河南省焦作市博愛縣某中學2024屆高三年級下冊第二次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

焦作市博愛一中2023-2024學年（下）高三第二次模擬考試

數(shù)學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設集合4={°'-"},5={l,a-2,2a-2},若4/,則a=（）.

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)包含關系分a-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為則有：

若a—2=0,解得a=2,此時A={0,—2},B={l,0,2},不符合題意；

若2a—2=0,解得a=l,此時A={0,—1},B={l,-l,0},符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B.

1323

2.已知。，A均為正實數(shù)，且滿足一+7=2,則-----+------的最小值為（）

ab2a-12b-3

A.2B.272C.2A/3D.276

【答案】B

【解析】

13

【分析】先將一+—=2化為3a+〃=2a〃，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.

ab

13

【詳解】因為〃，人均為正實數(shù)，且一+—=2,得3。+6=2次?，

ab

236〃+4/?—96〃+4/?—96〃+4/?—9

加以2a—12b-3（2a—1）（26—3）4ab-6a-2b+33'

又6a+46=3（6。+45）弓+1=；〔18+竺+

>9+6A/2,

4b_18a1+V2

當且僅當<:b2，23

3(2+夜)時取等號，所以------1------>2A/2.

2?-12b—3

—+7=2,

b

4

故選：B.

3.已知事函數(shù)/⑺=(/一2a—2)尤"(aeR)在(0,+“))上單調(diào)遞增，不等式/(x+5)</(%2-3x)的解

集為()

A.(-a),-5)(1,y)B.(―,一1)(5,+8)C.(-1,5)D.(-5,1)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)事函數(shù)的定義及性質(zhì)求出。的值，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解不等式的解

集.

【詳解】解：因為函數(shù)/(x)=(〃—2a—2)尤"(awR)為暴函數(shù)，所以/一24—2=1，解得a=3或

a=-1,

又幕函數(shù)/(%)=(。2_2。—2)尤a(awR)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以a=3,此時/(x)=x3在R上單調(diào)遞增，

因為/(%+5)<一3%),所以％+5<%2一3%,解得x>5或x<—l,

所以不等式/U+5)<f(X2-3X)的解集為(-a),-l)(5,+8),

故選：B.

11]21

4.若。=—e3,"=—e5,c=一，貝!1()

563

A.b>c>aB.c>a>b

Ca>b>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進行判斷即可.

2-1-

【詳解】由題意知2a=te3,2b=：e5,

令/(%)=,則W=匕(：J<0，

xx

i9

所以/（九）在（0,1）上單調(diào)遞減，XO<-<J<1,

I2

（1>/2、e3e52-1-

所以，即了>2,所以（e3>：e5，即2。>2"，所以“>人,

35

又5a=號=狐,5c='，又3=>斕>庭，所以5c>5a,

33V27

所以c>。，所以c>a>6.

故選：B.

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是對已知實數(shù)進行變形，然后構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.

5.已知tane=-2,a的終邊與以原點為圓心，以2為半徑的圓交于夕（不，兀），則%為=（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)tane=-2和點在以2為半徑的圓上，建立方程組，解方程組可得答案.

【詳解】因為tane=-2,所以&=-2,即為=—2%；

玉）

又因為夕（同，兀）在以2為半徑的圓上，

所以X（）2+%2=4,/2=[,X。=；

當Xo=半時，為=-崢，此時x0%=-S；

DDJ

當毛=一2^時，止匕時%。%=一'|；

故選：A.

6.歐拉是18世紀最偉大的數(shù)學家之一，在很多領域中都有杰出的貢獻.人們把歐拉恒等式“3"+1=0”與

麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”.其中，歐拉恒等式是歐拉公式：e，=35夕+人也夕的一種特

殊情況.根據(jù)歐拉公式，則e

C.也V3

V

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)歐拉公式寫出對應復數(shù)的三角形式并化簡，即可求模.

■"力..Qm71..715兀..5兀||01.百1.

【詳解】由題設，e6+e6=cos—+isin—+cos---i-isin一=----1-—i-----b—i=1.

