新高考數(shù)學二輪復習 函數(shù)與導數(shù)常見經(jīng)典壓軸小題歸類

專題06函數(shù)與導數(shù)常見經(jīng)典壓軸小題歸類

【目錄】

N▲題1研匍

考點一：函數(shù)零點問題之分段分析法模型.........................................................12

考點二：函數(shù)嵌套問題.........................................................................14

考點三：函數(shù)整頻問題.......................................................................17

考點四：唯一零點求值問題....................................................................20

考點五：等高線問題..........................................................................22

考點六：分段函數(shù)零點問題....................................................................25

考點七：函數(shù)對稱問題.........................................................................28

考點八：零點嵌套問題.........................................................................31

考點九：函數(shù)零點問題之三變量問題............................................................34

考點十：倍值函數(shù)............................................................................36

考點十一：函數(shù)不動點問題....................................................................38

考點十二：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題....................................................................40

考點十三：構(gòu)造函數(shù)解不等式...................................................................42

考點十四：導數(shù)中的距離問題...................................................................45

考點十五：導數(shù)的同構(gòu)思想....................................................................48

考點十六：不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法..........................................50

考點十七：三次函數(shù)問題.......................................................................53

考點十八：切線條數(shù)、公切線、切線重合與垂直問題..............................................56

考點十九：任意存在性問題....................................................................61

考點二十：雙參數(shù)最值問題....................................................................64

考點二十一：切線斜率與割線斜率..............................................................66

考點二十二：最大值的最小值問題(平口單峰函數(shù)、鉛錘距離)..................................68

考點二十三：兩邊夾問題和零點相同問題........................................................71

考點二十四：函數(shù)的伸縮變換問題..............................................................72

考點二十五：V型函數(shù)和平底函數(shù)...............................................................75

考點二十六：曼哈頓距離與折線距離............................................................77

有關(guān)函數(shù)與導數(shù)常見經(jīng)典壓軸小題的高考試題，考查重點是零點、不等式、恒成立等問題，通常與函數(shù)

性質(zhì)、解析式、圖像等均相關(guān)，需要考生具有邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算核心素養(yǎng).同時，對于實際問

題，需要考生具有數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模核心素養(yǎng).

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2023年H卷第11題，5分【命題預測】

零點2022年I卷第10題，5分預測2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，

2021年I卷第7題，5分也有可能會將其滲透在解答題的表達之

中，相對獨立.具體估計為：

不等式2021年II卷第16題，5分(1)導數(shù)的計算和幾何意義是高考命題

的熱點，多以選擇題、填空題形式考查，

難度較小.

2022年I卷第10題，5分(2)應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、

三次函數(shù)

2021年乙卷第12題，5分最值多在選擇題、填空題靠后的位置考

查，難度中等偏上，屬綜合性問題.

1、求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，

當出現(xiàn)了(/(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值；當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分

段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足

相應(yīng)段自變量的取值范圍.

2、含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理時首先要明確目標，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，

其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用(或者對函數(shù)圖象的影響).

3、含分段函數(shù)的不等式在處理上通常有兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對x進行分類討論將

不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解；另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖象的特點解不

等式.

4、分段函數(shù)零點的求解與判斷方法：

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成球函數(shù)值域的問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求

解.

5、動態(tài)二次函數(shù)中靜態(tài)的值：

解決這類問題主要考慮二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及式子變形，注意二次函數(shù)的系數(shù)、圖象的開口、對稱

軸是否存在不變的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象是否過定點，從而簡化解題.

6、動態(tài)二次函數(shù)零點個數(shù)和分布問題：

通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸交點的個數(shù)問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，通過對稱軸，根的

判別式，相應(yīng)區(qū)間端點函數(shù)值等來考慮.

7、求二次函數(shù)最值問題，應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，有三種常見類型：

(1)對稱軸變動，區(qū)間固定；

(2)對稱軸固定，區(qū)間變動；

(3)對稱軸變動，區(qū)間也變動.

這時要討論對稱軸何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外.討論的目的是確定對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，明

確函數(shù)的單調(diào)情況，從而確定函數(shù)的最值.

