2024屆鄂西北四校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆鄂西北四校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如果雙曲線的一條漸近線方程為y=且經(jīng)過點（5,（）,則雙曲線的標準方程是（）

A。，1

169916

C?-----------=1-----------1

916169

jr

2.已知函數(shù)/（無）=—xcos（i—x）,則/'（]）等于（）

A.OB.2

rin

C.—D.一一

22

3.已知拋物線尸=2加（。>0）,過拋物線的焦點作x軸的垂線，與拋物線交于A、B兩點,點河的坐標為（-2,0）,

且Aa〃為直角三角形，則以直線A3為準線的拋物線的標準方程為（）

A.y1-8xB.y2=-8x

C.y2=-4xD.y2=4x

Y2

4.已知點P是橢圓工=1上的任意點，廠是橢圓的左焦點，。是p尸的中點，則一。網(wǎng)2的周長為（

95

A.5B.6

C.10D.12

5.已知數(shù)列｛〃｝的通項公式為2="2-/1"-3（"wN*）,且數(shù)列｛包｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)X的取值范圍是（）

A.（-<x>,2）B.

C.（-oo,3）D.（-co,3]

6.已知四面體P—ABC中，PC=a,PA=PB=AC=BC=2a,AB=2@a,若該四面體的外接球的球心為。，則

Q4C的面積為（）

D.Ca?

7.若圓￡:(x—a)2+/=，&〉0)與圓Q：x2+y2=4/(廠〉0)相切，則。的值為()

A.±3rB.±r

C.±3'或土rD.3r或一

8.已知一組數(shù)據(jù)為：2,4,6,8,這4個數(shù)的方差為。

A.4B.5

C.6D.7

9.命題“存在xc[-L0],使得必+x—“<o”為真命題的一個充分不必要條件是。

11

A.a>——B.a〉一

44

11

C.a2—D.a>—

22

22

10.已知R是橢圓C:二+乙=1的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點。坐標為(4,4),貝！JIPQI+IP尸|的最大值

1615

為()

A.B.13

C.3D.5

11.現(xiàn)有4本不同的書全部分給甲、乙、丙3人，每人至少一本，則不同的分法有()

A.12種B.24種

C.36種D.48種

22

12.已知F為橢圓C：=+2=13乂>0)右焦點，。為坐標原點，P為橢圓C上一點，若|OP|=|O川，NPO尸=120。,

a2b-

則橢圓C的離心率為()

A亞B,昱

A.-----

23

C.72-1D.百-1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某次實驗得到如下7組數(shù)據(jù)，通過判斷知道》與x具有線性相關(guān)性，其線性回歸方程為$=0/25x+3,則

a=.（參考公式：y=bx+

X1234567

y6.06.26.36.46.46.76.8

14.已知直線/:如-（2-m）y+1-機=0,圓Ud+V—2x=0,若直線/與圓C相交于兩點，則|政V|的最

小值為______

15.數(shù)學(xué)中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.

例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設(shè)R是方程/（力=0的根，選取作為R的初

始近似值，在點（%,/（%））處作曲線丁=/（尤）的切線4,則4與％軸交點的橫坐標王稱為尺的一次近似值，在點

（七,/（玉））處作曲線y=/（%）的切線.則4與x軸交點的橫坐標x2稱為R的二次近似值.重復(fù)上述過程，用x,逐步逼

近區(qū).若給定方程§必+%—1=0,?。?0,貝!|々=.

16.函數(shù)/（x）=e'sinx+l的圖象在點（0,7（0））處的切線的方程是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）“雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購狂歡節(jié)，某電子商務(wù)平臺對某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購情況進行

摸底調(diào)查，用隨機抽樣的方法抽取了100人，其消費金額，（百元）的頻率分布直方圖如圖1所示：

（1）利用圖1,求網(wǎng)民消費金額/的平均值i和中位數(shù)為；

（2）把下表中空格里的數(shù)填上，能否有90%的把握認為網(wǎng)購消費與性別有關(guān).

男女合計

t..XQ

30

合計45

附表:

產(chǎn)（/次0）0.100.050.01

k。2.7063.8416.635

n(ad-bc)2

參考公式：z2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.（12分）已知拋物線C:f=2加（夕〉0）的焦點R在直線x—y+l=O上

（1）求拋物線C的方程

（2）設(shè)直線/經(jīng)過點A（-L-2）,且與拋物線。有且只有一個公共點，求直線/的方程

19.(12分)已知/(x)=(sinx+cosx)’—cosI2x—

I6

（1）求/（九）在0e上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）已知銳角ABC內(nèi)角A,B,。的對邊長分別是。，b,c,若/（C）=l,。=2.求ABC面積的最大值.