6666112222

故選：B

2

7.已知直線/與橢圓上+%2=1在第四象限交于A、B兩點，/與X軸，y軸分別交于C、。兩點，若

3

gq=|即，則/的傾斜角是（）

7171?71571

A.-B.-C.-D.—

64312

【答案】C

【解析】

【分析】由題意線段A3的中點，也是線段。的中點，再利用點差法和AB、。、。四點共線求出左金，得

解.

【詳解】由|人。=|比）|可得線段A5的中點，也是線段CD的中點，

設人（七,％）,磯馬,72），線段AB中點坐標為“（飛,％），

X,+X,

%

則。（2%0）,。（0,2為）,2.

又點A3在橢圓上，所以《

3

3,所以q一7

(%+々一九2JX1+X2X1~X2

所以竽"&1B=_3,即％■.左AB=-3

2%%

又因為四點共線,所以勤=%=言?=一點

綜上可得配=±G，由在第四象限得上會〉0即鼬=G，

7T

所以直線的傾斜角為三.

3

故選：C.

19

8.已知函數(shù)/(x)=xlnx—5以2—2x有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-8,e-2)B.(OH)C.(-00,0-1)D.(0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】由/'(x)=lnx—以―1在(0,+8)上有兩個不同的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)丁=。與、=生支口有兩個

不同的交點，利用數(shù)形結合法求解.

【詳解】/'(x)=ln%-av-l,

因為/'(x)Tnx-依―1在(0,+力)上有兩個不同的零點，

即Inx—◎—1=0有兩個不同正根，即a=生三口有兩個不同的正根，

X

即y=a與y=電3有兩個不同的交點.

x

o_1n丫

因為當0<%</時，y>o,當%>/時，y<o,

X

所以函數(shù)丁=正口在(。42)為增函數(shù)，在任2,+8)為減函數(shù)，

X

當x=/時，y=~，且當x〉e時，y>0,

e

在同一坐標系中作出與的圖象,

y=ay=lnx—l如圖所示:

故選：B.

【點睛】方法點睛：用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判

斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結合來解決.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得。分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；

若只有3個正確選項，每選對1個得2分.

9.已知圓C“：（x—“）2+y2=〃2（〃>。），則下列結論正確的是（）

A.無論〃為何值，圓G都與>軸相切

B.存在整數(shù)九，使得圓G與直線y=x+2相切

C.當〃=5時，圓G上恰有n個整點（橫、縱坐標都是整數(shù)的點）

D.若圓G上恰有兩個點到直線y=x的距離為0,則20—2<〃<2虛+2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)圓心到直線距離即可判斷A,根據(jù)直線與圓相切得到方程，解出即可判斷B,將〃=5代入,

寫出所有整數(shù)點即可判斷C,首先寫出圓心到直線,=%的距離從而得到不等式組，解出即可

2

判斷D.

【詳解】對A,由題意可知圓a的圓心坐標為（〃,o）,半徑為九，

則圓心到y(tǒng)軸的距離等于圓G的半徑，則A正確.

-C|〃+2If-

對B,由圓C“與直線y=x+2相切，得及=n,解得〃=2拒+2，則B錯誤.

對C,當〃=5時，圓C”：(x—5)~+=25,

則c”上的整點有(0,0),(L3),(L—3),(2,4),(2,~4),(5,5),(5,-5),(8,4),(8,-4),(9,3),(9,-3),(10,0),共

12個，則C錯誤.

對D,圓心到直線y=x的距離正〃，則〃—也〃<后<〃+也〃，解得

V2222

20-2<"<2&+2，故D正確.

故選：AD.

10.若關于x的不等式ei+x>2ax2—在(。，+8)上恒成立，則實數(shù)。的值可以是()

A.-B.)C.逅D.2

e23

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)題意分和?！怠箖煞N情況討論，當工時，有

222

x—2x—2

-----F1-2ax+In-----l-l-x+lnx=e^-2-lnx+l-x+lnx,通過求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函

XX

數(shù)的最值得出1-2，工+1—x+in%20結論驗證；當?！倒r，令"(%)=%—2—Inx,求導判斷出函數(shù)存

2

e%-2

在零點設為看,即可判斷——+1—2%)+ln%=(l—2a)/<0,最后綜合得出。的取值范圍.

