成都市高2021級高三一診數(shù)學文科試題及答案解析及答案

成都市2021級高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測

數(shù)學（文科）

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第I卷（選擇題）1至2頁，第II卷《非選擇題》2至4

頁,共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前,務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂戰(zhàn)，如需改動，用橡

皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號.

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

5.考試結(jié)束后，只將答腹卡交回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

仔’—2,工V0

1.已知函數(shù)工）=1.XT,則八一1）+/（】）=

（A）-l（B）0（C）1（D）2

2.普法知識宣傳小組打算從某小區(qū)的2000人中抽取25人進行法律知識培訓(xùn)，擬采取系統(tǒng)抽

樣方式，為此將他前一-蜀號為1?2000,并對編號由小到大進行分段，假設(shè)從第一個號碼

段中隨機抽出的號碼是2,那么從第三個號碼段中抽出的號碼為

(A)52(B)82(C)162(D)252

3.已知復(fù)數(shù)z-=j（i為虛數(shù)單位），則M的虛部為

i+r

(A)-l(B)l(C)-i(D)i

4.若數(shù)列｛aj滿足a1=3,a-i=2a.-it+1,則02+03+*=

(A)6(B)14(C)22(D)37

5.巳知向量a=(-lJI).b=(2,0),則cos<a,b>=

(A)號(c)-4

（B）4(D)-^y

2工一y》0

6.若實數(shù)工,》滿足?z—2y40，則工+?的最小值為

3x+>-l>0

(B)|（c）4

(A)0(D)1

數(shù)學（文科）“一建"考試題第I頁供4K）

7.已知函數(shù)/(x)的大致圖象如圖所示，則/(x)的解析式可以為

(A)/(x)聲口

2xY

-4x

(C)/(x)

(J+DIM|N|+2)

rmft\4ln(;x|4-1>

(D)/(x)=x，+1

&已知平面a，aflP=a‘yCl3=6，則a〃7是a〃占的

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必嚶條件

A.1.1,2.21rtM

9?若。=W4IIK也="7ln行，c=-----，則

44?sJe

(A)cV6Va(B)6VcVa(C)c<a<*(D)ft<a<c

10.已知a6(0,K),且sina—73cosa=2,則tana=

(A)-73(B”當(C泮(D)存

JV

11.若w6L0,+oo),工？+?+1(廿恒成立,則實數(shù)a的最大值為

(A)e(B)2(C)1(D)e-2

12.巳知|8CH+y2-4s語-4=0經(jīng)過橢圓1(。>6>0)的兩個焦點R,F”

圓c和橢圜n在第二象限的交點為N,肅?對=16&—2,則橢圓n的離心率為

(A)§(B)咚(C)年(D)：

4J4

第n卷(非選擇題，共9。分)

二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.

13.已知集合A={W||H|V2},B=(H|y=lgr),則AflB=.

14.曲線/(x)=x*+x*+1在點(1J(D)處的切線方程為.

15.記S.為公差不為零的等差數(shù)列<a>>的前"項和.若S,=14,且a.,a<,at成籌比數(shù)列，則

。加的值為.

16.已知例面積為臨將的圜錐內(nèi)接于球O.若圜錐的母線與底面所成角的正切值為|，則球

O的表面積為.

數(shù)學(文科)"一診”考試題第2頁(共4頁)

三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小愿滿分12分)

如圖，正四棱柱ABCD-AICDi中，M為AX1的中點，AB=2,=4.

《1)求證"倒_|_平面89乂］

(0)求三棱錐M-BCiD的體積.

18.(本小題滿分12分)

某校高中階段實行體育模塊化課程教學，在高一年級開設(shè)了籃球和羽毛球兩個模塊課程,

從該校高一年級隨機抽取的100名男生和100名女生中,統(tǒng)計出參加上述課程的情況如下：

男生女生總計

參加黛球模塊課程人數(shù)602080

參加羽毛球模塊課程人數(shù)4080120

總計100100200

(I)根據(jù)上述列聯(lián)表,是否有99.9%的把握認為該校高一年級體育模塊化課程的選擇與

性別有關(guān)；

(D)根據(jù)抽取的200名學生的模塊化課程成績，每個模塊課程的前3名獲得參加體育模

塊化教學推廣大使的評選資格，若在有評選資格的6名學生中隨機選出2人作為體育模塊化

課程教學的推廣大使，求這2人來自不同模塊化課程的概率.