20.（12分）已知歹是拋物線C：V=4x的焦點，直線/交拋物線于M、N兩點.

（1）若直線/過點歹且NxM0=6O°，求|引圖；

（2）若P（2,l）平分線段MN,求直線/的方程.

21.（12分）已知數(shù)列｛%｝滿足q=g且a“+i=3a“+l.

（1）證明數(shù)列上是等比數(shù)列；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足4=1,bn+i-bn=an+^,求數(shù)列也｝的通項公式.

22.（10分）已知函數(shù)/（尤）=（必+始;+1）］.其中e為然對數(shù)的底數(shù)

（1）若。=1,求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a>0,討論函數(shù)/（%）零點個數(shù)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，然后將點15,：

代入，進而求得答案.

【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為y所以設(shè)雙曲線方程為看-9=2（4wO）,將15,9

代入得:

259r2v2

---=2^2=1,即雙曲線方程為土-匕=1.

1616169

故選：D.

2、D

【解析】先通過誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，進而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.

【詳解】由題意，/（x）=xcosx,

故選：D.

3、B

【解析】設(shè)點A位于第一象限，求得直線A3的方程，可得出點A的坐標，由拋物線的對稱性可得出|40|=忸"|,

進而可得出直線A"的斜率為1,利用斜率公式求得P的值，由此可得出以直線A3為準線的拋物線的標準方程.

y~~2px

X_L

【詳解】設(shè)點A位于第一象限，直線AB的方程為％=與，聯(lián)立<，可得2,

2x=一P

2y=±p

所以，點A

k-p

AM

QVABM為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出\AM\=\BM\,則直線AM的斜率為1，即~P+2^

解得。=4.

因此，以直線A3為準線的拋物線的標準方程為V=-8x.

故選：B.

【點睛】本題考查拋物線標準方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.

4、A

【解析】設(shè)橢圓另一個焦點為b'，連接尸尸，利用中位線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可求得結(jié)果.

22________

【詳解】在橢圓=1中，a=39b=A/59c=\ja2-b2=2，

如圖，設(shè)橢圓的另一個焦點為尸，，連接尸「，

因為。、。分別為竹'、P/的中點，則|。。|=；|尸尸|,

則—。的2的周長為目+\OQ\+\QF\=\OF\+^（\PF'\+\PF\）=c+a=5,

5、C

【解析】利用遞增數(shù)列的定義即可.

［詳解］由2+1_4=（〃+1）2_2（〃+1）_3_（〃2_；1〃_3）=（2〃+1）-2〉0,

A＜2n+1＞即是4小于2〃+1的最小值，.\】＜3,

故選：c

6、C

【解析】根據(jù)四面體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、球的性質(zhì)、正弦定理進行求解即可.

【詳解】由圖設(shè)點。為A3中點，連接由Q4=M=AC=5C,所以

A

D

B

PD±AB,CD1AB,PDcCD=D,PD,CDu面PCD,

則AB，面PCD,且PAB^.ABC,

所以球心Oe面PC。，所以平面PC。與球面的截面為大圓，CD延長線與此大圓交

于E點.在三角形ABC中，由AC=8C=2a,A8=2/a,所以

A=B=30,C=120,CD=BCsinB=2?x1=?,由正弦定理知：三角形ABC

1AH

的外接圓半徑為/=^x.=2a,設(shè)三角形ABC的外接圓圓心為點“，則

2sin120

OM±^ABC,"=ME=MC=2a,則ME>=a,設(shè)鉆的外接圓圓心為點N,則ON,面Q4B,由正弦

140

定理知：三角形弘5的外接圓半徑為r=二X—^^=2”，

2sin120

所以0M=0N,又三角形PDC中，PC=PD=CD=a,

所以。。為ZPDC的角平分線，則/。。/=30,

在直角三角形中，OM=MDtan30，

3

2]q

在直角三角形。即中，R2=0M2+EM2=—+^cr=—a2，

在三角形。4c中，取中點S,由。4=0CnQS_LAC

OS=yJoA2-AS2=,—a2-a2=J—a,所以

q=~ACxOS」x2ax叵"叵a

0.OAC223

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：運用正弦定理、勾股定理、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵.

