2024屆河北省饒陽中學高考沖刺模擬數(shù)學試題 含解析

2024屆河北省饒陽中學高考沖刺模擬數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若復數(shù)z滿足z(l-2i)=10,則復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為大圓柱底面半徑為弓，如圖1放置容

h

器時，液面以上空余部分的高為九，如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為加，則：=()

九2

（、3

C.m

3.如圖，平面e與平面￡相交于BC,AB^a,CDu/3,點AeBC,煎D任BC,則下列敘述錯誤的是()

A.直線AQ與異面

B.過AO只有唯一平面與平行

C.過點。只能作唯一平面與垂直

D.過AD一定能作一平面與垂直

4.已知函數(shù)/（x）=x3+asinx,xwH,若/（—1）=2,則/⑴的值等于（）

A.2B.—2C.1+〃D.1—d

5.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶，每個單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為（）

213319

A.—B.—C.—D.—

525525

6.已知點工為雙曲線—匕=1（?！?）的右焦點，直線>=履與雙曲線交于A,B兩點,若NAM3=——，則

a43

的面積為（）

AF2B

A.2&B.26C.4夜D.473

7.已知加，九是兩條不重合的直線，a是一個平面，則下列命題中正確的是（）

A.若mlla,nlla,則相〃"B.若m/la,“<=a,則加〃“

C.若mVa,則〃//aD.若nlla,則加_L〃

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）

S=0J-l

SnS+2：?(l罰

IT+11

/輸Xs/

［結束］

A.16B.48C.96D.128

9.2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我

國的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個很搶眼，他們就是院?？蒲蟹疥?他們

是由軍事科學院、國防大學、國防科技大學聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學校，學歷分別有學士、

碩士、博士學位.現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學院的；②來自軍事科學院的不是博士；③乙不是軍事科學院的；④乙不是

博士學位；⑤國防科技大學的是研究生.則丙是來自哪個院校的，學位是什么（）

A.國防大學，研究生B.國防大學，博士

C.軍事科學院，學士D.國防科技大學，研究生

10.正三棱錐底面邊長為3,側棱與底面成60°角，則正三棱錐的外接球的體積為()

16萬32乃

A.4"B.16"C.-----D.-----

33

22

11.已知雙曲線與-A=l(a〉0,b〉0),過原點作一條傾斜角為g直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點，以線

段PQ為直徑的圓過右焦點F,則雙曲線離心率為()

A.72+1B.布+1C.2D.75

12.第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和

獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務，要求每個

人都要被派出去提供服務，且每個場地都要有志愿者服務，則甲和乙恰好在同一組的概率是()

1119

A.—B.-C.—D.—

1054040

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別邊”,仇。，且缶=2c，設角。的角平分線交A5于點。，貝11cosc

遼e曰BD

的值最小1時，――=___.

AD

14.函數(shù)/(x)=Jlogo5(4x-3)的定義域是.

15.已知集合4={小《1,162},5={,0<%<2},則4B=.

16.已知實數(shù)滿足一，,則的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=e，-x2_h(其中e為自然對數(shù)的底，兀為常數(shù))有一個極大值點和一個極小值點.

(1)求實數(shù)上的取值范圍；

(2)證明：/>)的極大值不小于L

18.(12分)設函數(shù)/(x)=e*+2at-e,g(x)=-ln%+at+a.

(1)求函數(shù)/(%)的極值；

(2)對任意都有/(x)之g(x),求實數(shù)a的取值范圍.

19.(12分)如圖，在三棱錐P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面平面ABC,

D、E分別為AB、AC中點.

(1)求證：AB±PE；

(2)求二面角A—P5—石的大小.