%

X—21

【詳解】依題意，——+1—2ox+lnx>0在(0，+8)上恒成立，當aW—時，

x2

x—2x—2

1-1-2ax+In\-l-x+inx=Qx~2~inx+l-x+lnx,

x----------------x

令，=%-2-Inx,則h(t)=-t-1,h\t)=er-1,

故當(一8,0)時，h'⑴<0,當/￡(0,+8)時，hr(t)>0,

故躍，)>以0)=0,故/一2』％+1—x+lnxN0,則不等式成立;

當a〉L時，令"（%）=%一2-Inx,因w（l）=-1<0,

2

w（4）=2-21n2>0,故〃（x）在（1,4）內(nèi)必有零點,設為％,則=

e%-2

則e"-二%,故-----bl—2tz%0+Inx0=（1—2a）x0<0,不合題意，舍去；

%

綜上所述，?<-.

2

故選：AB

【點睛】恒成立問題求參數(shù)注意分類討論；

適當?shù)臉嬙旌瘮?shù)通過函數(shù)的最值分析參數(shù)的取值.

11.一個袋子中有紅、黃、藍、紫四種顏色的球各一個，除顏色外無其他差異，從中任意摸出一個球，設

事件A="摸出紅色球或藍色球”，事件3="摸出紫色球或藍色球”，事件C="摸出黃色球或藍色球”，則

下面結論正確的是：（）

A.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）B.A與3相互獨立

C.A與。相互獨立D.3與C相互獨立

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)相互獨立事件的定義逐一判斷即可.

?12121

【詳解】由題意可得P（A）=Z=5，P（3）=Z=5，P（C）=Z=5，

P（M）=；=P（A）P（3）,所以A與3相互獨立，故B正確；

P（AC）=^=P（A）P（C）,所以A與C相互獨立，故C正確；

P（BC）=1=P（B）P（C）,所以B與。相互獨立，故D正確；

P（ABC）=^P（A）P（B）P（C）,故A錯誤.

故選：BCD.

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/（力=坨（2尤2-℃+54-1）在[2,+8）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

7

【答案】（—§,8]

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性、結合對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解作答.

【詳解】函數(shù)y=lgx在(0,+8)上單調(diào)遞增，

依題意，Vxe[2,+oo),2/—ta+5a—1>0,且y=2必—ax+5a—1在[2,+oo)上單調(diào)遞增，

-<27

因此<4,解得——<。48,

3

2x2?9-2。+5〃-1>0

7

所以，的取值范圍是(-§,8].

7

故答案為:(——,8]

13.在直角梯形ABC。，ABLAD,DC//AB,AD=DC=1,A8=2,E,尸分別為A5,5C的

中點，點尸在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DEM上變動(如圖所示)，若=2即+//A尸，其中；I,

則2%-〃的取值范圍是.

【答案】[-72,1]

【解析】

一...3

【分析】結合題意建立直角坐標系，得到各點的坐標，再由AP=XED+//A尸得到cosa=-2+/4,

sina=X+；〃，從而得到22-〃=亞由此可求得22—〃的取值范圍.

【詳解】結合題意建立直角坐標，如圖所示：

則4(0,0),E(l,0),D(0,l),C(l,l),5(2,0),P(cosa,sin?)l

3J_

則尸,AP=(cosa,sin6z),ED=(-1,1),AF=

2,2141

AP=AED+^AF,

3￡

(cosa,sincr)=2(-1,1)+//

2,2-2+—//,2+—//j,

Acosa=-A+-jLi,sincr=2+-^,

22

4=；(3sina-cosa),〃=g(cosa+sina),

22一4=；(3sina-cosa)-；(cosa+sina)=sina一cosa-y/2sin71

a~~

7C713717171-l<sinfa--L—,

----WaV-，---<。V—,71

224----4442

-A/2<拒sina--j—1,—5/2<2/1—//<1,即（2…卜[一屈1].