觸Kt=________?3——)’________

'-(a+A)(c+d)(a+c)S+d)?

P(K2>*o)0.0250.0100.0050.001

品5.0246.6357.87910.828

19.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(H)=2V5sinxcosx+28『H-l.在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別

是a,b,c，且滿足

(1)求人的值】

(II)若6=1，求a+c的取值范圍.

數(shù)學(文科)“一修"考試16第3頁(共4頁)

20.（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系中，動點C到點F（l,0）的距離與到直線工=一】的距離相等.

（I）求動點C的軌跡方程，

（n）若直線I=，+m與動點C的軌跡交于P,Q兩點，當?shù)拿娣e為2時，求直

線/的方程.

21.（本小題滿分12分）

巳知函數(shù)/Gr）=2j-ex.

（I）求函數(shù)”工）的單調(diào)區(qū)間,

（U）求證：/（x）>e<lnx+cosx）.

請考生在第22.23國中任選擇一題作答，如果多做,則按所做的第一題記分.作答時，用

2B鉛械在答題卡上把所選電目對應(yīng)的標號涂黑.

22.（本小18滿分10分）選修4一船坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系工Oy中，已知直線Ci的參數(shù)方程為｛,二2+tCOSat

(t為參

tsina

數(shù).OVaV得）.以坐標原點O為極點，工軸非負半軸為極軸建立極坐標系.曲線C,

的極坐標方程為"8526=2.

（1）當&=5時，求直線。1的普通方程；

《口）已知點P（2,o），若直線a交曲線Ct于A,B兩點，且|PA|?IPBI-4,求a的值.

23.（本小題滿分10分）選修4-51不等式選講

已知函數(shù)八工）?|2工一。|+|工+1|,°eR.

（I）當a=4時，求不等式f（工）。7的解集；

（11）若/（工）>勿，求”的取值范圍.

數(shù)學（文科）■一診”考試題第4頁（共4頁）

成都市2021級高三第一次診斷性檢測數(shù)學(文科)

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1、已知函數(shù)f(x)=，2-2,x<0,則f(-l)+f(l)=()

兀x

A-1sin——，x>0,B0C1D2

I2

【解析】

【考點】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②求分段函數(shù)值的基本方法。

【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，運用求分段函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件求出

f(-l)+f(l)的值就可得出選項。

JI

【詳細解答］-1<0,f(-l)=l-2=-l,1>0,f(l)=sin—=1,f(-l)+f(l)=-l+l=0,4B

2

正確，，選B。

2、普法知識宣傳小組打算從某小區(qū)的2000人中抽取25人進行法律知識培訓(xùn)，擬采取系統(tǒng)

抽樣方式，為此將他們一一編號為「2000,并對編號由小到大進行分段，假設(shè)從第一個號

碼段中隨機抽取的號碼是2,那么從第三個號碼段中抽出的號碼為()

A52B82C162D252

【解析】

【考點】①系統(tǒng)抽樣法定義與性質(zhì)；②系統(tǒng)抽樣法的基本方法。

【解題思路】根據(jù)系統(tǒng)抽樣法的性質(zhì)，運用系統(tǒng)抽樣法的基本方法，結(jié)合問題條件求出從第

三個號碼段中抽出的號碼就可得出選項。

【詳細解答】剪^=80,第一個號碼段中隨機抽取的號碼是2,二從第三個號碼段中抽

25

出的號碼為162,nC正確，，選C。

i-i

3、已知復(fù)數(shù)Z=一二(i為虛數(shù)單位)，則Z的虛部為()

Z+Z

A-1B1C-iDi

【解析】

【考點】①復(fù)數(shù)定義與性質(zhì)；②復(fù)數(shù)代數(shù)表示的基本方法；③復(fù)數(shù)運算法則和基本方法。

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)和復(fù)數(shù)的代收表示方法，運用復(fù)數(shù)運算法則和基本方法，結(jié)合

問題條件求出復(fù)數(shù)Z的代數(shù)表示式，從而求出復(fù)數(shù)Z虛部的值就可得出選項。

(1-21_+r-2/

【詳細解答】Z=_LA=_;__L!_J'E-r的虛部為-1,nA正確,

i+i4(1+0(1-01-z22

選Ao

4、若數(shù)列｝滿足％=3,an+1=2an-n+1,%+%+%=()