7,C

【解析】分類討論：當兩圓外切時，圓心距等于半徑之和；當兩圓內(nèi)切時，圓心距等于半徑之差，即可求解.

【詳解】圓G的圓心為30)，半徑為「，圓的圓心為(0,0),半徑為2廠.

①當兩圓外切時，有|a|=3乙此時。=±3八

②當兩圓內(nèi)切時，有|a|=r,此時。=土廠.

綜上，當。=±3廠時兩圓外切；當“=土廠時兩圓內(nèi)切.

故選：C

【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解答兩圓相切問題時易忽略兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況.解答時注意分

類討論，屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式，準確計算，即可求解.

【詳解】由平均數(shù)的計算公式，可得工=2+"6+8=5,

4

所以這4個數(shù)的方差為:[(2—5尸+(4—5>+(6-5)2+(8—5>]=5

故選:B.

9、B

【解析】“存在無武—1,0],使得爐+x—a<0”為真命題，可得。“一+工心，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.再

利用充要條件的判定方法即可得出.

【詳解】解：因為“存在1,0],使得必+%—a<。，，為真命題,

￡

4,

因此上述命題得個充分不必要條件是a>-.

4

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

10、B

【解析】利用橢圓的定義求解.

【詳解】如圖所示：

\PQ\+\PF|=|PQ|+2a-1PF'|<2a+\QF'|=8+,J(4-l)4+42=13，

故選:B

11,C

【解析】先把4本書按2,1,1分為3組，再全排列求解.

【詳解】先把4本書按2,1,1分為3組，再全排列，

「2cle1

則有」5ALx蜀=36種分法，

故選:c

12、D

【解析】記橢圓。的左焦點為E,在尸OE中，通過余弦定理得出戶耳，歸國，根據(jù)橢圓的定義可得(6+l)c=2a,

進而可得結(jié)果.

【詳解】記橢圓C的左焦點為E，在POF中，可得戶典=7C2+C2-2XCXCXCOS120=&，

在中，可得|PE|=c,故忸回+戶口=(6+1*=2%

故，個高41，

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

59

13、9##—

10

【解析】求得樣本中心點的坐標，代入回歸直線，即可求得6.

詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得：

X=4,y=|(6+6.2+6.3+6.4+6.4+6.7+6.8)=6.4

故64=c1：5.4t，解得&=5.9.

故答案為：5.9.

14、V2

【解析】求出直線過的定點，當圓心和定點的連線垂直于直線/時，|MN|取得最小值，結(jié)合|〃乂|=2小產(chǎn)一萬2即可

求解.

由題意知，圓C:(x—1)2+丁=1,圓心半徑廠=1,

直線/:mx-(2-tn)y+1-m=Q,相(x+y-1)—2y+l=0,

1

x=—

x+y-l=02

<-2y+l=0解得7,故直線/過定點尸

設(shè)圓心到直線的距離為d,則|吹|=2,產(chǎn)_42=2jl_12,可知當距離d最大時,

|MN|有最小值，由圖可知，CP,/時，d最大,此時—=乎,

=0.故|MN|的最小值為行.

故答案為：0.

5

15、-

6

【解析】根據(jù)牛頓迭代法的知識求得馬.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(x)=gd+x—1,/(力=爐+1/(o)=i,/(0)=-1,

切線4的方程為y+l=lx(x—o),y=x—1,與X軸交點的橫坐標為王=1.

/1(1)=2,/(1)=|,

所以切線4的方程為丁―；=2(x—l),y=2x—g,與x軸交點的橫坐標為々=：.

故答案為：—

6

16、X—y+1=0

【解析】求導(dǎo)，求得/(0)=1,左=/(0)=1,根據(jù)直線的點斜式方程求得答案.

【詳解】因為/(0)=1,f(^v)=ex(sinA;+cosx),

所以切線的斜率左=/(0)=1,切線方程是y—l=x,即x—y+l=。.

故答案為：x-y+l=0.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)7=11.5，%=10

(2)列聯(lián)表見解析，沒有

【解析】(1)根據(jù)平均數(shù)的定義求平均數(shù)，由于前2組的頻率和恰好為0.5,從而可求出中位數(shù)，

(2)根據(jù)頻率分布表結(jié)合已知的數(shù)據(jù)計算完成列聯(lián)表，然后計算/公式計算犬，再根據(jù)臨界值表比較可得結(jié)論

【小問1詳解】

以每組的中間值代表本組的消費金額，則網(wǎng)民消費金額?的平均值為

t=2.5x0.2+7.5x0.3+12.5x0.2+17.5x0.15+22.5x0.1+27.5x0.05=11.50.

