北京市海淀區(qū)2023-2024學(xué)年高三年級上冊期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題（含答案）

海淀區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)

局二數(shù)學(xué)2024.01

本試卷共6頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。

考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng)。

(1)已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},3={1,2,3},則令(己fB)=

(A){2,4,5,6}(B){4,6}(C){2,4,6}(D){2,5,6}

(2)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zrZ2對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z「Z2,則復(fù)數(shù)Z/Z2的虛部為

Fo-ix

(A)-i(B)-1(C)-3i(D)-3

(3)已知直線/i：x+]=l,直線4：2x—分+2=0,且4〃，2，則。=

(A)1(B)-1(C)4(D)-4

(4)已知拋物線C:/=8x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在。上，百=4,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝=

(A)4A/2(B)4(C)5(D)2加

(5)在正四棱錐P—ABC。中，AB=2,二面角尸—CD—A的大小為2,則該四棱錐的體積為

4

42

(A)4(B)2(C)-(D)-

33

(6)已知:。：/+2》+/_1=0,直線3:+〃(y—1)=0與-C交于A,B兩點(diǎn).若ZVLBC為直角三角

形，貝I

(A)mn-Q(B)m—n—Q(C)m+n=0(D)zn2-3n2=0

(7)若關(guān)于x的方程log/-優(yōu)=0(a>0且awl)有實(shí)數(shù)解，則。的值可以為

(A)10(B)e(C)2(D)-

4

(8)已知直線4，4的斜率分別為左，左2，傾斜角分別為a21貝!1"85(%—%)>0"是“左左2〉0''的

1

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（9）已知｛”“｝是公比為q（qwl）的等比數(shù)列，SR為其前〃項(xiàng)和.若對任意的〃eN*,S“〈言恒成立，

則

（A）｛%｝是遞增數(shù)列（B）｛4｝是遞減數(shù)列

（C）｛"｝是遞增數(shù)列（D）｛S“｝是遞減數(shù)列

（10）蜜蜂被譽(yù)為“天才的建筑師”.蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu).右圖是一個(gè)蜂房

的立體模型，底面ABCDEF是正六邊形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,EL均垂直于底面ABCDEE,

上頂由三個(gè)全等的菱形PGHZ,PIJK,PKLG構(gòu)成.設(shè)BC=1,ZGPI=ZIPK=ZKPG=0^10928,,

則上頂?shù)拿娣e為

（參考數(shù)據(jù)：cos8=-』，tan—=-/2）

32

（A）2^2（B）述。述（D）述

224

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

（11）在的展開式中，x的系數(shù)為.

（12）已知雙曲線/一加＞2=1的一條漸近線為一y=0,則該雙曲線的離心率為

（13）已知點(diǎn)A,B,C在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

ABBC=；點(diǎn)。到直線A5的距離為.

2

(14)已知無窮等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公差為d,則能使得g為+1為某一個(gè)等差數(shù)列抄〃｝的前〃項(xiàng)

和(〃=1,2,)的一組為,d的值為。］=，d—.

(15)已知函數(shù)/(%)二|cosx+4.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①任意awR,函數(shù)/(%)的最大值與最小值的差為2；

②存在,使得對任意X￡R,/(X)+/(〃-X)=2Q；

③當(dāng)awO時(shí)，對任意非零實(shí)數(shù)x,

④當(dāng)a=0時(shí)，存在Tw(O,?),%owR,使得對任意〃eZ,都有/(/)=/(%+江).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

如圖，在四棱柱A3CD—4與GA中，側(cè)面是正方形，平面ABgA，平面ABC。，AB//CD,

AD=DC=-AB,M為線段AB的中點(diǎn)，AD±B.M.

21

(I)求證：G"〃平面

(II)求直線AG與平面MB1G所成角的正弦值.

(17)(本小題14分)

在ZVlBC中，2ccosA=2Z?-a.

3

（I）求NC的大?。?/p>

（II）若c=6，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在，求AC邊

上中線的長.

條件①：ZVIBC的面積為26；

條件②：sin5-sinA=—；

2

條件③：b2-2a~=2.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

（18）（本小題13分）

甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)

計(jì)如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

（I）從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率；

（II）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)X表示乙得分大于丙得分的場

數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（HI）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨(dú)立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、

乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)X為甲獲勝的場數(shù)，八為乙獲勝的場數(shù)，工為丙獲勝的場數(shù)，

寫出方差。（乂），D（Y2）,。（毛）的大小關(guān)系.

（19）（本小題15分）

22_

己知橢圓E:》+g=1（?！?〉0）過點(diǎn)4（3,0）,焦距為2.

（I）求橢圓E的方程，并求其短軸長；

（H）過點(diǎn)P（l,0）且不與x軸重合的直線/交橢圓E于兩點(diǎn)C,D,連接CO并延長交橢圓E于點(diǎn)直線

AM與/交于點(diǎn)N,。為。。的中點(diǎn)，其中。為原點(diǎn).設(shè)直線NQ的斜率為左，求左的最大值.