A6B14C22D37

【解析】

【考點】①數(shù)列定義與性質(zhì)；②數(shù)列遞推公式定義與性質(zhì)；③運用數(shù)列遞推公式求數(shù)列項的

值的基本方法。

【解答思路】根據(jù)數(shù)列和數(shù)列遞推公式的性質(zhì)，運用數(shù)列遞推公式求數(shù)列項的值的基本方法,

結(jié)合問題條件分別求出。2，%的值，從而求出42+a3+%的值就可得出選項。

【詳細解答】[=3,an+i=2an-n+1,a2=2x3-1+1=6,a3=2x6-2+1=11,tz4=2x11-3+1

=20,%+%+%=6+11+20=37,=>D正確，二選D。

5、己知向量a=(-1,y/3),b=(2,0),則cos<a,b>=()

,V3￡1旦

A——BC——D

222一~T

【解析】

【考點】①平面向量定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；③平面向量坐標運算法則

和基本方法。

【解題思路】根據(jù)平面向量和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運用平面向量坐標運算的法則和基本

方法，結(jié)合問題條件求出cos＜。，b＞的值就可得出選項。

【詳細解答】向量a=(-1,),b=(2,0),；?a力=-2+0=-2,|a|=JTT^=2,|=J4+O

a.b-2

二2,a.b=\d\\b|cos<4?,b>,?*-cos<a,b>=nc正確，二選

\a\.\b\~2x22

Co

6、若實數(shù)x,y滿足約束條件2x-y＞0,則x+y的最小值為()

33

A0B-x-2y<0,CD1

75

【解析】Jx+y-l>0,

【考點】①簡單線性規(guī)劃定義與性質(zhì)；②確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的基本方法；③

確定二元一次不等式組表示可行域的基本方法；④求目標函數(shù)最優(yōu)解的基本方法。

【解題思路】根據(jù)確定二元一次不等式表示平面區(qū)域和確定二元一次不等式組表示可行域的

基本方法求出約束條件的可行域，運用求目標函數(shù)最優(yōu)解的基本方法就可求出z=x+2y的最

大值就可得出選項。

【詳細解答】作出約束條件的可行域如圖所示，由

2x-y=0,解得：［x=0,A(0,0)，由2x-y=0,

x-2y=0,匕=0,3x+y-l=0,

1BJ22

解得:rx=一,??JJ\J二)，由「x-2y=0,解得;x=—,

557

_21

y-513x+y-l=0,y=—,C

777

當目標函數(shù)z=x+y經(jīng)過點A時，z=0+0=0,當目標函數(shù)z=x+y經(jīng)過點B時,

12321333

z=—+—=—,,當目標函數(shù)z=x+y經(jīng)過點C時，z=—+—=一，0<—<—,x+y的最

55577775

小值為0,=>A正確，二選A。

7、己知函數(shù)f(x)的大致圖像如圖所示，則f(x)的解析式可以為()

2xex2xex41n(|A|+1)

Af(x)=———Bf(x)=F——Cf(x)=----D----f-(-x-)-=---

e2x-le2x+l(x2+l)ln(|%|+2)~x~+l-

【解析】

【考點】①函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；④判

斷函數(shù)奇偶性的基本方法。

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運用判斷函數(shù)奇偶性的基本方

法，結(jié)合函數(shù)的大致圖像對各選項的解析式進行判斷就可得出選項。

【詳細解答】對A,函數(shù)f(x)的定義域為(-co,0)IJ(0,+oo)與圖像不符，，A錯

誤；對B,f(x)=F'=」T，定義域為R,f(0)=、一=0,f(-x)=二±=-f(x),.?.函

e+1.，11+11,/

數(shù)f(x)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，當XT+00時，函數(shù)f(x)的圖像與x軸無限逼近，二

函數(shù)f(x)=F——的大致圖像與已知圖像吻合，=>B正確，二選B。

e+1

8、已知平面a,B若aP=a,yP=b,,則“a///"是"a//b"的()