20.（12分）如圖，在四棱錐M—ABC。中，ABYAD,AB=AM=AD=2,MB=MD=2日

c

D

(1)證明：AM，平面ABC。；

(2)若CD//AB,2CD=AB,E為線段BAf上一點，且BE=2EM,求直線EC與平面瓦亞f所成角的正弦值.

lr「1一

10-0

21.(12分)試求曲線/=5，*在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M=,N=2

-2」［o1

22.(10分)已知變換T將平面上的點(0,1)分別變換為點2)設變換丁對應的矩陣為

(1)求矩陣〃;

(2)求矩陣"的特征值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

化簡復數(shù)，求得z=2+4i,得到復數(shù)在復平面對應點的坐標，即可求解.

【詳解】

1010(1+2，)

由題意，復數(shù)z滿足z(l-2i)=10,可得z=:c=7r二七7r^=2+47,

l-2z(l-2z)(l+2z)

所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點的坐標為(2,4)位于第一象限

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復數(shù)的運算法則，結合復數(shù)的表示方法求解

是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.

2^B

【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.

【詳解】

在圖1中，液面以上空余部分的體積為町24；在圖2中，液面以上空余部分的體積為萬1初因為224二萬瑁1所

)

故選：B

【點睛】

本題考查圓柱的體積，屬于基礎題.

3、D

【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質，結合線面垂直的關系，對選項中的命題判斷.

【詳解】

A.假設直線AZ5與共面，則A,D,B,C共面，則A3,共面，與ABue,CDu,矛盾，故正確.

B.根據(jù)異面直線的性質知，過AQ只有唯一平面與平行，故正確.

C.根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.

D.根據(jù)異面直線的性質知，過AD不一定能作一平面與垂直，故錯誤.

故選：D

【點睛】

本題主要考查異面直線的定義，性質以及線面關系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

4、B

【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，/(1)=-/(-1)=-2

【詳解】

V/(x)=x3+asinx

其中g(x)=13為奇函數(shù)，f(x)=asinx也為奇函數(shù)

?*./(X)=g(x)+“X)也為奇函數(shù)

??./(D=-/(T)=-2

故選：B

【點睛】

函數(shù)奇偶性的運用即得結果，小記，定義域關于原點對稱時有：①奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)x奇函數(shù)=偶函數(shù);

③奇函數(shù)十奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)x偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函

數(shù)+偶函數(shù)=奇函數(shù)

5、D

【解析】

三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率，利用互為對立事件的概率和為1

即可解決.

【詳解】

由題意，三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1；基本事件總數(shù)有高^M+會川

=150種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有種情況；若為第二

種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有母種，故甲、乙兩人在同一個單位的概率

為至=色，故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為1—9=2.

150252525

故選：D.

【點睛】

本題考查古典概型的概率公式的計算，涉及到排列與組合的應用，在正面情況較多時，可以先求其對立事件，即甲、

乙兩人在同一個單位的概率，本題有一定難度.

6、D

【解析】

設雙曲線C的左焦點為耳，連接耳，由對稱性可知四邊形A耳3月是平行四邊形，

設|A3=?|9|=磯得4c2=42+^—2.3不求出四的值，即得解.

【詳解】

設雙曲線C的左焦點為丹，連接A耳,34，

由對稱性可知四邊形是平行四邊形，

所以SA6&=SAF?B>^-FlAF2=--.

設則4/3心”嗚*+「。

又卜-引=2。.故44=4b-=16,

所以S=^^sin-=473.

故選：D

【點睛】

本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解

掌握水平.

7、D

【解析】

利用空間位置關系的判斷及性質定理進行判斷.

【詳解】

解：選項A中直線根，九還可能相交或異面，

選項B中相，”還可能異面，

選項C,由條件可得〃//a或〃ua.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質與判定等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題.

8、B

【解析】

列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量i滿足i>3退出循環(huán).

【詳解】

第一次循環(huán)：S=21(l+l)=4,z=2；第二次循環(huán):5=4+22(1+2)=16,7=3；

第三次循環(huán)：5=16+23(1+3)=48,，=4,退出循環(huán)，輸出的S為48.

故選：B.

【點睛】

本題考查由程序框圖求輸出的結果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.