（20）（本小題15分）

已知函數(shù)/(%)=依2-xsiwc+b.

4

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求證:

①當(dāng)x>0時(shí)，f(<x)>b-,

②函數(shù)/(九)有唯一極值點(diǎn)；

(ID若曲線a與曲線G在某公共點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為G和。2的“優(yōu)切線”?若曲線y=/(x)與

曲線y=YO&x存在兩條互相垂直的“優(yōu)切線”，求a,b的值.

(21)(本小題15分)

對于給定的奇數(shù)加(九.3),設(shè)A是由mx機(jī)個(gè)實(shí)數(shù)組成的加行m列的數(shù)表，且A中所有數(shù)不全相同，A中

第，行第j列的數(shù)％e{-1,1},記廠⑺為A的第，行各數(shù)之和，c(j)為A的第j列各數(shù)之和，其中

,、、nr-|r(l)+r(2)++r(m)\.,

,明.記〃A)=——?~7---------3.設(shè)集合〃或

a..-c(j)<0,zJe{l,2,,m}},記H(A)為集合H所含元素的個(gè)數(shù).

(D對以下兩個(gè)數(shù)表A,A，寫出/(A)，H(A)，/(&)，

-1-1111

111

11111-1-1

111-1-1

1111-1

11-1-1-1

111-1-1

1-1-1-1-1

11-1-1-1

1-1-1-1-1

A4

(II)若廠⑴，廠(2),…,中恰有s個(gè)正數(shù)，c(l),c(2),…,c(m)中恰有f個(gè)正數(shù).

求證：H(^A^..int+ms-2ts；

(III)當(dāng)機(jī)=5時(shí)，求”?的最小值.

“A)

海淀區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)

5

高三數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(1)A(2)D(3)B(4)D(5)C

(6)A(7)D(8)B(9)B(10)D

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

7J5

(11)-5(12)2(13)-11一(14)11(答案不唯一)(15)②④

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(共13分)

解：(I)連接AA.

在四棱柱—中，側(cè)面CD0G為平行四邊形，

所以C]Di〃CD,G2=CD.

因?yàn)锳B〃CD,CD=-AB,"為AB中點(diǎn),

2

所以CD〃AM,CD=AM.

所以CQ〃AM,CD=AM.

所以四邊形MA?！隇槠叫兴倪呅?

所以

因?yàn)椋糧平面ADDA，

所以〃平面ADDIA.

(H)在正方形ABBiA中，A^IAB.

因?yàn)槠矫鍭BB^±平面ABCD,

所以A4，平面ABCD.

所以A&LAD.

因?yàn)锳DLgM,用Mu平面用“與AA1相交,

所以AD_L平面A54A.

所以ADLA3.

6

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

不妨設(shè)AD=1,則4（0,0,0）,q（1,2,1）,4（0,2,2）,M（0,0,1）.

所以AG=（121）,QB,=（-1,0,1）,MCX=（1,2,0）.

設(shè)平面“4G的法向量為耳=（蒼％z）,

n-GB=0,f-x+z=0,

則〈]即4

nMC[=0,[x+2y=0.

令％=2,則y=-l,z=2.于是〃=（2,-1,2）.

因?yàn)閏os〈AC1,n）=JG]:,

K|-H9

所以直線AC】與平面MB?所成角的正弦值為—

（17）（共14分）

nhc

解：（I）由正弦定理----=-----=-----及2OCOSA=2Z?-Q,得2sinCcosA=2sinB—sinA.①

sinAsinBsinC

因?yàn)锳+5+C=?,

所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC.②

由①②得2sinAcosC-sinA=0.

因?yàn)槿恕辏?,不），所以sinAwO.

所以cosC.

2

因?yàn)??！辏?,?）,

■JT

所以c=2.

3

（II）選條件②：sinB-sinA=—.

2

rr27r

由（I）知，/B=TT-------NA=-------NA.

33

所以siaB-sinA=sin|--AsinA

=2/1COSA+J_sinA-sinA=—cosA--sinA

2222

7

因?yàn)樗詑-

r-r*［、［"*A兀ni-it兀

所以---A=—,即4=一.

366

所以△ABC是以AC為斜邊的直角三角形.

因?yàn)閏=A/3,

所以4。=四-=2一=2.

si"sin"

3

所以AC邊上的中線的長為1.

選條件③：b2-2a2=2.

由余弦定理得4+b2-ab-3.

設(shè)AC邊上的中線長為d,由余弦定理得

d2=a~+--——?2cosC

42

b2ab

2+--------

42

“2+，/+入3

42

=1.

所以AC邊上的中線的長為1.

（18）（共13分）

解：（D根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.

設(shè)A表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則尸（A）=木.

（II）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3

場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第

8場、第9場.

所以X的所有可能取值為0,1,2.

8

p（x=o）=^^=—,P（X=l）=-^4^=—,尸（x=2）=工^=—.