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

【解析】

【考點】①直線平行平面定義與性質(zhì)；②直線平行平面判定定理及運用；③直線平行平面性

質(zhì)定理及運用；④充分條件，必要條件和充分必要條件定義與性質(zhì)；⑤判斷充分條件，必要

條件和充分必要條件的基本方法。

【解答思路】根據(jù)直線平行平面和充分條件，必要條件與充分必要條件的性質(zhì)，運用直線平

行平面判定定理，性質(zhì)定理與判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法判斷

“a///”是“a//b”所屬的條件就可得出選項。

【詳細解答】;?若a///,a\/3=a,"1-acz平面0,Vy/3=b,a//b,=>uall7”是

"a//b”的充分條件；\?若a//b,/(3=b,當直線a在平面,內(nèi)，或與平面,相交時，都

不能推出a///,二“a//y”不是“a//b”的必要條件，綜上所述，“a///”是“a//b”的充

分不必要條件，nA正確，，選A。

.1122IE、

9、右a=-In—，b=—In—,c=——，則()

2233e

Ac<b<aBb<c<aCc<a<bDb<a<c

【解析】

【考點】①對數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)定義與性質(zhì)；③比較實數(shù)大小的基本方法。

【解題思路】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，運用比較實數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問題條件確定出

a,b,c的大小關(guān)系就可得出選項。

11722[4

【詳細解答】a=—In—=ln—，b=—In—=ln^—

22AV233V9

<b=-In-,-<A/-<1,,,——In—<0，---1——----<0，,,—v—<0,c<a<b,

33五丫2222e12ee2

=>C正確，?二選C。

10、已知aG(0,Ji),且sina-cosa=2,貝!Jtana=()

A-73B巫cBDA/3

33

【解析】

【考點】①任意角三角函數(shù)定義與性質(zhì)；②三角函數(shù)在各個象限的符號及運用；③同角三角

函數(shù)基本關(guān)系及運用。

【解題思路】根據(jù)任意角三角函數(shù)的性質(zhì)，運用求三角函數(shù)在各個象限的符號和同角三角函

數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合問題條件求出tana的值就可得出選項。

【詳細解答】?e(0,?)，sina=-\/l—cos2a?sina-A/3cosa=2,I+A/3

_________6

22

coscr=vl—cosa?=>4cosa+2y/3cosa=0,「?cosa=0,或cosa=----,nsina=l,

2

]1\/3

或sina一,當sina=l,cosa=0時，tana無意義；當sina=—,coscr=-----時,

222

.sinaV3.但

??tana二------=-----，=>B正確，??選B。

cosa3

11、若X￡[O,+00),x2+ax+i“1恒成立，則實數(shù)a的最大值為()

AeB2C1De-2

【解析】

【考點】①函數(shù)導(dǎo)函數(shù)定義與性質(zhì)；②求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)公式和基本方法；③運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)求

函數(shù)最值的基本方法；④求解恒成立問題的基本方法。

【解題思路】根據(jù)求解恒成立問題的基本方法，結(jié)合問題條件得到aWg(x)的表示式，運用求

函數(shù)導(dǎo)函數(shù)公式和基本方法及運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值的基本方法，求出函數(shù)g(x)的最

小值，從而求出實數(shù)a的取值范圍并求出實數(shù)a的最大值就可得出選項。

x

e1

【詳細解答】XG[0,+00),V+ax+Ke"恒成立，=x￡[0,+co),a<---X--恒成

XX

、&n茄/、/1'(\祀無一婷1(x-l)(eA-x-1)人、(、

乂，設(shè)函數(shù)g(x)=——X-—,g(X)=-----——-1+—=--------2-------，令g(X)

XXXXX

二0解得：x=l,XG(0,1)時，gf(X)<0,XG(1,+00)時，g'(x)>0,「?函數(shù)g(x)

在(0,1)時單調(diào)遞減，在(1,+00)上單調(diào)遞增，=>當X￡[0,+00)時，g(x)max=g(l)

=e-l-l=e-2,???若x￡[0,+oo),*+ax+l4，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(-co,e-2],

即實數(shù)a最大值為e-2,0D正確，，選D。

_22

22

12、已知圓C：x+y-4V3y-4=0Q：=+斗=1(a>b>0)的兩個焦點耳，F(xiàn)2,

ab

圓C和橢圓Q在第二象限的交點為N,NFX.A^=16A/3-24,則橢圓Q的離心率為()

A走B邁C巫D1

2322

【解析】

【考點】①橢圓定義與性質(zhì)；②圓定義與性質(zhì)；③平面向量數(shù)量積定義與性質(zhì)；④求橢圓離

心率的基本方法。

【解答思路】設(shè)N(x「%)(看<0,%>0),根據(jù)橢圓和圓的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到