8、由于三次函數(shù)的導函數(shù)為我們最熟悉的二次函數(shù)，所以基本的研究思路是：借助導函數(shù)的圖象來

研究原函數(shù)的圖象.如借助導函數(shù)的正負研究原函數(shù)的單調(diào)性；借助導函數(shù)的(變號)零點研究原函數(shù)

的極值點(最值點)；綜合借助導函數(shù)的圖象畫出原函數(shù)的圖象并研究原函數(shù)的零點…

具體來說，對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(tz>0)>其導函數(shù)為r(x)=3ax2+2fer+c(a>0)>

根的判別式△=4伍?！?ac).

a>0

判別式A>0△=0A<0

11.X

\

/'(x)=3ax2+2bx+c/1

圖象N

伊L*Ak

1>

**t

增區(qū)間：

(-00,尤J,增區(qū)間：

f(x)=ax3+hx1+cx+d單調(diào)性增區(qū)間：卜-00,+00)

(%+8)；(-00,+00)

減區(qū)間：%2)

(2)當△》()時，尸(x)=0有兩根玉，x,,不妨設(shè)為<々，則不+々=一女，可得三次函數(shù)〃x)在

3a

(-00,X,)，(x2,+8)上為增函數(shù)，在(占，々)上為減函數(shù)，則辦，*2分別為三次函數(shù)

f(%)=ax3+bx2+cx+d的兩個不相等的極值點，那么：

①若〃為)?/優(yōu))>0,則/(x)有且只有1個零點；

②若/&)./(七)<0,則/(x)有3個零點；

③若"石)./(%)=0,則f(x)有2個零點?

特別地，若三次函數(shù)f(x)=o?+公2+5+"e>0)存在極值點毛，且〃/)=0,則“X)地解析式

為/(x)="(x-%f(x-m)?

同理，對于三次函數(shù)〃力=以3+灰2+5+“(”<0),其性質(zhì)也可類比得到.

9、由于三次函數(shù)f(x)=a?+樂2+cx+d("0)的導函數(shù)/(力=3加+次+(:為二次函數(shù)，其圖象

變化規(guī)律具有對稱性，所以三次函數(shù)圖象也應(yīng)當具有對稱性，其圖象對稱中心應(yīng)當為點(一

此結(jié)論可以由對稱性的定義加以證明.事實上，該圖象對稱中心的橫坐標正是三次函數(shù)導函數(shù)的極值點.

10、對于三次函數(shù)圖象的切線問題，和一般函數(shù)的研究方法相同.導數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店

處切線的斜率，利用導數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分“在''與"過''的不同，如果是過某一點，一定要設(shè)切

點坐標，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可.

11、恒成立(或存在性)問題常常運用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題.

12、如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見的是利用

函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值.

13、當不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)

形結(jié)合思想解決恒成立(或存在性)問題，此時應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定

區(qū)間上函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.

14、兩類零點問題的不同處理方法

利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間3,歷上是連續(xù)不斷的曲線，且

①直接法：判斷-一個零點時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明/(a)./(。)<().

②分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標準，再利用零點存在性定

理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明/(a)./(/?)<0.

15、利用導數(shù)研究方程根(函數(shù)零點)的技巧

(1)研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等.

(2)根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置.

(3)利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).

16、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法

(1)分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件

構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合

題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.

1.(2021?新高考I)若過點(久加可以作曲線>="的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

【解析】法一：函數(shù)y=e'是增函數(shù)，y=e'>0恒成立，

函數(shù)的圖象如圖，y>0,即切點坐標在x軸上方，

如果(a,。)在x軸下方，連線的斜率小于0,不成立.

點(a,。)在x軸或下方時，只有一條切線.

如果(a,8)在曲線上，只有。?條切線；

3,6)在曲線上側(cè)，沒有切線；

由圖象可知3力)在圖象的下方，并且在X軸上方時，有兩條切線，可知0<匕</.

故選：D.

法二：設(shè)過點(。力)的切線橫坐標為f,

貝切線方程為),=/(x-f)+d,可得b=d(a+l-f),

設(shè)/⑺=(a+lT),可得尸(f)=e'(a-f),fw(Yo,a),f'(t)>0,/⑺是增函數(shù)，

re(a,+oo),/,(/)<0,/(f)是減函數(shù)，

因此當且僅當0<b<e"時，上述關(guān)于/的方程有兩個實數(shù)解，對應(yīng)兩條切線.

故選：D.

2.(2021?乙卷)設(shè)若x=a為函數(shù)f(x)=a(x—的極大值點，貝U()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】令f(x)=0,解得x=a或x=A,即x=a及x=b是/(x)的兩個零點，

當a>0時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x=。是/(X)的極大值點，則函數(shù)/(x)的大致圖象如下圖所示,

當。<0時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x=a是/(x)的極大值點，則函數(shù)/(x)的大致圖象如下圖所示,

綜上，ab>a2.

