數學-2024年高考數學第一次模擬（新高考Ⅰ卷2全解全析）

2024年高考數學第一次模擬考試

數學（新高考I卷）?全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓

名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內容

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合要求的。

1.已知復數z滿足（l-2iR=3+i,貝”2=（）

【答案】C

【分析】根據復數除法運算結合共輾復數的概念即可.

故選：C.

2.已知集合/={。,3},8=卜卜2-3尤+,若AcBW0,則°的取值范圍為（）

A.RB.C.（1,2）D.（2,+co）

【答案】C

【分析】首先求解集合3,再根據即可求解.

【詳解】因為8=,卜2一3x+2<o}=<x<2},4={a,3}且/cB,

因為3e{x[l<x<2}

所以ae{x[l<x<2}=(l,2).

故選：C

3.某戲曲學院圖書館藏有四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學院的部分學生對《牡丹亭》這部戲

曲產生了濃厚的興趣，該戲曲學院圖書館決定購買一批《牡丹亭》戲曲書籍（其他三部數量保持不

變）若干本.若要保證購買后在該戲曲學院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取

到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率不小于0.6,則該戲曲學院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書

籍（）

A.25本B.30本C.35本D.40本

【答案】C

【分析】根據題意，設需購買《牡丹亭》戲曲書籍x本，由古典概型公式可得尸=整±±20.6,解

出x得出答案.

【詳解】解：設需購買《牡丹亭》戲曲書籍x本，

則購買后該戲曲學院圖書館所藏有的這四大戲曲名著共（40+x）本，

從中任取1本有（40+x）種取法，《牡丹亭》戲曲書籍共（10+x）本，

從中任取1本有（10+尤）種取法，從該戲曲學院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，

能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率為尸=黑土，

根據題意可得尸=粵三20.6,解得x235,

40+x

即該戲曲學院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書籍35本.

故選：C

4.某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設備，使產生的廢氣經過該設備過濾后排放，以減少對

空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數量P（單位：mg/L）與過濾時間/（單位：h）的關

系為尸⑺=［片"（凡,女是正常數）.若經過1Oh過濾后減少了20%的污染物，在此之后為了使得

污染物減少到原來的10%還需要的時長大約為（參考數據：log25"2.322）（）

A.103hB.93hC.83hD.63h

【答案】B

【分析】根據題中條件，可求得％=-喘，則當尸⑺=1。%4時，可求得f的值，即可得到答案.

【詳解】因為經過10h過濾后減少了20%的污染物,

所以4e一儂=80%4，解得后=-吧.

,\U1U.O

當尸")=10%6時，10%[=/^而'，

lOlnlO一10-10咋25

解得t=-?103

ln0.82-log25

故還需要大約93h.

故選：B.

JT____________>-----------1---------?

5.如圖，在“8C中，ZBAC=~,AD=3DB，P為CD上一點,且滿足/尸=機42+^/8,若

因=3,同=4,則萬.無的值為（）

33

A.—3B.3C.—D.—

22

【答案】c

【分析】由已知可得后=%就+3五萬，由三點共線有加=：,再用就，方分別表示出方、CD

,最后應用向量數量積的運算律求方?而即可.

—?4—?

【詳解】因為所以”=丁，

所以萬=加元+；存=加就+；疝5,

12

因為C,P,。三點共線，所以加+§=1,即加=§,

所以萬=一%+—次，XCD=AD-AC=-AB-AC，

344

所以萬.而=［芯+；而）g萬一就］

3--22--21—?—?321133

=—AB一一AC+—43?力。=—xl6——x9+-x3x4x-=3-6+-=一一.

16341634222

故選：C

6.法國數學家傅里葉用三角函數詮釋美妙音樂，代表任何周期性聲音和震動的函數表達式都是形

如>=/sins的簡單正弦型函數之和，這些正弦型函數各項的頻率是最低頻率的正整數倍（頻率

是指單位時間內完成周期性變化的次數，是描述周期運動頻繁程度的量），其中頻率最低的一項所

代表的聲音稱為第一泛音，第二泛音的頻率是第一泛音的2倍，第三泛音的頻率是第一泛音的3

倍.……例如，某小提琴演奏時發(fā)出聲音對應的震動模型可以用如下函數表達：

y=O.O6sinlOOO7t?+0.02sin2000n?+0.0lsin3OOO7rZ,（其中自變量f表示時間），每一項從左至右依次

稱為第一泛音、第二泛音、第三泛音.若一個復合音的數學模型是函數/（x）=sinx+；sinox（xeR）

（從左至右依次為第一泛音、第二泛音），給出下列結論：

①〃x）的一個周期為3兀；

②〃無）的圖象關于直線x=2n對稱;

③的極小值為一手；

④〃x）在區(qū)間［0,2可上有2個零點.