焦點及(-2,0),F2(2,0),從而得到須，為關(guān)于b的表示式，運用平面向量數(shù)量積

的性質(zhì)得到關(guān)于b的方程，求解方程求出b,a的值，利用橢圓離心率公式求出橢圓Q的離

心率就可得出選項。y

【詳細解答】設(shè)N(x-%)(^<0,%>0),如圖，

22

圓C：%2+y2y_4=0經(jīng)過橢圓。：——+-^-T-=1

"ab

2

(a>b>0)的兩個焦點耳，F(xiàn)2,C+0-0-4=0,=>

4(-2,0),F2(2,0),,圓C和橢圓。在第二象限的交點為N,+

22_

1

二0①，烏十^-=1②，NF1二(一2-玉，%),NF2=(2-11,%),NF1.NF2=16百一24,

aa-4一一

2

無；+,；=16省一20③，聯(lián)立①②③解得：xx=-4^2^/3—3,yx=4-2A/3,a=^>3=2^2,

橢圓。的離心率為e=9=-^==R2,=>C正確，，選C。

a2V22

第II卷(非選擇題，共90分)

二填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡上。

13、設(shè)集合A={x||x|<2},B={x|y=lgx},則A?B=。

【解析】

【考點】①集合定義與性質(zhì)；②表示集合的基本方法；③求解絕對值不等式的基本方法；

④對數(shù)定義與性質(zhì)；⑤求兩個集合交集的基本方法。

【解題思路】根據(jù)表示集合的基本方法，集合和對數(shù)的性質(zhì)，運用求解絕對值不等式和兩個

集合交集運算的基本方法，化簡集合A,B,就可求出AB的集合。

【詳細解答】集合A={x||x|<2)={x|-2<x<2),B={x|y=lgx}={x|x>0},A

B={x|0<x<2}o

14、曲線f(x)=/+x2+i在點(i,f(i))處的切線方程為o

【解析】

【考點】①函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)；②求曲線在某點處切線方程的基本方法。

【解答思路】根據(jù)函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)線的性質(zhì)，運用求曲線在某點處切線方程的基本方法，

結(jié)合問題條件求出曲線f(X)=d+x2+l在點(1,f(l))處的切線方程。

【詳細解答】f(X)=3X2+2X,Af(1)=3+2=5,f(l)=l+l+l=3,/.曲線f(x)=x3+%2+l

在點(Lf(l))處的切線方程為y-3=5(x-l),即5x-y-2=0。

15、記S”為等差數(shù)列{4}的前n項和，若％=14,且4，%，4成等比數(shù)列，則%024的

值為o

【解析】

【考點】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項公式及運用；③等差數(shù)列前n項和公式及

運用；④求等差數(shù)列通項公式的基本方法。

【解答思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式，結(jié)合問題條件

得到關(guān)于等差數(shù)列{4}的首項和公差的方程組，求解方程組求出等差數(shù)列{4}的首項和公

差的值，從而求出首項和公差的通項公式就可求出生024的值。

【詳細解答】設(shè)等差數(shù)列{4}的首項為可，公差為d,S7=14,且%，%，4成等比數(shù)

列，；.7a]+21d=14①，(q+3d)2=(%+2d)(4+5d)②，聯(lián)立①②解得：4=2,d=0,

—-1，d=l,—cifl—2cin=n-2,.*.a，o24=2,^2024-2024-2—2022o

16、已知側(cè)面積為8宕萬的圓錐內(nèi)接于球0,若圓錐的母線與底面所成角的正切值為工，

2

則球0的表面積為。

【解析】

【考點】①圓錐定義與性質(zhì)；②球定義與性質(zhì)；③球的表面積高三及運用；④棱錐體積公

式及運用。

【解題思路】根據(jù)圓錐和球的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出R的值，從而求出SC的值，求出以

SC為直徑，且垂直與球O直徑的圓的面積，就可求出經(jīng)過S和。1A中點的平面截球。所得

截面面積的最小值。

【詳細解答】如圖，設(shè)球的球心為0,半徑為R,圓錐

底面圓的半徑為r,圓心為SA為圓錐的母線，連接

SO,0A,圓錐的母線與底面所成角的正切值為

2

?■-SO.=-r,=>SA=Jr2+-r2=—r,-「圓錐的側(cè)