頻率直方圖中第一組、第二組的頻率之和為0.04x5+0.06x5=0.5,

..?中位數(shù)to=10；

【小問2詳解】

把下表中空格里的數(shù)填上，得列聯(lián)表如下;

男女合計

t??ZQ252550

203050

合計4555100

2

100x(25x30-25x20)=100al01<2706>

45x55x50x5099

所以沒有90%的把握認為網(wǎng)購消費與性別有關(guān).

18、(1)x2=4y

(2)/的方程為I=-］、y=x-l、y=-2x—4

【解析】(1)求得/點的坐標，由此求得2,進而求得拋物線。的方程.

(2)結(jié)合圖象以及判別式求得直線/的方程.

【小問1詳解】

拋物線c：f=2加(夕＞0)的焦點在y軸上，且開口向上，

直線X—y+l=0與y軸的交點為(0,1),則尸(0,1),

所以］=1，P=2,拋物線的方程為d=4y.

【小問2詳解】

當直線/的斜率不存在時，直線％=-1與拋物線只有一個公共點.

那個直線I的斜率存在時，設(shè)直線I的方程為y+2=k(x+l),

y+2=k(x+l)x2..,,

2

{2—+2=kx+k,x—4Ax+8_4左=0,

%-=4y4

A=16左2—4(8—4左)=16左2+16左一32=0,k2+k-2^omk=l^k=-2.

所以直線/的方程為、=尤-1或y=-2x—4.

綜上所述，/的方程為l=-1、、=尤-1、y=-2x-4.

(2)2+G

TT

【解析】(1)首先根據(jù)三角函數(shù)恒等變換得到/(x)=sin(2x-§)+l,再求其單調(diào)增區(qū)間即可.

(2)根據(jù)/(C)=1得到C=9,根據(jù)余弦定理和基本不等式得到。匕<4(2+若)，結(jié)合三角形面積公式計算即可.

6

【小問1詳解】

由題意/(x)=；sin2x——^-cos2x+l=sin(2x-g)+1.

JTTTTTTT)7T

由----F2k7t<2x----<——\-2k7t,得k兀-----<x<-----Fk7r(keZ),

2321212

令左=0,n--<x<—,

1212

所以/(九)在［0,1d上的單調(diào)遞增區(qū)間是［0,1|］

【小問2詳解】

7T4

因為/(O=sin(2C--)+1=1,所以2C—§=k兀(keZ),

得C=J+”，又C是銳角，所以C=工，

626

由余弦定理：c2=a2+b2-2abeosC,M4+y/3ab=a2+b2>2ab，

所以〃Z?<4（2+若），且當。=b時等號成立

所以=—absinC=—ab<2+y/39

故.ABC面積最大值為2+6

20、（1）4；

（2）2x—y—3=0.

【解析】（1）分析可知直線/的方程為x=3y+l,將直線/的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點用的坐標，利用拋物

3

線的定義可求得|FM|；

（2）利用點差法可求得直線/的斜率，利用點斜式可得出直線/的方程.

【小問1詳解】

解：設(shè)點N（*2，%），則直線/的傾斜角為60，易知點b（1,0）,

r[@]

直線/的方程為x=1@y+l,聯(lián)立“一行'+,可得百V—4丁―4百=0,

3y2=4x

由題意可知X>o,則X=2A/L.?.玉=[另+1=3,因此，|襁|=3+1=4.

【小問2詳解】

解：設(shè)以（不乂）、N（x2,y2）,

若MNLx軸，則線段的中點在x軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，

y,2=4x,y,-y4

因為〃、N在拋物線上，貝叫；1,兩式相減得9=------,

[￡=4/%一々X+%

又因為P（2,l）為的中點，則為+%=2,

所以，直線/的斜率為左="^=”=2,

玉一122

此時，直線/的方程為y-l=2（x-2）,即2x-y-3=0.

4〃T+1

21、（1）證明見解析；（2）b=------（neN*）.

n2

【解析】(1)根據(jù)題意可得a.+i+g=31a"+g；根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；

(2)由⑴可得%=3"T—g,可得"+「〃=3"T,利用累加法即可求得數(shù)列也｝的通項公式.

1

1(04+1+5

【詳解】(1)因為。“+1=3?！?1,所以。“+1+5=34+^,即-----j=3,

「2

所以1%+11是首項為1公比為3的等比數(shù)列

(2)由⑴可知4+g