故答案為:[-

14.某射擊運動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8,唯一的眾數(shù)

為9,極差為3,則該組的平均數(shù)為

【答案】7.8

【解析】

【分析】首先分析數(shù)據(jù)的情況，再根據(jù)平均數(shù)公式計算即可.

【詳解】這組數(shù)據(jù)共5個數(shù)，中位數(shù)為8,則從小到大排列時，8的前面有兩個數(shù),

后面也有兩個數(shù)，又唯一的眾數(shù)為9,則有兩個9,

其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次,則最大數(shù)字為9,

又極差為3,所以最小數(shù)字為6,

所以這組數(shù)據(jù)為6、7、8、9、9,

6+7+8+9+9

則平均數(shù)為=7.8,

5

故答案為：7.8.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)〃尤）=sin無+/'cosx+sinx+—,xeR.

I3

(i)求了5的值;

(II)若=且(0<av?),求cos。的值.

3A/3E、V3-2V2

【答案】(i)-----\117-----------

26

【解析】

【分析】(I)直接代入求解即可

n

(ID利用三角恒等變換，得到/(%)=3sinXH----，再利用/(a)=l，得至U

3

sinIa+~1,得到葛＜a+q〈乃，即可求出cos最后利用

I23

cosa=cos&求解即可

717171

【詳解】W：(I)/s.in?！狥、VA3cos——l,-si?n—+—

3333

_V|走走—述

一3

(II)/(%)=sinx+V3cosx+sinx+—

I3

=sin%+V3COSx+—sinx+—cosx

22

3.373

=—smxd------cosx，

22

=3—sinxd----cosx=3sinxd■一

122JI3

若/(a)=l,則3sin(a+g)=l,

即sin[a+]J=耳

JI47r

?:b<a<兀，??一<。H—<—f

333

0<6^H--<一（舍）或---<。H--<7T,

3663

2011V3V3-2V2

則cosa=cosI67+y-yI=cosI+yIcos-j+sinIcr+yIsm—-----x—+—X---=--------

=32326

【點睛】本題考查三角恒等變換的運用，難點在于對等式進行化簡，屬于中檔題

16.記5〃為等差數(shù)列｛如｝的前〃項和，已知S9=一%.

(1)若。3=4,求｛?！保耐椆?；

(2)若內(nèi)>0,求使得S2斯的n的取值范圍.

【答案】(1)??=-2?+10；

(2)1<n<10(neN*).

【解析】

【分析】(1)首項設出等差數(shù)列的首項和公差，根據(jù)題的條件，建立關于為和d的方程組，求得為和d的

值，利用等差數(shù)列的通項公式求得結果；

(2)根據(jù)題意有%=0,根據(jù)q〉0,可知d<0,根據(jù)S“〉a“，得到關于九的不等式，從而求得結果.

【詳解】(1)設等差數(shù)列｛%,｝的首項為對，公差為d，

c9x8」,(八

9a,+----d=-(CL+4d)

根據(jù)題意有《"2",

q+2d=4

6Z1—8

解答C，所以%=8+(〃-1)x(—2)=—2〃+10,

a=-2

所以等差數(shù)列｛4｝的通項公式為an=-2〃+10；

(2)由條件89=—%，得9。5=-。5，即。5=0，

因為q>。，所以d<0,并且有%=%+4d=0,所以有q=-4",

由5〃2冊得r1al一>ax+(n-l)d,整理得(*-9n)d>(2〃-10)d,

因為d<0,所以有"—9”<2”一10，即a?—11〃+1040，

解得1W〃W1O,

所以〃的取值范圍是：l<“<10("eN*)

【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的求和公式,

在解題的過程中，需要認真分析題意，熟練掌握基礎知識是正確解題的關鍵.

17.如圖，圓臺OQ的軸截面為等腰梯形4ACG，AC=2A4=2AC=4,B為底面圓周上異于A,

(1)在平面BCG內(nèi)，過C1作一條直線與平面平行，并說明理由；

(2)設平面4480平面。］。3=/,Qel,BG與平面QAC所成角為a,當四棱錐5—4人。￡的體積

最大時，求sin戊的取值范圍.