12V22

面積為8J?%,兀戶=8亞兀，=>r=4,SO.=—r=2,在RtAOQA中，OA=R,

22

OO]=R-2,0[A=4,二7?2=i6+(R—2)2,=>R=5,二球O的表面積為4萬R?=100萬。

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17、(本小題滿分12分)

如圖，已知正四棱柱ABCD-4B]G0中，M為AA的中點，AB=2,AA1=4O

(1)求證：GMJ■平面BDM；

(2)求三棱錐M-BGD的體積。

【解析】

【考點】①正四棱柱定義與性質(zhì)；②勾股定理逆定理及運用；③直線垂直平面判定定理及運

用；④三棱錐體積公式及運用；⑤求三棱錐體積的基本方法。

【解題思路】(1)如圖，根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)，運用勾股定理逆定理，結(jié)合問題條件證明

CjMlBM,GM_LDM,利用直線垂直平面判定定理就可證明GM_L平面BDM；(2)

根據(jù)三棱錐的體積公式，運用求三棱錐體積的基本方法，結(jié)合問題條件求出GM的值，三

角形BDM面積，就可求出三棱錐M-BC1D的體積。

【詳細解答】（1）證明：如圖，?ABCD-A]B}qDx是正四棱柱，M為A4的中點，AB=2,

AA=4,AM=MA=2,nBM=DM=《4+4=2&,MG=44+4+4=26,

22222

BC\=DG=J4+16=26，BM+MC]=8+12=20=BCt,DM+MC]=8+12=20

=DQ2,BM±QM,DM±QM,BM,DMu平面BDM,BMDM=M,/.CjMl

平面BDM；(2)如圖，GM=J*+AG?=+AB；+與和2=J4+4+4=26,

BD=A/BA2+AD2=A/4+4=2①,BM=YJBA2+AM2=,4+4=2加，DM

二SABOM；T=2A/^,V_

^^JDA^+AM2=V4+4=2A/2,=x2\/^X2&XMBClD

=Vc「BDM=gX2V3X2^=4。

18、(本小題滿分12分)

某校高中階段實行體育模塊化課程教學，在高一年級開設(shè)了籃球和羽毛球兩個模塊課程，從

該校高一年級隨機抽取的100名男生和100名女生中，統(tǒng)計出參加上述課程的情況如下：

男生女生總計

參加籃球模塊課程人數(shù)602080

參加羽毛球模塊課程人數(shù)4080120

總計100100200

(1)根據(jù)上述列聯(lián)表，是否有99.9%的把握認為該校高一年級體育模塊化課程的選擇與性

別有關(guān)；

(2)根據(jù)抽取的200名學生的模塊化課程成績，每個模塊課程的前3名獲得參加體育模塊

化教學推廣大使的評選資格,若在有評選資格的6名學生中隨機選出2人作為體育模塊化課

程教學的推廣大使，求這2人來自不同模塊化課程的概率。

n(ad-bc)

附：P^K2>K)0.0250.0100.0050.001

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)C

5.0246.6357.87910.828

Kc

【解析】

【考點】①列聯(lián)表定義與性質(zhì)；②隨機變量定義與性質(zhì)；③獨立性檢驗的基本方法；④隨機

事件概率定義與性質(zhì)；⑤求隨機事件概率的基本方法。

【解題思路】(1)根據(jù)列聯(lián)表的性質(zhì)，運用獨立性檢驗的基本方法，結(jié)合問題條件求出K?

的值就可得出是否有99.9%的把握認為該校高一年級體育模塊化課程的選擇與性別有關(guān)；

(2)根據(jù)隨機事件概率的性質(zhì)，運用求隨機事件概率的基本方法就可求出這2人來自不同

模塊化課程的概率。

K?_n(ad-be)2

【詳細解答】(1)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

200(60x80-20x40)2100

——~33.33333.333>10,828,有99.9%的把握認

(60+20)(40+80)(60+40)(20+80)3

為該校高一年級體育模塊化課程的選擇與性別有關(guān)；(2)設(shè)這2人來自不同模塊化課程的

事件為C,籃球模塊的3名學生分別為A,4,4，羽毛球模塊的3名學生分別為B,,B2,

B3,-從6名學生中隨機抽取有2名的基本事件有A4，44，4片，A,B2,A]B},

，B共個,

AA3,A,Bt,B2,4aA3X,A3B2,A3B3,BxB2,BtB3,4B,15

從6名學生中隨機抽取的2名學生來自不同模塊化課程的基本事件有4Bx,A.B2,A】B),

__93

TL共個，,即這人來自

4zBi,,zBz,,&ByAJ,B1,,JA,z,B,,AJ,J9P(C)——=—,2

不同模塊化課程的概率為三3。

19、(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=2J^sinxcosx+Zcos?x-1,在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,