故選：D.

3.(多選題)(2023?新高考H)若函數(shù)/(x)=Hnx+2+：3x0)既有極大值也有極小值，則()

XJC

A.bc>0B.ab>0C.b1+8ac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函數(shù)定義域為(0,+oo),

口“、ab2cax2-bx-2c

且f(x)=----=----------，

XXrXrX

由題意，方程/'(x)=0即必:?一fox-2c=0有兩個正根，設(shè)為玉，x2,

b

則有司+電=—>0,xx=--->0,△=+Sac>0,

a]2a

:.ab>0,acvO,

/.ahac=a2bev0,BPbe<0-

故選：BCD.

4.(多選題)(2022?新高考I)已知函數(shù)/(x)=d—x+],則()

A./(?有兩個極值點

B.有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心

D.直線y=2%是曲線y=/(x)的切線

【答案】AC

【解析】r(x)=3d-i,令r(x)>。，解得或x>走，令r*)<o,解得-<且,

3333

/W在（_0°,-_^）,0^,+00）上單調(diào)遞增，在(-亭坐上單調(diào)遞減，且

-6、2++9_鄧、9-2G八

/（-3）=9>。，/（3）=9>0

.,./（X）有兩個極值點，有且僅有一個零點,?故選項A正確，選項3錯誤；

又/（%）+/（-x）=X3-X+1-X3+X+1=2,則/(幻關(guān)于點(0,1)對稱，故選項。正確；

假設(shè)y=2x是曲線y=f(x)的切線，設(shè)切點為(附)，則卜一一匚？，解得[工或仁；，

[2a=b[h=2[b=-2

顯然(1,2)和(-1,-2)均不在曲線y=/(x)上，故選項。錯誤.

故選：AC.

5.(2022?新高考I)若曲線y=(x+a)e’有兩條過坐標原點的切線，貝la的取值范圍是

+8)―-

【答案】(-00,-4)<J(0,+00).

【解析】y'=e*+(x+a)e',設(shè)切點坐標為(X。，(/+“)*),

，切線的斜率k=*+(x°+a)/,

A<>x

「?切線方程為y—(x0+ci)e=(e"+(x()+d)e'')(x—%),

x

又切線過原點，，一(/+a)e°=(*+(x0+a)*)(-%),

2

整理得：x0+-6/=0,

一切線存在兩條，.?.方程有兩個不等實根，

.?.△=〃+%>o,解得々<Y或a>0,

即〃的取值范圍是(―，-4)U(0,+oo),

故答案為：(-00,-4)0(0,4-00).

6.(2021?新高考H)已知函數(shù)〃x)=|，—1|,9<0,9>。，函數(shù)的圖象在點A&，/(%))和點3(%,

/(X,))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點，則兇”的取值范圍是—.

IBNI

【答案】(0,1)

【解析】當x<0時，f(x)=l-ex,導數(shù)為，'(x)=-e",

可得在點A(%,1-//)處的斜率為《，

切線9的方程為,_(1_/」)=_/」(》_玉)，

令x=0,可得y=l-e'」+玉/」，即"(0,1-

當x>0時，f[x)=ex-\,導數(shù)為尸(x)=e\

x2

可得在點B(X2,-1)處的斜率為k2=e-,

令x=0,可得丫=6,-2-1—當然-2,即N(0,，,一1-々d-2),

由/(x)的圖象在A,B處的切線相互垂直，可得"2=-0'」⑶-2=_],

即為王+電=0,x,<0,x2>0>

所以出=嗎亙芍2=狂二=_L

故答案為：(0,1).

7.(2023?乙卷)設(shè)ae(0,l),若函數(shù)/。)=優(yōu)+(l+a)'在(0,zo)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

【答案】。的取值范圍是[叵口，1).

2

【解析】函數(shù)/(%)=優(yōu)+(1+a)x在(0,-w)上單調(diào)遞增，

f\x)=axlna4-(1+a)xln(l+a)..O在(0,+oo)上恒成立,

即(1+a)7w(l+a)...-axlna,化簡可得(上心廠…-一蛆一在(0,-H?)上恒成立，

aln(\+d)

1+。

而在(0,+00)上()'>1

故有1…蛆一，由ae(O,l),化簡可得/"(1+a)../“L

/n(l+。)a

即1+a」，/+。一L.。，

a

解答等,八1,

故a的取值范圍是［書」，1).