其中正確結論的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】對于①，根據題意得到＞=:sinox的頻率為1,最小正周期為兀，從而得到/（x）的最小

正周期為2兀，①錯誤；對于②，計算出了（4兀-X）N/（X）,②錯誤；對于③，求導得到函數單調性

和極值，得到在cosx=g處取得極小值，止匕時sinx4或sinx=1,分兩種情況，進行求

解，比較后得到極小值；對于④，求出x=。,匹27t為函數零點，④錯誤.

【詳解】對于①，V=sinx的最小正周期為7=2兀，故頻率為二，

271

由題意得y=!sinox的頻率為JX2=L,故最小正周期為幾，

22兀兀

因為歹=sinx的最小正周期為T=2兀，y=；sin（yx的最小正周期為兀，

故〃x）的最小正周期為2兀，故①錯誤；

對于②，/（x）=sinx+—sin2x,

貝U/（4兀-x）=sin（4兀-x）+；sin（8兀-2x）=-sinx—；sin2x,

故〃4兀-故/（'）的圖象不關于直線x=2兀對稱，②錯誤;

對于③，/(x)=sim+；sin2x,(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1,

又cosxe[-l,l],

令/,x)>。得，<cosx<1,故2而一]W2E+],左EZ

1T7T117T1

故/(%)=sinx+'SinZ%在區(qū)間2kTi--,2kTi+—上單調遞增,

33

令r(x)?0得，-l<cosx<-^-,故2癡+5WxW2E+g,左￡Z

1j7r15兀

故/(xhsinx+eSinZx在區(qū)間2kji+—,2kTi+—上單調遞減,

33

故〃尤）在x=2上"+等,后eZ處取得極小值，此時sinx=-迫

32

痂/、..V3V313A/3

PXfx=sinx+sinxcosx=-------------x—=--------

v72224

故〃X)的極小值為一等，③正確；

對于④，/(x)=sinx+sin2x=sinx(1+cosx),

因為XE[0,2TI],所以當x=0,兀,2兀時，sinx=0,故/(x)=0,

當工=兀時，cosx=-l,/(x)=sinx(1+cosx)=0

“X）在區(qū)間［0,2可上有3個零點，④錯誤.

故選：A

7.已知正三棱柱4耳G的底面邊長為2g,高為3,截去該三棱柱的三個角（如圖1所

示，D,E,尸分別是△44G三邊的中點），得到幾何體如圖2所示，則所得幾何體外接球的表面

圖1圖2

A.20TIB.25兀C.29TID.32兀

【答案】A

【分析】設△￡>￡尸的外心為Q,A45c的外心為。2,設外接球的半徑為R,則

I2+OO；=7?2.22+(3-OO^2=R2,解方程即可得出答案.

【詳解】易知的外心即為△44G的外心，如圖，設△/)防的外心為A48c的外心為

。2，

則所得幾何體外接球的球心O在直線。。2上，

因為正三棱柱得底面邊長為2k，所以DE=DF=EF=6,AB=BC=AC=2y/3,

)CF=6=石，

所以由正弦定理可得：//旃一無一，所以。也=1,

同理，02c=2,設外接球的半徑為凡貝也2+。。；=玄,22+(3一OOJ2=R2,

聯(lián)立解得：OQ=2,叱=5,所以外接球的表面積為S=4成2=20兀.

故選：A.

1711

8.設。=77，b=cos-,c=3sin-,則下列正確的是()

1833

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

TT

【分析】先利用導數證明當xe(0,9時，tanx>x>sinx,再分別利用作商，作差比較法可判斷。

,b,c大小.

TT

【詳解】先來證明當xw(0,5)時，tanx>x>sinx.

