠2+∠EFG+∠3+∠4+∠FGH＝180°+180°＝360°，∴∠EFG+∠FGH＝2α，∵∠EFG+∠FGH+∠FOG＝180°，∴∠FOG＝180°﹣2α．26．已知直線AB∥CD，點(diǎn)P，Q分別在直線AB，CD上．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB，CD之間時，連接PE，QE．探究∠PEQ與∠BPE+∠DQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在①的條件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交點(diǎn)為F．求∠PFQ與∠BPE+∠DQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB，CD的下方時，連接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延長線交PF于點(diǎn)F．若∠E＝40°時，求∠F的度數(shù)．【分析】（1）過點(diǎn)E作EM∥AB，則∠BPE＝∠PEM，EM∥CD，進(jìn)而得出∠DQE＝∠QEM，即可得出結(jié)論；（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF＝∠PFQ，根據(jù)角平分線的定義得出∠BPF=（3）過點(diǎn)E作EN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CQE＝220°﹣∠BPE，同（1）∠F=【解答】解：（1）∠PEQ＝∠BPE+∠DQE，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)E作EM∥AB，∴∠BPE＝∠PEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠DQE＝∠QEM，∴∠PEQ＝∠PEM+∠QEM＝∠BPE+∠DQE，即∠PEQ＝∠BPE+∠DQE；（2）∠PFQ=理由如下：∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，∴∠BPF=由（1）可知∠PEQ＝∠BPE+∠DQE，同理可得∠BPF+∠DQF＝∠PFQ，∴∠PFQ=即∠PFQ=（3）如