江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知向量a=(L2)力=(-2,3),則a2=

A.2B.4C.6D.8

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+1=(2+i)z，則|z|=

A.-B.-C.lD.V2

22

3.已知集合A={x|ln羲0},8={x|2*2}，則“xGA”是"xe6”的

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

—X2—2x尤<0

4.己知/(x)=''，則不等式/(%)<2的解集是

log2(x+l),x.O

A.(-oo,2)B.(-OO,3)C.[0,3)D.(3,+8)

5.在三棱錐A-BCD中,A5，平面BCD,AB=?BC=BD=CD=2,E,F分別為AC,CD的中點(diǎn),則下列

結(jié)論正確的是

A.AF,BE是異面直線,AF±BEB.AF,BE是相交直線;AF±BE

C.AF,BE是異面直線,AF與BE不垂直D.AF,BE是相交直線,與BE不垂直

TI

6.已知2cos12%+-^-jcosfx一cos3%則sin1-2x

124

1177

A.-B.一一C.一D.——

2288

7.已知雙曲線C:鼻―[=1(?！?/〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為公,耳,雙曲線的右支上有一點(diǎn)A,AFt與雙曲線

ab

IT

的左支交于B，線段A"的中點(diǎn)為M，且滿足BM±4耳,若/4A8=9，則雙曲線C的離心率為

A.A/3B.V5C.V6D.#i

8.校足球社團(tuán)為學(xué)校足球比賽設(shè)計(jì)了一個(gè)獎(jiǎng)杯，如圖，獎(jiǎng)杯的設(shè)計(jì)思路是將側(cè)棱長為6的正三棱錐尸-ABC的三

個(gè)側(cè)面沿A8,BC,AC展開得到面PXAB,P2BC,,使得平面P{AB,P2BC,P3AC均與平面ABC垂直,再將球0

放到上面使得品鳥,鳥三個(gè)點(diǎn)在球0的表面上，若獎(jiǎng)杯的總高度為6豆，且A6=4，則球0的表面積為

1

APJAPi

AXT-\l--

B

1404100萬98萬324

A.--------B.--------C.------D.------

3993

二、選擇題:本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.為了解中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校的課題組分別隨機(jī)抽取了本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得

到如下兩個(gè)表格：

喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性15520

女性81220

合計(jì)231740

甲校樣本

喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性7030100

女性4555100

合計(jì)11585200

乙校樣本

則下列判斷中正確的是

A.樣本中，甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例

B.樣本中，甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例

C.根據(jù)甲校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

D.根據(jù)乙校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

(參考公式及數(shù)據(jù):Z2=---------m52--------,n^a+b+c+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

10.已知f(x)=x+acosx(a#0),則下列說法中正確的是

A./(x)在R上可能單調(diào)遞減B.若/(%)在R上單調(diào)遞增，則ae[-1,0)o(0,l]

2

是/（%）的一個(gè)對(duì)稱中心D./（x）所有的對(duì)稱中心在同一條直線上

11.已知||=4,M為AB上一點(diǎn)，且滿足AM=3M反動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|=21|,。為線段BC上一點(diǎn)，滿足

ICD|=|DM|,則下列說法中正確的是

A.若則。為線段BC的中點(diǎn)B.當(dāng)AC=3時(shí)，A3C的面積為巫

4

C.點(diǎn)。到A,B距離之和的最大值為5D.ZMCB的正切值的最大值為，

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.it.-ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,A,c,若asin3=2bcosA,則tanA=.

13.一次知識(shí)競賽中，共有A8,C2E5個(gè)題，參賽人每次從中抽出一個(gè)題回答（抽后不放回）.已知參賽人甲A題

311

答對(duì)的概率為一,B題答對(duì)的概率為一,C,E題答對(duì)的概率均為一,則甲前3個(gè)題全答對(duì)的概率為

442

14.如圖，有一張較大的矩形紙片ABCD,O,O,分別為AB,8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在0?！?|OP|=2.將矩形按圖示方

式折疊，使直線（被折起的部分）尸點(diǎn)，記AB上與P點(diǎn)重合的點(diǎn)為M，折痕為I.過點(diǎn)M再折一條與BC平行的

折痕m，并與折痕I交于點(diǎn)。，按上述方法多次折疊,Q點(diǎn)的軌跡形成曲線E.曲線E在。點(diǎn)處的切線與AB交于

點(diǎn)N，則.PQN的面積的最小值為.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,且滿足q=1,g=3,%+6+2=左4+1.

（1）當(dāng)k=2時(shí)，求I。；

⑵若左=|■，設(shè)2=an+i-2a”,求［bn］的通項(xiàng)公式.

