2024屆青島一模數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年高三年級第一次適應(yīng)性檢測

數(shù)學(xué)試題2024.03

本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準考證號

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需要改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.等比數(shù)列｛a“｝中，a2=l,%=8，則%=（）

A.32B.24C.20D.16

2.在（2+x）5的展開式中，f項的系數(shù)為（）

A.1B.10C.40D.80

3.已知直線a,b和平面a,a<f,a,bua,貝。"是"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=2asinB,be=4,則△ABC的面積為（）

A.1B.V3C.2D.273

5.2024年2月4日，“龍行中華一一甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都

有“龍”的元素或圖案.出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶.玉璜

璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽

3

略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：AB?8cm,AD?2cm,AO~5cm,若sin37?—,?3.14,則璜身

5

（即曲邊四邊形ABC。）面積近似為（）

6.記正項等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，S20=100,則6o,4i的最大值為()

A.9B.16C.25D.50

7.VxeR,/(%)+/(%+3)=1-/(%)/(%+3),/(—1)=0,則/(2024)的值為()

A.2B.1C.0D.-1

8.已知A(-2,0),5(2,0),設(shè)點尸是圓￡+>2=1上的點,若動點Q滿足：QPPB^O,

QP=A,則。的軌跡方程為()

22222

X21

九2一匕2%.丁

A.=1B.——y=1c.—+V=1D.-------1-------——-11

33-562

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分,共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中隨機取出兩個球，設(shè)事件A=”取出的球

的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件8=”取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C=”取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則

A.事件A與B是互斥事件B.事件A與8是對立事件

C.事件8與C是互斥事件D.事件B與C相互獨立

10.已知復(fù)數(shù)z,下列說法正確的是()

A.若z—彳=0,則z為實數(shù)B.若z?+彳2=0,則z=Z=0

C.若|z-i|=l,則|z|的最大值為2D.若|z—i|=|z|+l,則z為純虛數(shù)

%

11.已知函數(shù)/(x)=cos%+sin—,則)

A.“X)在區(qū)間0,(單調(diào)遞增

B.f(x)的圖象關(guān)于直線》=萬對稱

C.y(x)的值域為0,-

8

D.關(guān)于x的方程/(x)=a在區(qū)間［0,2萬］有實數(shù)根，則所有根之和組成的集合為｛匹2肛4萬｝

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合A={-1,0,1},B={y\y=2x,x&A],則AU5的所有元素之和為

V22

13.已知。為坐標原點，點尸為橢圓C：r+y=1(?！?〉0)的右焦點，點A,8在C上，A3的中點為R

a

OALOB,則C的離心率為.

14.已知球。的表面積為12萬，正四面體ABC。的頂點2,C,。均在球。的表面上，球心。為△BCD的外

心，棱與球面交于點P.若Ae平面％,3€平面。2，。€平面見,De平面％,（z,.//aM（z=1,2,3）

且弓與%+］（，=1,2,3）之間的距離為同一定值，棱AC,AD分別與％交于點。，R，貝。的周長為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（13分）為促進全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的

號召，并開展閱讀活動.開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得

到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,后三個小矩形的高度比為3：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點值為代表）；

（2）開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作為代

表分兩周進行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時間處于［80,100）的人數(shù)記為，求隨機變量

&的分布列與數(shù)學(xué)期望.

16.（15分）

已知函數(shù)/（%）=-^x2-ax+Inx.

（1）若。=1,曲線y=/（x）在點（%,/（/））處的切線斜率為1,求該切線的方程；

（2）討論f（x）的單調(diào)性.

17.（15分）

如圖，在三棱柱ABC—451G中，A4與3四的距離為由，AB=AC=AlB=2,=BC=272.

（1）證明：平面\ABBX1平面ABC；

（2）若點N在棱4G上，求直線AN與平面4與。所成角的正弦值的最大值.

18.（17分）

已知。為坐標原點，點W為口。：V+,2=4和口〃的公共點，OM，OW=O,口加與直線x+2=0相

切，記動點M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）若〃>相>0,直線4:x-y-m=0與C交于點A,B,直線4：x-y-〃=0與C交于點4,B',點

A,4在第一象限，記直線A4與38'的交點為G,直線A3'與34的交點為X,線段的中點為E.

（0證明：G,E,"三點共線；

（日）若（租+1『+”=7,過點X作4的平行線，分別交線段44',44'于點T,T',求四邊形GTET'面積

的最大值.

19.（17分）

記集合S=｛｛a,J|無窮數(shù)列｛4｝中存在有限項不為零,〃eN*｝,對任意｛a?｝eS,設(shè)變換

1ax，llH

/（｛?！ǎ?%十%%"—+n~—，xeR.

定義運算處若｛4｝,也｝eS,則｛a/?也｝eS,=

⑴若｛%｝?也｝=｛/｝,用％,%,%,&，偽也也也表示冽4；

⑵證明：（｛叫區(qū)也｝）?｛%｝=｛叫觀也衿匕｝）；

（〃+i）2+1,1丫眸"

⑶右n（n+l）,4=八2）｛d“｝=｛%｝<8）也｝,

0,n>100[0,n>500

證明：d2Q0<—.