\7C"15v7C；15v'Cl5

所以X的分布列為

X012

182

P

1515~5

1Q24

所以E（X）=0x—+lx9+2><—=—.

'/151553

（in）。代）＞。（乂）＞°（切.

（19）（共15分）

解：⑴由題意知〃=3,2c=2A/5.

所以c=y[5，b1=a1—c1=4.

22

所以橢圓E的方程為L+t=l,其短軸長為4.

94

（II）設(shè)直線CD的方程為九=加,+1,D（x2,y2）,則加（一%（，-乂）.

|22

土匕=]

由＜94-，得（4加2+9）:/+8沖—32=0.

x=my+1

UU2一斷

所以X+%=——

-124m25——+9

由A（3,0）得直線AM的方程為y=（x-3）.

%+3

由卜卷（x-3）得好.2%.

3+玉一my

x=my+1l

因?yàn)橛?myx+\,

所以y=‘，…總+1=守.

所以N［守，-力

因?yàn)椤镼D的中點(diǎn)，且％2=My2+L

9

所以。產(chǎn)戶,為

所以直線NQ的斜率

匹+/—8m

k—22%+%=4m2+9=8M

22

my2+12-myx加(為+%)—1—8m]12m+9

4m2+9

當(dāng)wWO時(shí)，k<Q.

當(dāng)相>0時(shí)，

因?yàn)?2根+222厄3=126,當(dāng)且僅當(dāng)m="時(shí)，等號成立.

m2

8m<2A/3

所以左=

12m2+9--9-

所以當(dāng)且時(shí)，人取得最大值氈.

29

(20)(共15分)

解：(I)①當(dāng)々=1時(shí)，/(%)=x2-xsinx+Z?=x(x-sinx)+/7.

記g(x)=x-sinx(x>0),貝!Jgf(x)=1-cosx>0.

所以g(x)在[°，+8)上是增函數(shù).

所以當(dāng)%>0時(shí)，g(x)>g(O)=O.

所以當(dāng)%>0時(shí)，/(%)=A：(x-sinx)+/?>/?.

②由/(x)=x2一％$111^+6得/'(%)=2%—0111%—玄08%,且/'(0)=0.

當(dāng)x>0時(shí)，/r(x)=x(l-cosx)+x-siwc.

因?yàn)閘-cosx20,x-sinx>0,

所以/'(x)>0.

因?yàn)?(-%)=一:(x)對任意xeR恒成立，

所以當(dāng)％<0時(shí)，fr(x)<0.

所以0是/（力的唯一極值點(diǎn).

10

(ID設(shè)曲線y=/(x)與曲線y=YO&x的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為馬，其斜率

分別為占，k2,則左芯=—1?

因?yàn)?-cosx)f=sinx,

所以sin%]sinx2=kxk2=-1.

所以{si叫,sinx2}={-1,1}.

JT

不妨設(shè)si叫=1,則玉=24萬十萬,左￡Z.

因?yàn)?=/'(石)=2叫-sinXj-jqcos^,

由“優(yōu)切線”的定義可知2叼-siiLX]-X]COSX]=si叫.

12

所以〃=一=--------,keZ.

xx4左乃+n

由“優(yōu)切線”的定義可知-XjSinXj+b=-cos%1,

石

所以人=0.

277-JT

當(dāng)o=----------,keZ,6=0時(shí)，取刀=2k/cH——，x=Ik兀------，則

44萬-\-7i2?2

/(xj=-cos%i=0,/(x2)=-cosx2=0,/"(xl)=sinx1=1,/'(x2)=sinx2=-l,

符合題意.

2

所以a=----------,keZ,/?=0.

4Z?+萬

(21)(共15分)

解：

(I)"4)=10,“(4)=12；/(4)=12,77(4)=15.

由定義可知：將數(shù)表A中的每個(gè)數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)，或交換兩行(列)，H(A),/(A)的值不變.因?yàn)榧訛槠?/p>

數(shù),aye{-1,1},所以r⑴，r(2),…,c(l),c(2),…,c(m)均不為0.

(II)當(dāng)5￡{0,叫或加{0,叫時(shí),不妨設(shè)s=0,即u⑺<0,i=1,2,,m.

若，=0,結(jié)論顯然成立；

若IW0,不妨設(shè)c(/)>。，J=l,2,.",則(，")￡〃，，=1,2,,,根，J=l,2,

11

所以H(A)2加結(jié)論成立.

當(dāng)5e｛0,加｝且看區(qū)｛0,加｝時(shí)，不妨設(shè)r(i)>0,i=1,2,,s,c(j)>0,j=1,2,

則當(dāng)s+時(shí)，r(z)<0；當(dāng)r+lK/K根時(shí)，c(j)<0.

因?yàn)楫?dāng)i=l,2,,s,j=Z+1,Z+2,，根時(shí)，r(z)>0,c(j)<0,

所以(為?廠⑺)?(即?c(/))=G"⑺?c(/)<0,

所以

同理可得：(z,