令/(x)=tanx—x,x￡(0,g),貝！J=〉。，

2cosx

所以函數“X)在(0,9上單調遞增，可得〃x)>〃o)=o,即得tanx>x；

令g(%)=x—sinx,xe(0,—),貝|Jgr(x)=1-cosx>0,

所以函數g(x)在嗚)上單調遞增，可得g(x)>g(o)=o,即得x>sinx；

兀

所以當工￡(0,萬)時，tanx>x>sinx.

因為q>,b>O,c〉O,

。-1

3sm-][I]

由工=---r-=3tan-,因為：e(0,[),所以tan；>：,則3tan1>l,所以c>b,

bcos,332333

3

又”=j|一(l_2sin2》=2sir?W<2x(：y_焉=0,所以,

所以c>6>a.

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.如圖，在棱長為1的正方體/BCD-44G。中，E為線段的中點，則下列說法正確的是

A.四面體的體積為，

B.向量刀在皮方向上的投影向量為次

C.直線4E與直線8A垂直

D.直線4E與平面所成角的正弦值為好

3

【答案】AB

【分析】以。為原點，所在的直線分別為x軸、了軸、z軸，建立空間坐標系，利用

體積公式判斷A；利用空間向量法判斷BCD.

【詳解】以。為原點，所在的直線分別為x軸、了軸、z軸，建立空間坐標系，如圖

所示:

則。（0,0,0）,c（o,i,o）,n,（0,0,1）,5（1,1,0）,4（i,o,i）,￡（o,o,|）,^（1,1,1）,

對于A,因為七一4用A=—?S“、BIDI■=正，故正確；

對于B,因為取=（1,1,一1）,反=（0,1,0）,

所以皮?取=1,|比|=1,|取卜

所以用在反方向上的投影向量為：D<^'^-DC=DC,故正確；

對于C,因為祠=（-1,0,-；）,西布?西=；/0,

所以西與常不垂直，即直線4E與直線3,不垂直，故錯誤；

對于D,率=（-1,0,-；）,

在正方體/BCD-44。。］中，易知/C,平面得NCL平面88也，

即平面加避的法向量三就=（-1,1,0）,

.1_V10

設直線4E與平面砌山的夾角為/則$1皿=口麗=營^=可，故錯誤.

故選：AB

10.已知函數/（》）=3°"-葭。，，其中e是自然對數的底數，則下列說法中正確的有（）

A.為周期函數

B.7（x）的圖像關于點對稱

C.仆）在區(qū)間（0總上是減函數

D.關于x的方程〃x）=e,有實數解

e

【答案】ABC

【分析】根據函數的周期性、對稱性、導數與單調性以及方程思想，可得答案.

【詳解】選項A：/5+2兀）=產（-—附（田）=€。?！割?，=〃耳，是周期函數，故A正確；

選項B：/6=eC"加-eS'nM=即，一e。。"=-/⑺，所以函數〃尤）關于點g，。）中心對

稱，故B正確；

選項C：［時，f（x）=-sinx-eC0SA-cosx-esinx=-（sinx-eC0SX+cosx-esinx）＜0,

所以函數〃X）在區(qū)間上為減函數，故C正確；

-11「111

選項D：ecosxG-,e,eS1^e-,e,當且僅當《8、苫=＞。加'=±時方程有解，即cosx=l,

_eJLeJe

sinx=-1同時成立時方程有解，

但x=2而（左eZ）和x=2E-/keZ）無法同時滿足，所以方程沒有實數解，故D錯誤.

故選：ABC.

II.已知。為坐標原點，點/（-2,-1）在拋物線C:/=_2抄5＞0）上，過點2（0,1）的直線交拋物線

C于P,。兩點，則下列結論正確的是（）

A.拋物線C的準線方程為了=1B.直線與拋物線C相切

C.赤?麗為定值3D.忸尸|?忸0|＞忸

【答案】ABD

【分析】選項A,由點4-2,-1）在拋物線上，代入方程待定系數，求出拋物線C方程，則得到準

線方程；選項B,利用導數求出切線斜率，與直線43斜率相同即可說明相切；選項C,設出直線

方程，聯(lián)立拋物線方程，將麗?麗坐標化韋達定理代入可證；選項D,利用弦長公式用

（1+/）上表示，再代入韋達定理，結合判別式△＞（）得出的公的范圍，即可判斷得出答案.