9、C

【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學位.

【詳解】

由題意①甲不是軍事科學院的，③乙不是軍事科學院的；

則丙來自軍事科學院；

由②來自軍事科學院的不是博士，則丙不是博士；

由⑤國防科技大學的是研究生，可知丙不是研究生，

故丙為學士.

綜上可知，丙來自軍事科學院，學位是學士.

故選：C.

【點睛】

本題考查了合情推理的簡單應用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎題.

10、D

【解析】

由側棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.

【詳解】

如圖，正三棱錐A-BCD中，〃是底面ABCD的中心，則AM是正棱錐的高，是側棱與底面所成的角，即

ZABM=60°,由底面邊長為3得8"=2X28=6，

32

AM=BMtan600=Gx百=3.

正三棱錐A-BCD外接球球心。必在AM上，設球半徑為E,

貝!1由BO?=0凹2+92得尺2=(3-7?)2+(A/3)2,解得尺=2,

.?.V=-^7?3=—x23=—.

333

故選：D.

A

【點睛】

本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關系.掌握正棱錐性質是解題關鍵.

11>B

【解析】

求得直線PQ的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點坐標的關系，根據(jù)尸。，口列方程，化簡后

求得離心率.

【詳解】

設。（七,%）,。（%2，%），依題意直線PQ的方程為丁=后，代入雙曲線方程并化簡得

22c23a2bl_1>?—ci~b~c—3ci~b~上一，，.1、，

x=--------,y=3x=------f故%+%=。,％1"2=F-----------7，%?%=3x-x2=------9設焦點坐標為

b2-3a2b2-3a21212b2-3a22b2-3a2

F（c,O）,由于以PQ為直徑的圓經(jīng)過點R,^FPFQ=G,即（％—GX）—（％—G%）=0,即=0,即

6/k—3/=o,兩邊除以/得償1—6僅］-3=0,解得償］=3+2指.故

\a)\aJ\aJ

【點睛】

本小題主要考查直線和雙曲線的交點，考查圓的直徑有關的幾何性質，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12、A

【解析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.

【詳解】

五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，

所有可能的分組共有c；=10種，

甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場地無關,

故甲和乙恰好在同一組的概率是

故選：A.

【點睛】

本題考查組合的應用和概率的計算，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、逅

3

【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理和基本不等式得出cosC2避二交，再利用正弦定理，即可得出殷.

4AD

【詳解】

因為a+后=2c，則°=。+產(chǎn),

由余弦定理得：

「a2+b2-c2〃+/—：（a+后產(chǎn)3a2+2b2-2yf2ab

cosC=---------------=----------------------------=-------------------------

2ab2abSab

2>j6ab—2y[lab巫—

>----------=------9

Sab4

當且僅當島=@時取等號，

▼ridBDaADb

又因為----------=----------，----------=----------，

sinZBCDsinZCDBsinZACDsinZCDA

BDa后戈

ADb63

故答案為：顯.

3

【點睛】

本題考查余弦定理和正弦定理的應用，以及基本不等式求最值，考查計算能力.

14、

【解析】

由于偶次根式中被開方數(shù)非負，對數(shù)的真數(shù)要大于零，然后解不等式組可得答案.

【詳解】

解：由題意得，

x<1

；log05(4x-3)>0

，解得3,

4%-3>0

14

3

所叼＜龍《1,

故答案為：

【點睛】

此題考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎題.

15、{0,1}

【解析】

直接根據(jù)集合A和集合B求交集即可.

【詳解】

解：A={x|尤＜1,尤eZ},

B=1x|0<2},

所以A5={0,1}.

故答案為：{051}

【點睛】

本題考查集合的交集運算，是基礎題.

16、

【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.

【詳解】

根據(jù)柯西不等式：二二-二---二;=:二二-二一三:,故二二十二三.、：，

當二二一二二:二即一=,一=二時等號成立.

9?

故答案為：U.