【答案】(1)作圖及理由見解析；

(2)［0,巫］.

4

【解析】

【分析】(1)取中點尸，作直線GP，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)延長A41,CG交于點。，作直線80,再確定四棱錐體積最大時，點8的位置，然后建立空間直角坐

標系，利用空間向量建立線面角正弦的函數(shù)關系，求出其范圍作答.

【小問1詳解】

取中點尸，作直線G「，則直線GP即為所求，

取A3中點0連接則有P"http://AC,P"=；AC,如圖，

在等腰梯形AACG中，4G=gAC,有HP//AG，HP=AU，則四邊形AGP”為平行四邊形，

即有GP//A”,又A"u平面4AB,￡/>(2平面443,

所以GP//平面4AB.

【小問2詳解】

延長AA，CG交于點。，作直線5。，則直線8。即為直線/,如圖，

過點B作BO'LAC于0',因為平面AACG，平面ABC,平面AACQc平面ABC=AC,BO'u

平面ABC,

因此50」平面4ACG，即80'為四棱錐3—4ACG的高，在RtZkABC中，/ABC=90，

BO'BABC<BA~+BC~=LAC,當且僅當B4=5。時取等號，此時點O'與。2重合，

AC2AC2

梯形AACG的面積S為定值，四棱錐B—AACG的體積%.A4CG=；s?B。'，

于是當最大，即點。'與。2重合時四棱錐5—AACC的體積最大，BO2LAC,BO2^2,

以。2為原點，射線O2A,O2B,O7O,分別為X,%Z軸的非負半軸建立空間直角坐標系,

在等腰梯形4ACG中，AC=2AA1=2A1Cl=4,此梯形的高力==布,

顯然4G為一。4c的中位線，則0(0,0,26),42,0,0),6(0,2,0),G(—1,0,6),

BQ=(-1,-2,A/3),AB=(-2,2,0),BO=(0,-2,2島QA=(2,0,0),

設=,則AQ=AB+3。=43+230=(—2,2—242后)

n-OA—2x=01—

設平面QAC的一個法向量”=("z),貝ij?廣，令y=6%，得

n-AQ=-2x+(2-22)y+2v32z=0

n=(0,732,2-1),

,zn「一\n-BCx\|-2X^2+73(2-1)|

則有sina=|cos〈九,BC)|=-------=/——/=

'ImigI7(A^2)2+*4(2-1)2X7(-l)2+(-2)2+(^)2

6"+1|

2后”外―2X+1'

令/=X+1,則sina=——~~/⑺=,當/=0時，siner=0,

2V2XA/4?2-10Z+7

62

0<sinor=

當時,「［15,3—丁，當且僅當，=（，即幾==時

2四X,7（＞；）2+；55

取等號,

綜上得0<sina<，

4

所以sin0的取值范圍是［0,乎］.

【點睛】思路點睛：求空間角的最值問題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的某個三角函數(shù)建立起選定變

量的函數(shù)，求出函數(shù)最值即可.

18.已知橢圓=+與=1（?！?〉0）的離心率為發(fā)，且過點0，*.

ab2I2J

（1）求橢圓方程；

（2）設不過原點。的直線/:,=丘+m（左w0）,與該橢圓交于尸、。兩點，直線OROQ的斜率依次為

片,％，滿足4左=匕+右，試問：當女變化時，加2是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結論;

若不是，請說明理由.

2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）療是定值；療為定值g

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率，點的坐標及〃=加+o2,列出方程組，求出。=2力=1,得到橢圓方程;

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，利用題干條件得到

2kxiX2=機（玉+w），代入后最終求得病為定值］

【小問1詳解】

根據(jù)題意可得:

解方程組可得。=21=1,故橢圓方程為±+y2=l

4

【小問2詳解】

y=kx+m

當女變化時，力為定值，證明如下：由《%2，把丁=區(qū)+加代入橢圓方程得:

—I-y9=1

14'

(1+4%2)X2+Skmx+4^m2—1)=0；

3km

12

1+4左2

設尸（七由二次函數(shù)根與系數(shù)關系得:

4(加2_1)

為々=-----4

12