【詳解】對于A：因為點/（-2,-1）在拋物線C：小=-2期（p＞0）上，

貝lJ4=2p,解得。=2,

所以拋物線C：x2=-4y,

其準線為N=l，故A正確;

對于B：令/(%)=—■—,

則r(x)=-1x,可得r(-2)=i,kAB=白甘=i,

即拋物線在/點處切線斜率與直線斜率相同，

所以直線與拋物線C相切，故B正確；

對于C：由題意可知，直線P。斜率存在，

設直線PQ的方程為歹=任+1,尸(西,凹),。(工2，%)，

I1;—/TY+]

聯(lián)立方程：一“，消去y得：/+4船+4=0,

[x=-4y

可得A=16左2—16＞0,得公＞1,

fx{+x2=-4k

.[玉]2=4

umiun(x2\/%2\

因為。尸?。0=工1工2+必歹2=再X2+|一"jII一"jI

22

=X1X2+'-=4+1=5,故C錯誤；

1216

對于D：由題意可知忸=(-2-0)2+(-1-1)2=8,

因為忸以?忸。|=Jl+02|x]-0|.J1+產昆-0|=(1+左2禍引=4(1+后2),

則忸葉忸@=4(1+/)>8,

所以忸葉忸Q|＞忸4「,故D正確.

故選：ABD.

12.定義在R上的函數〃x)的導函數為/''(X)，對于任意實數x,都有〃f)+e2"(x)=0,且滿

足2/(x)+/'(x)=2,則()

A.函數/(x)=e"(x)為奇函數

B.不等式e"(x)-；O的解集為(0,ln2)

C.若方程-(x-a)2=0有兩個根Xj*2，則再+^>2。

D.在(OJ(O))處的切線方程為y=4x

【答案】AC

【分析】根據奇函數的定義即可判定A,根據導數的運算可得e?"(x)-e2、=c,進而可求解

Q2X-1

y(x)=F^,即可求解BD,根據二次函數的圖象性質，即可求解C.

【詳解】對于A,F(x)=eV(x),F(-x)=e-V(-x),由〃一切+j/卜)=0可得

e-V(-x)+eV(x)=O,所以尸(x)+尸(-x)=0,且定義域為R,故尸(x)=e"(x)為奇函數，A正

確，

由于F"(x)-e?x]=2e2v/(x)+e2V(x)-2e2x=e2x[2/(x)+(x)-2]=0.所以

e2"(x)-e2-c,c為常數，則〃x)=?￡

又在〃r)+e2"(x)=0中，令x=0,則/(。)=0,故/⑼=要=0,故c=-l,

所以〃x)=U，

3Q2X_I

2l

對于B,e"(x)-《<0可得e2"(x)-3<0,又〃尤)==L,^e-4<0,則無<山2,故B錯

eQ

誤，

2x1I

對于C,/(x)=/L=l一W為單調遞增函數，而y=(x-a)2為開口向上，且對稱軸為x=a的二

次函數，再，入?且再<。<々是〃x)=(x-a)2的兩個交點，/(xj=(x-a『的兩個交點設為X1,X；,

則為+x；=2a，且多<a<x；,又/3=1-白為單調遞增函數，所以

f(Xl)=f^X2^<f(X2)^X2<X2>所以%+%2>20,C正確，

由2f(x)+f'(x)=2得2/0+/(0)=2n1(0)=2,所以/(無)在(0,0)處的切線方程為y=2x,D

錯誤，

故選：AC

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知g+x)(l+"的展開式中一的系數為-9,則〃=.

【答案】-1

【分析】利用二項式定理得(1+尤)6的通項，進而得出(a+X)(l+X)6的展開式中尤2的系數，列式計

算即可.

【詳解】由二項式定理可知(1+"的通項為Tk+l=C：X尸X"=C&Y左=0,1,…,6),

故(1+x)6展開式中含X,X2的項分別為c5=6x,C打=15/,

則(a+x)(l+x)6的展開式中含/的項為ax15—+x-6x=(15a+6)x2,

則15a+6=-9,解得a=-1.

故答案為：T.

14.已知/(TO),點尸在圓上，且陷|=2,則。的取值范圍為.

【答案】卜4,-2]U[0,2]

【分析】分析可知，圓(》+以+/=4與圓C有交點，根據圓與圓的位置關系可得出關于實數。的

不等式，即可解得實數。的取值范圍.