【點睛】

本題考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角換元求得答案.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)e(2-21n2,-H?)；(2)見解析

【解析】

(1)求出廣(%)=1—2x4,記g(x)=e'-2x,問題轉化為方程g(x)=左有兩個不同解，求導，研究極值即可得

結果；

⑵由(1)知，/(x)在區(qū)間(—8,In2)上存在極大值點引，且左=e*—2再，則可求出極大值/(%)=(1—七)-+不?,

記力?)=(1-f)e'+產(chǎn)?e(—8,如2)),求導，求單調性，求出極值即可.

【詳解】

rxx

(1)f(x)=e-2x-k9由f\x)=Q^>e-2x=k,

xrx

記g(尤)=e-2x9g(x)=e-29

由g'(x)=0nx=ln2,且xvln2時，g\x)<0,g(%)單調遞減,g(x)G(2-21n2,+oo),

x>ln2時，g'(x)>0,g(%)單調遞增，g(x)G(2-21n2,+oo),

由題意，方程g(H=上有兩個不同解，所以左e(2—21n2,+s)；

(2)解法一：由(1)知，Ax)在區(qū)間(—8,In2)上存在極大值點再，且左

X1x>

所以/(x)的極大值為f(x^=e-x^-(e-2x1)x1=(l-x1)-+

記7z?)=(l-t)er+?2(?e(-co,In2)),則h'(t)=-tef+2t=t(2-e1^,

因為/e(-8,ln2),所以2—e'>0.

所以/<0時，/?(0<0,丸?)單調遞減，0</<ln2時，〃'?)>0,以。單調遞增,

所以/⑺>/7(0)=1,即函數(shù)/(尤)的極大值不小于1.

解法二：由(1)知，/(X)在區(qū)間(—8,In2)上存在極大值點再，且左=ef—2%，

所以f(,x)的極大值為/(%1)=ex'-%；~(ex'-2%)為=(1一%])ex'+工；,

因為[-X]〉0,ex'>1+,所以/'(xj'a_xja+xj+x：=1.

即函數(shù)f(x)的極大值不小于1.

【點睛】

本題考查導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，考查學生綜合分析能力與轉化能力，是一道中檔題.

18、(1)當420時,](X)無極值;當a<0時,/(%)極小值為-2a+2alli(-2a)-e；(2)

【解析】

(1)求導，對參數(shù)。進行分類討論，即可容易求得函數(shù)的極值；

(2)構造函數(shù)/?(%)=/(x)-g(x),兩次求導，根據(jù)函數(shù)單調性，由恒成立問題求參數(shù)范圍即可.

【詳解】

(1)依題/'(x)=e，+2a,

當時，/'(x)>0,函數(shù)/(九)在E上單調遞增，此時函數(shù)/(%)無極值；

當°<0時，令/'(x)=e*+2a>0,得x〉ln(-2a),

f'(x)=ex+2a<0,得尤<ln(-2a)

所以函數(shù)/(X)在(in(—2a),轉)上單調遞增，

在(T?,In(-2a))上單調遞減.

此時函數(shù)/(%)有極小值，

且極小值為/(in(-2a))=-2a+2aIn(-2a)-e.

綜上：當。上0時，函數(shù)/(%)無極值；

當。<0時，函數(shù)/(%)有極小值，

極小值為f(ln(-2a))=-2a+2aIn(-2a)-e.

(2)令〃(x)=/(x)-g(x)=e*+ar+lnx-a-e(x>l)

易得網(wǎng)1)=0且"(力=/+1+/卜。1),

X

令《九)=/(%)=ex+—+di(x>l)

JC

所以/'(%)=/—《(Ml),

JC

因為e*ie，0<3<1,從而/(x)>。,

X

所以，/(X)在［1,+8)上單調遞增.

又/'⑴=a+e+l

若aN-e-l,則/(%)=〃(％)?［1)=0+6+120

所以妝%)在［1,+<?)上單調遞增，從而h(x)>/z(l)=0,

所以a2-e-1時滿足題意.