故答案為r與1,D.

8.(2022?乙卷)已知x=%和x=馬分別是函數(shù)/(%)=2優(yōu)-夕2伍>。且〃工1)的極小值點和極大值點.若

x1<x2,則4的取值范圍是.

【答案】(Li).

e

【解析】對原函數(shù)求導F'(x)=2(aZm-ex),分析可知：r(用在定義域內(nèi)至少有兩個變號零點，

對其再求導可得：f'\x)=2a'(lna)z-2e,

當a>l時，易知/'”(x)在R上單調(diào)遞增，此時若存在/使得/"(x0)=0,

則.廣⑴在(-oo,x°)單調(diào)遞減，(/，+8)單調(diào)遞增，

此時若函數(shù)f(x)在》=辦和x=%分別取極小值點和極大值點，應(yīng)滿足占>乂2,不滿足題意；

當0va<l時，易知/'”(x)在R上單調(diào)遞減，此時若存在/使得/“(x0)=0,

則.「(x)在(TO,X0)單調(diào)遞增，(%,+8)單調(diào)遞減，且為=依?“詬了，

此時若函數(shù)f(x)在X=X］和》=今分別取極小值點和極大值點，且X1<工2,

故僅需滿足/'(Xo)>0,

e工e—el

即：——>elog0-----=>abn,<----7-=>lnabw<In----7=>——Ina<1-In(lrui)2,

Ina(Ina)(Ina)(Ina)Ina

解得：—<a<e^又因為Ovavl,故!<a<l

ee

綜上所述：a的取值范圍是(Ll).

e

9.(2022?新高考H)曲線>二句刈過坐標原點的兩條切線的方程為,

【答案】x-ey=Ofx+ey=O.

【解析】當x>0時，y=btx,設(shè)切點坐標為(%,lnx0),

.?.切線的斜率

/.切線方程為y-lnxQ=-(x-x0)，

又?切線過原點，=T,

:.x0=ef

/.切線方程為y-l=-(x-e),即x-分=0,

e

當xvO時，y=/n(-x),與y=的圖像關(guān)于y軸對稱，

.?.切線方程也關(guān)于y軸對稱，

???切線方程為x+ey=O,

綜上所述，曲線y=/〃|幻經(jīng)過坐標原點的兩條切線方程分別為工-緲=0,x+沖=0,

故答案為：x-ey=Otx+ey=O.

10.(2022?上海)已知函數(shù)y=/(x)為定義域為R的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對稱，且當XG(0,1］時,

/(幻=從￥,若將方程/(幻=工+1的正實數(shù)根從小到大依次記為玉，x,x,...?x,WJlim(x-x)=?

23nn-yxz1+1n

【答案】2.

【解析】函數(shù)y=f(x)為定義域為R的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對稱，且當xe(O,1J時，f(x)=lnx,

.?./(X)是周期為4的周期函數(shù)，圖像如圖：

將方程/(x)=x+l的正實數(shù)根從小到大依次記為西，x2,x3,xn,

則lim(x向-4)的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2,

lim區(qū)+「x“)=2.

n->oo

故答案為：2.

考點一：函數(shù)零點問題之分段分析法模型

一題型特訓

例1.（2023?浙江寧波?高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（知=」二2e二+e7n二至少存在一個零點,則小的取值

X

范圍為（）

【答案】A

【解析】因為函數(shù)〃刈=匚務(wù)舊吧^至少存在一個零點

X

所以.1242+儂-“”=0有解

X

Inx

即m=-x2+2ex+

V有解

令力(x)=—x2+lex+,

1-lnx

則”(x)=—2x+2c+

XT

，〃/\，cc1-lnx丫c-3x+2xlnx-3x-2x*+2xlnx-3x-2x(x3-Inx)

/2"(x)=|-2x+2e+——=-2+-----:----=--------:-------=---------------^因為x>0,且由圖

、'Ix)xxx

象可知x'Alnx,所以/?"(x)<0

所以“（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減，令〃'（x）=0得x=e

當0<x<e時〃（x）>0,〃（x）單調(diào)遞增

當x>e時〃（x）<0,/z（x）單調(diào)遞減

所以〃⑴3="）=/+，

且當尢.4W時〃（尤）—>-oo

所以加的取值范圍為函數(shù)〃（X）的值域，即（—M+g

故選：A

1nx

例2.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（%）=-----x2+2ex-a（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）至少