【詳解】由|尸聞=2,可知點P在以點為圓心，半徑為1的圓上，即點尸在圓

(x+1)2+j;2=4上，

所以問題等價于圓(無+廳+/=4與圓C有交點，所以2-lwJ(a+l)2+0W2+l,

所以1期+1|43,解得0WaV2或-4VaW-2.

故答案為：卜4,-2]U[0,2].

15.已知曲線=&與曲線g(x)=alnx(aeR)相交，且在交點處有相同的切線，則。=

【答案】j

【分析】可先設交點為尸(%,%)，利用利用兩函數在該點處的函數值和切線斜率相同列方程，可

求4的值.

【詳解】易知：必有Q〉0.

=a\nx0

設兩曲線的交點為P（x。,%）,/'（X）=:=,g<x）=@（x>o）,由題意：1_a,

x77==7

A7Aoo

兩式相除:2/=InXQ,?%>0,??In=2—e.

代入In/得：e=2〃

解得Q=:.

故答案為：I

16.已知拋物線C:x2=4y的焦點為b，直線/與拋物線C交于48兩點，連接4尸并延長，交拋物

線C于點。，若N2中點的縱坐標為|/同-1,則當44必最大時，|40|=.

【答案】16

【分析】由43中點的縱坐標為|）同-1,可知|//|+忸尸|=2|/同，又由余弦定理結合不等式可得

乙4尸3最大時，尸為等邊三角形，后將直線/尸方程與拋物線聯(lián)立，由拋物線定義結合韋達定

理可得答案.

【詳解】由題可得拋物線焦點為（04），準線為>=T,

設力（國,%）,8（%,%）,

則由拋物線定義可得|//+|SF|=yl+y2+2,即；I附-1=,

由題意可得AB中點的縱坐標為工產=則\AF\+\BF\=2\AB\,

22

222|JF|+|RF|（MH+忸尸D

由余弦定理可得cos4FB=即『+叫'-/一=M+叫一4

2\AF\-\BF\I\AF\-\BF\

3（”「+阿「卜2|叫.阿|、6”卜忸尸|一2|/尸卜阿|1

-8M-|?忸尸|-8M司.忸司"2'

則cosNNFBN于且//用.。,兀），可得N/FBwg,當且僅當|4川=怛尸|取等號，

此時尸為等邊三角形，48〃無軸，直線AD斜率為百或-石，

如圖，設此時40方程為y=gx+l,

一一C1

將其與拋物線聯(lián)立有，消去p得--4后-4=0,

x=4y

可知A=(4@2+i6=64>0,

設。(%,%),由韋達定理有無|+退=46，

貝1「%+%=6(再+無3)+2=14，

所以由拋物線定義有|/。|=弘+%+2=16.

故答案為：16.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.(10分)已知數列｛%｝滿足：弓=2,電=4,數列｛%-小為等比數列.

⑴求數列｛g｝的通項公式;

(2)求和：S”=%+&+…+4,.

【答案】⑴〃+2"T

1,1

(2)-n2+-n+2"

',22

【分析】(1)首先求出q-1,出-2,即可求出等比數歹！]｛g-〃｝的通項公式，從而求出｛%｝的通

項公式；

(2)利用分組求和法計算可得.

【詳解】(1)因為％=2,%=4,數列｛見-〃｝為等比數列，

Q—2

所以％-1=1,-2=2,則4=2,即｛%-〃｝是以1為首項,2為公比的等比數列,

。1一]r

所以%-"=2片，則a“=〃+2'T.

(2)Sn=a{+a2-\-----an

=1+2°+2+2i+3+2?+…+〃+2"1

(l+2+3+---+n)+(2°+21+22+---+2B-1

(1+〃)〃1—2〃11??

-----+=-n-+-2n+2"-1.

21-222

siib4c-b

18.(12分)已知DZ5c中，內角4瓦。所對的邊分別為。也c,且滿足

sinB+sinCb

(1)若c=]冗,求8；

/74-f

(2)求陪的取值范圍.

b

【答案】⑴芻

0

⑵0,5)

【分析】(1)解法一：根據題意，由正弦定理得到,2=成+62,再由余弦定理得到/=/+從一仍

,聯(lián)立方程組得到eg,再由余弦定理求得儂人字，即可求解;

解法二：根據題意，由正弦定理化簡得到sin/sinB=sin，sin2B,進而得到sin(23f=0,即可求

解;

2

(2)由(1)得到°2="+必，求得等=5+￡-1,結合三角形的邊的關系，得到6<c<26,

設x=((l,2),得出函數〃%)=尤2+》-1,結合函數的性質，即可求解.