16.（15分）一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時(shí)，生產(chǎn)的電阻阻值X（單位:Q）服從正態(tài)分布N0OOO,5?）.

3

（1）生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取2只,求這兩只電阻的阻值在區(qū)間（995,1000]和（1005,1010]

內(nèi)各一只的概率;（精確到0.001）

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，從服從正態(tài)分布N.,靖的總體中抽取容量為〃的樣本，則這個(gè)樣本的平均數(shù)服從正態(tài)

C2\

分布N一.某時(shí)刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取5只電阻，測得阻值分別為:1000,1007,1012,1013,1013（單位:。）.

InJ

你認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎?說明理由.（參考數(shù)據(jù):若乂~N（M,b2）,則

尸（〃一cr<X,,〃+O■卜0.6826,尸（〃一2。<X強(qiáng)必+2a）?0.9544,尸（〃一3b<X〃+3a）?0.9974.）

17.（15分）已知橢圓C:，+：=1（?！?〉0）經(jīng)過點(diǎn)為橢圓C的右頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OPE

的面積為1

2

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)￡>（-1,0）作直線/與橢圓C交于A,B,A關(guān)于原點(diǎn)0的對(duì)稱點(diǎn)為C,若|BA|=||,求直線AB的斜率.

18.（17分）已知/（%）=一x"（x〉0,a〉0且aH1）.

⑴當(dāng)a=e時(shí)，求證：/（X）在（e,+8）上單調(diào)遞增；

（2）設(shè)a>e,已知Vxe—lna,+oo，有不等式了（%）..0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

_2y

19.（17分）如圖所示，用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面,得到的幾何體稱之為“斜截

圓柱”.圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱是底面圓。的直徑,AB=2BC=2，橢圓所在平面垂直于平面

ABC2且與底面所成二面角為45°,圖一中，點(diǎn)尸是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在底面上的投影為點(diǎn)A,圖二中，橢圓上的

點(diǎn)與。=1,2,3,…，附）在底面上的投影分別為白，且耳均在直徑AB的同一側(cè).

4

DD

27r

⑴當(dāng)=-y時(shí)，求PPX的長度；

（2）⑴當(dāng)〃=6時(shí)，若圖二中，點(diǎn)斗月，…，心將半圓均分成7等份，求（4月—2）?（與月一2＞（4片-2）;

(ii)證明:A4.鳥耳+叫-E2F2++Fn_xFn-EnFn+FnBBC<27i.

2024年MAH第二次模擬測試

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見

一、單項(xiàng)選擇題:共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題

目要求的.

題號(hào)12345678

答案BBABADDC

二、多項(xiàng)選擇題:共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

題號(hào)91011

答案ADBCDACD

三、填空題:共3小題,每小題5分，共15分.

四、解答題:共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】（1）當(dāng)左=2時(shí),｛《｝為等差數(shù)列,

因?yàn)?=1,g=3，所以d=?—=2,........................................................................2分

10x9

所以Sio=lxlO+p—x2=100.....................................................................................6分

5

5

(2)由已知,a“+2=54+1—4,

所以%+2—2?！?1=ga“+i—an=1(tz?+1-2a“)，即bn+i=；b“,..........................10分

且4=g—2囚=1,所以｛2｝是以1為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列，

所“心T........................................................分

16.【解析】(1)〃=1000,b=5,生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取1只，則這只電阻阻值在

(995,1000］和在(1005,1010］的概率分別為：

Pi=；P(jU-cr<X</7+cr)~0.3413,......................................2分

Pz=；［P(〃-2cr<X<〃+2cr)—P(〃—cr<X<//+cr)］?0.1359,..............4分

因此所求概率為:p=2p［p］x0.093；.................................................7分

(2)生產(chǎn)正常時(shí)，這5個(gè)樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布N(1000,?),......................8分

記。=百，計(jì)算可得元=1009,.....................................................10分

這時(shí)1009>1000+36，即無>〃+3b,

小概率事件發(fā)生了，因此認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)不正常..................................15分

17.【解析】⑴因?yàn)?，OPE的面積為4，

則有［xax中=中,解得。=2,.............................................2分

222

(

又因?yàn)镋1,—在橢圓C上，則一+三=1,解得6=1..............................4分

(2J44b2

x2,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+丁=1；..................................................6分

4

⑵因?yàn)閨BA|=|BC|。為AC的中點(diǎn)，所以Q4LO5,設(shè)4(七,%),5(%,%)，

尤2+4丫2=4

設(shè)直線的方程x=my-l，并與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，可得\,

x=my—1

消去x得(H?+4)y2—2沖—3=0,

6

2m-3八

則有％+%=，..................................................9分

m+4-m+4

因?yàn)椤?_L03,則有OAOB=0,則XjX2+%%=0，

即(機(jī)2+1)%%-加(％+%)+1=°，.............................................12分

m+l)x—；-----mx—；----FI=0,

\'w+4w+4

I—4m2I

即一o--=0，解得m=±—,....................................................14分

"+42

所以直線AB的斜率為±2.........................................................15分

18.【解析】⑴當(dāng)a=e吐/(x)=e*—

則/'(九)=e，—e￡T=e(exT—%e-i),................................................i分

令/'(x)〉0,則e-i>/-I,兩邊取對(duì)數(shù)得x-l>(e-l)lnx.