2024年高三年級第一次適應(yīng)性檢測

數(shù)學(xué)參考答案及評分標準

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1-8：ADBACCBA

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.AB10.AC11.BCD

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.0；13."一]14.1+V7

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(13分)

解：⑴由題知：各組頻率分別為:0.15,0.25,0.3,0.2,0.1

日均閱讀時間的平均數(shù)為：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分鐘)

(2)由題意,在[60,80),[80,100),L100,120]三組分別抽取3,2,1人

J的可能取值為：0,1,2

c3c01C2cl3

則PC=o)=*=三PC=i)=,=.

clc21

^=2)=-^=-

所以&的分布列為:

012

4

p13

555

131

=0x—+lx—+2x—=1

555

16.(15分)

Y2—r+1

解:(1)當〃=1時,----------，/(/)=1解得％=i

X

13

又因為/(1)=—2,所以切線方程為：x-y--=0

(2)/(x)的定義域為(0,+00),f'(x)=X~aX+X

X

當aWO時，得廣(x)>0恒成立，/(x)(在(0,+8)單調(diào)遞增

當a>0時，令g(x)=x?-ax+1,A=a2-4

(i)當AWO即0<aW2時，

/'(x)NO恒成立，/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增

(ii)當A>0即a>2時，f'(x)=

nCl_JQ2—4?

由尸(x)〉0得,0<x<----------或］)

2

u—J/—4a+—4

由尸(x)<0得,----------<x<----------

22

/

所以/(x)在0,,+oo單調(diào)遞增,

7

在單調(diào)遞減

22

/

綜上：當。(2時，"%)在(0,+00)單調(diào)遞增;

、I/cn-u—7aa+7a—4V,、甲、當工吊

當Q>2時，/(%)在0,----------,----------,+oo單1調(diào)遞增;

I)\)

“X)在［4三，銬三］單調(diào)遞減

\7

17.(15分)

解：(1)取棱AA中點D,連接BD,因為A3=A3,所以

因為三棱柱ABC—4與G，所以A&〃5耳，

所以BDLBB],所以百

因為A5=2,所以AD=1,A4,=2；

因為AC=2,A。=20，所以AC'+AV=4。2,所以ACJ.A4，

同理4CLAB,

因為A4nA3=A,且A4,ABu平面4A33],所以AC，平面4A臺片，

因為AC<z平面ABC,

所以平面AlABBl±平面ABC

(2)取AB中點。，連接4。，取3c中點尸，連接。尸，貝UOP〃AC,

由(1)知AC,平面4A33],所以。尸，平面4A33]

因為4。平面AlABBl,ABcz平面AlABBl,

所以。PL4。，OPLAB,

因為A3=AA=A3,則4。LAB

以。為坐標原點，OP,OB,所在的直線為無軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系OFZ,

則A(0,—1,0),A(0,0,6),5/0,2,73),C(2,-l,0),

設(shè)點N(a,0,G),(0<a<2)

福=(0,2,0),而=(2,-1,-百)，m=(a,l,?

n-AB.=0[2y=0

設(shè)面A^iG的法向量為五=(%,%z),得〈一2L1，得1廠，

n-=02x—y—yj3z=0

取光二百，則y=0,z=2,所以元=(G,0,2)

設(shè)直線AN與平面A1gC所成角為e,

rmi,a_I-~A~\TI__百a+2

11\^\AN\V7J4+4

_V3I(a+2『_V3la2+4a+4

V?XVa2+4V7X\a2+4

若。=0,則sin。=----,

7

E_V3V42

若awO,則sine二：i1+——74〒

45-〒

<7a+—7

a

4

當且僅當即a=2時，等號成立,

a

J42

所以直線AN與平面AMB所成角的正弦值的最大值丫廠

18.(17分)

解:(1)設(shè)M(x,y),切點為N,IJ1J|M7V|2=|MW|2=|OM|2+\OW|2,

所以|x+2『=/+y2=4

化簡得y2=4x,所以c的方程為：/=4x

（2）（z）因為〃/小所以可設(shè)CX=/l面，GB=AGB',

又因為南而+而）=%不，

所以G,E,尸三點共線，同理，H,E,尸三點共線，

所以G,E,”三點共線.

5）設(shè)3（%2，%），A'G，%），&（14，%），AB中點為E,中點為產(chǎn),

2

將％=y+加代入丁2=4%得：y-4y-4m=0,所以必+%=4,yxy2=-4m,

所以J；E="^=2,同理、F=2（G,E,H,E均在定直線y=2上）

因為7T'〃/1，所以△功『與面積相等，△EBT'與△￡①/面積相等；

所以四邊形GTET'面積等于四邊形面積

設(shè)G（%,2）,如『2）,

直線AA':y_%=^~—（x-xj>即——T%一斗

X\~X3%%_\4/

44

整理得：直線AA':y=4x+X%,又因為yG=2,所以%='一十%"%%，

%+為4

同理，直線5A:y=4x+%%,'"=2,所以%=2(%+%)—%%

%+%4

所以|GH|=1幾一%="弋"%)="")；~H

所以四邊形GAHB面積S=工|GH|?|%—%1=(“—乂)1%一

216

[(%+%)2-4%%],，(%+%)-4%”

一16

(16+16m)-V16+16n

—16

=4，(1+M)2(I+〃)

,A(1+機)2+1+〃c/c,C、1/

<4-------------=2(2+m2+2m+n)=16

、fm2+2m=n[m=l八一

當且僅當(1+加)2=1+〃，即{