【詳解】(1)解法一：因為.「=不,由正弦定理得ac-b

siiw+sinCbb+cb

可得ab=c?-/，BPc2=ab+b2

222

又因為c=；，由余弦定理得/=/+〃-2仍cosg,gpC=a+b-ab,

c2=ab+b2口、

聯(lián)立方程組c2=a2+b2-ab，可得“2ab，即a=26,所以c=#>b

由余弦定理定理得c3y=高邛

因為Be((U),所以8=9

6

sirU丁，由正弦定理得sinZsinC-sin5

解法二：因為

sinB+sinCsin5+sinCsin5

整理得sinAsinB=sin2C-sin2B，

又因為C=女，可得sin(g+8]sin8=：-sin?8,所以^^cosBsinB+lin?8=3,

3k374224

即^^sin25+?(1-cos25)=:,可得^^15$11125-^^(：0$2,=0,即sin(28=0,

因為。<8<§,所以T<2B-f(兀，所以284=0,所以B=±

33336

c2-b2

(2)由(1)知02=〃+",可得d—且。>6，

b

a+c-b2+bc

所以=+-1,

bb2FI

\a+b>c

由三角形三邊關系，可得入，可得b<c<2b,

\b+c>a

令X=(￡(1,2),可得/(X)=/+X-1,其中1<X<2,

所以函數/(x)=(x+\-|e(l,5),

2

所以?141,5),所以誓的取值范圍是(1,5).

19.(12分)如圖，48co是四棱柱，側棱幺4,底面/BCD,底面/BCD是梯形,

AB=BC=CD=1,=44=2.

⑴求證：平面BDD.B,1平面ABBH；

(2)￡是底面44G2所在平面上一個動點，是否存在點E使得。￡與平面C.BD夾角的正弦值為

4

F?若存在，求點石到平面G5。距離的最小值；若不存在，請說明理由.

717

【答案】(1)見詳解;

4

，點到平面距離的最小值為g

(2)存在點E使得DE與平面C{BD夾角的正弦值為E

【分析】(1)取中點尸，連接3尸，根據各線段長度可得四邊形BCD尸是菱形，4/3尸是正三

角形，利用菱形性質及三角形性質即可得出乙48。=90°,即從而取52平面42月4,

于是平面BDD.B,1平面ABB,AX.

(2)以B為坐標原點，建立空間直角坐標系，設E(x,y,2),求出。E和平面的法向量，令

|cos(",OE)|=不即可求出￡點坐標，然后由點到平面的距離公式向量表示即可，根據

'/J17\n\

式子即可求點到平面的最小值.

【詳解】(1)取4D中點尸，連接B尸，貝I]AB=BC=CD=AF=DF=1,

所以四邊形8CDF是菱形，△/5F是正三角形，

所以AABF=NAFB=60°，ZFBD="DB,

因為NFBD+ZFDB=NAFB=60°,所以NFBD=NFDB=30",

所以尸+/必。=90°,所以

因為44]_L底面28cZ),8。u平面23cZ),

所以44J8。，又因為N&U平面”44，A8u平面/即4，AAtnAB=A,

所以3。工平面4844，因為ADu平面

所以平面BDD四1平面ABB、A

(2)以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則8（0,0,0）,D（V3,0,0）,q^-,--,2,設E（x,%2）,

所以麗=（百,0,0）,西=4,-;,2,詼=1-百/,2卜

元?BD=0

設平面G5。的一個法向量為〃=(a,b,c),貝卜

亢BC、=0'

y/3a=0

所以G1,取z=l得：n=(0,4,1),

——a——b+2c=0

I22

n?DE_4y+2

r-rKI-—*.,cos(n,DE)

所以〃x￡)￡=4y+2,\/內3「向卜_@2+丁+4,

4所以IcosG，方用=卡,

因為?！昱c平面C、BD夾角的正弦值為詬,

由點到平面的距離公式得：|密叫卜-3）+/2X14（X-V3）+17

a~----=---------------=---------

\n\"+FVn

所以當X=G時，點￡到平面GAD距離的最小，最小值為d=&7

20（12分）.已知函數/（x）=

（1）試判斷函數/（無）的單調性;

（2）若〃x）>◎在（0,+8）上恒成立，求實數。的取值范圍.