若CL<一€—1，

所以=《l)=a+e+l<。，t(-a)=e~a+a~—,

在/(龍)中，令。=-)，由⑴的單調性可知，

=有最小值/⑼=l—e,從而e*Nx+l.

所以％(―a)=e"+a—N—Q+1+Q=1>0

aaa

所以a)<0,由零點存在性定理：

3x0e(l,-cz),使《4)=0且

勿>)在(1,%)上單調遞減，在［%，+8)上單調遞增.

所以當xw。,5)時，/z(x)</z(l)=0.

故當a<—e—1,〃x"g(x)不成立.

綜上所述：。的取值范圍為［-e-1,+s).

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究含參函數(shù)的極值，涉及由恒成立問題求參數(shù)范圍的問題，屬壓軸題.

19、(1)證明見解析；(2)60°.

【解析】

試題分析：

(1)連結產(chǎn)。，由題意可得產(chǎn)。，4瓦石。，河,則43，平面尸。及AB±PE;

(2)法一：結合幾何關系做出二面角的平面角，計算可得其正切值為故二面角的A-PB-E大小為60。；

法二：以。為原點建立空間直角坐標系，計算可得平面P5E的法向量4=(3,2,石).平面協(xié)8的法向量為

n2=(0,1,0).據(jù)此計算可得二面角的A—PB—石大小為60。.

試題解析：

(1)連結尸。，\PA=PB,PDAB.■：DEIIBC,BCAB,DEAB.

又；PDcDE=D,AB平面PDE,PEu平面PDE,

：.ABPE.

(2)法一：

PAB平面ABC,平面如夕'平面A3C=AB,PDAB,PD平面43c.

則OEPD,又EDAB,平面A5=Z>,DE平面JR48,

過。做O尸垂直P5與尸，連接EF,則EFPB,4FE為所求二面角的平面角，

3n

則：DE=~,DF=g,則均=D—E=,/—3,故二面角的A—M—石大小為60°

22DF

法二：

一平面協(xié)3平面ABC,PAB',ABC=AB,PDAB,PD平面43c.

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系，

L3

B(l,0,0),P(0,0,、R),E(0,0),

.PB=(1>0，—A/3)，PE=(Q，~，—y/3)?

設平面PBE的法向量4=(x,y,z),

x-A/3Z=0,

\3L令Z=6，得々=(3,2,6).

|y-^=0,7、)

平面BIB,...平面艮LB的法向量為叼=(0,1,0)

....../阿?叼1

設二面角的A—PB—石大小為〃，由圖知，cosO=cos=~門—>=—

同,恒2

所以6=60°,即二面角的A—依—石大小為60。.

20、(1)證明見解析

【解析】

(1)利用線段長度得到AM與間的垂直關系，再根據(jù)線面垂直的判定定理完成證明；

(2)以AD、40、AB為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦

值的絕對值等于線面角的正弦值，計算出結果.

【詳解】

(1)VAB=AM=AD=2,MB=MD=2⑤,

?*-AM2+AD2=MD2^AM2+AB2=MB~

：.AM±AD,AM±AB

VABr>AD=A,AZ)u平面ABC。，

AM,平面ABC。

(2)由(1)知ABLAD,AM±AD,AM±AB

又A為坐標原點，分別以A。、AM、AB為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

則A（0,0,0）,M（0,2,0）,0（2,0,0）,B（0,0,2）,C（2,0,l）,BO=（2,0,-2）,DM=（-2,2,0）,

,."=2Efi，CE=]2,g,-j

設〃=(x,y,z)是平面BDM的一個法向量

n-BD=02x-2z=0

則即,取X=1得"=（1,1,1）

n-DM=0—2x+2y—0

\n-CE\-2+"叵

，cos〈%CE）\二------L

11\n\ACE\

0與"

直線EC與平面BDM所成的正弦值為把亙

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【點睛】

本題考查線面垂