c,且滿足f(A)=l。

(1)求A的值；

(2)若b=l,求a+c的取值范圍。

【解析】

【考點】①三角函數(shù)二倍角公式及運用；②三角函數(shù)輔助角公式及運用；③三角形正弦定理

及運用；④三角形余弦定理及運用；⑤三角形面積公式及運用。

【解題思路】(1)根據(jù)三角函數(shù)二倍角和輔助角公式，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)正弦型

三角函數(shù)的表示式，就可求出A的值；(2)根據(jù)三角形余弦定理，結(jié)合已知條件求出c關(guān)

于a的表示式，從而求出b,c的值，運用三角形面積公式就可求出AABC的面。

【詳細解答】(1)函數(shù)f(x)=2^3sinxcosx+2cos2x-l=^/3sin2x+cos2x=2sin(2x+—),

6

=^>2A+—=2k^+—,或2A+工=2k%+%,

f(A)=2sin(2A+—)=1,sin(2A+—,

TT7/7/

A=k〃，或A=k%+—(keZ),AABC是銳角三角形，二A=—；(2)b=l,A=—,

7?10/77h71TC71

ci=1+c-2cx—=c-c+1,=^>a+c=7c—c+1+c,0<C=--B<—,—<B<—,

71

1入「sin(—+B)

1/?sinC3

---------，..一—<c=-----------=-------------------------------1---、----1---、工,田奴旦

sinBsinC2sinBsin32tanB222

二A/02—c+l+c在(—,2)上單調(diào)遞增，]+'=1+若Vf(c)=—c+]+c

2\4222

<74-2+1+2=73+2,二a+c的取值范圍是(匕無，2+g)。

2

20、(本小題滿分12分)

在平面直角坐標系中，動點C到點F(l,0)的距離已與到直線x=-l的距離相等。

(1)求動點C的軌跡方程；

(2)若直線1：y=x+m與動點C的軌跡交于P,Q兩點，當APQF的面積為2時，求直線1

的方程。

【解析】

【考點】①點的軌跡方程定義與性質(zhì)；②求點軌跡方程的基本方法；③設(shè)而不求，整體代入

數(shù)學思想及運用；④弦長公式及運用；⑤點到直線的距離公式及運用；⑥三角形面積公式及

運用。

【解題思路】(1)根據(jù)點的軌跡方程的性質(zhì)，運用求點軌跡方程的基本方法，結(jié)合問題條

件就可求出動點C的軌跡方程；(2)設(shè)P(七，%),Q(%，為)，聯(lián)立直線1與動點

C的軌跡方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)設(shè)而不求，整體代入的數(shù)學思想，得到

須+%，關(guān)于m的表示式，運用弦長公式，點到直線的距離公式和三角形面積公式，

結(jié)合問題條件得到關(guān)系m的方程，求解方程求出m的值就可求出直線1的方程。

【詳細解答】(1)設(shè)動點C(x,y),|CF|=J(x-l)2+y2,點C到直線x=-l的距離為

d=|x+l|,動點C到點F(l,0)的距離已與到直線x=-l的距離相等，二J(x-If+y?=|x+l|,

ny2=4x,二動點C的軌跡方程為y2=4x(xNO),(2)設(shè)P(x「%),Q(%，為)，

222

聯(lián)立直線1與動點C的軌跡方程得：x+(2m-4)x+m=0,+x[=4-2m,x^x^m,

二|PQI=gJ(4-2㈤2-4療=45赤,小與警U寧，

22

|PQ|JF=2|l+m|Vl-m=2,P,Q是不同兩點，A.=i6-16m+4m-4m=16(l-m)>0,

_i+J5

=>m<l,(m2+2m+l)解之得：m=0或m=—,直線1的方程的方程

、r_p.-1+y/5

為x-y=0,或x-y+-------=0,或x-y-

2

21、(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=2e'-ex。

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：f(x)>e(Inx+cosx)。

【解析】

【考點】①函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法；②運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法;

③運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)證明不等式的基本方法。

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)