【答案】（1）（-8,0）,（0,+8）上遞減

1

（2）”Z^

【分析】（1）求導，然后利用導函數的正負確定原函數的單調性；

（2）將/（x）>"變形為構造函數求:一：一1的最小值即可.

XX

【詳解】（1）由已知得（（X）二一」卜：-1）_4<0,

故函數〃x）在（-8,0）,（0,+功上單調遞減;

e'l>a在(0,+。)上恒成立,

(2)由/(x)>ox在(0,+功上恒成立,即

3

e_r_1

設g(x)=-—,x>0,

33

一工2-2x(e-x-1)_-2e+2

則g，(x)=x

4―3

XX

令g'(x)>0,得尤>2e'-2,令g'(x)<0,W0<x<2e3-2,

即g(x)在(0,2e3-2)上單調遞減，在(2e3-2,+動上單調遞增,

/°\e3—f2e3—2j—1?

所以g(xL=g(2e一*Qf=加印

1

所以

21.(12分)某中學在運動會期間，隨機抽取了200名學生參加繩子打結計時的趣味性比賽，并對

學生性別與繩子打結速度快慢的相關性進行分析，得到數據如下表：

速度

性別合計

快慢

男生65

女生55

11

合計200

0

(1)根據以上數據，能否有99%的把握認為學生性別與繩子打結速度快慢有關？

(2)現(xiàn)有〃(〃eN*)根繩子，共有2〃個繩頭，每個繩頭只打一次結，且每個結僅含兩個繩頭，所有

繩頭打結完畢視為結束.

(i)當〃=3,記隨機變量X為繩子圍成的圈的個數，求X的分布列與數學期望；

(ii)求證：這“根繩子恰好能圍成一個圈的概率為

⑵)!

n(ad-bc)2

附：K2=7----77----77----77----1，幾=a+b7+C+d7.

(q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

【分析】(1)利用計算卡方進行檢驗即可;

(2)(i)依題意，先得到X的所有可能取值，再依次求得對應的概率即可得解；(ii)利用分步計

數原理，結合數列的累乘法與古典概型的概率公式即可得解.

【詳解】(1)依題意，完善2x2列聯(lián)表如下,

速度

性別合計

快慢

男生6535100

女生4555100

11

合計90200

0

me叱2200x(65x55-35x45)2800

所以K-=--------------------=—x8o.08>6,635.

90x110x100x10099

故有99%的把握，認為學生性別與繩子打結速度快慢有關.

(2)(i)由題知，隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,

P(x=1)=?￥2=士尸(X=2)=2c3；2,62

"I?"5,

A；A；

f^=3^=cfcfcF=15,

A；

所以X的分布列為

X123

821

P

15515

Qoioa

所以E（X）=lx/+2x[+3x^=V.

（ii）不妨令繩頭編號為1,2,3,4,…,2〃，可以與繩頭1打結形成一個圓的繩頭除了1,2外有2〃-2

種可能，

假設繩頭1與繩頭3打結，那么相當于對剩下n-1根繩子進行打結，

令〃（"eN*）根繩子打結后可成圓的種數為a?,

那么經過一次打結后，剩下n-1根繩子打結后可成圓的種數為,

由此可得，an=（2n-2）all_i,n>2,

所以一匚=2〃-2,-2tL=（2z?-4）,...,—=2,

a,Ia12%

所以4L=（2"_2）X（2"_4）X...X2=2I.（"1）!,

a\

顯然%=1,故%=2"士（〃-1）!；

另一方面，對2〃個繩頭進行任意2個繩頭打結，總共有

N_=2〃.（21>（2"2）…2/_（2n）!

n\2n-n\2".加’

%產”1）!22f"!（1）!

所以一萬―一（2^）!一—（2n）\.

2"?加

【點睛】關鍵點睛：本題第二小問第二步的解決關鍵是利用分步計數原理得到數列的遞推式，從而

利用數列的累乘法求得結果.

22.（12分）已知點G是圓T：（X+1）2+/=12上一動點（T為圓心），點H的坐標為（1,0）,線段

GH的垂直平分線交線段7G于點R,動點R的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵N是曲線C上的兩個動點，。為坐標原點，直線ON的斜率分別為左和左2，且

2

左他=-1，則△MCW的面積是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；

（3）設尸為曲