X

存在一個零點，則實數(shù)”的取值范圍是()

【答案】B

【解析】令/(x)=孫匚X2+2ex-a=0,=-2ex+a

xx

Inx

令g(x)=-----，A(x)=x"7-2ex+a

x

InY

則函數(shù)晨元)=--與函數(shù)/z(A)=x2-2ex+。的圖象至少有一個交點

x

易知，函數(shù)〃(x)=x2-2ex+a表示開口向上，對稱軸為x=e的二次函數(shù)

1?

—?x-lnxi[

g，(x)=^—=1^

X-X-

g'(x)>0=>0<x<e,g'(x)<()nx>e

???函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,“o)上單調(diào)遞減，g(x)3=g(e)=1

e

作出函數(shù)g(x)與函數(shù)力。)的草圖，如下圖所示

由圖可知，要使得函數(shù)g(x)與函數(shù)"X)的圖象至少有一個交點

只需〃(X)min?g(X)max，即一+%-

e

解得：《,/+—

e

例3.(2023?全國?高三校聯(lián)考專題練習)已知函數(shù)Ax)=2x-4+±的圖象上存在三個不同點、，且這三個點

關(guān)于原點的對稱點在函數(shù)g(x)=(-/-2x+a)e*的圖象上，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍

為()

A.y,3)B.(3,2e-2)C.(2e—2,+oo)D.(3,-KO)

【答案】B

【解析】令〃(x)=-g(-x)=—b(-x)2—2(-)+&卜-、=日子=2,則由題意可得函數(shù)/(X)的圖象與函數(shù)

〃(x)的圖象有三個交點，即方程〃x)=〃(x)有三個不同的實數(shù)根.由“x)=〃(x)可得

2X-4+—=—2%—,即4=/一2x—(2x—4)e'—l,令p(x)=x?—2x—(2x—4)e'—1,貝ij直線y=。與函

eAer

數(shù)P(X)的圖象有三個交點，易得p'(x)=2(xT(l-e)當x<0或x>l時p'(x)<0,當0<x<l時

p'(x)>0,所以函數(shù)p(x)在(—,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減，所以函數(shù)

p(x)的極小值為P(0)=3,極大值為p(l)=2e-2.又p(-l)=2+g>p⑴，p(2)=-1<p(0),所以當

3<a<2e-2時，直線>與函數(shù)p(x)的圖象有三個交點，故實數(shù)。的取值范圍為(3,2e-2).故選B.

考點二：函數(shù)嵌套問題

?題型特訓

例4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)設(shè)關(guān)于x的方程,r(x)-時(x)=2(meR)

e

有八個不同的實數(shù)解，則〃的所有可能的值為

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【答案】A

【解析】/(同=(》-1)(*+2)，,.》(%)在(-0),-2)和(1,+?>)上單增，(-2,1)上單減，又當xf-8時、

”0時，f(x)->+oo故/(x)的圖象大致為：

根，〃x)=t2有3個根,當-e<l<0時必有“5e-2,此時〃x)=%有2個根,f(x)=t2,有1個根，綜

上，對任意機eR,方程均有3個根，故選A.

Inx、1

---N-

例5.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=\e,設(shè)關(guān)于x的方程

e~e1

---x—,x<—

I22e

/2(x)+4(x)-l=0(awR)有垃個不同的實數(shù)解，則，"的所有可能的值為()

A.3B.4C.2或3或4或5D.2或3或4或5或6

【答案】A

【解析】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：(g)=上?匚當xeJe),函數(shù)(單調(diào)遞增,

當xe(e,+8)時，函數(shù)處單調(diào)遞減，所以巫€卜」］；

xxe

e2e1已2金

函數(shù)---x—,x<—時單調(diào)遞減，所以---x—G(―oo,—e),

22e22v7

對于方程/(x)+力(x)-4=0(awR),令f=/(x),則產(chǎn)+勿一1=0,所以A="+4>0,

k+、二一。

即方程必有兩個不同的實數(shù)根乙>0>，2,且1_1，

當?時，-e<f<0,3個交點；

e2

當寸，G<-e,也是3個交點；

e

例6.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=(d-3)e",設(shè)關(guān)于x的方程

io

「(M-可"(0_/=0(機eR)有〃個不同的實數(shù)解，則”的所有可能的值為()

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【答案】B

【解析】由已知，r(x)=(/+2x—3)e)令用x)=0,解得x=—3或x=l,則函數(shù)/(x)在(TO,—3)和

口,+8)上單調(diào)遞增，在卜3,1)上單調(diào)遞減，極大值/(-3)=探，最小值/⑴=-2e.