P—1P—11

設(shè)g(x)=%_l_(e_l)ln%(x>e)人!|ga)=l----->1-----=->0,

xee

所以g(x)在(e,+8)單調(diào)遞增,.........................................................4分

所以％￡(e,+oo)時(shí)g(%)>g(e)=0,即%￡(e,+oo)時(shí),％-1>(e-l)ln%,

所以xe(e,+oo)時(shí)e*T>，即/'。)〉0,..........................................6分

所以/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞增.

⑵法一:/(x)20=>a'>xa，兩邊取對(duì)數(shù)得:xlna之a(chǎn)lnx,

即皿〈四

.......................................................8分

xa

Inx心2

設(shè)/九)二—，則問題即為:當(dāng)x>—Ina時(shí),/z(九)</z(〃)恒成立.

x2

只需％N時(shí),/z(x)111ax<"(〃).

/z(x)=-一令"(%)=0得x=e,

x

當(dāng)0<尤ve時(shí),〃'(九)〉0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>6時(shí),h(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.

222

又因?yàn)閍>e,則萬eIna>fe>e,所以e時(shí),/z(%)單調(diào)遞減,

7

e22

<e)

所以％2耳In〃時(shí),/z(x)max=h-Ina<h(a),

12)

22

所以e一Ina>a,即In。2—..............................................12分

2e2

212

設(shè)0(x)=lnx--?x(x>e)，貝!J0(x)=----y,

exe

22

當(dāng)e<x<]e■時(shí),e(x)>0,^(x)單調(diào)遞增;當(dāng)天〉萬e時(shí),e(x)<0,9(x)單調(diào)遞減，

22

e2e

所以0(X)max=ln-———>lne-l=0,

2e22

當(dāng)x=e時(shí),/(e)=Ine——？,e=l——>0;x->+oo時(shí),(p(x)<0,

ee

(2^

所以>(冗)的圖象與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)為e七,

I2)

因?yàn)橄?。2)=0,所以玉二。2；

所以當(dāng)%>6時(shí),9(%)>0<?e<x<e2,

即當(dāng)a>e時(shí),不等式ln<2>--6Z<^>e<6i<e2,

e

e2一、

所以當(dāng)不等式/(%)>0在％>—\na(a>e)恒成立時(shí),e<<e92...................17分

法二:7(x)202x”,兩邊取對(duì)數(shù)得:xina>alnx,即—<—...............8分

xa

設(shè)/z(x)=電二/z(%)=-一^^，令/⑴=0得x=e,

xx

當(dāng)X>6時(shí),/(%)<0,/z(x)單調(diào)遞減...............10分

ee

又因?yàn)閍>e,所以x2萬Ina25>e,/z(%)在(e,+oo)單調(diào)遞減，

InyIna「pz2、g7

由——<——，則〃<x在—ln?,+00恒成立，即aV—lna,.........................13分

xa22

上式等價(jià)于四2,=/

15分

aee

由/z(x)在(e,+00)單調(diào)遞減，所以e<aVe?....................................17分

8

19.【解析】(1)如圖，取CD中點(diǎn)M,過M作與該斜截圓柱的底面平行的平面，交D4于點(diǎn)G,交8c延長線于點(diǎn)A,

與PR交于點(diǎn)I，則OG=1,AG=2,過〃作G8的垂線，交圓M于人K兩點(diǎn).過/作IN1JK交JK于點(diǎn)、N,

又由0/，圓MJN為PN在圓〃所在平面的射影，由三垂線定理知PN，JK,所以ZPNI為橢圓面與圓M所

在平面的夾角，也即橢圓面與底面所成角，

所以ZPNI=45°.則一PNI為等腰直角三角形,PI=IN.

設(shè)ZAOP}=。，如圖作圓M所在平面的俯視圖，則ZGMI=0,

由GH，JK,W，JK,所以GW//W,則有=NGM=氏所以W=Mcos8=cos。，

27r27r3

所以必=/耳+/7=邛+W=2+35。,當(dāng)。=§時(shí),/^=2+85彳=5；...........................5分

所以4片=2+cosy