段)的圖象如下：

綜上可考查方程f(x)=Z的根的情況如下：

(1)當%>2或a=-2e時，有唯一實根；

e

(2)當0<%<,時，有三個實根；

夕

(3)當—2e<A40或％=2時，有兩個實根;

e

(4)當女<-2e時，無實根.

令g(3/則由g⑻=0,得…

符號情況(1),此時原方程有1個根，

由_機一荷;J,而一2e<-立<%<(),符號情況(3),此時原方程有2個根，綜上得共有3個根;

k2=-------e

當相<0時，由0<勺<避,又"，

eee'

符號情況(1)或(2),此時原方程有1個或三個根，

由&<-3，又-2e<-立<0,符號情況(3),此時原方程有兩個根，

ee

綜上得共1個或3個根.

綜上所述，〃的值為1或3.

故選B.

考點三：函數(shù)整數(shù)解問題

■L題型特訓I

例7.(2023?福建龍巖?高三上杭一中?？茧A段練習)若函數(shù)"x)=x(e2*-a)-lnx-1沒有零點，則整數(shù)。

的最大值是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】函數(shù)”*)=#2，-0)-111"1定義域為(0,+8),函數(shù)沒有零點可轉(zhuǎn)化為方程

e2-叱擔=。沒有實根，

X

設(shè)g(x)=e2x-lnA+1,則g'(x)=2e2"+=，(2xe2'[n)

令為)=0,即2Aoe2&=A^lnqi=lnqLe/①，

又函數(shù)〃(x)=xe*,xe(0,+oo),所以〃'(x)=(x+l)e*>0恒成立，所以〃(x)在xe(0,+oo)單調(diào)遞增,

所以方程①即M2xo)=//(ln_<),即2x0=lnxJ,g'(x0)=0有唯一的實數(shù)解/

且函數(shù)g(x)在(0,修)上g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，在(如的)上g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)有最小值g(%)=ed_g±—心端一生tL，+2_，=2,

'X。X。X。x0

又x-0時，所以方程e2,-上黃=。沒有實根，可得4<2

則整數(shù)。的最大值是1.

故選：C.

(1產(chǎn)

例8.(2023?福建泉州?高三泉州五中?？?關(guān)于x的不等式a-KO的解集中有且僅有兩個大于2

(x-2『

的整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()

「941

D-京I

【答案】D

(x-l)ev~2

【解析】依題意，關(guān)于X的不等式-1<0的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù),

(I)

即62(犬-2)2>“(尢-1)七,的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，

構(gòu)造函數(shù)/(x)=e2(x-2)2,g(x)=a(x-l)e':,

即/(力>g(x)的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，

當時，對于Vx>2,/(x)>O,g(x)<O,

即〃x)>g(x)的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，不符合題意.

所以a>0.

/(2)=0,g(2)“>0J(2)<g(2).

若〃3)4g(3),即

2e

T§/?(x)=/(x)-g(x)=e2(x-2)2-6f(x-1)-ev(x>4),

/?"(%)=2e2(x-2)-arev<2e2(x-2)-^-(x>4),

設(shè)加(x)=2e2(x-2)-:y-(x>3),

/'(x)=2e2_(x；?e',

加(x)在［3,”)上遞減，且加(3)=2e?-2e2=0,

所以當X“時，加(無)<0,加(%)遞減,

4e4

由于〃z(4)=4e?—=4e2-2e3=2e2(2-e)<0,

所以當X“時，"2(x)<0,

所以當x"時,〃'⑺<0,/i(x)遞減,

所以〃(x)4〃(4)=4e2—BaeXe?一手=e2(4-兆)<0,

所以當x"時，〃x)<g(x)恒成立，

即“X)>g(x)的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，不符合題意.

7(3)>g(3)[e2>2ae3

所以八4)>g(4),即4e2>3“「，

/(5)<g(5)[9e2<W

解得所以。的取值范圍是看，!，

故選：D

例9.(2023?全國?高三專題練習)已知關(guān)于x的不等式x(x-W)>me*有且僅有兩個正整數(shù)解(其中

e=2.71828.為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)團的取值范圍是()

A.(探*1B.端最］C.6,.)D.啜最)

【答案】D

2

【解析】當x>0時，由工2一小廿一〃犯、>0,可得m(x+l)<一(x>0),

r2

顯然當機40時，不等式加(x+1)<—在(。,+06恒成立，不合題意;

當”>0時，令/。)=鞏x+1),則在(0,行)上單調(diào)遞增，

令g(x)=W，則g'(x)="2丁),故(0,2)上g，(x)>0,(2,+8)上g'(x)<0,

ee

???g(x)在(0,2)上遞增,在(2,內(nèi))上遞減,

又f(0)=%>g(0)=0且X趨向正無窮時g(x)趨向0,故g(x)e(oj,

綜上，/(x),g(x)圖象如下：

72

ff(x)=—f(x)=m(x+1)

2m<-

e

由圖知：要使f(x)<g(x)有兩個正整數(shù)解，貝IJ{/⑵<gN),即解得W4,"士.

八小小e~4e'3e~

八3)幺⑶

9

4m>—

故選：D

考點四：唯一零點求值問題

?題型特訓

例10.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=2eM-；a(2,-2+22T)_/有唯一零點，則負實數(shù)。=

A.—2B.—C.—1D.—或—1

22

【答案】A

【解析】函數(shù)=2產(chǎn)_飆2-2+22-')-/有唯一零點，

設(shè)x-2=/,

則函數(shù)"2”-343+21-/有唯一零點，

貝■_；4(2，+2-，)=/

設(shè)g(f)=2e“—ga(2，+2T),g(-/)=2^-^(2"+2')=g(t),：.g(r)為偶函數(shù)，

:函數(shù)/(f)有唯一零點，

/.丫=8。)與丫=/有唯一的交點，

，此交點的橫坐標為0，:.2-〃=詭解得“=-2或。=1(舍去)，

故選A.

例11.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)g(x),分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

g(x)+〃(x)=e'+x,若函數(shù)〃x)=ekT+；lg(x_l)—2；l2有唯一零點，則正實數(shù)2的值為()

A.-B.gC.1D.2

32

【答案】C

【解析】由題設(shè),/、/\―/\〃、，可得：g")=3二,

^(-x)+/?(-x)=ex-x=g[x)-h\x)v)2

由/(力=六+.(%-1)-2把,易知：/(x)關(guān)于x=l對稱.

當時，f(x)=ei+|(e1-'+e'-x)-2A2,則f\x)=ex-'+^(ex-'-e'^)>0,

所以f(x)單調(diào)遞增，故x<l時f(x)單調(diào)遞減，且當x趨向于正負無窮大時/(x)都趨向于正無窮大，

所以f(x)僅有一個極小值點1,則要使函數(shù)只有一個零點，即/⑴=0,解得4=1.

故選：C

例12.(2023春?遼寧?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)g(x),〃(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

g(x)+/z(x)="+d—x,若函數(shù)〃司=少一碼一曲(x-2022)-6/l2有唯一零點，則實數(shù)4的值為()

C1-1

A.-1或gB.1或一彳C.D.-2或1

223

【答案】C

【解析】由題意，函數(shù)g(x),〃(可分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，且g(x)+Mx)=e*+/-x,

g(x)+〃(x)=e*+x3-xx+

可得,，

g1-X)+h(-x)=-g(x)+h(x)=e-'-x+x解谷Mx)=^—

則/7(-)=鼠F=〃3,所以人(無)為偶函數(shù)，

又由函數(shù)/(x)=2g科-助(X-2022)—6/關(guān)于直線x=2022對稱,

且函數(shù)“X)有唯一零點，可得“2022)=0,即2°—八，^-6彳2=0,

即I-"*。，解得力=:或谷總

故選：C.

例13.(2023春?福建泉州開學考試)已知函數(shù)

/。)=疝(5》)+0(，7+6-，")有唯一零點，貝lja=()

A.—1B.—C.~D.1

22

【答案】B

【解析】因為函數(shù)〃x)=sin，d+Mei+eTT),

令無一1=，，

則g(/)=sinC(r+l))+a(d+eT)=cosC+4(d+/)為偶函數(shù)，

因為函數(shù)〃x)=singx)+a(ex-'+e*')有唯一零點，

所以g”)=cos1”)+a(d+/)有唯一零點，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，